หน้า 38-74 - Pioneer.chula.ac.th

2301113 บทที่ 3 383.1 ความหมายของอินทิกรัลบทที่ 3อินทิกรัลจํากัดเขตและการประยุกตMorris Kleine กลาวไวในหนังสือชื่อ Mathematics and the Physical Worldวานิวตันตองรอถึง 20 ป กวาจะพิมพเผยแพรกฎขอที่ 3 ของเขา เพราะตองรอใหพิสูจนไดเสียกอนวาการคํานวณแรงดึงดูดระหวางวัตถุรูปทรงกลมนั้นอาจคํานวณไดโดยคิดถือเอาวามวลของทรงกลมนั้นอยูที่จุดศูนยกลางของทรงกลม การพิสูจนตองใชความคิดเรื่องอินทิกรัล(integral) ซึ่งเปนเรื่องหนึ่งของแคลคูลัส กอนอื่นเรามาพิจารณาดูกันวาเหตุใดจึงนาสงสัยวาเราคิดเอาไมไดวามวลของวัตถุตางๆที่ดึงดูดกันนั้นตองอยูที่จุดศูนยกลางของวัตถุนั้นๆลองพิจารณาแรงดึงดูดระหวางวัตถุ A กับ B ในสองกรณีตอไปนี้เปรียบเทียบกัน(ก)AB(ข)ABกรณีใดมากกวากัน ?กรณีใดควรจะมีแรงดึงดูดมากกวา?กรณี (ข) วัตถุ B ประกอบดวย B ในกรณี (ก) รวมกับสวนที่ยาวขึ้นกวากรณี (ก) สวนที่ยาวขึ้นนี้ยอมทําใหไดแรงดึงดูดเพิ่มขึ้น จึงตอบวาแรงดึงดูดในกรณี (ข) มากกวาในกรณี (ก)แตถาเราใชกฎของนิวตันคํานวณหาแรงดึงดูด โดยการถือเอาวามวลของ B อยูที่จุดศูนยกลางของ B ไดดังตอไปนี้ให A มีมวล m และ A อยูหางจาก B เปนระยะ Lกรณี (ก) สมมติ B ยาว 2L และมีมวล Mจะไดวามวลของ A และ B อยูหางกัน L+L = 2LGmM GmM 2 GmM(2 L) 4L 8 Lดังนั้น แรงดึงดูดคือ2=2=2

2301113 บทที่ 3 40คราวนี้เราจะคิดเอาวา BC ประกอบดวยวัตถุสองชิ้น คือ BD กับ DCA B CDแลวประมาณคาแรงดึงดูดของวัตถุแตละชิ้นวาอยูระหวางสองคาใด เมื่อนํามารวมกันเราก็จะไดคาประมาณของแรงดึงดูดที่อยูในชวงที่แคบเขามา หากเราแบง BC ออกเปนชิ้นที่ยิ่งเล็กลง แตมีมากชิ้นขึ้น การประมาณก็จะยิ่งดีขึ้นมีการคํานวณปริมาณตางๆหลายอยางที่ทําไดดวยวิธีการหาคาประมาณเปนชวง โดยทําใหชวงที่ใชในการประมาณนั้นแคบเขาเทาใดก็ได ในทํานองเดียวกันกับที่เราทํากับการคํานวณแรงดึงดูด เราจะหยุดพักเรื่องแรงดึงดูดไวชั่วคราว จะไปดูการคํานวณอยางอื่นในลักษณะเดียวกันที่เห็นไดงายกวากันเสียกอน แลวจึงกลับมาพิจารณาการคํานวณแรงดึงดูดระหวางวัตถุ อยางอื่นที่วานี้ก็คือ พี้นที่ใตเสนโคงตอไปนี้จะแสดงตัวอยางการคํานวณหาพื้นที่ที่อยูระหวางกราฟของฟงกชันกับชวงปดบน2แกน X ฟงกชันที่จะนํามาเปนตัวอยางในที่นี้ คือ fx ( ) = x, 0≤x≤2ซึ่งมีกราฟในชวงดังกลาวดังนี้4Yfx ( )A2= x2Xเราจะพิจารณาวาพื้นที่ A ระหวางกราฟกับชวง [0,2]มีคาเทาใดโดยจะประมาณวา A มีคาอยูระหวางสองคาใด4Yfx ( )= x2เราจะหาคาที่นอยกวาพื้นที่ A โดยการแบงชวง [0,2]ออกเปนสวนยอยๆ แลวสรางสี่เหลี่ยมผืนผาบนชวงยอย บรรจุลงในพื้นที่ดังกลาวใหสูงมากที่สุดเทาที่จะทําไดผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาเหลา นี้ยอมนอยกวาพื้นที่ A2X

2301113 บทที่ 3 414Yfx ( )= x2เราจะหาคาที่มากกวาพื้นที่ A โดยการแบงชวง [0,2]ออกเปนสวนยอยๆ แลวสรางสี่เหลี่ยมผืนผาบนชวงยอย ใหคลุมพื้นที่ดังกลาว แตใหต่ําที่สุดเทาที่จะทําไดผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาเหลานี้ยอมมากกวาพื้นที่ A2Xสําหรับการแบงที่ใชหาคาที่นอยกวาพื้นที่ A นั้น ถาเราแบงชวงใหเปนสวนยอยยิ่งขึ้น ผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาจะมีคามากขึ้น จึงใกลคาพื้นที่ A ยิ่งขึ้นสําหรับการแบงที่ใชหาคาที่มากกวาพื้นที่ A นั้น ถาเราแบงชวงใหเปนสวนยอยยิ่งขึ้น ผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาจะมีคานอยลง และใกลเคียงคาพื้นที่ A ยิ่งขึ้นเชนกันเราจะแบงชวง [0,2] ออกเปน n สวนเทาๆ กัน แลวคํานวณหาผลบวกพื้นที่เหลี่ยมผืนผาทั้งสองแบบในพจนของ n เราจะแทนผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาที่บรรจุภายใน และผลบวกพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผาที่ใชปกคลุมดวยสัญลักษณ L n และ U n ตามลําดับเราจะพบวา (แสดงในหองเรียน)4Yfx ( )= x22XLn∑ n 2 n 2 n⎛ ⎞2⎜3 3( i 1)3⎝i= 1n ⎠⎟⎜⎝n⎠⎟∑ ∑i= 1n ni=1n2( i −1) ⎛2 ⎞ 8( i −1) 8 8 ( n −1) n(2n−1)= = = − =6Unn 2n2∑ ⎜3i⎝3i= 1n⎠ ⎟ ⎝ ⎜n⎠⎟∑ni=1n⎛2i⎞ ⎛2⎞ 8 8 n( n + 1)(2n+ 1)= = =6เมื่อพิจารณาหาคาลิมิต เราจะพบวาlim Ln→∞แตเนื่องจาก Ln ≤A≤ Unจึงไดวาn2 8= lim Un= =n→∞3 332 8A = =3 33

2301113 บทที่ 3 42ในที่นี้ เราได คาแมนตรง (exact value) ของ A2การไดคาแมนตรงของ A นั้นไมใชเรื่องบังเอิญ เฉพาะกรณีของฟงกชัน fx () = x บนชวง [0,2] เทานั้น เราอาจใชวิธีการคํานวณแบบที่กลาวมากับฟงกชันใดๆ บนชวงปดที่มีขอบเขตใดๆ ก็ได ถาฟงกชันนั้นๆ เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบนชวงดังกลาว เราจะไดวาเสมอlim Ln→∞n= lim Un→∞ฟงกชันที่เรานํามาคํานวณหาพื้นที่ระหวางกราฟของมันกับชวงบนแกน X นั้นตองเปนฟงกชันที่ไมมีคาเปนลบในชวงนั้น เพื่อวาเสนกราฟจะไดอยูเหนือแกน X ตลอดชวง อยางไรก็ตามวิธีการคํานวณที่ใชคํานวณหาพื้นที่ดังที่กลาวมานั้น หากจะนํามาใชกับฟงกชันโดยทั่วไปที่มีคาเปนลบบางก็ยอมทําได แตจะใชผลลัพธที่ไดเปนพื้นที่ยอมทําไมได เพราะพจนตางๆ ที่บวกกันเปน L n กับ Unนั้นอาจมีบางพจนเปนลบตัดกันไปบางวิธีการคํานวณดังกลาวนี้ นอกจากจะใชคํานวณหาพื้นที่แลว ยังใชคํานวณหาปริมาณอยางอื่นๆ ไดอีกมากมาย เชน งาน แรง นักคณิตศาสตรจึงศึกษาวิธีการคํานวณนี้สําหรับฟงกชันโดยทั่วๆ ไป โดยเรียกวิธีคํานวณแบบนี้วา การอินทิเกรต (integration) และเรียกผลลัพธของการคํานวณวา อินทิกรัล (integral) คําวา integral นี้ ราชบัณฑิตทยสถาน ใหใชคําไทยวา ปริพันธ หรือ อินทิกรัล ตอไปนี้จะใชคําวา อินทิกรัลอินทิกรัลที่จะกลาวถึงตอไปนี้เปน อินทิกรัลจํากัดเขต (definite integral) มีบทนิยามของอินทิกรัลตางๆ กันหลายแบบ ในที่นี้จะนํามากลาวเพียงสองแบบ คือ แบบของดารบู(Darboux) กับ แบบของรีมันน (Riemann) บทนิยามสองแบบนี้อธิบายไมเหมือนกัน แตพิสูจนไดวาใหความหมายเดียวกัน กลาวคือเปนบทนิยามที่สมมูลกันตอไปนี้เปนบทนิยามแบบของดารบูn

