Dinamica dei fluidi - Infn

La dinamica dei fluidi1) Introduzione: tipi di moto e linee di flussoLibro di testo: par 15.82) Equazione di continuitàLibro di testo: par 15.93) Equazione di BernoulliLibro di testo: par 15.104) Viscosità e moto di un fluido idealeI fluidi, per come sono definiti, non dovrebbero presentare resistenza al moto discorrimento; nei fluidi reali si osserva invece una forma di attrito interno fra stratiadiacenti di fluido che si oppone allo scorrimento dell’uno sull’altro che chiameremoviscosità. Nei liquidi la viscosità è principalmente dovuta alle forze di coesione fra lemolecole, mentre nei gas è provocata essenzialmente dagli urti fra le molecole.Un fluido reale è pertanto caratterizzato da un coefficiente di viscosità () definitooperativamente come segue.Consideriamo due lastre rigide piane, una fissa e l’altra tenuta in movimento convelocità v costante, al cui interno si trova uno strato di fluido reale di spessore l (fig.1). Le molecole di fluido a contatto con la lastra in moto tenderanno a muoversi conla stessa velocità v, mentre quelle a contatto con la lastra ferma tenderanno a restareferme: ciò determina una distribuzione di velocità all’interno del fluido ossia ungradiente di velocità dv/dy.ylA = area dicontattovvF applFig. 1xSi osserva sperimentalmente che per avere v = cost bisogna agire con F appl = cost equindi, per la secondaleggedella dinamica,deveesserci una forza, dovuta allaviscosità, F v , tale che: Fappl Fv 0 Fappl Fv Fappl Fv.1

Sempre sperimentalmente si trova, detta A l’area della superficie di contatto frafluido e la lastra mobile, che:vA4.1 Fv Fappl .Il coefficiente di viscosità è per definizione la costante di proporzionalità nella 4.1:AvF Avv4.2 Fv .Unita di misura:N m N s Kg Pa s nel sistema MKS.m2 m / s m2m s(viene usato anche il Poise, P = 10 -1 Kg/ms)Più in generale, poiché non sempre il gradiente di velocità è lineare la 4.2 si scrive:4.3dvF v Adove si assume che sia indipendente da v.dyIl valore di dipende dal fluido e, dato un fluido, dipende fortemente dallatemperatura. Alcuni valori tipici sono dati in tabella:Fluido T (° C) ( Kg/ms)Acqua 0 1.8 10 –3Acqua 20 1.0 10 –3Acqua 100 0.3 10 –3Glicerina 20 830 10 –3Olio motore 30 250 10 –3Alcool 20 1.2 10 –3Si noti che i coefficienti di viscosità, sono molto minori dei coefficienti di attritodinamico fra solidi. Per questo, se due superfici rigide devono scorrere una sull’altra,si interpone fra esse uno strato di fluido (lubrificazione) per ridurre l’attrito totale.2

5) Il flusso laminare dei fluidi realiLa viscosità introduce importanti differenze nel moto di un fluido reale rispetto aquello di un fluido ideale. Considerando il flusso di un fluido ideale (fig. 2a) e di unfluido reale (fig. 2b) in tubo cilindrico orizzontale di sezione A costante, si ha:vvp Ap Bp Ap Bfluido idealev costante nella sezione Ap A = p BFig 2afluido realev variabile nella sezione Ap A > p BFig 2bNotiamo che a causa della viscosità:a) è necessaria una differenza di pressione p = p A p B fra le estremità del tuboper avere un flusso di fluido.b) lo scorrimento del fluido può essere descritto come il moto di tanti strati sottilie paralleli alle pareti del tubo che si muovono parallelamente tra loro convelocità crescenti mentre ci avvicina al centro del condotto (fig. 3) (detto motolaminare).v 1v 2flussov 3v4Fig. 3v 1 < v 2 < v 3 < v 4Se p = cost, le velocità di ogni singolo stato restano costanti (ovvero ladistribuzione delle velocità non cambia nel tempo) e si ha un moto laminarestazionario. Ovviamente la corrispondente portata Q L non può essere più calcolatasemplicemente come Av e in particolare risulta Q L < Av.Se la velocità di flusso è alta e/o la differenza di pressione molto elevata, il moto nonè più laminare ma turbolento con una portata Q T < Q L . La portata diminuisce perchéle forze di attrito sono molto maggiori in presenza di turbolenze. Un esame piùdettagliato di quanto succede è fuori gli scopi di queste lezioni.3

