Fac simile di prima prova in itinere - Department of Mathematics ...

Fac simile di prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica e delle TelecomunicazioniPolitecnico di MilanoA.A. 2009/20010. Prof. M. BramantiNella prima prova in itinere saranno assegnati 6 esercizi di questi tipi ed argomenti. Tutti gliesercizi qui elencati sono tratti da quelli assegnati in preparazione (con soluzioni scaricabili dallapagina web del corso) o dall'eserciziario, quindi non si riportano le soluzioni.Equazioni differenziali ordinarie1. Risolvere il problema di CauchyÚ ww w B#C C C œ / sin#BÛ C a! b œ 0ÜwC a! b œ 12. Si consideri l'equazione differenziale:wC œC CBa. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione, precisando il dominio in cui sonodefinite.b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione inizialeC a" b œ #Þc. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy èdefinita.Curve e integrali di linea3. Si consideri una linea materiale omogenea di massa Qß parametrizzata dalle equazioni:#Þœ B œ V $cos *$C œ Vsin** − c!ß # 1dÞSi calcolino la sua lunghezza ed il suo momento d'inerzia rispetto all'asse C.Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4a. Determinare l'insieme di definizione I della seguente funzione (ossia: scrivere nellaforma più semplice le condizioni che lo determinano e disegnarlo):0aBß Cb œ Ê" logŠ aB Cb "‹ÞRispondere poi sì o no a ciascuna delle seguenti domande:I è aperto? I è chiuso? I è limitato? I è connesso?#1

4b. Calcolare il seguente limite, ossia: applicando criteri o teoremi studiati, dimostrareche il limite esiste e vale..., oppure dimostrare che non esiste.5a. SialimaBßCbÄ a!ß!b# "Î$ #BC #C sin B# C#BÈC# $B/ B # C #B# C#Š ‹Bß C0aBß Cb œ B# C#per a b Á a!ß ! bā! per aBß Cb œ a!ß ! bÞSi dica (giustificando la risposta) in quale insieme del piano la funzione 0a. continua;b. derivabile;c. differenziabile.d. Si determini il più grande insieme aperto del piano in cui 0 è G " .risulta:5.b. Calcolare in base alla definizione la derivata direzionale della seguente funzionenell'origine, rispetto a un generico versore acos* ß sin*b. Calcolare in particolare le derivateparziali nell'origine, e stabilire se in questo caso vale la formula del gradiente.B #a/ " bCBß C0aBß Cb œ B# C% per a b Á a!ß ! bā! per aBß Cb œ a!ß ! bÞ5.c. Sia 0aBß Cb una funzione differenziabile in ‘ # , e si consideri la curva: b œ a# cos>ß $ sin > b per > − c!ß # 1dÞScrivere la formula che assegna la derivata di 0 a bbÞ6. a Þ Si determinino tutti i punti critici della seguente funzione, e se ne studi la natura:$B #0aBß Cbœ C %BC.$b. Scrivere lo sviluppo di Taylor al second'ordine per 0, con resto secondo Peano,centrato nel punto a"ß # bÞ2