Modellazione fisica per ambienti virtuali - Percro

Argomenti di oggi Cos’èla simulazione dimamica? Richiami di dinamica Soluzioni numericheper le equazioni differenziali Struttura di un motore fisico Utilizzo di un motore fisico2 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Simulazione dinamica in breve Dinamica:applicazione delle leggi di Newtonsul moto dei corpi Simulazione dinamica:ottenere l’evoluzione ldel sistemaa partire dalla descrizione di– Oggetti– Interazioni fra oggetti– Forze che agiscono sugli oggetti4 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Tipologie di simulazione Offline:velocità scorrelatada quella dei processi simulati Online:stessa velocità dei processi simulati– Realtime– Interattiva: è possibile modificarelo stato della simulazionementre è in corso5 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Applicazioni industriali Prototipizzazione, studi ingegneristici Formazione del personale6 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Applicazioni: animazione 3D Tessuti Vento Moto inerziale ecc. ecc.7 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Applicazioni: giochi e VR Incrementare la credibilità– veicoli, sport, balistica, “rag-doll”,, ecc. Compromesso accuratezza/prestazioni... e divertimento!8 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Problemi Accuratezza Prestazioni Stabilità Parameter tuning9 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Cinematica e dinamica10

Cinematica Descriviamoil movimentodi un corpoignorandone le cause Controlliamodirettamentela variabile posizioneP(t) = mva(t) = dv/dtv(t) = dx/dtx(t)11 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Dinamica Descriviamole cause del moto,ovvero le forze Controlliamodirettamentele forze che agisconosui corpi stessiF(t)a(t) = F/mv(t) = ∫ax(t) = ∫vdP(t)/dt = F12 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Cinematica vs. DinamicaDinamica!Cinematica13 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Richiami di dinamica14

Dinamica delle particelleParticella (o punto) Non ha estensione La sua posizione nello spazio èdescritta solo dalla sua traslazionerispetto all’origine: (x, y, z)Stato di una particella Posizione Velocità15 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Sistema di particelle (1/2) Quantità di moto totaleP = Σ ip i= Σ im iv i Centro di massax cm = (Σ(im ix i)/M16 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Sistema di particelle (2/2)In assenza di forze esterne: la quantità di moto (o momento lineare)del sistema si conserva il centro di massa resta in quieteIn presenza di forze esterne: il moto del centro di massa è equivalentea quello di un’unica unica particellacon massa M=Σm i17 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Applicazioni dei sistemi particellari in CGMolto usati! Effetti (fuoco, nebbia, nuvole...) Anche capelli!18 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Dinamica del corpo rigidoIl corpo rigido Ha un’estensione spaziale– È quindi soggetto anche al moto rotatorio È indeformabileStato di un corpo rigido Posizione e velocità (del baricentro) Rotazione e velocità angolare19 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Moto rotatorioRotazione attorno ad un asse fisso L’angoloθ varia nel tempo Tracciando un’analogiafra angolo θ(t) e posizione x(t)possiamo definire:– Velocità angolare– Accelerazione angolare– Momento angolare– Momento di una forza– Momento d’inerziad20 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Parallelismo fra moto lineare e angolareposizionevelocitàaccelerazioneresistenza al motomomento (si conserva)forzaLinearexv = dx/dta = vx/dt= d 2 x/dt 2m(massa inerziale)P = mvF = ma = dP/dtAngolareΘ (angolo)Ω = dΘ/dtdα = dΩ/dtd= d 2 Θ/dt2I(momento d’inerzia) dL = IΩIτ = Iα I = dL/dt= F x r21 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Moto del corpo rigidoMoto di un singolo corpo rigido Tutte le forze influenzanoil moto del baricentro Alcune forze influenzanoanche il moto rotatorio– Forze che non agiscono uniformemente sututto il corpo– Forze non in linea col baricentro22 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Momento (o tensore) d’inerziad È una matrice 3x3 che rappresentala resistenza di un corpo alla rotazionerispetto ai vari assiI = mr 2(per un punto, rispetto ad un asse noto) Nota: è diverso per ogni orientazionedi un corpo, ma è possibile esprimerlocomeI(t) = R(t)I body R(t) T23 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Constrained dynamicsLe cose si complicano quando piùcorpi rigidi interagiscono: Collisioni Vincoli(sottrazione di gradi di libertà)24 Modellazione fisica per ambienti virtuali

CollisioniArgomento molto vastoIn breve: Collision detection– Banale particelle/piano– Poco banale fra superfici qualsiasi! Collision response– Cruciale dove applichiamo la rispostain un corpo rigido25 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Soluzioni numericheper le equazioni differenziali26