2301113 บทที่ 3 43บทนิยาม 3.1ให f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุมชวง [ ab ,] และมีขอบเขตบนชวง [ ab ,]ให n เปนจํานวนนับใดๆ และใหa = x < x < x < x < … < x < x = b0 1 2 3 n−1เปนการแบงชวง [ ab ,] ออกเปนชวงยอยๆ n ชวง คือ[ x , x ],[ x , x ],…,[ x , x ]0 1 1 2 n−1สําหรับแตละ i = 1, 2, 3, . . . , n ใหnm i = glb ของ f บน [ xi−1, xi]M i = lub ของ f บน [ xi−1, xi]ในที่นี้ glb กับ lub หมายถึงคาขอบเขตลางสูงสุด กับคาขอบเขตบนต่ําสุดของ f ในชวง[ xi− 1, xi]ตามลําดับnเราเรียกผลบวก L = ∑ mi( xi −xi− 1)วา ผลบวกลางแบบดารบู และเรียกni=1ผลบวก U = ∑ Mi( xi −xi− 1)วา ผลบวกบนแบบดารบูi=1เราเรียก ขอบเขตบนต่ําสุด ของเซตของบรรดาคา L ทั้งหลายทั้งหลายวา อินทิกรัลลาง(lower integral) ของ f บนชวง [ ab ,] และเรียก ขอบเขตลางสูงสุด ของเซตของบรรดาคาU ทั้งหลายทั้งหลายวาอินทิกรัลบน (upper integral) ของ f บนชวง [ ab ,]ถา อินทิกรัลลาง กับ อินทิกรัลบน ของ f บนชวง [,] ab มีคาเทากัน เรากลาววา fเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [ ab ,]( f is integrable over the interval [ ab , ] )และเรียกคาที่เทากันของอินทิกรัลลางกับอินทิกรัลบนนั้นวา อินทิกรัล (integral) ของ f บนชวง [ ab ,]nตัวอยาง 3.1กําหนดให fx () = xจงหาผลบวกบนแบบดารบูและผลบวกลางแบบดารบูของ f บนชวง[0,2]วิธีทํา แบงชวง [0,2] เปน n ชวงเทาๆ กัน จะไดวาแตละชวงกวาง 2 n และสําหรับแตละ i = 1, …,n ชวงที่ i คือ i 1( i − 1)22 2i[ x − , xi] = [( i − 1) , ]n n2i=nซึ่งไดวา mi= และ Minดังนั้น ผลบวกลางแบบดารบูของ f บนชวง [0,2] คือ

2301113 บทที่ 3 45แสดงวาบรรดาผลบวกลางทั้งหลายมีผลบวกบนทั้งหลายเปนขอบเขตบน และผลบวกลางตางก็เปนขอบเขตลางของบรรดาขอบเขตบนอินทิกรัลลาง ≤ บรรดาผลบวกบนบรรดาผลบวกลางอินทิกรัลลาง≤ อินทิกรัลบน≤ อินทิกรัลบน4. ถา { L n}เปนลําดับใดๆของผลบวกลางเรายอมไดวา Ln≤ อินทิกรัลลางดังนั้น lim L n ≤ อินทิกรัลลางn→∞ในทํานองเดียวกัน ถา{ Un}เปนลําดับใดๆของผลบวกบน เราจะไดวาอสมการทั้งสองนี้ประกอบกับที่กลาวมากอน ไดวาlim Ln→∞ดังนั้น ถา lim L = lim U เรายอมไดวาn→∞nnn→∞อินทิกรัลบน ≤ lim U nn→∞≤ อินทิกรัลลาง ≤ อินทิกรัลบน ≤ lim U nnอินทิกรัลลาง = อินทิกรัลบนn→∞แสดงวาฟงกชันอินทิเกรตได และมีคาเทากับคาที่เทากันของคาลิมิตทั้งสองนั้นตัวอยาง 3.2ยอนกลับไปพิจารณาตัวอยาง 3.1 แสดงการคํานวณหาพื้นที่ระหวางกราฟของ fx () = x กับชวง [0,2] ในการพิจารณานั้น เราพบวาlim L = lim U = 2n→∞ตัวอยางดังกลาวจึงเปนตัวอยางที่แสดงวา fx ()และมีคาอินทิกรัลเทากับ 2nn→∞n= xเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [0,2]ตัวอยาง 3.3จงแสดงวา fx () = xเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [0, c ] สําหรับจํานวนบวก c ใดๆและมีคาของอินทิกรัลเทากับ2c2วิธีทํา แบงชวง [0, c ] เปน n ชวงเทาๆ กัน จะไดวาแตละชวงกวาง c และ nสําหรับแตละ i = 1, …,n ชวงที่ i คือ i 1c ic[ x − , xi] = [( i − 1) , ]n n

2301113 บทที่ 3 46ซึ่งไดวาmi( i − 1) cn= และ Miic=nดังนั้น ผลบวกลางแบบดารบูของ f บนชวง [0, c ] คือn∑L = m ( x −x)n i i i−1i=1n2 2( i −1) c c n( n −1)= ∑ 2=2n n 2i=1และผลบวกบนแบบดารบูของ f บนชวง [0, c ] คือเนื่องจากlim Un→∞n2c2= และเพราะฉะนั้น คาอินทิกรัลเทากับn∑U = M ( x −x)n i i i−1i=1n 2 2ic c n( n + 1)= ∑ 2=2n n 2i=1lim Ln→∞2c2n2c=2ตัวอยาง 3.4จงแสดงวา fx ( ) = xเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [ c ,0] สําหรับ c ที่เปนจํานวนลบใดๆและมีคาของอินทิกรัลเทากับ2c−2− cncn ( − i+1) cn ( −i)[ xi−, xi] = [ , ]n ncn ( − i)=nวิธีทํา แบงชวง [,0] c เปน n ชวงเทาๆ กัน จะไดวาแตละชวงกวางสําหรับแตละ i = 1, …,n ชวงที่ i คือ 1ซึ่งไดวาmicn ( − i+1)n= และดังนั้น ผลบวกลางแบบดารบูของ f บนชวง [ c ,0] คือMinn2 2n = ∑ i( i − i−1)= ∑ 2=2i= 1 i=1n nL m x xและผลบวกบนแบบดารบูของ f บนชวง [ c ,0] คือเนื่องจากlim Ln→∞และ−( n − i + 1) c − c n( n + 1)2nn2 2n = ∑ i( i − i−1)= ∑ 2=2i= 1 i=1n n22U M x xn−c2= และเพราะฉะนั้น คาอินทิกรัลเทากับlim Un→∞2−c2n−c=2−( n −i) c −c n( n −1)2

2301113 บทที่ 3 47ตัวอยาง 3.52จงหาผลบวกบนแบบดารบูและผลบวกลางแบบดารบูของ fx ( ) = x บนชวง [0, c ] สําหรับจํานวนบวก c ใดๆ และจงแสดงวา f อินทิเกรตไดบนชวงนี้ พรอมทั้งหาคาอินทิกรัลวิธีทํา แบงชวง [0, c ] เปน n ชวงเทาๆ กัน จะไดวาแตละชวงกวาง c และ nสําหรับแตละ i = 1, …,n ชวงที่ i คือ i 1ซึ่งไดวาmi2 2( i − 1) c2n= และMic ic[ x − , xi] = [( i − 1) , ]n n2 2ic=2nดังนั้น ผลบวกลางแบบดารบูของ f บนชวง [0, c ] คือnn2 3 3n = ∑ i( i − i−1) = ∑ {3} =3i= 1 i=1n nL m x xและผลบวกบนแบบดารบูของ f บนชวง [0, c ] คือเนื่องจากnn 2 3 3n = ∑ i( i − i−1) = ∑ (3) =3i= 1 i=1n n33U M x xlim Ln→∞nc3= และเพราะฉะนั้น คาอินทิกรัลเทากับlim Un→∞3c3n( i −1) c c ( n −1)( n)(2n−1)6c=3ic c nn ( + 1)(2n+1)6ตอไปนี้เปนบทนิยามแบบของรีมันนบทนิยาม 3.2ให f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุมชวง [ ab ,] และมีขอบเขตบนชวง [ ab ,]ให n เปนจํานวนนับใดๆ และใหa = x < x < x < x < … < x < x = b0 1 2 3 n−1เปนการแบงชวง [ ab ,] ออกเปนชวงยอยๆ n ชวง คือ* * *ให t 1 t 2 t, , nตามลําดับ เราเรียกผลบวก[ x , x ],[ x , x ],…,[ x , x ]0 1 1 2 n−1… เปนจุดใดๆ จากชวงยอย[ x , x ],[ x , x ],…,[ x , x ]0 1 1 2 n−1nn =*( i)( i − i 1)i=1∑ วา ผลบวกรีมันนของ fS f t x x −ถาสําหรับทุกๆ วิธีแบงชวง [ ab ,] ออกเปนชวงยอยที่ขนาดของชวงกวางที่สุดมีลิมิตเปนศูนย เราไดวา lim S n มีคาเดียวกันเสมอ เรากลาววา f อินทิเกรตไดบนชวง [,] ab และเรียกn→∞ คาลิมิต lim S วา อินทิกรัลของ f บนชวง [ ab ,]n→∞nnnn

