Appunti di relatività ristretta

P2tP3sP1P4Figure 7: Processo di urto. Sono rappresentate le variabili di Mandelstam s e t.Esercizio 8: Una particella di massa M a riposo decade in due particelle di massa m 1 e m 2. Utilizzando la conservazione delquadrimpulso totale calcolare le energie delle particelle finali.Esercizio 9: Utilizzare le leggi di trasformazione (33) per il campo elettromagnetico definito in (72) per derivare le seguentileggi di trasformazione per cambio del sistema di riferimento specificato dalla trasformazione in (19)E ′ x = E xB ′ x = B xE ′ y = γ(E y − βB z) B ′ y = γ(B y + βE z)E ′ z = γ(E z + βB y) B ′ z = γ(B z − βE y).(57)6 AppendiceEquazioni di MaxwellSvolgiamo esplicitamente l’esercizio n.3 facendo uso delle unità di misura di Heaviside-Lorentz con c = 1. Consideriamole quattro equazioni di Maxwell con sorgenti∂ µ F µν = −J ν (58)dove⎛⎞0 E x E y E zF µν ⎜ −E= x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ , J µ = (ρ, J)−E y −B z 0 B ⃗ (59)x−E z B y −B x 0e valutiamo l’equazione per i diversi valori dell’indice libero ν = (0, i) con i = (1, 2, 3).Per ν = 0 abbiamo∂ µ F µ0 = ∂ 0 F 00 + ∂ i F i0 = ∂ 1 F 10 + ∂ 2 F 20 + ∂ 3 F 30 = −(∂ 1 E 1 + ∂ 2 E 2 + ∂ 3 E 3 ) = − ⃗ ∇ · ⃗E = −J 0 = −ρ (60)dove naturalmente E 1 ≡ E x , E 2 ≡ E y , etc.. Riconosciamo questa come l’equazione di GaussPer ν = 1 abbiamo⃗∇ · ⃗E = ρ .∂ µ F µ1 = ∂ 0 F 01 + ∂ i F i1 = ∂ 0 E 1 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 = ∂ t E 1 − ∂ 2 B 3 + ∂ 3 B 2 = (∂ t⃗ E − ⃗ ∇ × ⃗ B) 1 = −J 1 (61)che corrisponde alla prima componente dell’equazione vettoriale⃗∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J .Un calcolo simile con ν = 2, 3 genera le altre componenti di questa equazione vettoriale.11