Lezione 2

Varietà di Grassmann in GeometriaAlgebricaScuola di Dottorato, Gargnano10-14 Aprile 2007Giorgio Ottavianiottavian@math.unifi.itwww.math.unifi.it/ottavianUniversità di FirenzeCalcolo di Schubert – p. 1/36

Seconda lezione• Calcolo di Schubert e applicazionienumerative, le formule di Pieri e Giambelli.• L’approccio di Gatto con le derivazioni.Calcolo di Schubert – p. 2/36

L’anello moltiplicativo di Gr(k, n)• La struttura moltiplicativa in H ∗ (Gr(k, n)) hauna struttura elegante.Calcolo di Schubert – p. 3/36

L’anello moltiplicativo di Gr(k, n)• La struttura moltiplicativa in H ∗ (Gr(k, n)) hauna struttura elegante.• Le classi di Chern dei fibrati universale (risp.quoziente) rappresentano dei cicli di Schubertspeciali che generano H ∗ (Gr(k, n)).Calcolo di Schubert – p. 3/36

L’anello moltiplicativo di Gr(k, n)• La struttura moltiplicativa in H ∗ (Gr(k, n)) hauna struttura elegante.• Le classi di Chern dei fibrati universale (risp.quoziente) rappresentano dei cicli diSchubert speciali che generano H ∗ (Gr(k, n)).• Nel caso dello spazio proiettivo la strutturamoltiplicativa è data essenzialmente dalteorema di Bezout.Calcolo di Schubert – p. 3/36

L’anello moltiplicativo di Gr(k, n)• La struttura moltiplicativa in H ∗ (Gr(k, n)) hauna struttura elegante.• Le classi di Chern dei fibrati universale (risp.quoziente) rappresentano dei cicli diSchubert speciali che generano H ∗ (Gr(k, n)).• Nel caso dello spazio proiettivo la strutturamoltiplicativa è data essenzialmente dalteorema di Bezout.• H ∗ (P n ,Z) = A ∗ (P n ) = Z[H]/(H n+1 ) dove H èla classe iperpiana.Calcolo di Schubert – p. 3/36

Le classi di Chern, visione geometricaStoricamente, i cicli speciali su Gr(k, n)rappresentano le prime classi di Chern che sonostate definite.Calcolo di Schubert – p. 4/36

Le classi di Chern, visione geometricaStoricamente, i cicli speciali su Gr(k, n)rappresentano le prime classi di Chern che sonostate definite.Viceversa le classi di Chern possono esseredefinite funtorialmente dalle classi di Chern delfibrato universale (o quoziente).Calcolo di Schubert – p. 4/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, I• Considero la successione esatta0−→U−→V ⊗ O−→Q−→0Calcolo di Schubert – p. 5/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, I• Considero la successione esatta0−→U−→V ⊗ O−→Q−→0• Le sezioni immagine diV −→H 0 (Q)possono essere descritte facilmente.Calcolo di Schubert – p. 5/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Fissato v ∈ V viene indotto sulla fibra di ognim ∈ Gr(k, n) l’elemento [v] ∈ V/m, cioè unasezione s v di Q.Calcolo di Schubert – p. 6/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Fissato v ∈ V viene indotto sulla fibra di ognim ∈ Gr(k, n) l’elemento [v] ∈ V/m, cioè unasezione s v di Q.• s v si annulla esattamente su {m|v ∈ m} ,quindi su un ciclo X n−k .Calcolo di Schubert – p. 6/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Fissato v ∈ V viene indotto sulla fibra di ognim ∈ Gr(k, n) l’elemento [v] ∈ V/m, cioè unasezione s v di Q.• s v si annulla esattamente su {m|v ∈ m} ,quindi su un ciclo X n−k .• Due sezioni s v e s w sono dipendenti sem + v = m + w, quindi se e solo sem∩ < v, w >≠ ∅, quindi su un ciclo X n−k−1 .Calcolo di Schubert – p. 6/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Fissato v ∈ V viene indotto sulla fibra di ognim ∈ Gr(k, n) l’elemento [v] ∈ V/m, cioè unasezione s v di Q.• s v si annulla esattamente su {m|v ∈ m} ,quindi su un ciclo X n−k .• Due sezioni s v e s w sono dipendenti sem + v = m + w, quindi se e solo sem∩ < v, w >≠ ∅, quindi su un ciclo X n−k−1 .• t sezioni s v1 , . . . , s vt sono dipendenti sem∩ < v 1 , . . . , v t >≠ ∅, quindi su un cicloX n−k+1−t .Calcolo di Schubert – p. 6/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Si pone c i (Q) = X i . Pertanto c i (Q)rappresenta il luogo dove rk(Q) + 1 − i sezionidi Q sono dipendenti. Imponiamo( ∑ t i c i (Q)) · ( ∑ t i S i ) = 1.Calcolo di Schubert – p. 7/36