2301113 บทที่ 3 48จะสังเกตเห็นไดโดยงายวา Ln ≤Sn ≤Unเสมอไป ดังนั้น ถา lim Ln= limเรายอมไดวาlim L = lim S = lim Un→∞n n nn→∞ n→∞ n→∞n→∞แสดงวาถาฟงกชันใดอินทิเกรตไดแบบดารบู ฟงกชันนั้นก็อินทิเกรตไดแบบรีมันนดวยและ อินทิกรัลทั้งสองแบบมีคาเดียวกัน กลับกันก็เปนจริง คือ ถาฟงกชันใดอินทิเกรตไดแบบรีมันน ฟงกชันนั้นก็อินทิเกรตไดแบบดารบู แตเราเห็นความจริงขอนี้ไดไมงายเหมือนขอแรกอินทิกรัลทั้งสองแบบจึงสมมูลกันแบบฝกหัด 3.1221. กําหนดให fx () = x และ gx () = x + 1บนชวงตอไปนี้ จงคํานวณหาผลบวกบนและผลบวกลางของ f และ g บนชวงนั้น (ในนิยามของอินทิกรัลจํากัดเขตแบบดารบู)1.1. [0, c ] เมื่อ c > 01.2. [,0] c เมื่อ c < 01.3. [ cc , ]2. กําหนดใหc >x + 1− เมื่อ 0fx () =23x+ 1บนชวง [0,5]จงบอกสูตรผลบวกรีมันน เมื่อแบง [0,5] ออกเปน n ชวงเทาๆ กัน และใช t * i เปนจุดทางขวาสุดของแตละชวงยอย (ไมตองคํานวณคา)n2i3 23. ผลบวก ∑ (7 + (1 + ) )( ) เปนผลบวกรีมันนของฟงกชันใดบนชวงใด และผลบวกนี้i=1มีลิมิตเปนอินทิกรัลใด (ไมตองอินทิเกรต)nnการคํานวณหาคาอินทิกรัลจะทําไดงายขึ้นโดยการใชสูตรและกฎตางๆ เกี่ยวกับการอินทิเกรต ซึ่งจะไดกลาวถึงในรูปของทฤษฎีบทตางๆ การแถลงทฤษฎีบทตางๆ เหลานี้จะทําไดสะดวก และชัดเจนดีโดยการใชสัญลักษณ ดังนั้นเรามาทําความรูจัก และเขาใจสัญลักษณสําหรับอินทิกรัลกันเสียกอนbเราเขียนแสดงอินทิกรัลของฟงกชัน f บนชวง [ ab ,] ดวยสัญลักษณ ∫ ( )aUnfxdxเครื่องหมาย ∫ คือเครื่องหมายอินทิเกรต สัญลักษณขางบนหมายถึงคาที่ไดจากการอินทิเกรตฟงกชัน fx () บนชวงปดจาก a ถึง bเครื่องหมายอินทิเกรตนั้นไดมาจากการนําอักษรตัวหนาของคําวา SUM มาดัดแปลงโดยการยืดออกจนกลายเปนดังนี้

2301113 บทที่ 3 49Sในบางกรณีเราตองการระบุสูตรบอกคาฟงกชันไวในสัญลักษณของอินทิกรัล เชนตองการแสดง 2 2∫ {( xx , ) | 0 ≤x≤2}สัญลักษณสําหรับใชในการนี้คือ0∫22∫ xdx0บอกใหทราบวา x เปนตัวแปรคาของฟงกชันที่เราทําการอินทิเกรตในตัวอยางที่กลาวมานั้น สูตรบอกคาฟงกชันมีตัวแปรคา x ปรากฏอยูเพียงตัวเดียว เราจึงอาจไมเห็นความจําเปนของการที่ตองบอกวาอะไรเปนตัวแปรคาของฟงกชันที่เราทําการอินทิ2เกรต แตในอินทิกรัลตอไปนี้ ∫dt เปนสิ่งจําเปนba(1 + xy ) dxและcx∫ (1 + t ) dt เห็นไดวาสัญลักษณ dx กับเราเรียกตัวแปรคาของฟงกชันที่เราทําการอินทิเกรตวา ตัวแปรของการอินทิเกรตเราดูไดวาอะไรเปนตัวแปรของการอินทิเกรตไดโดยดูวาตัวแปรใดตามหลังตัว d เชนในb2อินทิกรัล ∫ (1 + xy ) dy ตัวแปรของการอินทิเกรตคือ yaเนื่องจากในการบอกสูตรของฟงกชันหนึ่งๆนั้นเราอาจใชตัวแปรไดตางๆ นานา เชน2{( xx , ) | 0 x 2}≤ ≤ กับ20{( tt , ) | 0 ≤t≤2}หมายถึงฟงกชันเดียวกัน (เพราะเปนเซตเดียวกัน) ดังนั้น 2 2∫ xdxกับ 2 2∫ tdt จึงหมายถึงอินทิกรัลเดียวกันบทนิยาม 3.3ถาฟงกชัน f อินทิเกรตไดบน [ ab ,] เรานิยามอินทิกรัลของ f จาก b ถึง a วาคือa∫ ∫bf ( x) dx = − f ( x)dxba00

2301113 บทที่ 3 50หมายเหตุบทนิยามนี้จะชวยใหเราสามารถนําอินทิกรัลไปประยุกตใชกับปริมาณที่ขึ้นอยูกับทิศทางไดดวย เราอาจใหความหมายของการอินทิเกรตในทิศทางกลับกันไดโดยการพิจารณาวา ในนิยามของอินทิกรัลจาก b ถึง a นั้น การแบงชวงเปนดังนี้ใหสังเกตวา ในที่นี้ x0b = x > x > x > … > x > x = a0 1 2 n−1= b และ xnผลตาง x1 −x0, x2 −x1, x3 −x2, , xn −xn− 1b ถึง a มีคาเปนลบของอินทิกรัลจาก a ไปยัง bn= a คา x ตางๆ เรียงจากมากไปนอย ดังนั้น… ลวนมีคาเปนลบ เปนผลใหอินทิกรัลจากทฤษฎีบท 3.11) ถาฟงกชัน f อินทิเกรตไดทั้งบนชวง [ ab ,] และ [, bc ] f ยอมอินทิเกรตไดบนac และไดดวยวา ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )[,]c b cfxdx fxdx fxdxa a b2) ถาฟงกชัน f อินทิเกรตไดทั้งบนชวง [ ac ,] และ b อยูระหวาง a กับ c แลว fยอมอินทิเกรตไดทั้งบน [ ab ,] และ [, bc ] และ สูตรขางบนก็เปนจริงดวยเชนกันหมายเหตุทฤษฎีบทที่ 3.1 กลาวถึงเฉพาะกรณีของการอินทิเกรตในทิศทางที่เปนบวก (คือจากซายไปขวา) แตเมื่อเราใชบทนิยาม 3.3 มาประกอบดวย เราจะไดวาสูตรในทฤษฎีบทนี้ก็คงเปนจริงสําหรับ a,b,c ใดๆ และเพื่อใหสูตรนี้ใชการไดดี เราจะกําหนดเปนนิยามเพิ่มเติมของการอินทิเกรตจาก a ถึง a วา ∫ fxdx= ( ) 0aaทฤษฎีบท 3.2ถา fg , เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [ ab ,] และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ยอมไดวาcf กับ f+ g ก็เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [,]b b bab และไดวา∫ ∫ ∫f ( x) + g( x) dx = f( x) dx + g( x)dxa a abb∫a∫cf ( x) dx = c f ( x)dxa

2301113 บทที่ 3 52เราไดวา2 1 22 2 2∫ ∫ ∫x − 3x + 2dx = x − 3x + 2dx + x − 3x + 2dx0 0 11 22 2∫ ∫= ( x − 3x + 2) dx + −( x − 3x + 2) dx0 13 2⎛1 3 ⎞ ⎛⎛2 3⋅2 ⎞ ⎛1 3 ⎞= − + 2 −⎜⎜2 2 2⎞⎟− + ⋅ − − + = 1⎝ ⎜3 2 ⎠ ⎟ ⎜⎟⎟3 2 ⎜⎝ ⎜⎟ ⎝⎜3 2 ⎠⎟⎝⎠⎠⎟แบบฝกหัด 3.2จงหาคาของอินทิกรัลตอไปนี้1.12∫ (3 x − x ) dx2.−12∫02(2x+ 1) dx3.1∫ ( y − 1)(3 y + 2) dy4.02∫1xdx5.7.4∫ ww ( − 1) dw6.132∫ | x − x + 2| dx8.−22∫−12−22| x − 3 x | dx∫ ydt เมื่อ y เปนคาคงตัว9.22∫ 3 ds10.s12∫0| x − 1| + |2x −1|dx

