Capitolo III – Ellisse

fig. 2Conviene ora guardare la fig. 3. Preso un qualunque punto P sull’ellisse consideriamola generatrice r che passa per P. Essa interseca le due circonferenze C e C’ nei punti Qe Q’. Si osservi che la lunghezza |QQ’| del segmento QQ’ non dipende da P, infattiesso è il segmento di generatrice che unisce le due circonferenze che stanno su pianiparalleli (e perpendicolari all’asse) con centri che sono sull’asse del cono.fig. 3*Si osservi anche che tutte le generatrici uscenti dal vertice V sono tangenti alla sfera Snei punti della circonferenze C, i cui punti sono equidistanti da V (fig. 4).fig. 4*Questo è un fatto generale: se prendo un punto R esterno ad una sfera e mando perquel punto le tangenti alla sfera, allora – per evidenti ragioni di simmetria - i punti ditangenza sono disposti su una circonferenza e sono equidistanti dal punto R.In particolare, mandando da P le tangenti alla sfera S ottengo che|PQ| = |PF|e mandando le tangenti alla sfera S’

|PQ’| = |PF’|.Ma allora|PF| + |PF’| = |PQ| + |PQ’| = |QQ’|è una costante che non dipende da P.Osservazione. Può accadere che i due fuochi coincidano, ciò avviene quando il pianoπ è orrizzontale e dunque la conica è una circonferenza.Esercizio. Fare un disegno analogo alle figure 1 e 2 nel caso in cui il piano π siaorrizzontale ed evidenziare i fuochi (che coincidono con il centro della circonferenza).Il Teorema caratterizza l’ellisse con prorpietà della geometria piana e consente diapprofondire lo studio.§2 Costruzione meccanica dell’ellisse (assegnati i fuochi e la somma 2pdelle distanze da essi).Immaginiamo di fissare gli estremi di una fune di lunghezza 2p nei fuochi. Afferratoun punto della fune, tendiamola sul piano; la posizione così raggiunta dal punto dellafune sta sull’ellisse.In fig. 5 sono rappresentati alcuni punti costruiti in questo modo (i fuochi, punti diancoraggio della fune sono in rosso)fig. 5*Ne segue immediatamente che la lunghezza della fune deve essere maggiore delladistanza tra i fuochi, cioè2p > |FP| + |F’P|.Questo metodo è utile per tracciare un’ellisse sul terreno, ma non si presta per unacostruzione con riga e compasso.Esercizio. Appoggiare un foglio su un piano di legno e mediante due chiodi fissare gliestremi di una cordicella sul foglio. Con una matita tracciare un’ellisse.§3 Costruzione dell’ellisse con riga e compasso (dati i fuochi e la somma2p delle distanze da essi).Con centro in F tracciamo la circonferenza di raggio 2p. Preso un punto Q su di essa,l’asse a del segmento F’Q taglia il raggio FQ in un punto P dell’ellisse.La procedura è illustrata in fig. 6

fig. 6*Dimostrazione. Per verificare che la costruzione è corretta, osserviamo che poiché a èl’asse del segmento F’Q, i segmenti F’P e QP sono uguali. Pertanto2p = |FQ| = |FP| + |PQ| = |FP| + |F’P|che dice che P sta sull’ellisse.Ripetendo la costruzione precedente per un numero sufficiente di punti Q sullacirconferenza si costruisce per punti una curva che è possibile vedere in fig. 7fig. 7*Esercizio. Fare effettivamente questa costruzione disegnando una decina di puntidell’ellisse; poi tracciare a mano libera, ma con l’ausilio di questi punti l’ellisse.§4 Proprietà di simmetria dell’ellisseRiprendendo la figura appena costruita osserviamo che (fig. 8)la retta che congiunge i fuochi e l’asse del segmento FF’ sono assi di simmetria eanche il punto medio M è centro di simmetria dell’ellisse. I quattro punti A, A’, B e B’dell’ellisse che stanno sugli assi, sono detti vertici dell’ellisse. I segmenti AA’ e BB’(più marcati in figura) sono l’asse maggiore e l’asse minore dell’ellisse.fig. 8

Dimostrazione. Le proprietà di simmetria si possono ricavare anche dalla costruzionemeccanica con la fune che abbiamo visto prima. In effetti se un punto P stasull’ellisse, allora anche i punti P’, P” e P’” (vedi fig. 9) stanno sull’ellisse (le 4 funiblu, verde, celeste e viola hanno per ragioni di simmetria la stessa lunghezza).fig. 9In effetti P’ è il simmetrico di P rispetto all’asse minore, P” è il simmetrico di Prispetto all’asse maggiore, P”’ è il simmetrico di P rispetto al centro.Esercizio. Utilizzando le proprietà di simmetria ripetere l’esercizio precedente emigliorarlo (da ogni punto se ne costruiscono facilmente subito altri tre).§5 Costruzione dei vertici dati i fuochi e la somma 2p delle distanze daessi. E viceversa costruzione dei fuochi e della somma delle distanze daessi, assegnati i vertici.Dalla fig. 8 si vede che|AF| + |AF’| = |AF| + |A’F| = |AA’|cioè la somma delle distanze di un punto dell’ellisse dai fuochi è l’asse maggiore. E’anche chiaro che1) Siano dati F e F’ e la quantità 2p.Si segua la costruzione con la fig. 10. Con centro nel punto medio M prendiamo lacirconferenza di raggio p. Essa taglia sulla retta FF’ un diametro di lunghezza 2p cheè il segmento AA’, cioè l’asse maggiore. La perpendicolare a quest’asse condotta perF interseca la circonfernza in un punto Q; per Q mandiamo la parallela all’assemaggiore. Essa tocca l’asse minore in B. Infatti dalla costruzione riesce |BF| = raggio= p e quindi B sta sull’ellisse. (Infatti |BF| + |BF’| = 2p).fig. 10

