ESERCIZI PER FORMA STATE-SPACE E SOMME DI ARIMA Porre ...

ESERCIZI PER FORMA STATE-SPACEE SOMME DI ARIMAPorre le seguenti somme di processi ARIMA in forma state-space eindicare che tipo di processo ARIMA è il processo somma z t . Tutti iprocessi indicati con lettere greche sono da intendersi rumori bianchitra loro incorrelati.(1) Sia z t = x t + y t con(2) Sia z t = x t + y t con(3) Sia z t = x t + y t con(4) Sia z t = x t + y t con(5) Sia z t = x t + y t + w t con(6) Sia z t = x t + y t + ε t conx t = x t−1 + ε ty t = η t + θη t−1 .x t = x t−1 + ε ty t = φy t−1 + η t .x t = x t−1 + ε ty t = φ 1 y t−1 + φ 2 y t−2 + η t .x t = x t−1 + ε ty t = η t + θ 1 η t−1 + θ 2 η t−2 .x t = x t−1 + ε ty t = η t + θη t−1w t = φw t−1 + ξ t .x t = x t−1 + w t−1 + ξ tw t = w t−1 + ζ ty t = φy t−1 + η t .1

2Soluzioni(1) Matrici dell’equazione di transizione:⎛T = ⎝ 1 0 0⎞ ⎛0 0 0 ⎠ Q = ⎝ σ2 ε 0 00 ση 2 00 1 00 0 0Matrici dell’equazione di osservazione:Z = ( 1 1 θ ) H = 0.z t is ARIMA(0,1,2).(2) Matrici dell’equazione di transizione:( ) ( )1 0σ2T =Q = ε 00 φ0 ση2Matrici dell’equazione di osservazione:Z = ( 1 1 ) H = 0.z t è ARIMA(1,1,1).(3) Matrici dell’equazione di transizione:⎛T = ⎝ 1 0 0⎞ ⎛0 φ 1 φ 2⎠ Q = ⎝ σ2 ε 0 00 ση 2 00 1 00 0 0Matrici dell’equazione di osservazione:Z = ( 1 1 0 ) H = 0.z t è ARIMA(2,1,2)(4) Matrici dell’equazione di transizione:⎛⎞ ⎛1 0 0 0T = ⎜ 0 0 0 0⎟⎝ 0 1 0 0 ⎠ Q = ⎜⎝0 0 1 0⎞⎠⎞⎠σ 2 ε 0 0 00 σ 2 η 0 00 0 0 00 0 0 0Matrici dell’equazione di osservazione:Z = ( 1 1 θ 1 θ 2)H = 0.z t è ARIMA(0,1,3)(5) Matrici dell’equazione di transizione:⎛⎞ ⎛1 0 0 0T = ⎜ 0 0 0 0⎟⎝ 0 1 0 0 ⎠ Q = ⎜⎝0 0 0 φMatrici dell’equazione di osservazione:z t è ARIMA(1,1,3)σ 2 ε 0 0 00 σ 2 η 0 00 0 0 00 0 0 σ 2 ξZ = ( 1 1 θ 1 ) H = 0.⎞⎟⎠⎞⎟⎠

3(6) Matrici dell’equazione di transizione:⎛T = ⎝ 1 1 0⎞ ⎛σξ 2 0 00 1 0 ⎠ Q = ⎝ 0 σζ 2 00 0 φ0 0 ση2Matrici dell’equazione di osservazione:z t è ARIMA(1,2,3)Z = ( 1 0 1 ) H = σ 2 ε.⎞⎠