2301113 บทที่ 3 533.2 การประมาณคาของอินทิกรัลสูตรที่กลาวมาแลวในทฤษฎีบทตางๆ นั้นพอเพียงที่จะชวยใหเราคํานวณหาคาอินทิกรัลของฟงกชันพหุนามใดๆ สําหรับฟงกชันอื่นๆนั้น นิสิตจะไดเรียนรูสูตรสําหรับคํานวณคาอินทิกรัลที่แมนตรงของมันในโอกาสตอๆ ไป แตในที่นี้เราจะใชวิธีคํานวณคาประมาณของอินทิกรัลของมันโดยการประมาณฟงกชันเหลานั้นดวยฟงกชันพหุนามการประมาณฟงกชัน f ใดๆฟงกชันหนึ่งดวยฟงกชันพหุนามเพื่อนํามาประมาณอินทิกรัลบนชวง [ ab ,] นั้น เราทําไดดังนี้1) เลือกวาจะใชฟงกชันพหุนามดีกรีเทาใด เชนใชพหุนามดีกรีสอง ซึ่งอยูในรูปpx ( ) = c + cx+cx0 1 2…2) แบงชวง [ ab ,] ดวยจุดแบง x0, x1, , xn3) คํานวณคาของฟงกชัน f ที่จุดเหลานี้ สมมติวาy = fx ( ), y = fx ( ), y = fx ( ), …, y = fx ( )0 0 1 1 2 2จุด ( x0, y0), ( x1, y1), ( x2, y2), ( x3, y 3),… เปนจุดที่อยูบนกราฟของฟงกชันที่เราจะอินทิเกรตโดยการใชสามจุดแรก ( x0, y0), ( x1, y1), ( x2, y2)เราจะสามารถหาฟงกชันในรูป21( ) = 0 + 1 + 2 ที่กราฟของมันผานจุดทั้งสามไดฟงกชันหนึ่ง กราฟของฟงกชันp x c c x c xp นี้จะอยูใกลเคียงกับกราฟของฟงกชัน f ที่เราตองการอินทิเกรต เราจึงอาจประมาณฟงกชัน1f บนชวงยอย [ x0, x 2]ดวย p 1แลวทําในทํานองเดียวกันกับอีกสามจุด( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 3 ), ( x 4 , y 4 ) ซึ่งจะไดพหุนาม p 2ที่ประมาณ f ในชวง [ x2, x 4]และทําตอไปในทํานองเดียวกัน เราก็จะไดฟงกชันพหุนามตางๆที่ประมาณ f ในชวง [ x0, x2], [ x2, x4], [ x4, x 6],…ใหสังเกตวาการประมาณดวยพหุนามดีกรีสองนี้จะทําไดเต็มชวง [,] ab ก็ตอเมื่อ n เปนจํานวนคูเทานั้นแตถาเราประมาณ f โดยใชฟงกชันพหุนามดีกรีหนึ่ง px ( ) = c0 + cx 1 เราจะสามารถหาพหุนามเชนนี้ไดสําหรับแตละชวงยอย [ x0, x1], [ x1, x2], [ x2, x 3],…2 3หากเราจะประมาณ f โดยใชฟงกชันพหุนามดีกรีสาม px ( ) = c + cx+ cx + cx2nn0 1 2 3เราจะตองใชจุดถัดๆ กันคราวละ 4 จุด ในกรณีนี้ n ตองมีคาที่ 3 หารไดลงตัว

2301113 บทที่ 3 54ที่กลาวมานั้นเปนหลักการทั่วๆ ไป การประมาณที่นิยมใชกันไดแกการประมาณโดยใชฟงกชันพหุนามดีกรีหนึ่งหรือดีกรีสอง และใชการแบงชวงที่แบงออกเปน n ชวงเทาๆ กันสําหรับกรณีที่ใชพหุนามดีกรีหนึ่ง n อาจมีคาใดก็ได กรณีนี้สูตรที่ไดคือ เกณฑสี่เหลี่ยมคางหมู สําหรับกรณีที่ใชพหุนามดีกรีสอง n ตองมีคาเปนจํานวนคู กรณีนี้สูตรที่ไดคือ เกณฑของซิมปสัน3.2.1 การพิจารณาหาสูตรของเกณฑสี่เหลี่ยมคางหมูลําดับแรก เรามาพิจารณากันเสียกอนวาหากเราคํานวณอินทิกรัลของฟงกชันพหุนามดีกรีหนึ่ง px ( ) = c0 + cx 1 ที่ผานจุด ( x0, y 0)กับ ( x1, y1)บนชวง [ x0, x 1]วาจะไดคาเทาใด เราจะพบวาx1 x1 x1 x1∫ ∫ ∫ ∫p( x) dx = ( c + c x)dx = c dx + c x dx0 1 0 1x0 x0 x0 x0⎛⎜⎝2 2x1 − x0= c0( x1 − x0)+ c1⎜ ⎟1= ( y0 + y1 )( x1 −x0)2สังเกตวาคาอินทิกรัลที่ไดนี้เขียนไดในพจนของ y 0 , y 1 โดยเราไมตองหาคาของ c 0 กับ c 1ใหไดเสียกอนวาเปนเทาใดการเปนเชนนี้ ทําใหเราทราบไดวา อินทิกรัลของฟงกชันพหุนามดีกรีหนึ่งที่ผานจุด( x1, y1)กับ ( x2, y 2)บนชวง [ x1, x 2]นั้นจะมีคาเทาใด และในทํานองเดียวกันสําหรับชวงถัดๆ ไป นั่นคือ สําหรับ i = 2, 3, …,n จะไดxi∫xi−12⎞⎠⎟1px ( ) dx= ( yi−1 + yi)( xi −xi−1)2เมื่อทราบคาอินทิกรัลของฟงกชันพหุนามที่เราใชประมาณฟงกชัน f บนชวงตางๆ แลวลําดับตอไปเราก็นําคาอินทิกรัลเหลานี้มารวมกัน เปนคาประมาณของอินทิกรัลของ f ในกรณีของการประมาณดวยฟงกชันพหุนามดีกรีหนึ่ง เราจะไดวาb∫a1 1 1fxdx ( ) = ( y0 + y1) h+ ( y1 + y2) h+ + ( yn−1+ yn)h2 2 2= y + y + y + + y + y( 0 2 1 2 2 2 n−1n) 2hโดยที่b−ah =n

2301113 บทที่ 3 55ตัวอยาง 3.8จงแสดงการใชเกณฑสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณคา 1.2 ∫ 4dx โดยแบงชวงของการอินทิเกรตออกเปน 6 ชวงยอยx1 + x0วิธีทํา ในที่นี้เราจะอินทิเกรต fx ( ) = +4บนชวง [0,1.2] เราจึงแบงชวงนี้ออกเปน 6 ชวงยอยดวยจุดแบง1xx0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2ในการนี้ เราตองคํานวณหาคา f ที่จุดเหลานี้ซึ่งจะไดดังนี้fx ( )x1× 2×0.0 0.0000000000.2 0.1996805110.4 0.3900156000.6 0.5311614730.8 0.5675368891.0 0.5000000001.2 0.390421655รวม 0.390421655 2.188394473จึงไดคําตอบเทากับ0.2(0.390421655 + 2× 2.189394473) × = 0.47672106 2

2301113 บทที่ 3 563.2.2 การพิจารณาหาสูตรของเกณฑของซิมปสันในกรณีนี้ เราจะพิจารณากันเสียกอนวาหากเราคํานวณอินทิกรัลของฟงกชันพหุนาม2ดีกรีสอง px ( ) = c0 + cx 1 + cx 2 ที่ผานจุด( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ) กับ ( x2, y2)บนชวง x0 x 2วาจะไดคาเทาใด เราจะพบวาx2 x2∫x0 x02∫ ( 0 1 2 )pxdx ( ) = c + cx+cx dxc1 2 2 c23 3= c0( x2 − x0) + ( x2 − x0) + ( x2 −x0)2 3c12 2= c0(( x1 + h) −( x1 − h)) + (( x1 + h) −( x1−h) )2c23 3+ (( x1 + h) −( x1−h) )3c1 c23 2= 2 hc0 + (4 hx1) + (2h + 6 hx1)2 3h 2 2= ⎡6 c 0 + 6 c 1 x 1 + 6 c 2 x 1 + 2 h c ⎤23⎢⎣⎥⎦⎡2 2( c0 + c1(x1−h) c2( x1 h) ) 4( c0 c1x1 c2x1)⎤+ − + + +⎢2+ c0 + c1( x1 + h) + c2( x1+ h)⎥h=3⎢ ( )⎣⎥⎦h= ⎡43 ⎢ c + c x + c x + c + c x + c x + c + c x + c x⎣h= ( y 0 + 4 y 1 + y 2)32 2 2( 0 1 0 2 0) ( 0 1 1 2 1) ( 0 1 2 2 2)⎤[ , ]สังเกตวาคาอินทิกรัลที่ไดนี้เขียนไดในพจนของ y 0 , y 1 , y 2 โดยเราไมตองหาคาของc0,c1กับ c 2 ใหไดเสียกอนวาเปนเทาใด การเปนเชนนี้ ทําใหเราทราบไดวา อินทิกรัลของฟงกชันพหุนามดีกรีสองที่ผานจุด ( x2, y2),( x3, y3)กับ ( x4, y4)บนชวง [ x2, x4]นั้นจะมีคาเทาใด และ ในทํานองเดียวกันสําหรับสองชวงถัดๆ ไป เมื่อทราบคาอินทิกรัลของฟงกชันพหุนามที่เราใช ประมาณฟงกชัน f บนสองชวงถัดๆกันคูตางๆแลว ลําดับตอไปเราก็นําคาอินทิกรัลเหลานี้มารวมกัน เปนคาประมาณของอินทิกรัลของ fb∫aในกรณีของการประมาณดวยฟงกชันพหุนามดีกรีสอง เมื่อhb−an⎥⎦= เราจะไดวาh h hfxdx ( ) = ( y0 + 4y1 + y2) + ( y2 + 4y3 + y4) + + ( yn−2 + 4yn−1+ yn)3 3 3h= ( y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + + 4 yn−1+ yn) 3

