Appunti di relatività ristretta

5.1 Particelle massiveUna particella nel suo moto descrive una traiettoria nello spazio-tempo. A questa traiettoria si dà il nome di linea dimondo (o linea d’universo), vedi figura 6. Possiamo parametrizzare questa linea di mondo utilizzando il tempo proprioτ.ctlinea d’universo di una particella massivaxFigure 6: La linea di universo di una particella massiva è contenuta all’interno del cono di luce.Nel caso di una particella massiva che si muove di moto a velocità costante la linea d’universo è una linea rettache indichiamo con x µ (τ). La quadrivelocità è per definizione il seguente quadrivettore(u µ (τ) ≡ dxµ (τ) cdt(τ)= , d⃗x(τ) ) ()c ⃗v= √ , √(39)dτ dτ dτ1 − v2c1 − v22 c 2dove si è fatto uso dell’equazione (38). Questa quantità è un quadrivettore poichè dτ è uno scalare e dx µ un quadrivettore.È immediato calcolarne il modulo quadratou µ u µ = −(u 0 ) 2 + ⃗u · ⃗u = −c 2 (40)Poichè u µ u µ è un invariante di Lorentz, per semplicità si sarebbe potuto effettuare il calcolo nel sistema di riferimentoa riposo con la particella, in cui u µ = (c, 0) come si evince dalla (39), e dunque u µ u µ = −c 2 .Il quadrimomento della particella è definito dap µ = mu µ (41)dove m è la massa della particella. Questa massa è per definizione una proprietà scalare assegnata alla particella ed avolte è detta massa invariante, massa a riposo o massa propria per differenziarla da eventuali altre definizioni. Dunqueanche p µ è un quadrivettore ed il suo modulo quadro è facilmente calcolabilep µ p µ = m 2 u µ u µ = −m 2 c 2 (42)Familiarizziamo un pò con questa definizione relativistica per vedere come le note definizioni non-relativistichesono generalizzate nella meccanica relativistica(p µ = m dxµ (τ)= mc dt(τ) ) ( ) ( )mcdτdτ, md⃗x(τ)m⃗v E= √ , √ =dτ1 − v2c1 −c , ⃗p . (43)v22 c 28