Classi di Chern del fibrato quoziente, II• Si pone c i (Q) = X i . Pertanto c i (Q)rappresenta il luogo dove rk(Q) + 1 − i sezionidi Q sono dipendenti. Imponiamo( ∑ t i c i (Q)) · ( ∑ t i S i ) = 1.• Teorema H ∗ (Gr(k, n)) è generato da c i (Q) conle relazioni (S k+2 , . . . , S n+1 ).Calcolo di Schubert – p. 7/36

Classi di Chern del fibrato universale, I• Data0−→Q ∗ −→V ∗ ⊗ O−→U ∗ −→0descriviamo le sezioni che provengono daV ∗ → H 0 (U ∗ ). Fissato f ∈ V ∗ viene indotto perrestrizione f |m ∈ m ∗ su ogni m ∈ Gr(k,n), cioè unasezione s f di U ∗ .Calcolo di Schubert – p. 8/36

Classi di Chern del fibrato universale, I• Data0−→Q ∗ −→V ∗ ⊗ O−→U ∗ −→0descriviamo le sezioni che provengono daV ∗ → H 0 (U ∗ ). Fissato f ∈ V ∗ viene indotto perrestrizione f |m ∈ m ∗ su ogni m ∈ Gr(k,n), cioè unasezione s f di U ∗ .• s f si annulla esattamente su {m|m ⊆ kerf} , quindi suun ciclo X 1 k+1.Calcolo di Schubert – p. 8/36

Classi di Chern del fibrato universale, I• Data0−→Q ∗ −→V ∗ ⊗ O−→U ∗ −→0descriviamo le sezioni che provengono daV ∗ → H 0 (U ∗ ). Fissato f ∈ V ∗ viene indotto perrestrizione f |m ∈ m ∗ su ogni m ∈ Gr(k,n), cioè unasezione s f di U ∗ .• s f si annulla esattamente su {m|m ⊆ kerf} , quindi suun ciclo X 1 k+1.• Due sezioni s f e s g sono dipendenti sem ∩ kerf = m ∩ kerg, quindi se e solo sedim m ∩ (kerf ∩ kerg) ≥ k, quindi su un ciclo X 1 kĊalcolo di Schubert – p. 8/36

Classi di Chern del fibrato universale, I• Data0−→Q ∗ −→V ∗ ⊗ O−→U ∗ −→0descriviamo le sezioni che provengono daV ∗ → H 0 (U ∗ ). Fissato f ∈ V ∗ viene indotto perrestrizione f |m ∈ m ∗ su ogni m ∈ Gr(k,n), cioè unasezione s f di U ∗ .• s f si annulla esattamente su {m|m ⊆ kerf} , quindi suun ciclo X 1 k+1.• Due sezioni s f e s g sono dipendenti sem ∩ kerf = m ∩ kerg, quindi se e solo sedim m ∩ (kerf ∩ kerg) ≥ k, quindi su un ciclo X 1 kĊalcolo di Schubert – p. 8/36

Funtorialità delle classi di Chern• Se E è un fibrato globalmente generato dirango r su Y allora H 0 (E) ⊗ O Y −→E èsuriettiva ed inducef: Y −→Gr(h 0 (E) − r, h 0 (E)) tale chef ∗ Q = E.Calcolo di Schubert – p. 9/36