2301113 บทที่ 3 57ตัวอยาง 3.9จงแสดงการใชเกณฑของซิมปสันประมาณคา 1.2 ∫ 4dx โดยแบงชวงของการอินทิเกรตออกเปน 6 ชวงยอยx1 + x0วิธีทํา ในที่นี้เราจะอินทิเกรตฟงกชันเดียวกันกับในตัวอยางกอน fx ( ) =4และ1 + xอินทิเกรตบนชวงเดียวกัน โดยแบงออกเปน 6 ชวงยอย เชนกัน จุดแบงจึงใชชุดเดิมและใชคาของ f ที่จุดเหลานี้ ซึ่งเราคํานวณไวแลว และไดดังนี้xfx ()x1× 4× 2×0.0 0.0000000000.2 0.1996805110.4 0.3900156000.6 0.5311614730.8 0.5675368891.0 0.5000000001.2 0.390421655รวม 0.390421655 1.230841984 0.957552489จึงไดคําตอบเทากับ0.2(0.390421655 + 4 × 1.230841984 + 2× 0.957552489) ×30.2= (7.228894569) × = 0.4819263043วิธีการคํานวณอินทิกรัลโดยการใชเกณฑสี่เหลี่ยมคางหมูหรือเกณฑของซิมปสันนั้นจะทําไดงายหาก เราโปรแกรมใหคอมพิวเตอรทํางานแทนเรา ปจจุบันนี้ เครื่องคิดเลขก็มีโปรแกรมคํานวณเชนนี้ไวใหใชการประมาณอินทิกรัลดวยวิธีเชิงตัวเลขตามที่กลาวมานี้ นอกจากจะสามารถใชในการประมาณอินทิกรัลของฟงกชันที่เราทราบสูตรบอกคาของมันแลว เรายังสามารถใชคํานวณอินทิกรัลของฟงกชันที่เราไดคาของมันมาในรูปตารางอีกดวย

2301113 บทที่ 3 58ตัวอยาง 3.10กําหนดใหวา f เปนฟงกชันที่มีคากําหนดไวในตารางตอไปนี้ จงประมาณคาอินทิกรัลของ fบนชวง [0,3] โดยใชเกณฑของซิมปสันx fx ()0.0 2.0150.5 2.7331.0 3.4171.5 5.0412.0 7.3182.5 4.3063.0 2.115วิธีทํา แบงคาของ f ออกเปนสามพวกตามตัวคูณ 1, 4, 2fx ( )x1× 4× 2×0.0 2.0150.5 2.7331.0 3.4171.5 5.0412.0 7.3182.5 4.3063.0 2.115รวม 4.130 12.080 10.735ผลคูณ(คูณดวยตัวคูณ)ดังนั้น คาอินทิกรัลของ f บนชวง [0,3]4.130 48.320 21.4700.5≈ (4.130+48.320+21.470) × = 12.32 3

2301113 บทที่ 3 59แบบฝกหัด 3.31. จงแสดงการใชเกณฑสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณคาอินทิเกรตออก เปน 8 ชวงยอย2. จงแสดงการใชเกณฑของซิมปสันประมาณคาอินทิเกรตออก เปน 8 ชวงยอย3. กําหนดใหวา f เปนฟงกชันที่มีคากําหนดไวในตารางตอไปนี้จงประมาณคาอินทิกรัลของ f บนชวง [0, 2.4] โดย2.42x∫ 3dx โดยแบงชวงของการ1 + x02.42x∫ 3dx โดยแบงชวงของการ1 + x0x fx ()0.0 1.1530.4 2.0370.8 2.5101.2 4.0321.6 6.7812.0 5.8362.4 2.911

2301113 บทที่ 3 603.3 การพิจารณาหาพื้นที่วงกลมโดยอินทิกรัลนิสิตไดเคยเรียนรูมาจากชั้นมัธยมศึกษาวาวงกลมที่มีรัศมี R นั้น มีพื้นที่ =ถาให R = 1 เราจะไดวาพื้นที่วงกลมรัศมีหนึ่งหนวย = πเราจะใชความจริงขอนี้เปนบทนิยามของ π ก็ไดและในที่นี้ เราจะทําเชนนั้นบทนิยาม 3.4π คือ พื้นที่วงกลมรัศมีหนึ่งหนวยบทนิยามดั้งเดิมของ π กลาววาπ =ความยาวเสนรอบวงของวงกลมความยาวเสนผานจุดศุนยกลาง2π Rแลวใชบทนิยามนี้พิสูจนไดสูตรสําหรับคํานวณหาพื้นที่และความยาวเสนรอบวงของวงกลมในที่นี้เรานิยาม π วาเปนพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหนวย ดังนั้นเราตองพิสูจนใหไดวาสูตรขางบนก็เปนจริง เราจะคอยทําในโอกาสตอไป ในที่นี้เราจะคํานวณคาโดยประมาณของมันจากบทนิยาม 3.1 เราสามารถคํานวณหาคา π ไดโดยการคํานวณหาพื้นที่วงกลมรัศมีหนึ่งหนวย ซึ่งทําไดโดยการอินทิเกรต เราเห็นไดวาπ1= 2 1/2(1 )4∫ −x dx0เราจะประมาณคาอินทิกรัลนี้ไดโดยใชเกณฑของซิมปสัน ( ใหนิสิตทําเปนแบบผึกหัด)โดยการใชบทนิยาม 3.1 และความหมายของอินทิกรัลวาเปนลิมิตของผลบวกรีมันน เราสามารถพิจารณาหาสูตรพื้นที่ของวงรี( ellipse ) ไดัดังนี้วงรีมีสมการเปนxa2 2y2+2= 1เราเขียนสมการของสวนที่อยูในจัตุภาคที่หนึ่งไดเปนb⎛ xy = b⎜1 −⎜⎝ a22⎞ ⎠⎟1/2จึงไดวา หนึ่งในสี่ของพื้นที่วงรีa⎛ x= ∫ b⎜1 −⎜⎝ a022⎞ ⎠⎟1/2dx

2301113 บทที่ 3 61เนื่องจากเราอาจพิจารณาอินทิกรัลนี้เปนลิมิตของผลบวกรีมันน*โดยการเลือก ti*21/2n ⎛ t ⎞ in = ∑−2i −⎜i−1i=1a⎟S b 1 ( x x )⎜⎝ ⎠ia= xi= จะไดวาn1/2n ⎛ 2( ia / n)⎞ ⎛ a ⎞Sn= b 1∑−2⎜i=1a⎜⎝n⎠⎟⎜⎝⎠⎟n1/22 ⎛1⎞ = ab∑( 1 −( i / n))⎜ ⎜⎝ n ⎠⎟i=1จะสังเกตเห็นไดวาผลบวกสุดทายนั้นแทจริงแลวก็คือผลบวกรีมันนของฟงกชันบนชวง [0,1] นั่นเอง จึงไดลิมิตของ S n เปน1n ∫2 1/2fx ( ) = (1 − x)2 1/2 ⎛lim S ab (1 x ) dx ab ⎜πn→∞⎝40⎞ = − = ⎠⎟เราจึงไดสูตรพื้นที่วงรีเปน π ab และในกรณีที่วงรีเปนวงกลมที่มีรัศมี R คือ a = b = Rเราไดสูตรพื้นที่วงกลมเปน2π R3.4 การประยุกตของอินทิกรัลตอไปนี้จะแสดงตัวอยางวิธีการนําอินทิกรัลไปประยุกตใชในเรื่องตางๆ ตอไปนี้1. แรงดึงดูดระหวางวัตถุ2. พี้นที่ที่ปดลอมไวโดยเสนโคง(หรือเสนตรง)3. ปริมาตรของรูปทรงตันที่ทราบพื้นที่หนาตัด4. งาน5. โมเมนตและเซนทรอยดในแตละเรื่องเหลานี้ เราจะแบงปริมาณที่เราจะคํานวณออกเปนสวนยอยๆ แลวคํานวณคาประมาณของปริมาณนั้นสําหรับแตละสวนยอยซึ่งเมื่อรวมเขาดวยกัน ก็จะเปนคาโดยประมาณของปริมาณดังกลาว เมื่อใหจํานวนสวนยอยมากขึ้นก็จะไดคาลิมิตเปนอินทิกรัล

2301113 บทที่ 3 623.4.1 การคํานวณแรงดึงดูดพิจารณาวัตถุสองชิ้น A กับ BCA B Cสมมติวา A เปนจุดมีมวล m BC เปนเสนตรงยาว L มีความหนาแนนสม่ําเสมอ และมีมวลรวมเทากับ M สมมติวาระยะ AB เทากับ D เราจะพิจารณาวา AB ประกอบดวยวัตถุชิ้นสั้นๆ หลายๆ ชิ้นตอกันเปนเสนตรง BC หรืออีกนัยหนึ่ง เราแบง BC ออกเปนชวงสั้นๆจํานวน n ชวง 0 = x0 < x1 < x2< … < xn= LABC0 = x 0x1x2…xn− 1xn= Lสมมติวามวลของชิ้นที่ i อยูที่จุด t * i ระหวาง xi− 1 , xiแรงดึงดูดระหวาง A กับชิ้นที่ iจึงเทากับเราจึงไดแรงดึงดูดรวมเปนGmM ( xi− x )L ( D + t )GmM( xi− x )/ L( D + t )i−1* 2iผลบวกนี้เปนผลบวกรีมันนของ fx ( ) =2i−1* 2i∑ โดยที่ในที่นี้ i = 1, . . . , n1( D + x)บนชวง [0, L ] จึงไดวาแรงดึงดูดรวม = ∫2LGmM 1dxL ( D + x)0

