regressione lineare.pdf - Economia e statistica

EANO - Corso di Statistica 2 Aula 1, Prof. Marozzi.LA REGRESSIONE LINEAREIl polinomio più semplice è quello di primogrado, il cui grafico è una rettay=f(x;a,b)=a+bx.Consideriamo il metodo di interpolazione dettodei minimi quadrati.Come misura di scostamento tra il valorereale y j e quello teorico y j * =a+bx j , si usa | y j - y j * |che si può vedere come l’errore che si commettenell’interpolare y j con y j * .L’errore complessivo viene definito attraversola somma degli scostamenti al quadratotra valori empirici e teorici* 2 n( yj− yj) = ∑ ( yj− a − bxj)n∑ j=1j=1e i parametri a e b vengono determinati in mododa rendere minima questa quantità.La retta così ottenuta è la retta del piano XY chemeglio si adatta ai punti (x j ,y j ) secondo ilcriterio dei minimi quadrati, ovvero la retta percui è minima la somma delle distanze alquadrato tra valori empirici e teorici.2

EANO - Corso di Statistica 2 Aula 1, Prof. Marozzi.E’ possibile dimostrare che i parametri dellaretta ai minimi quadrati valgonob=∑∑ne ayj = 1nj = 1jxx2jj− nxy− nx= y − bx.2Il parametro a è interpretabile graficamentecome l’ordinata del punto di intercetta dellaretta con l’asse delle ordinate e indica il valoreteorico del carattere dipendente Y in corrispondenzadi un valore nullo del carattereindipendente X.Il parametro b ha invece a che fare con lainclinazione della retta, essendone il coefficienteangolare. Esso indica la variazione teorica delcarattere dipendente in corrispondenza di unavariazione unitaria del carattere indipendente.b>0 retta crescente (concordanza)b

EANO - Corso di Statistica 2 Aula 1, Prof. Marozzi.Esempio dei 30=n appartamenti.∑ j∑ jx y xy x 2120 160 19200 1440080 95 7600 6400… … … …78 108 8424 608452 95 4940 27042373 3379 292896 213627y = 292896 ; x = 79, 1;y =112, 63;x j jx 2 = 213627.j292896 − 30 ⋅ 79,1 ⋅112,63b == 0,988;2231627 − 30 ⋅ 79,1a = 112 ,63 − 0,988 ⋅ 79,1 = 34,466.Equazione della retta ai minimi quadratiy=a+bx=34,466+0,988x.E’ una retta crescente, ad indicare che alcrescere della superficie tende a crescere ilprezzo.a=34,466 indica come il prezzo di un teoricoappartamento di 0 mq sia di 34466 (è una sortadi costo fisso).b=0,988 indica che, in base al modello,all’aumentare di 1mq di superficie il prezzoaumenta di 988 .

EANO - Corso di Statistica 2 Aula 1, Prof. Marozzi.Bontà di adattamentoUn indice normalizzato di adattamento èl’indice di determinazione lineare R 2 che sicostruisce sfruttando la scomponibilità dellavarianza del carattere dipendente.1 n∑( y j− y) =1 n∑ ( y − ) n*+ 1jy ∑ ( *y − ) jy j2n j=1R2n j=12n j=1var. totale = var. spiegata + var. residua2=var. spiegatavar. totale⎧0= ⎨⎩1yy*j*j==yyj∀j= 1,..., n.∀j= 1,..., nCosa significa R 2 =0? Relazione con χ 2 =0.*yjjy ( y y) 2 *j− ( y y) 2*j− ( ) 2y −jy j160 153,051 2243,6 1633,6 48,395 113,523 310,9 0,8 343,1…108…111,546…21,5…1,2…12,695 85,853 310,9 717,2 83,7devianza 28559,0 25315,1 3243,9varianza 952,0 843,8 108,1R 2 = 843,8/952,0 = 0,886.L’88,6% della variabilità del prezzo è dovuta alsuo legame lineare con la superficie. Il modellospiega l’88,6% della variabilità totale.

EANO - Corso di Statistica 2 Aula 1, Prof. Marozzi.ANALISI DEI RESIDUIResiduo corrispondente all’unità j:nn∑ =j=1 j ∑ yj=1n 2 n∑ =j=1 j ∑ j=1 jyj*( yj−j) = 02*( y − ) = mine .e .ej= y − y .j*jUn andamento casuale dei residui indica che ilmodello lineare funziona bene.residui20151050-5-10-15-20Esempio dei 30 appartamenti70 90 110 130 150 170valori teoriciEstensione multivariata, non lineare.Come comportarsi con tabelle a doppia entrata?CODEV( X , Y ) =CODEV( X , Y ) =r s∑i= 1∑j=1r s∑ ∑i= 1 j=1( x − x)( y − y)xiiyjnijj− nxynij.