Funtorialità delle classi di Chern• Se E è un fibrato globalmente generato dirango r su Y allora H 0 (E) ⊗ O Y −→E èsuriettiva ed inducef: Y −→Gr(h 0 (E) − r, h 0 (E)) tale chef ∗ Q = E.• In particolare c i (E) = f ∗ c i (Q) rappresenta illuogo dove r + 1 − i sezioni di E sonodipendenti.Calcolo di Schubert – p. 9/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3))• Qui c 1 (Q) = X 1 , c 2 (Q) = X 2Calcolo di Schubert – p. 10/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3))• Qui c 1 (Q) = X 1 , c 2 (Q) = X 2• c 2 1 − c 2 = X 11 = c 2 (U) Le relazioni sono2c 1 c 2 − c 3 1 = 0c 2 2 − 3c 2 1c 2 + c 4 1 = 0da cui segue ancheCalcolo di Schubert – p. 10/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3))• Qui c 1 (Q) = X 1 , c 2 (Q) = X 2• c 2 1 − c 2 = X 11 = c 2 (U) Le relazioni sono2c 1 c 2 − c 3 1 = 0c 2 2 − 3c 2 1c 2 + c 4 1 = 0da cui segue anche•c 4 1 = 2c 2 1c 2 c 2 2 = 2c 2 1c 2Calcolo di Schubert – p. 10/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3))• Qui c 1 (Q) = X 1 , c 2 (Q) = X 2• c 2 1 − c 2 = X 11 = c 2 (U) Le relazioni sono2c 1 c 2 − c 3 1 = 0c 2 2 − 3c 2 1c 2 + c 4 1 = 0da cui segue anche•c 4 1 = 2c 2 1c 2 c 2 2 = 2c 2 1c 2• Quindi abbiamo1,c 1 ,c 2 ,c 2 1,c 1 c 2 ,c 2 1c 2Calcolo di Schubert – p. 10/36

La formula di Pieri• In generale X λ · X µ = ∑ ν cν λµ X νCalcolo di Schubert – p. 11/36

La formula di Pieri• In generale X λ · X µ = ∑ ν cν λµ X ν• Classicamente il problema si risolveva in duepartiPrima parteX λ ∩ c i (Q) = ∑ X µdove µ è ottenuto aggiungendo k caselle a λ,tutte in colonne differenti (formula di Pieri).Calcolo di Schubert – p. 11/36

Il quiver di Hasse• La formula di Pieri è sufficiente per descrivereun grafo orientato (quiver) che ha i vertici neicicli di Schubert.Calcolo di Schubert – p. 12/36

Il quiver di Hasse• La formula di Pieri è sufficiente per descrivereun grafo orientato (quiver) che ha i vertici neicicli di Schubert.• C’è una freccia da X λ a X µ se X λ ∩ X 1 ⊇ X µCalcolo di Schubert – p. 12/36

Il quiver di Hasse• La formula di Pieri è sufficiente per descrivereun grafo orientato (quiver) che ha i vertici neicicli di Schubert.• C’è una freccia da X λ a X µ se X λ ∩ X 1 ⊇ X µ• Il grado di ogni ciclo di Schubert può esserecalcolato contando induttivamente il numerodi cammini che portano dal ciclo al terminedel quiver.Calcolo di Schubert – p. 12/36

La formula di Giambelli•X λ = det (c λi +j−i) 1≤i,j≤sdove λ = (λ 1 , . . . , λ s ) e c i = c i (Q)Calcolo di Schubert – p. 13/36

La formula di Giambelli•X λ = det (c λi +j−i) 1≤i,j≤sdove λ = (λ 1 , . . . , λ s ) e c i = c i (Q)• Ad esempioX λ1 ,λ 2=∣∣c λ1 c ∣∣∣∣λ1 +1c λ2 −1 c λ2Concettualmente la formula di Giambellicalcola i luoghi di degenerazione di morfismitra fibrati.Calcolo di Schubert – p. 13/36