2301113 บทที่ 3 633.4.2 การคํานวณพื้นที่เราจะคํานวณหาพื้นที่ระหวางกราฟของ f กับ g ในรูปขวามือโดยการแบงชวง[,] abออกเปน n ชวงยอยๆ พื้นที่ระหวางกราฟของ f กับ g ก็จะถูกแบงเปนสวนยอยๆabfgรูปนี้แสดงสวนยอยที่ i ระหวาง xi− 1 กับ x i*ไวเพียงรูปเดียว ให t i อยูระหวาง xi−1 , xiจะไดวาอาณาบริเวณระหวางกราฟทั้งสองที่อยูในชวงนี้มีพื้นที่ประมาณ* *i − i i − i( ft ( ) gt ( ))( x x − )เมื่อรวมกันทั้ง n คาก็จะไดคาประมาณของพื้นที่ที่ตองการเราจะไดวาพื้นที่ระหวางกราฟของ f กับ g ในชวง [,]n∑i=1* *i − i i − i(( ft) gt ( ))( x x − 1)1aabมีคาประมาณเมื่อเราใหจํานวนชวงมากขึ้น ผลบวกนี้จะมีลิมิตเปนอินทิกรัลของ f − g บนชวง [ ab ,]ดังนั้น พื้นที่ระหวางกราฟของ f กับ g ในชวง [ , ] = ∫ ( ( ) − ( ))babab f x gx dxในบางกรณี อาณาบริเวณที่เราตองการคํานวณหาพื้นที่นั้นปดลอมอยูโดยกราฟของความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชัน ในกรณีเชนนี้เราตองพิจารณาแบงอาณาบริเวณนั้นออกเปนสวนตางๆที่เปนอยางใดอยางหนึ่งดังตอไปนี้ก) อยูระหวางกราฟของ y = f( x)กับ y = g( x)ข) อยูระหวางกราฟของ x = h()y กับ x = k()yแลวคํานวณหาพื้นที่ของสวนตางๆ รวมกันเปนพื้นที่ที่ตองการfg

2301113 บทที่ 3 643.4.3 การคํานวณหาปริมาตรในการคํานวณปริมาตรรูปทรงตัน เชนที่เห็นอยูทางขวามือ เรากําหนดแกนขึ้นเสนหนึ่งไวใชอางอิง สมมติวาเมื่อเราฉายภาพรูปนี้ลงบนแกน แลวไดวาไดเปนชวง [ ab ,]เราแบงรูปที่ตองการคํานวณหาปริมาตรออกเปนสวนยอยๆ โดยการแบงดวยระนาบตั้งฉากกับแกน ระนาบนี้ยอมตัดแกนที่จุดตางๆระหวาง a กับ b ทําabใหเกิดการแบง [ ab ,] ดวยจุดแบงa = x < x < … < x = b0 1 nในรูปนี้ เราแสดงสวยยอยๆไวเพียงสวนเดียวซึ่งจะถือวา คือ [ xi1, xi]−abเราจะคํานวณหาปริมาตรของสวนยอยสวนนี้ในที่นี้จะสมมติวาเราทราบพื้นที่ภาคตัดขวางของรูปที่จุด x ใดๆ บนแกนวาเทากับ A(x)ดังนั้นเราประมาณปริมาตรของสวนยอย*ที่ i นี้ไดดวย ( )( − )At x x −i i iโดยที่ในนี้ t * i เปนจุดๆหนึ่งระหวาง xi− 1กับx iดังนั้นปริมาตรรวมมีคาประมาณn∑i=1*i i − iAt ( )( x x − 1)1เมื่อใชการแบงที่จํานวนชวงยอยมากขึ้น ผลบวกนี้ยอมเขาสูลิมิตที่เปนคาที่แมนตรงของbปริมาตรของรูป คือ ( )a= ∫ Axdxab

2301113 บทที่ 3 653.4.4 การคํานวณหางานนิสิตคงเคยไดเรียนมาแลววาในการออกแรงยายวัตถุไปในแนวเสนตรงดวยแรงที่คงที่นั้นจะคํานวณหางานไดดวยสูตรงาน = แรง × ระยะทางสูตรนี้ใชไดเฉพาะกรณีที่แรงที่ใชในการเคลื่อนยายวัตถุนั้นมีคาคงที่โดยตลอดแตในกรณีที่แรงที่ใชไมคงที่ เราใชสูตรขางบนนี้ไมได เชน ในการออกแรงดึงสปริงในการดึงปลายขางหนึ่งของสปริงใหยืดออกโดยปลายอีกขางหนึ่งถูกตรึงไวใหอยูกับที่นั้น แรงที่ตองใชจะไมคงที่ สปริงที่ยิ่งยืดออก ยิ่งตองใชแรงมากในการดึงไวใหอยูที่ความยาวนั้นๆ เชนถาจะดึงสปริงจากรูป (a) ใหอยูในรูป (b) ก็ใชแรงระดับหนึ่ง แตถาจะดึงใหอยูในรูป (c ) ก็ตองออกแรงมากกวา(a) (b) (c)กฎของฮุค (Hook's law) กลาววาแรงที่ใชในการยืดสปริง เปนปฏิภาคกับความยาวของสวนที่ยืดออกของสปริงถา Fx ( ) เปนแรงที่ทําใหสปริงยืดออก x หนวยจะไดวาFx ( ) = kxโดยที่ k เปนคาคงตัวที่ขึ้นอยูกับสปริงที่ใชสปริงตางๆกันก็อาจมีคา k ตางๆกันในการคํานวณหางานที่เกิดจากการดึงสปริงใหยืดออก D หนวย เราทําไดโดยการแบงระยะจาก 0 ถึง D ออกเปนสวนยอยๆ ดวยจุดแบง= x < x < < x = D0 0 1 … nแลวพิจารณาประมาณงานที่เกิดจากการยืดสปริงในแตละสวนยอย แลวนํางานที่ไดเหลานี้รวมกันเปนงานที่เกิดจากการยืดสปริง D หนวย ตอไปนี้จะพิจารณาประมาณงานที่เกิดจากการยืดสปริงจากที่ยืดอยูแลว xi− 1 ไปเปน x iเนื่องจากการยืดสปริงออกไป x หนวยตองออกแรงเทากับ Fx () การยืดสปริงออกไป*x จึงตองออกแรงระหวาง Fx ( i − 1)กับ Fx ( i ) ดังนั้น = Ft ( i ) โดยที่ t * i เปนx จึงไดวาจาก xi− 1 ถึง iคาระหวาง xi− 1 กับ i

2301113 บทที่ 3 66*งานในการยืดสปริงออกไปจากxi− 1ถึงx i จึง= Ft ( i )( xi − xi− )*ดังนั้น งานรวม ∑n= Ft ( )( x −x − )i=11i i iเมื่อใชจํานวนชวงยอยใหมากขึ้น ผลบวกนี้ยอมมีลิมิตเปนคาที่แมนตรงของงาน แตคาลิมิตนี้ก็คืออินทิกรัล เราจึงไดวางานในการยืดสปริง D หนวย= ∫ Fxdx ( )ในสูตรที่ไดมานั้น เมื่อเราแทน Fx ( ) ดวย kx แลวอินทิเกรต ก็จะไดคําตอบเปนงาน =มีการคํานวณหางานอีกรูปแบบหนึ่งที่แตกตางไปจากเรื่องสปริง แตก็ตองมีการแบงงานที่จะคํานวณออกเปนสวนยอยๆ ประมาณงานแตละสวนยอย แลวคํานวณหาผลรวมเปนคาประมาณของงานรวม ซึ่งเมื่อพิจารณาหาลิมิตก็จะไดคาลิมิตเปนคาที่แมนตรงของงานที่เราตองการคํานวณเชนกันเราจะพิจารณาวิธีการคํานวณแบบดังกลาวจากตัวอยางตอไปนี้ถังน้ํารูปครึ่งทรงกลมมีรัศมี R อยูในลักษณะหงาย มีน้ําเต็ม ตองการสูบน้ําขึ้นไปใชที่ระดับสูงกวาปากถัง H ถาตองใชน้ําทั้งหมดที่มีอยูในถัง จะตองทํางานทั้งหมดเทาใด?kD22D01HRเราแบงน้ําในถังเปนชั้นบางๆ แลวประมาณงานในการยก(สูบ) น้ําแตละชั้นขึ้นไปที่ระดับที่สูงกวาปากถัง H แรงที่ใชในการยกชั้นตางๆ ก็คือน้ําหนักของน้ําในชั้นนั้นๆ ระยะทางก็คือระยะจากชั้นนั้นไปถึงระดับสวนสูง H จากปากถังHRในการคํานวณแรงที่ใช เราตองคํานวณน้ําหนักของน้ําในแตละชั้นวาหนักเทาใด ซึ่งทําไดโดยการหาวาน้ําชั้นตางๆ นั้นมีปริมาตรเทาใด

