Matematica e didattica della matematica

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICAAna Millán GascaESERCIZIO 6.3. Consideri il numero razionale [( 3,4 )]. Quale è il numero razionale opposto? Scrival’espressione decimale dell’opposto e proponga due notazioni frazionarie. Verifichi che l’addizione di[( 3,4 )] con il suo opposto è [( 0,1)].Dato un numero razionale v = [( a,b)], quale!è il suo elemento opposto?!!Oltre a queste proprietà algebriche, nell’insieme Q si ha un’altra proprietà: ogni numerorazionale v ha ! un elemento simmetrico per la moltiplicazione, detto anche inverso di v, ossia esisteun altro numero razionale che moltiplicato per v da come risultato 1.Aggiungiamo quindi la proprietà:9) proprietà dell’elemento simmetrico per la moltiplicazione:"v # Q,$v * # Q : v % v * =1.ESEMPIO 6.5 Consideriamo di nuovo il numero razionaleL’inverso di!!4,3![( 3,4 )].[( 3,4 )] = {( c,d) " Z # Z * : 3$ d = 4 $ c} = {( 3,4 ),(%3,%4),( 6,8), (%6,%8),( 9,12),...}[( 3,4 )] è il numero razionale[( )][( 4,3)] = {( c,d) " Z # Z * : 4 $ d = 3$ c} = {( 4,3), (%4,%4),( 8,6), (%8,%6),( 12,9),...}Se ! prendiamo come rappresentate ! dell’intera classe la coppial’inverso ! è la classe di tutte le coppie equivalenti aVerifichiamo che è così:!!( 6,8), che in forma di frazione è( 8,6), ossia in forma di frazione[( 3,4 )] " [( 4,3)] = [( 3" 4,4 " 3)] = [( 12,12)] =1!68 .!68 , allora1Per ottenere l’elemento simmetrico di un numero razionale v (detto inverso di v, e si scrivev ) bastascegliere un rappresentante!della classe v, e considerare la classe di equivalenza della coppiaordinata che si ottiene cambiando l’ordine delle due componenti:datov " Q, allorav =[( a,b)] e l’inverso di v è1v =[( b,a )]!Inverso di un numero interoUn numero ! intero non ! ha inverso nell’insieme Z, ma visto come numero razionale ha uninverso che è un numero razionale non intero: !ESEMPIO 6.6[( )]visto come numero razionale7 """""" "#7,1inverso" #[( )]" " 1,7scritto come frazione""""" #17!11

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICAAna Millán GascaLa divisione in QLa divisione in Q può essere eseguita sempre, essa è semplicemente la moltiplicazione perl’inverso: dati due numeri razionali v e w,Ad esempio,14 ÷ 3 5 = 1 4 " 5 3 = 512v ÷ w = v " 1 wLa divisione in Q associa ad ogni!coppia di numeri razionali v e w (naturali o no) un solonumero q, il quoziente, che verifica la condizione!v = w " qEssa è l’operazione inversa della moltiplicazione nel senso che se parto dal numero v, lodivido per il numero w e poi moltiplico il risultato per w, ottengo di nuovo il numero v di partenza.!Le “due divisioni” dei numeri interiIn particolare, la divisione fra due numeri interi si può sempre eseguire se li vediamo in Q:7 ÷ 3 = 7 3oppure, scritto in modo completo usando le classi di equivalenza:![( 7,1)] ÷ [( 3,1)] = [( 7,3)]Si ricordi che la divisione nell’aritmetica elementare, ossia la divisione in N che abbiamostudiato nella lezione 5, non è l’operazione inversa della moltiplicazione che si può avere soloimmergendo N in Q. !Nel nostro esempio, la divisione in N associa a dividendo 7 e divisore 3 il quoziente 2 e ilresto 1:7 = 3" 2 +16.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica.!Nell’ampliare il sistema dei numeri da N a Z abbiamo conservato l’ordinamento totale.Anche l’insieme Q ha un ordinamento totale: infatti possiamo sempre comparare due frazioni esapere quale è maggiore dell’altra. Questo ci permette anche di rappresentare le frazioni sulla rettanumerica. Vediamo come si definisce questa relazione d’ordine nel quadro teorico che abbiamocostruito. Ci serve prima distinguere numeri razionali positivi e negativi, con una definizione moltosemplice che usa il confronto fra il segno del numeratore e del denominatore.Numeri razionali positivi e negativiDue numeri interi si dicono concordi se sono entrambi positivi o entrambi negativi; si diconodiscordi se uno è positivo e l’altro negativo. Dato un numero razionale v qualsivoglia, e prendiamoun rappresentantev =[( a,b)]!12