Dualità di Poincaré• X λ e X µ si incontrano se e solo se λ e larotazione di 180 ◦ di µ entrano nel rettangolo(k + 1) × (n − k) senza sovrapposizioni.Calcolo di Schubert – p. 14/36

Dualità di Poincaré• X λ e X µ si incontrano se e solo se λ e larotazione di 180 ◦ di µ entrano nel rettangolo(k + 1) × (n − k) senza sovrapposizioni.• Il complemento di λ nel rettangolo fornisce ilduale di Poincaré λ ′ .X λ · X λ′ = 1Calcolo di Schubert – p. 14/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → Q un morfismo su Gr(k, n)Calcolo di Schubert – p. 15/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → Q un morfismo su Gr(k, n)• Per s ≤ e − 1 D s (φ) = X λ doveλ = ((n − k − s) e−s ).Calcolo di Schubert – p. 15/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → Q un morfismo su Gr(k, n)• Per s ≤ e − 1 D s (φ) = X λ doveλ = ((n − k − s) e−s ).• Infatti φ corrisponde a C e ⊂ V e se m ∈ D s (φ)allora dim(C e + m)/m ≤ s da cuidimC e ∩ m ≥ e − s che equivale alla tesi.Calcolo di Schubert – p. 15/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → U ∨ un morfismo su Gr(k, n)Calcolo di Schubert – p. 16/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → U ∨ un morfismo su Gr(k, n)• D s (φ) = X λ dove λ = ((e − s) k+1−s ).Calcolo di Schubert – p. 16/36

Luoghi di degenerazionee cicli di Schub• Sia φ: O e → U ∨ un morfismo su Gr(k, n)• D s (φ) = X λ dove λ = ((e − s) k+1−s ).• Infatti φ corrisponde a C n+1−e ⊂ V e sem ∈ D s (φ) allora dimC n+1−e ∩ m ≥ k + 1 − sche equivale alla tesi.Calcolo di Schubert – p. 16/36

La formula di Porteous-Giambelli• Sia φ: O e → F un morfismo tra fibrati su X, rk F =fCalcolo di Schubert – p. 17/36

La formula di Porteous-Giambelli• Sia φ: O e → F un morfismo tra fibrati su X, rk F =f• D k (φ) := {x ∈ X|rk (φ x ) ≤ k}.Calcolo di Schubert – p. 17/36

La formula di Porteous-Giambelli• Sia φ: O e → F un morfismo tra fibrati su X, rk F =f• D k (φ) := {x ∈ X|rk (φ x ) ≤ k}.• Se F è globalmente generato allora D k (φ) = ∅ oppurecodim D k (φ) = (e − k)(f − k),Calcolo di Schubert – p. 17/36

La formula di Porteous-Giambelli• Sia φ: O e → F un morfismo tra fibrati su X, rk F =f• D k (φ) := {x ∈ X|rk (φ x ) ≤ k}.• Se F è globalmente generato allora D k (φ) = ∅ oppurecodim D k (φ) = (e − k)(f − k),• Se codim D k (φ) = (e − k)(f − k) allora[D k (φ)] =∣c f−k (E) c f−k+1 (E) ... c f−k+(e−k−1) (E)c f−k−1 (E) c f−k (E) ... c f−k+(e−k−2) (E). ..c f−e+1 (E) c f−e+2 (E) ... c f−k (E)∣Calcolo di Schubert – p. 17/36

Casi particolari di Porteous-Giambelli• Sia e ≤ fCalcolo di Schubert – p. 18/36

Casi particolari di Porteous-Giambelli• Sia e ≤ f• D e (φ) = X.Calcolo di Schubert – p. 18/36

Casi particolari di Porteous-Giambelli• Sia e ≤ f• D e (φ) = X.• [D e−1 (φ)] = c f−e+1 (F)Calcolo di Schubert – p. 18/36