2301113 บทที่ 3 67เพื่อความสะดวกในการคํานวณ เราจะตั้งแกนพิกัดผานจุดศูนยกลางของครึ่งทรงกลมตั้งฉากกับชั้นตางๆของน้ําและใชจุดศูนยกลางของครึ่งทรงกลมเปน originHจะเห็นไดวา ชั้นตางๆ ของน้ําอยูในชวง [0, R ] ถือไดวาชั้นตางๆ เหลานี้เกิดจากการแบงชวงนี้ออกเปนชวงยอยๆR= x < x < … < x = R0 0 1n*i*ปริมาตรของชั้นที่ i ซึ่งอยูในชวง [ xi− 1, xi]มีคาประมาณAt ( ) เปนพื้นที่ภาคตัดของครึ่งทรงกลมที่ระยะ * i− โดยที่At ( i )( xi xi− 1)t ซึ่งอยูระหวาง xi− 1 กับ x i2 *2ในที่นี้ พื้นที่ภาคตัดเปนวงกลมที่มีรัศมี R − t i* 2 *2จึงไดวาพื้นที่ At = π R − t( ) ( )iตอไป เราจะพิจารณาวาจะตองยกน้ําชั้นที่ i ขึ้นไปเปนระยะทางเทาใดiHRคากลางๆของระยะทางจากชั้นที่ i ไปถึงปากถังก็คือ t * i ดังนั้นระยะจากชั้นที่ i ถึงระดับที่สูง H*จากปากถังก็คือ H + t i จึงไดวางานในการยกชั้น* *ที่ i ขึ้นไปก็คือ ( H + ti ) ρAt ( i )( xi − xi− 1)โดยที่ ρ คือน้ําหนักของน้ําตอหนึ่งหนวยปริมาตรเมื่อรวมคาประมาณของงานทั้งหมดเขาดวยกันจะไดวาn* *งานรวม = ∑ ( H + ti ) ρAt ( i )( xi −xi− 1)ซึ่งมีลิมิตเปนi=1R∫= ( H + x) ρA( x)dxเมื่อแทนคา A(x) แลวอินทิเกรต จะไดคาที่แมนตรงของงานที่เราตองการคํานวณเทากับR∫(ใหนิสิตทําตอเปนแบบฝกหัด)02 2( H + x) ρπ( R − x ) dx = …0

2301113 บทที่ 3 68ในกรณีทั่วๆไป การคํานวณหางานที่ใชในการสูบน้ําหรือของเหลวอื่นๆ ก็จะทําไดในทํานองเดียวกัน คือจะไดเปนสูตรbงาน = ( H + x) ρA( x)dx∫aโดยที่ H เปนระยะทางเหนือ origin ขึ้นไป A(x) เปนพื้นที่หนาตัดของภาชนะที่ระดับ x ใต origin ลงมา aเปนระดับผิวน้ําเมื่อเริ่มตน b เปนระดับผิวน้ําเมื่อสูบเสร็จabO3.4.5 การคํานวณหาโมเมนตและเซนทรอยดนิสิตไดเคยเรียนรูเรื่องโมเมนตมาแลว และคงไดเคยคํานวณหาโมเมนตมาบางแลวในกรณีที่มวลที่เราจะหาโมเมนตมีขนาดเล็กจนถือไดวาเปนจุด โมเมนตของมันเทียบกับเสนใดๆก็คือผลคูณของมวลนั้นกับระยะจากจุดนั้นถึงเสน การหาโมเมนตของมวลที่มีขนาดใหญก็ทําไดโดยการพิจารณาวาประกอบขึ้นดวยมวลขนาดเล็กหลายๆ ชิ้น จึงทําไดโดยการอินทิเกรตจะขอเริ่มดวยตัวอยางการคํานวณหาโมเมตของเสนลวดตรงซึ่งวางอยูในตําแหนงดังแสดงในรูปขวามือสมมติวาเสนลวดนี้มีปลายทั้งสองอยูที่ (a,c) กับ(b,c) จึงมีความยาว L= b - a ในที่นี้จะถือวาลวดนี้มีแตความยาว ไมมีความกวางหรือความหนา และจะสมมติวาลวดนี้มีมวล ρ หนวยตอหนวยความยาวcabเราแบงเสนลวดเปนทอนสั้นๆ ตามจุดแบงทอนที่ i มีมวล ρ xi− xi− 1a = x < x < … < x = b( )0 1 nxi− 1x iโมเมนตเทียบกับแกนทั้งสองของทอนที่ i มีคาดังนี้a*t ibเทียบกับแกน = ρ i − i 1x c ( x x − )เทียบกับแกน*y = ti ρ( xi − xi− )1

2301113 บทที่ 3 69เมื่อหาผลรวม และหาลิมิตของผลรวม จะสรุป ไดวา โมเมนตของเสนลวดมีคาดังนี้เทียบกับแกนเทียบกับแกนb∫x = cρ dx = ρLcab( a + b)y = ∫ x ρ dx = ρL2aมีคาเทากับมวล ( ρL)คูณกับระยะจากจุดกึ่งกลางถึงแกนมีคาเทากับมวล ( ρ L)คูณกับระยะจากแกน Xจากที่กลาวมา เห็นไดวาโมเมนตของวัตถุที่มีลักษณะเปนทอนตรงเทียบกับแกนที่ขนานกับวัตถุนั้น เทากับผลคูณของมวลของวัตถุกับระยะจากวัตถุถึงแกน โมเมนตของวัตถุที่มีลักษณะเปนทอนตรงเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับวัตถุนั้น เทากับผลคูณของมวลของวัตถุกับระยะจากจุดกึ่งกลางวัตถุถึงแกนลําดับตอไป เราจะพิจารณาหาโมเมนตของวัตถุที่มี ความกวางและความยาว แตไมมีความหนาเชน แผนบางๆที่ถูกปดลอมอยูระหวางกราฟของy = f()x กับ y = g( x)ในชวงปด [ ab ,] ดังแสดงในรูปขวามือเราแบงวัตถุเปนแถบผอมๆ ตามแนวดิ่ง (ในที่นี้แสดงไวเพียงแถบเดียว) เมื่อใหจํานวนแถบมากขึ้นแตละแถบก็เปรียบไดกับเสนลวด เราจึงประมาณโมเมนตของแตละแถบไดโดยอาศัยความรูที่กลาวมาขางตนลําดับแรกเราจะหาโมเมนตเทียบกับแกน xbสมมติให ρ เปนมวลตอหนวยพี้นที่ของวัตถุ เราจะไดวามวลของแถบที่ i มีคาประมาณ* *i i i iρ( ft ( ) −gt ( ))( x − x − )ระยะจากจุดกึ่งกลางของแถบนี้ไปยังแกน x คือซึ่งเมื่อคูณกันก็จะไดโมเมนตของแถบดังกลาว2คาโมเมนตที่ตองการก็คือลิมิตของผลบวกเหลานี้จึงไดวา1* *i + gti(( ft) ( ))21= ρ(( ft) −gt ( ))( x −x − )aa*t i* 2 * 2i i i i1bfgfg

2301113 บทที่ 3 702 2M = โมเมนตเทียบกับแกน x = ρ −xการหาโมเมนตเทียบกับแกน y เราก็คงใชการแบงวัตถุออกเปนแถบเชนเดียวกัน การประมาณมวลของแถบก็เหมือนเดิม ตางกันก็เฉพาะระยะจากแถบถึงแกน ในกรณีนี้เราตองใช ระยะจากแถบถึงแกน yซึ่งก็คือ t * i จึงไดวาโมเมนตของแถบที่ i* * *i i i i i= t ρ(( f t ) −g( t ))( x − x − )โดยการหาลิมิตของผลบวก เราจะไดวา1b1(() fx gx ()) dx2 ∫aa*t ibM y = โมเมนตเทียบกับแกน y =ρ∫xfx (() − ())bagx dxเราเรียกจุดที่เสมือนวามวลของวัตถุทั้งชิ้นรวมกันอยูที่นั่นวา เซนทรอยด (centroid)ถา ( xy , ) เปนเซนทรอยดของวัตถุที่มีมวล m และมีโมเมนตเทียบกับแกน x และแกน y เปนM และ M ตามลําดับ เราจะไดวาxymx M xซึ่งจากสมการทั้งสองนี้ เราจะหาเซนทรอยดไดyx= และ my = Myแบบฝกหัด 3.421. จงหาพื้นที่ระหวางเสนโคง = 2 และ y = x บนชวง [0,3]x22. จงเขียนอินทิกรัลแทนพื้นที่ระหวาง fx ( ) = e และ gx ( ) =−( x− 1) แลวประมาณคาอินทิกรัลดวยเกณฑของซิมปสัน โดยแบงเปน 8 ชวงเทาๆ กัน3. จงหาปริมาตรของพีรามิดตรงที่มีความสูงตรง h หนวย และมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีดานยาว d หนวย4. จงหาปริมาตรของพีรามิดตรงที่มีความสูงตรง h หนวย และมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาขนาด d× k ตารางหนวย5. ตัดทรงกลมรัศมี R ดวยระนาบตั้งฉากกับรัศมีสองครั้งซึ่งหางจากจุดศูนยกลาง M และN ตามลําดับ โดยที่ 0 ≤M ≤N ≤ R ทําใหวงกลมถูกแบงเปน 3 สวน จงเขียนอินทิกรัลแทนปริมาตรสวนของทรงกลมดังกลาวแตละสวน และหาคานั้น6. ลวดสปริงอยูในตําแหนงสมดุลมีความยาวธรรมชาติ 9 นิ้ว ถาใชน้ําหนัก 3 ปอนต ลวดสปริงจะยืดออก 3 นิ้ว งานที่เกิดจากการทําใหลวดสปริงมีความยาวเปน 1.5 ฟุต มีคาเปนกี่ฟุต-ปอนด

