Appunti di relativitÃ ristretta

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Analogamente si può procedere con le equazioni di Maxwell senza sorgentidove, abbassando gli indici con le metrica di Minkowski, si ha∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0 (62)⎛⎞ ⎛0 −E x −E y −E z 0 −E 1 −E 2 −E 3 ⎞F µν = η µλ η νσ F λσ ⎜ E= x 0 B z −B y ⎟ ⎜ E⎝⎠ =1 0 B 3 −B 2 ⎟⎝E y −B z 0 B x E 2 −B 3 0 B 1 ⎠ . (63)E z B y −B x 0 E 3 B 2 −B 1 0Valutando l’eq. (62) con (µ, ν, λ) = (1, 2, 3) si ha∂ 1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 = ∂ 1 B 1 + ∂ 2 B 2 + ∂ 3 B 3 = 0 (64)ed otteniamo l’equazione⃗∇ · ⃗B = 0 .Similmente con (µ, ν, λ) = (0, 1, 2) si hache corrisponde alla terza componente dell’equazione vettorialee così via.∂ 0 F 12 + ∂ 1 F 20 + ∂ 2 F 01 = ∂ t B 3 + ∂ 1 E 2 − ∂ 2 E 1 = 0 (65)⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0Principio d’azione La soluzione generica delle equazioni omogenee (62) può essere scritta in termini di unpotenziale quadrivettore A µF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (66)Con il potenziale A µ è possibile introdurre un principio di minima azione per le equazioni del campo elettromagnetico.Infatti dall’azione∫ (S Max [A µ ] = d 4 x − 1 4 F µνF µν + A µ J µ) (67)da cui si ottengono le equazioni di Maxwell con sorgente∂ µ F µν = −J ν . (68)La conservazione della corrente è necessaria per la consistenza delle equazioni di Maxwell. Infatti∂ µ ∂ ν F µν = 0 =⇒ ∂ ν J ν = 0 . (69)Esplicitiamo queste equazioni separando gli indici in parti spaziali e parti temporali. Ponendopossiamo calcolareA µ = (A 0 , ⃗ A) = (φ, ⃗ A) , A µ = (−φ, ⃗ A) , J µ = (ρ, ⃗ J) (70)∂ µ J µ = ∂ρ∂t + ⃗ ∇ · ⃗J = 0F 0i = ∂ 0 A i − ∂ i A 0 = ∂ t A i + ∂ i φ = −E iF ij = ∂ i A j − ∂ j A i = ɛ ijk B k (71)per cui il tensore campo elettromagnetico può essere scritto (in unità di Heaviside-Lorentz) come⎛⎞0 −E x −E y −E z⎜ EF µν = x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ (72)E y −B z 0 B xE z B y −B x 012
Inoltre∂ µ F µ0 = −J 0 −→ ∂ i F i0 = ρ −→ ⃗ ∇ · ⃗ E = ρ∂ µ F µi = −J i −→ ∂ j F ji + ∂ 0 F 0i = −J i −→ ⃗ ∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J (73)che riconosciamo come le equazioni di Maxwell con sorgenti. Le altre equazioni di Maxwell (quelle senza sorgenti)⃗∇ · ⃗B = 0⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0 (74)sono similmente contenute in ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0, conseguenza della (66) (identità di Bianchi).13
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