Casi particolari di Porteous-Giambelli• Sia e ≤ f• D e (φ) = X.• [D e−1 (φ)] = c f−e+1 (F)•[D e−2 (φ)] =∣c f−e+2 (E) c f−e+3 (E)c f−e+1 (E) c f−e+2 (E)∣Calcolo di Schubert – p. 18/36

La curva razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) n su P n Calcolo di Schubert – p. 19/36

La curva razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) n su P n• [D 1 (φ)] = c n−1 (O(1) n ) = nCalcolo di Schubert – p. 19/36

La curva razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) n su P n• [D 1 (φ)] = c n−1 (O(1) n ) = n• L’interpretazione proiettiva è la generazioneproiettiva di SteinerCalcolo di Schubert – p. 19/36

Lo scoppiamento in un punto• Sia O 2 φ−→O(1) 3 su P 4 Calcolo di Schubert – p. 20/36

Lo scoppiamento in un punto• Sia O 2 φ−→O(1) 3 su P 4• [D 1 (φ)] = c 2 (O(1) 3 ) = 3Calcolo di Schubert – p. 20/36

Lo scoppiamento in un punto• Sia O 2 φ−→O(1) 3 su P 4• [D 1 (φ)] = c 2 (O(1) 3 ) = 3• L’interpretazione proiettiva è P 2 scoppiato inun punto.Calcolo di Schubert – p. 20/36

La superficie di Bordiga, I• Sia O 3 φ−→O(1) 4 su P 4 Calcolo di Schubert – p. 21/36

La superficie di Bordiga, I• Sia O 3 φ−→O(1) 4 su P 4• [D 2 (φ)] = c 3 (O(1) 4 ) = 6Calcolo di Schubert – p. 21/36

La superficie di Bordiga, I• Sia O 3 φ−→O(1) 4 su P 4• [D 2 (φ)] = c 3 (O(1) 4 ) = 6• Definiamo X con una proiezione su P 2 Calcolo di Schubert – p. 21/36

La superficie di Bordiga, II• φ definisce un tensore 3 × 4 × 5Calcolo di Schubert – p. 22/36

La superficie di Bordiga, II• φ definisce un tensore 3 × 4 × 5• Si ottiene il piano immerso nelle matrici 4 × 5.Calcolo di Schubert – p. 22/36

La superficie di Bordiga, II• φ definisce un tensore 3 × 4 × 5• Si ottiene il piano immerso nelle matrici 4 × 5.• Troviamo O 4 −→O(1) ψ 5 su P 2 AdessoD 3 (ψ) = c 4 (O(1) 5 ) = 10. Pertanto la superficiedi Bordiga è isomorfa a P 2 scoppiato in 10punti.Calcolo di Schubert – p. 22/36

La superficie di Castelnuovo• Sia O 2 φ−→O(1) 2 ⊕ O(2) su P 4 Calcolo di Schubert – p. 23/36

La superficie di Castelnuovo• Sia O 2 φ−→O(1) 2 ⊕ O(2) su P 4• [D 1 (φ)] = c 2 (O(1) 2 ⊕ O(2)) = 5Calcolo di Schubert – p. 23/36

La superficie di Castelnuovo• Sia O 2 φ−→O(1) 2 ⊕ O(2) su P 4• [D 1 (φ)] = c 2 (O(1) 2 ⊕ O(2)) = 5• Si tratta di un fibrato in coniche su P 1 .Calcolo di Schubert – p. 23/36

Lo scroll razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) a su P n Calcolo di Schubert – p. 24/36

Lo scroll razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) a su P n• [D 1 (φ)] = c a−1 (O(1) a ) = aCalcolo di Schubert – p. 24/36

Lo scroll razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) a su P n• [D 1 (φ)] = c a−1 (O(1) a ) = a• Ha dimensione n − a + 1.Calcolo di Schubert – p. 24/36

Lo scroll razionale normale• Sia O 2 φ−→O(1) a su P n• [D 1 (φ)] = c a−1 (O(1) a ) = a• Ha dimensione n − a + 1.Calcolo di Schubert – p. 24/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3)) rivisitato• Qui c 1 (Q) = X 20 , c 2 (Q) = X 10Calcolo di Schubert – p. 25/36