2301113 บทที่ 3 713.5 การอินทิเกรตได (Integrability)นิสิตไดคุนเคยกับการนําอินทิกรัลไปประยุกตใชกับการคํานวณหาปริมาณตางๆมาแลวพอสมควร และคงสังเกตเห็นวา ที่เราสามารถนําอินทิกรัลไปประยุกตใชไดนั้น เปนเพราะปริมาณที่เราตองการคํานวณลวนเปนลิมิตของผลบวกรีมันนของฟงกชัน f ฟงกชันหนึ่งบนชวงปดชวงหนึ่ง เราทราบวาถา f เปนฟงกชันที่อินทิเกรตได ผลบวกรีมันนของมัน ยอมมีลิมิตเปนอินทิกรัลบนชวงดังกลาว เราทราบไดอยางไรวาฟงกชันนั้นอินทิเกรตได? !เทาที่นิสิตไดเรียนมาแลว การตรวจสอบวาฟงกชันใดฟงกชันหนึ่งอินทิเกรตไดหรือไมนั้นมีอยูสองวิธี1) อินทิกรัลลางกับอินทิกรัลบนเทากันหรือไม2) ทุกผลบวกรีมันนมีลิมิตเดียวกันหรือไมทั้งสองวิธีนี้เปนวิธีที่ทําไดยาก ไมเหมาะกับการใชงานทฤษฎีบทตอไปนี้จะชวยใหเราพิจารณาปญหาเกี่ยวกับการอินทิเกรตได ไดงายขึ้นทฤษฎีบท 3.4ถา f เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบนชวง [ ab ,] แลว f ยอมเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบน [,] abทฤษฎีบท 3.5ถา f เปนฟงกชันที่มีขอบเขตในชวง [ ab ,] และมีจุดใน [,] ab ที่ f ไมตอเนื่องเพียงจํานวนจํากัดแลว f ยอมเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบน [,] abทฤษฎีบททั้งสองนี้เปนเพียงเงื่อนไขพอเพียงของการอินทิเกรตได แตไมจําเปนวาฟงกชันที่อินทิเกรตไดทุกฟงกชันจะตองเปนไปตามเงื่อนไขในทฤษฎีบท ฟงกชันที่ไมตอเนื่องที่จุดตางๆ ในชวง [ ab ,] เปนจํานวนอนันตแตอินทิเกรตไดบน [ ab ,] ไดก็มี ฟงกชันที่เราไดนํามาอินทิเกรตกันแลวนั้นลวนเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดทั้งสิ้น จากทฤษฎีบททั้งสองบทที่กลาวมานั้น จะเห็นวาฟงกชันที่อินทิเกรตไมไดนั้น ตองมีจุดที่ไมตอเนื่องเปนจํานวนอนันต เราจะเขียนกราฟดูไมได !ตัวอยาง 3.11ให f เปนฟงกชันซึ่งมีคา⎧⎪ 0,fx ( ) = ⎪⎨ ⎪⎪⎩ 1,เมื่อ x เปนจํานวนตรรกยะเมื่อ x เปนจํานวนอตรรกยะ

2301113 บทที่ 3 72จงคํานวณหา อินทิกรัลลาง กับ อินทิกรัลบนของ f บนชวง [0,1] และพิจารณาวา f อินทิเกรตไดบนชวง [0,1] หรือไมวิธีทํา (แสดงในหองเรียน ไดผลการพิจารณา f อินทิเกรตบนชวง [0,1] ไมได)3.6 บทนิยามที่รัดกุมของความตอเนื่องความคิดเรื่องความตอเนื่องที่กลาวมาแลวในบทที่ 2 นั้น เปนเพียงความคิดคราวๆ ที่อธิบายดวยกราฟ ซึ่งไมอาจจะนํามาใชในการพิจารณาความตอเนื่องของฟงกชันที่เราเขียนกราฟไมได เชนฟงกชันในตัวอยาง 3.11 ดังนั้น ตอไปนี้เราจะทําความเขาใจกับบทนิยามของความตอเนื่องที่กลาวไวอยางรัดกุม และใชไดกับฟงกชันโดยทั่วไปเพื่อใหเขาใจบทนิยามที่รัดกุมของความตอเนื่องไดงายขึ้น เราจะพิจารณาคุณสมบัติบางประการของฟงกชันตอเนื่องกันเสียกอนให f เปนฟงกชันใดๆที่มีคากําหนดไวที่ทุกๆ จุดในชวงเปด (a,b) ให c เปนจุดหนึ่งในชวงนี้ เราจะพิจารณาดูคาของE(x) = | f(x) - f(c) |สําหรับคาตางๆของ x ที่อยูใกลๆ c เราจะวัดความใกล c ของ x ดวยD(x) = | x - c |ถา f มีความตอเนื่องที่ c เราจะสามารถทําให Ex ( ) มีคานอยเทาใดก็ไดโดยการกําหนดให x อยูใกล c ใหพอ กลาวคือ ไมวาใครจะตองการให Ex ( ) มีคานอยกวาจํานวนบวก e ใดๆ ที่เขากําหนดใหมา เราจะสามารถตีกรอบคา x โดยการหาจํานวนบวก d มาสักจํานวนหนึ่งที่ทําใหทุกๆ x ในกรอบ Dx () < d ลวนเปน x ที่ Ex () < eตัวอยางเชน fx ( ) = 2x+ 7 เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องที่ทุกๆ จุด เราจะ ใชคาใดๆ เปนคา c ที่กลาวมาขางตนก็ได เพื่อใหชัดเจน จะขอกําหนดให c = 3 เมื่อคํานวณคาEx () จะไดวาEx ( ) = | fx ( ) −f(3)|= |(2x+ 7) −(2⋅ 3+7)|= 2| x −3|สําหรับกรณีตัวอยาง fx ( ) 2x7= + กับ 3Ex ( ) 2| x 3|c = เราได= − และ Dx ( ) = | x−3|จะเห็นไดวาไมวาใครจะใหจํานวนบวก e ใดๆ มา และตองการใหเรากําหนดกรอบคาD(x) ในรูป Dx () < d ที่ทําให Ex () < eสําหรับทุกๆ x ที่ Dx () < d เราจะทําไดโดย

2301113 บทที่ 3 73กําหนดให d มีคาไมเกินครึ่งหนึ่งของคา e ที่ใหมา เชนถาเขากําหนด e = 5 เราก็อาจใชd = 2 ก็ได เพราะ Dx ( ) < 2 ก็คือ | x − 3| < 2 ซึ่งจะได 2| x − 3| < 4 ซึ่งทําใหไดดวยวา Ex ( ) = 2| x− 3| < 4 < 5คา d ที่เราเลือกมากําหนดกรอบ Dx ()e = 5 นั้น เราจะใช d = 2.5 ก็ได< d นั้น อาจเลือกไดตางๆ นานา สําหรับเพื่อใหเห็นจริงวาไมวาใครจะกําหนดจํานวนบวก e ใดๆให เราจะเลือกจํานวนบวก d ที่ทําให Ex () < eสําหรับทุกๆ x ที่ Dx () < d เสมอไป เราทําไดโดยใหคา d โดยบอกเปนeสูตรที่ เขียนในพจนของ e เชนเลือก d = เปนตน2แตทั้งนี้เราตองใหเหตุผลสนับสนุนใหไดวาการเลือกคา d ตามสูตรที่ใหนั้นใชการไดเสมอeสําหรับกรณีตัวอยางนี้ เราใหเหตุผลสนับสนุนการเลือกคา d = ดังนี้ให x เปนจํานวนใดๆซึ่ง Dx ( )e2e< d ดังนั้น | x − 3| < แต Ex () 2| x 3|2ยอมไดวา Ex () < 2 ⋅ = e นั่นคือ เราไดวา Ex () < eสําหรับทุกๆ x ซึ่ง Dx ()ตองการ Ex ()eคําถาม: ไดสูตร d = มาอยางไร?2คําตอบ: ไดมาจากการวิเคราะห ซึ่งมีดังนี้< eแต2= − จึงEx ( ) = | (2x + 7) − ((2)(3) + 7) | = | 2 x− (2)(3) | = 2 | x−3 |< dจึงตองการ 2| x − 3| < e ซึ่งสมมูลกับ | x − 3| < เห็นไดวา ถา | x − 3| < ก็จะได Ex ( ) = 2| x− 3| < e ตามที่ตองการจากกรณีตัวอยาง เห็นไดวา สําหรับฟงกชัน f ที่มีความตอเนื่องที่จุด c นั้น ขอความตอไปนี้เปนจริงสําหรับจํานวนบวก e ใดๆ ยอมมีจํานวนบวก d ซึ่ง |() fx − fc ()| < eสําหรับทุก ๆx ซึ่ง | x − c | < dและ สําหรับ f ที่ไมตอเนื่องที่ c เราจะพบวาขอความนี้ไมเปนจริง ขอความนี้จึงเปนลักษณะเฉพาะ ของฟงกชันที่มีความตอเนื่องที่จุด c ใดๆ เราจึงอาจใชขอความนี้เปนบทนิยามของความตอเนื่องe2e2

2301113 บทที่ 3 74ในการเขียนบทนิยามของความตอเนื่องที่ทํากันเราไมนิยมใชสัญลักษณ e กับ d เปนตัวแปร ตัวแปรที่นิยมใชกันโดยทั่วไปคือ ε กับ δ ซึ่งเปนอักษรกรีกในลําดับเดียวกันกับ e กับ dอาน ε วา เอปไซลอน (epsilon)อาน δ วา เดลตา (delta)บทนิยามของความตอเนื่อง และลิมิตจึงเปนดังตอไปนี้บทนิยาม 3.5เรากลาววา f มีความตอเนื่องที่ c ก็ตอเมื่อ สําหรับแตละ ε>0 มี δ>0 ซึ่งทําให| fx ( ) fc ( )|− < ε สําหรับทุกๆ x ซึ่ง | x c |− 0 มี δ>0 ซึ่งทําให | fx ( ) − L|