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICAAna Millán Gasca– se a e b sono concordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentantesaranno concordi– se a e b sono discordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentantesaranno discordi!( c,d), allora c e d( c,d), allora c e d(per convincersi basta riflettere al legame aritmetico fra i quattro numeri a, b, c e d).!DEFINIZIONE Un numero razionale v = [( a,b)] si dice positivo se a e b sono concordi. Un numerorazionale v = a,b[( )] si dice negativo se a e b sono discordi.L’ordinamento totale di Q !Ora possiamo definire la relazione binaria “essere maggiore o uguale” nell’insieme Q.!DEFINIZIONE Dati due numeri razionali v, z, si dice che v è maggiore o uguale di z, e si scrivese v = z oppure esiste un numero razionale positivo w tale che v = z + w.v " z!Questa relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e quindi è una relazione d’ordine in!Q. Questo ordinamento estende quello dei numeri interi, vale a dire, se n " m in Z allora anche!come numeri razionali si ha che [( n,1)] " [( m,1)] (prendendo come rappresentante la frazione ridottanai minimi termini:1 " m . Come succedeva già in Z, questa relazione d’ordine non è un buon1 !ordinamento (il sottoinsieme dei interi negativi, ad esempio, non ha minimo).!L’ordinamento di Q è diverso da quello di Z perché esso non ha “buchi” o salti. Fra duenumeri interi ! come 8 e 15 vi sono sei numeri interi; ma fra numeri interi come 3 e 4, oppure tra -2 e-1, non vi è nessun altro numero intero. Invece scegliendo a piacere due numeri razionali, vi èsempre un altro numero razionale.ESEMPIO 6.7 Considerare i due numeri razionali v = [(3,5)] e z = [(9,5)]. Trovi la loro scrittura decimale euna scrittura frazionaria. Rappresenti graficamente in vari modi questi numeri razionali. Rappresentigraficamente v e z sulla linea dei numeri, e consideri il segmento di estremi v e z. Quale è il numero razionalew che, sulla linea dei numeri, si trova rappresentato dal punto medio di tale segmento?! !In generale, fra due razionali diversi esiste sempre almeno uno “intermedio”: si dice per questomotivo che i numeri razionali hanno la proprietà di densità.PROPRIETÀ DI DENSITÀ Dativ,z " Q,v < z, esistew " Q tale chev < w < zPer dimostrare questa proprietà basta vedere che il numero razionale! ! !!condizione.v + z2che è a “metà strada” verifica laIterando questa procedura, è facile convincersi del fatto che fra due razionali diversi esistono infinitirazionali; fra due razionali esiste il punto medio, fra il ! primo di essi e il punto medio esiste il puntomedio, e così via.Quanti sono i numeri razionali?Dalla proprietà di densità non bisogna ricavare l’idea che i razionali “siano molto di più”degli interi. Ricordiamo però che bisogna stare molto attenti nei ragionamenti riguardanti gliinsiemi infiniti: abbiamo visto l’esempio dei numeri pari che è un sottoinsieme dell’insieme N ; poi13

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICAAna Millán Gascamatematica. Grazie all’analisi la matematica ha fornito alla fisica e alla scienza un potentestrumento di ricerca delle leggi dei fenomeni naturali.Esercizi1) Seguendo la traccia dell’esempio 6.1, consideri il seguente problema:Abbiamo a disposizione un’ora alla radio per 7 brevi interviste. Quanto tempo possiamodedicare ad ogni intervista?2) «Presso gli Egizi le sole frazioni ad avere diritto di cittadinanza erano quelle con numeratore2unitario, eccezion fatta per rarissimi casi come la frazione , per la quale esisteva sia un nome3particolare (che tradotto suona “due parti”), quasi a voler sottolineare il fatto che, con la1aggiunta di , si ottiene l’unità, sia un simbolo particolare. Tutte le altre frazioni venivano3espresse come somma di frazioni unitarie e!poiché il ritrovarle doveva essere piuttostocomplicato, esistevano delle tabelle di facile consultazione, adatte a questo scopo.» (SilviaRoero, in L’alba dei numeri )!1Il numeratore 1 della frazione unitaria (detto in termini moderni, l’inverso del numero naturale n)nnon si scriveva: tale frazione veniva annotata scrivendo il simbolo per n sormontato dal geroglificoche stava per “parte”.1Scriva, usando la notazione egizia, ! le seguenti frazioni: a)5 ; b) 25 ; c) 353) In uno dei più importanti documenti della matematica egizia, il rotolo di cuoio (risalente al 1650a. C. circa e conservato presso il British Museum), si ritrova una tabella di decomposizione difrazioni unitarie in somma di due o più frazioni unitarie. ! ! Provi ! a ricostruirne alcune righe:!!!!!!!!!!181!3! 15! 131!2231!71401201111!42115141111114!!!!!16

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICAAna Millán Gasca12) Rappresenti sulla linea dei numeri, calcoli la parte intera e ottenga la scrittura decimale dei1numeri razionali -4, 7,2 , 98 , " 9 8 .813) Dobbiamo eseguire l’addizione dei due numeri razionali seguenti:7 e 10. Quali rappresentanti6è utile scegliere per facilitare il calcolo? Esprimere in notazione frazionaria entrambi questi numeriusando la frazione! !ridotta!ai minimi termini.14) (i) Definire la relazione di congruenza modulo 4 definita ! sull’insieme ! dei numeri interi Z.(ii) Determinare le classi di equivalenza che essa determina in Z.(iii) L’insieme quoziente è un insieme finito?(iv) A quale classe di equivalenza appartengono i multipli di 4?(v) Giustificare se la seguente affermazione è vera o falsa:18 " #9 mod 415) Una confezione in scatola di 30 cioccolatini è in offerta al supermercato. Sei amici hannocomprato una scatola e intendono dividerla a parti uguali; ma Marco oggi non è potuto venire.Quanti cioccolatini hanno mangiato?!Confrontiamo i cioccolatini rimasti con la scatola: comepossiamo indicare il rapporto. Discuta il problema alla luce delle idee introdotte nella lezione invista di una discussione a scuola.16) Dividere 13 caramelle fra 5 amiche; dividere 13 cm di nastro in 5 parti. Scriva un problema eprepari la discussione in classe alla luce dei concetti discussi nella lezione 3 e nella lezione 6.Ricordi il ruolo dei sottomultipliAltri esercizi: Aritmetica di base, cap. 4, no.1-9, 19-22; In equilibrio su una linea di numeri, cap. 4,no. 50-67.18