Esempio: H ∗ (Gr(1, 3)) rivisitato• Qui c 1 (Q) = X 20 , c 2 (Q) = X 10• c 2 1 − c 2 = X 11 = c 2 (U)00 10 20 11 21 2200 00 10 20 11 21 2210 10 20 + 11 21 21 2220 20 21 2211 11 21 2221 21 2222 22Calcolo di Schubert – p. 25/36

La degenerazione• I risultati del calcolo di Schubert possonospesso essere trovati per degenerazione.Calcolo di Schubert – p. 26/36

La degenerazione• I risultati del calcolo di Schubert possonospesso essere trovati per degenerazione.• Ad esempio per calcolare le rette che toccano6 piani di P 4 , dividi i piani in 3 coppie,ciascuna coppia si incontra in L i e genera H iper i = 1, 2, 3.Calcolo di Schubert – p. 26/36

La degenerazione• I risultati del calcolo di Schubert possonospesso essere trovati per degenerazione.• Ad esempio per calcolare le rette che toccano6 piani di P 4 , dividi i piani in 3 coppie,ciascuna coppia si incontra in L i e genera H iper i = 1, 2, 3.• Le rette sono H 1 ∩ H 2 ∩ H 3 ,< H 1 ∩ L 2 , H 1 ∩ L 3 >,< H 2 ∩ L 3 , H 2 ∩ L 1 >,< H 3 ∩ L 2 , H 3 ∩ L 1 >, el’unica retta che tocca L 1 , L 2 , L 3 .Calcolo di Schubert – p. 26/36

Esempi• Ci sono 2 rette che toccano 4 rette in P 3 Calcolo di Schubert – p. 27/36

Esempi• Ci sono 2 rette che toccano 4 rette in P 3• Ci sono 5 rette che toccano 6 piani in P 4 Calcolo di Schubert – p. 27/36

Esempi• Ci sono 2 rette che toccano 4 rette in P 3• Ci sono 5 rette che toccano 6 piani in P 4• La generica superficie cubica contiene 27retteCalcolo di Schubert – p. 27/36

Esempi• Ci sono 2 rette che toccano 4 rette in P 3• Ci sono 5 rette che toccano 6 piani in P 4• La generica superficie cubica contiene 27rette• La generica 3-fold quintica contiene 2875 rette(Schubert).Calcolo di Schubert – p. 27/36

Limiti del calcolo enumerativo• Ci sono 2 coniche per 4 punti e tangenti a unaretta.Calcolo di Schubert – p. 28/36

Limiti del calcolo enumerativo• Ci sono 2 coniche per 4 punti e tangenti a unaretta.• C’e’ una unica conica tangente a 5 retteCalcolo di Schubert – p. 28/36

Limiti del calcolo enumerativo• Ci sono 2 coniche per 4 punti e tangenti a unaretta.• C’e’ una unica conica tangente a 5 rette• Invece (2H) 5 = 32Calcolo di Schubert – p. 28/36

L’approccio differenziale, I• Gatto considera delle derivazioni su∧ k+1 ( Z n+1) visto come Z-modulo libero.Calcolo di Schubert – p. 29/36

L’approccio differenziale, I• Gatto considera delle derivazioni su∧ k+1 ( Z n+1) visto come Z-modulo libero.• Chiamiamo (e 1 , . . . , e n+1 ) una base di Z n+1 .Calcolo di Schubert – p. 29/36

L’approccio differenziale, I• Gatto considera delle derivazioni su∧ k+1 ( Z n+1) visto come Z-modulo libero.• Chiamiamo (e 1 , . . . , e n+1 ) una base di Z n+1 .• Ad esempio D(e i ) = e i+1 estesa in modo cheD(e i ∧ e j ) = D(e i ) ∧ e j + e i ∧ D(e j ) è unaderivazione su ∧ 2 Z n+1 Calcolo di Schubert – p. 29/36

