Appunti di relatività ristretta

Dalla trasformazione di Lorentz (2) segue cheda cuidx ′ = γ(dx − vdt) , dt ′ = γ(dt − v dx) (9)c2 v ′ x = dx′dt ′N.B. Se v x = c allora si trova che anche v ′ x = c.=γ(dx − vdt)γ(dt − v c 2 dx) = v x − v1 − vvxc 2 . (10)yy’t t ’vVyxx’zz’Figure 4: Particella con velocità v y nel sistema K.Si può procedere in modo simile anche nel caso di una particella con velocità diretta lungo l’asse y, come in figura4. Infatti per definizione v y = dydt e v′ y = dy′dt. Dalla trasformazione di Lorentz (2) segue che′da cuiv ′ y = dy′dt ′ =dy ′ = dy , dt ′ = γ(dt − v dt) (11)c2 dyγ(dt − v c 2 dx) =v yγ(1 − vvxc) = v y1 − vvx2 c 2√1 − v2c 2 . (12)ii) Contrazione delle lunghezzeSupponiamo che nel sistema K ′ ci sia un regolo di lunghezza L 0 = x ′ 2 − x ′ 1 in quiete, vedi figura 5. Quindi la sualunghezza vista nel sistema di riferimento a riposo con il regolo stesso è L 0 . Nel sistema K il regolo si muove convelocità v, per cui occorrerà misurare la posizione degli estremi del regolo in modo simultaneo ad un tempo fissato tper calcolare la lunghezza LL = x 2 (t) − x 1 (t). (13)Si ricordi infatti che la simultaneità è un concetto relativo al sistema di riferimento poiché il tempo lo è. Ora possiamochiederci: come sono collegate L ed L 0 ? Dalle trasformazioni di Lorentz (2) si ottieneL 0 = x ′ 2 − x ′ 1 = x 2(t) − vt√1 − v2c 2− x 1(t) − vt√1 − v2c 2= x 2(t) − x 1 (t)√ =1 − v2c 2L√ . (14)1 − v2c 2Dunque la lunghezza vista nel sistema di riferimento in cui l’oggetto è in moto con velocità v risulta contratta√L = L 0 1 − v2c 2 . (15)Infatti in generale v ≤ c per cui√1 − v2c 2 ≤ 1 ⇒ L ≤ L 0 . (16)ii) Dilatazione dei tempi4