6) Calcolo della portata per un flusso laminare stazionario in un tubo cilindricoConsideriamo un tubo cilindro di raggio R lungo L, in cui scorre un fluido reale inmoto laminare stazionario (fig. 4). La velocità in esso ha una distribuzione v(r) conv(R)=0, v(0)= v max .Soffermiamoci su una porzione di fluido (in grigio in fig.4) contenuta in un cilindrodi raggio r < R. Essendo il moto stazionario, segue che per ogni r deve essere:v(r)= cost F R 0 .est Le forze agenti se tale porzione sono:a) la forza dovuta alla pressione sulla base A: F A = p A r 2b) la forza dovuta alla pressione sulla base B: F B = p B r 2FRestc) la forza di viscosità sulla parete laterale S: 0 FRest FA FB FV 0dvF V S con S=2rL.drLa precedente, essendo tutte le forze parallele (all’asse del cilindro), diviene:FA FB FV 0v(R)=0F Arf vv(r)v(0)=v maxf vRF BLdvPoiché v diminuisce mentre r aumenta, ,e quindi FV , è implicitamente negativa,drpertanto scriviamo: 2dv dv r( p A pB)πr p p 2r L 0 A Bdr dr 2L( pA pB)dv rdr.2L4

Questa espressione fornisce la variazione di velocità dv quando il raggio aumenta didr, il segno meno mette in evidenza che la velocità diminuisce mentre il raggioaumenta.Integrando fra r e R troviamo la corrispondente differenza di velocità:v( R )v( r )dv( p A p2LB)Rrrdr(v( R ) v( r ) p A p2LB) R2 r22e ricordando che v(R)=0, segue:( pA pB)6.1 v(r ) R2 r2.4LLa 6.1 mostra che la distribuzione delle velocità v(r) ha un andamento parabolico conr, con massimo in r = R 2 .In una corona circolare di raggio r e r+dr, di area dA=2rdr, la velocità può essereconsiderata costante e pari a v(r) e possiamo calcolare pertanto la relativa portata dQcome velocità per area dQ = v(r)dARr+drrLa portata totale si ottiene sommando tutti icontributi dQ al variare di r da 0 ad RQL dQ0RdQQL0R( R02R( pA p4L r2)rdrB)( R0R2R2 r2rdr ( pA p) 2r dr 2L0Rr3dr R24R44B)R440R( R2 QL r2)rdr ( pA p2LB) R446.2QL(pA p8LB)R4La 6.2, detta legge di Poiseuille, ci permette di calcolare la portata Q L per un flussolaminare in un tubo cilindrico; come era ovvio aspettarsi essa è direttamenteproporzionale alla differenza di pressione per unità di lunghezza, (p A p B )/L, e5

inversamente proporzionale alla viscosità . Il fatto inatteso è la dipendenza dallaquarta potenza del raggio e quindi ne consegue che Q L è fortemente influenzata dauna piccola variazione di R.L’equazione 6.2, applicata al fluido sangue, è fondamentale nella fisiologia degliesseri viventi. Essa è usata per esempio per termostatarsi regolando il flusso disangue sulla superficie del corpo variando impercettibilmente la sezione dei capillari.Inoltre essa spiega l’inevitabile l’aumento di pressione arteriosa con l'avanzaredell’età, la quale generalmente comporta una piccola riduzione della sezione dellearterie.6