L’approccio differenziale, II• Considero k = 1, n = 3. D(e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 3Calcolo di Schubert – p. 30/36

L’approccio differenziale, II• Considero k = 1, n = 3. D(e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 3• D 2 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 3 + e 1 ∧ e 4Calcolo di Schubert – p. 30/36

L’approccio differenziale, II• Considero k = 1, n = 3. D(e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 3• D 2 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 3 + e 1 ∧ e 4• D 3 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 4 + e 2 ∧ e 4 = 2e 2 ∧ e 4Calcolo di Schubert – p. 30/36

L’approccio differenziale, II• Considero k = 1, n = 3. D(e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 3• D 2 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 3 + e 1 ∧ e 4• D 3 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 4 + e 2 ∧ e 4 = 2e 2 ∧ e 4• D 4 (e 1 ∧ e 2 ) = 2e 3 ∧ e 4Calcolo di Schubert – p. 30/36

L’approccio differenziale, II• Considero k = 1, n = 3. D(e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 3• D 2 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 3 + e 1 ∧ e 4• D 3 (e 1 ∧ e 2 ) = e 2 ∧ e 4 + e 2 ∧ e 4 = 2e 2 ∧ e 4• D 4 (e 1 ∧ e 2 ) = 2e 3 ∧ e 4• È evidente l’analogia con l’intersezione suGr(1, 3), operare con D corrisponde atagliare col divisore iperpiano.Calcolo di Schubert – p. 30/36

L’approccio differenziale, III• Sia M = (Z n+1 )Considero D t = ∑ i≥0 D it i : ∧M → ∧M[[t]] dove perestendere a ∧M chiediamo cheD t (α ∧ β) = D t (α) ∧ D t (β)e che D i = D i su M.Calcolo di Schubert – p. 31/36

L’approccio differenziale, III• Sia M = (Z n+1 )Considero D t = ∑ i≥0 D it i : ∧M → ∧M[[t]] dove perestendere a ∧M chiediamo cheD t (α ∧ β) = D t (α) ∧ D t (β)e che D i = D i su M.• Ad esempioD 2 (α ∧ β) = D 2 (α) ∧ β + D 1 (α) ∧ D 1 (β) + α ∧ D 2 (β)e quindi D 2 ≠ D 2 su ∧ 2 M. Infatti D 2 (e 1 ∧ e 2 ) = e 1 ∧ e 4Calcolo di Schubert – p. 31/36

L’approccio differenziale, IV• Teorema (Gatto) L’anello generato daD, D 2 , . . . D n−k è isomorfo a H ∗ (Gr(k, n)). D icorrisponde a c i (Q).Calcolo di Schubert – p. 32/36

L’approccio differenziale, IV• Teorema (Gatto) L’anello generato daD, D 2 , . . . D n−k è isomorfo a H ∗ (Gr(k, n)). D icorrisponde a c i (Q).• Regola di Leibniz = formula di Pieri.Calcolo di Schubert – p. 32/36

L’approccio differenziale, IV• Teorema (Gatto) L’anello generato daD, D 2 , . . . D n−k è isomorfo a H ∗ (Gr(k, n)). D icorrisponde a c i (Q).• Regola di Leibniz = formula di Pieri.• Integrazione per parti = formula di Giambelli.Calcolo di Schubert – p. 32/36

Il grado di Gr(1, n), I• Mediante l’approccio differenziale si calcolafacilmente il grado di Gr(1, n).Calcolo di Schubert – p. 33/36

Il grado di Gr(1, n), I• Mediante l’approccio differenziale si calcolafacilmente il grado di Gr(1, n).• D 2(n−1)∑ 2(n−1)j=01 (e 1 ∧ e 2 ) =( 2n−2j)Dj1 e 1 ∧ D 2n−2−j1 e 2 =Calcolo di Schubert – p. 33/36