2) Siano dati gli assi (in rosso in fig. 11). Si disegna la circonferenza, poi si prende laparallela all’asse maggiore e poi le due rette verticali. Così si ottengono i puntievidenziati in fig. 11 che sono i fuochi. (Per verificarlo controllare che per i verticisull’asse minore la somma delle distanze dai fuochi sia pari all’asse maggiore).fig. 11Esercizio. Per concludere vediamo una divertente proprietà meccanica dell’ellisselegata alla costruzione con riga e compasso fatta prima. Mentre il punto P si muovesull’ellisse la circonferenza di centro P che passa per un fuoco è tangente allacirconferenza centrata nell’altro fuoco.fig. 12*§6. Equazione cartesiana. A titolo di complemento osserviamo che l'equazionex 2 y 2p 2 +q 2 = 1(con p > q > 0) è l'equazione dell'ellisse che ha asse maggiore 2p e asse minore 2qdisposti come gli assi coordinati. I fuochi sarannoF = p 2 − q 2 , F' = − p 2 − q 200§7. Equazione parametrica. L'equazione parametrica della stessa ellisse è⎧x = p cost⎨⎩ y = q sin tCiò significa che al variare di t il punto (p cos t, q sin t) si muove sull'ellisse (fig.13).

fig.13§8 Costruzione di un ellisse con riga e compassoPer disegnare l'ellisse di equazionex 2 y 2p 2 +q 2 = 1con p > q > 0 si può procedere come segue:Si tracciano due rette perpendicolari (gli assi coordinati) e due circonferenze C e C'di centro l'origine e raggi q e p rispettivamente. Presa una qualunque semirettauscente dall'origine questa interseca ciascuna delle due circonferenze in un punto,diciamo R ed S. Per R, che sta sulla circonfernza più piccola, mandiamo la rettaorrizzontale e per S, che sta sulla circonferenza maggiore, mandiamo la verticale.Queste due rette si intersecano in un punto P dell'ellisse.fig. 14Giustifichiamo questa costruzione. (Segui guardando fig. 15) Il puntoQ = (cos t, sin t) sta sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine. Il puntoR = (q cos t, q sin t) sta sulla circonferenza concentrica a questa ma di raggio q e ilpuinto S = (p cost, p sin t) sta sulla circonferenza concentrica ma di raggio p. I trepunti stanno sulla stessa semiretta uscente dall'origine.Mandiamo per S la verticale e per R l'orrizzontale. Le due rette si incontrano nel puntoP = (p cos t, q sin t)(infatti P deve avere la stessa ascissa di S e la stessa ordinata di R) e quindi stasull'ellisse

fig. 15*Esercizio. Utilizzare questo metodo per disegnare molti punti di un’ellisse e poicompletarla a mano libera.§9 Esercizio. Date due rette incidenti, tracciare le bisettrici degli angoli da esseformati.Soluzione. Si segua la costruzione guardando la fig. 16. Con centro nel punto P in cuile due rette r ed s sono incidenti, si traccia una circonferenza. Essa taglia le due rettenei punti Q ed R. Con centro in questi punti si tracciano due circonferenze di ugualraggio, che si tagliano in due punti (rossi). Per essi passa una bisettrice.fig. 16L’altra bisettrice si ottiene tracciando la perpendicolare per P a quella già trovata.Esercizio. Assegnate le rette in nero (fig. 17) disegnare le circonferenze rosse.fig. 17

Soluzione. Il centro di ciascuna circonferenza è equidistante dalle rette tangenti allacirconferenza stessa, quindi si trova sulle bisettrici degli angoli formati dalle tangenti.In fig. 18 sono tracciate tutte le bisettrici (per ciascuna si deve applicare il metododell’esercizio precedente) e sono evidenziati i centri delle due circonferenze cercate.fig. 18Per conoscere il raggio di ciascuna circonferenza bisogno trovare almeno un piede diuna perpendicolare mandata dal centro ad una delle rette assegnate.Si lascia al lettore di completare l’esercizio. Per risparmiare lavoro si tenga presenteche per individuare ciascun centro bastano due bisettrici (e non tre) e che c’è unabisettrice che passa per entrambi i centri.