Capitolo III â Ellisse
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2) Siano dati gli assi (in rosso in fig. 11). Si disegna la circonferenza, poi si prende laparallela all’asse maggiore e poi le due rette verticali. Così si ottengono i puntievidenziati in fig. 11 che sono i fuochi. (Per verificarlo controllare che per i verticisull’asse minore la somma delle distanze dai fuochi sia pari all’asse maggiore).fig. 11Esercizio. Per concludere vediamo una divertente proprietà meccanica dell’ellisselegata alla costruzione con riga e compasso fatta prima. Mentre il punto P si muovesull’ellisse la circonferenza di centro P che passa per un fuoco è tangente allacirconferenza centrata nell’altro fuoco.fig. 12*§6. Equazione cartesiana. A titolo di complemento osserviamo che l'equazionex 2 y 2p 2 +q 2 = 1(con p > q > 0) è l'equazione dell'ellisse che ha asse maggiore 2p e asse minore 2qdisposti come gli assi coordinati. I fuochi sarannoF = p 2 − q 2 , F' = − p 2 − q 200§7. Equazione parametrica. L'equazione parametrica della stessa ellisse è⎧x = p cost⎨⎩ y = q sin tCiò significa che al variare di t il punto (p cos t, q sin t) si muove sull'ellisse (fig.13).
fig.13§8 Costruzione di un ellisse con riga e compassoPer disegnare l'ellisse di equazionex 2 y 2p 2 +q 2 = 1con p > q > 0 si può procedere come segue:Si tracciano due rette perpendicolari (gli assi coordinati) e due circonferenze C e C'di centro l'origine e raggi q e p rispettivamente. Presa una qualunque semirettauscente dall'origine questa interseca ciascuna delle due circonferenze in un punto,diciamo R ed S. Per R, che sta sulla circonfernza più piccola, mandiamo la rettaorrizzontale e per S, che sta sulla circonferenza maggiore, mandiamo la verticale.Queste due rette si intersecano in un punto P dell'ellisse.fig. 14Giustifichiamo questa costruzione. (Segui guardando fig. 15) Il puntoQ = (cos t, sin t) sta sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine. Il puntoR = (q cos t, q sin t) sta sulla circonferenza concentrica a questa ma di raggio q e ilpuinto S = (p cost, p sin t) sta sulla circonferenza concentrica ma di raggio p. I trepunti stanno sulla stessa semiretta uscente dall'origine.Mandiamo per S la verticale e per R l'orrizzontale. Le due rette si incontrano nel puntoP = (p cos t, q sin t)(infatti P deve avere la stessa ascissa di S e la stessa ordinata di R) e quindi stasull'ellisse
- Page 2 and 3: fig. 2Conviene ora guardare la fig.
- Page 4 and 5: fig. 6*Dimostrazione. Per verificar
- Page 8 and 9: fig. 15*Esercizio. Utilizzare quest
2) Siano dati gli assi (in rosso in fig. 11). Si disegna la circonferenza, poi si prende laparallela all’asse maggiore e poi le due rette verticali. Così si ottengono i puntievidenziati in fig. 11 che sono i fuochi. (Per verificarlo controllare che per i verticisull’asse minore la somma delle distanze dai fuochi sia pari all’asse maggiore).fig. 11Esercizio. Per concludere vediamo una divertente proprietà meccanica dell’ellisselegata alla costruzione con riga e compasso fatta prima. Mentre il punto P si muovesull’ellisse la circonferenza di centro P che passa per un fuoco è tangente allacirconferenza centrata nell’altro fuoco.fig. 12*§6. Equazione cartesiana. A titolo di complemento osserviamo che l'equazionex 2 y 2p 2 +q 2 = 1(con p > q > 0) è l'equazione dell'ellisse che ha asse maggiore 2p e asse minore 2qdisposti come gli assi coordinati. I fuochi sarannoF = p 2 − q 2 , F' = − p 2 − q 200§7. Equazione parametrica. L'equazione parametrica della stessa ellisse è⎧x = p cost⎨⎩ y = q sin tCiò significa che al variare di t il punto (p cos t, q sin t) si muove sull'ellisse (fig.13).
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