Il grado di Gr(1, n), I• Mediante l’approccio differenziale si calcolafacilmente il grado di Gr(1, n).• D 2(n−1)∑ 2(n−1)j=01 (e 1 ∧ e 2 ) =• = ∑ 2(n−1)j=0( 2n−2j( 2n−2j)Dj1 e 1 ∧ D 2n−2−j1 e 2 =)ej+1 ∧ e 2n−jCalcolo di Schubert – p. 33/36

Il grado di Gr(1, n), I• Mediante l’approccio differenziale si calcolafacilmente il grado di Gr(1, n).• D 2(n−1)∑ 2(n−1)j=01 (e 1 ∧ e 2 ) =• = ∑ 2(n−1)j=0( 2n−2j)Dj1 e 1 ∧ D 2n−2−j1 e 2 =)ej+1 ∧ e 2n−j( 2n−2j• Ci sono soltanto due addendi non nulli, perj = n − 1, n. QuindiCalcolo di Schubert – p. 33/36

Il grado di Gr(1, n), I• Mediante l’approccio differenziale si calcolafacilmente il grado di Gr(1, n).• D 2(n−1)∑ 2(n−1)j=01 (e 1 ∧ e 2 ) =• = ∑ 2(n−1)j=0( 2n−2j)Dj1 e 1 ∧ D 2n−2−j1 e 2 =)ej+1 ∧ e 2n−j( 2n−2j• Ci sono soltanto due addendi non nulli, perj = n − 1, n. Quindi• = [( ) (2n−2n−1 − 2n−2)]n en ∧e n+1 = n( 1 2n−2)n−2 en ∧e n+1Calcolo di Schubert – p. 33/36

Il grado di Gr(1, n), II•deg Gr(1, n) = 1 n( ) 2n − 2n − 2:= C n−1C n si dice n-esimo numero di Catalan.Calcolo di Schubert – p. 34/36

Il grado di Gr(1, n), II•deg Gr(1, n) = 1 n( ) 2n − 2n − 2:= C n−1C n si dice n-esimo numero di Catalan.• I primi numeri di Catalan sono1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, . . .Calcolo di Schubert – p. 34/36

Il grado di Gr(1, n), II•deg Gr(1, n) = 1 n( ) 2n − 2n − 2:= C n−1C n si dice n-esimo numero di Catalan.• I primi numeri di Catalan sono1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, . . .• Il numero di triangolazioni di un poligonoconvesso di n + 2 lati è C n . Unatriangolazione si ottiene tracciando diagonaliche si incontrano al più nei vertici.Calcolo di Schubert – p. 34/36

ette in ipersuperfici cubicheSiano c i = c i (U ∗ ) su Gr(1, n)• c 4 (S 3 (U ∗ )) = 18c 2 1c 2 + 9c 2 2 rappresenta lavarietà di Fano di codimensione 4 in Gr(1, n).Calcolo di Schubert – p. 35/36

ette in ipersuperfici cubicheSiano c i = c i (U ∗ ) su Gr(1, n)• c 4 (S 3 (U ∗ )) = 18c 2 1c 2 + 9c 2 2 rappresenta lavarietà di Fano di codimensione 4 in Gr(1, n).• Il suo grado si ottiene tagliando con c 2n−61 ed èuguale a18 deg Gr(1, n − 1) + 9 deg Gr(1, n − 2) =Calcolo di Schubert – p. 35/36

ette in ipersuperfici cubicheSiano c i = c i (U ∗ ) su Gr(1, n)• c 4 (S 3 (U ∗ )) = 18c 2 1c 2 + 9c 2 2 rappresenta lavarietà di Fano di codimensione 4 in Gr(1, n).• Il suo grado si ottiene tagliando con c 2n−61 ed èuguale a18 deg Gr(1, n − 1) + 9 deg Gr(1, n − 2) =•=27(2n − 6)!(n − 3)!(n − 1)! (3n − 7) Calcolo di Schubert – p. 35/36

Il grado della Grassmanniana•deg Gr(k, n) =1!2!...k![(k + 1)(n − k)]!(n − k)!(n − k + 1)!...n!Calcolo di Schubert – p. 36/36