Equazioni differenziali ordinarieUna ODE (Ordinary Differential Equation)di ordine “n” è“un’equazione in cui l’incognitalè una funzione in una variabile indipendente,e che contiene derivate dell’incognitain quella variabile fino all’ordine n” n Esempio:F = ma ovvero d 2 x/dt 2 =F/m(ODE di ordine 2)27 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Soluzioni numeriche Calcoliamo la variazione di x(t)in un intervallo temporale ∆T Metodi famosi– Eulero– Punto di mezzo– Runge Kutta– ecc.28 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Metodo di Eulerodx/dt = f(t)x(t 0 + h) = x 0 + hf(t 0 )29 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Problemi (1/2) Accuratezza– La soluzione non è esatta, ma quantosi discosta da un risultato corretto? Ordine dell’erroreerrore– Che prezzo siamo disposti a pagarein cambio di una maggiore accuratezza? Funzioni di costo(numero di valutazioni di F e F’) F30 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Problemi (2/2) Stabilità– Alcuni metodi rischiano di divergerecompletamente– Equazioni “stiff” Metodi impliciti– Diminuire il passo di integrazione puòservire, ma può costare molto e a voltepuò essere addirittura controproducente!31 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Deriva numerica di R: problema R è la matrice 3x3 che esprimela rotazione di un corpo nello spazio Dopo molte elaborazioni successivesi accumulano gli errori numerici Tuttavia non tutte le matrici 3x3sono matrici di rotazione!– R tende ad allontanarsi dall’ortogonalitortogonalità Effetto grafico e fisico non realistico– Difficile ripristinare R32 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Deriva numerica di R: soluzione (1/2)I quaternioni Estensione dei numeri complessi Un valore reale e tre immaginariQ = a + ib + jc +kdcon i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 Un quaternione è unitario sea 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 Ogni quaternione unitarioè interpretabile come una rotazionein 3D e viceversa33 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Deriva numerica di R: soluzione (2/2)Risolvono il problema perché: Hanno solo 4 elementi– Si accumula meno errore Sono facili da correggere– Hanno norma unitaria– Tutti i 4v con norma unitariasono quaternioni! Inoltre:– Meno memoria– Facile interpolare rotazioni34 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Struttura di un motore fisico35

Strutture datistruct Particle {float m; /* massa */float x[3]; /* posizione */float v[3];/* velocita’ */float f[3]; /* risultante */};struct ParticleSystem {int n; /* numero di particelle */Particle **p;float t; /* orologio di sistema */};36 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Metodo GetDerivativevoid GetDerivative(ParticleSystem *ps, float *dst) {for (int i = 0; i < ps->n; i++) {Particle *p = ps->p[i];*(dst++) = p->v[0]; p/* xdot = v */*(dst++) = p->v[1]; p*(dst++) = p->v[2]; p*(dst++) = p->f[0] p/ p->m; p/* vdot = f / m */*(dst++) = p->f[1] p/ p->m; p*(dst++) = p->f[2] p/ p->m; p}}37 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Metodo SetStatevoid SetState(ParticleSystem *ps, float *src) {for (int i = 0; i < ps->n; i++) {Particle *p = ps->p[i];p->x[0] = *(src++);p->x[1] = *(src++);p->x[2] = *(src++);p->v[0] = *(src++);p->v[1] = *(src++);p->v[2] = *(src++);}}/* analogamente abbiamo GetState */38 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Esempio col metodo di Eulero (2/2)ParticleSystem *ps = Init_System(NPARTICLES);float *aux = new float[ps->n * 6];float *aux2 = new float[ps->n * 6];for (ps->t = t_0; ps->t < t_end; ps->t += delta_t) {ClearForces(ps);/* p[i]->f = 0 */ComputeForces(ps);/* p[i]->f = (...) */GetDerivative(ps, aux); /* F(t) */_vector_scale(aux, delta_t); /* hF(t) */GetState(ps, aux2); /* x0 */_vector_add(aux2, aux, aux2); /* x0 + hF(t) */SetState(ps, aux2);}39 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Struttura generalevoid ComputeForces(ParticleSystem *p, float t);Init_System();while (1) {/* qui prendiamo il vecchio stato */ODE_Solver(t0, t0 + h, state, ComputeForces);/* qui settiamo il nuovo stato */} In generale ODE_Solver può chiamare ComputeForcespiù volte durante un singolo step40 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Caso del corpo rigido La struttura si arricchisce– Rotazione R (o q!)– Tensore d’inerzia dIbody– Velocità angolare (o momento)– Momento della forza T Vanno calcolate forze e momenti41 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Utilizzo di un motore fisico(esempio di ODE)42 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Il software ODE Da non confondere:– ODE, la libreria di simulazione dinamica– ODE, equazioni differenziali ordinarie ODE sta per “Open Dynamics Engine” È open source– LGPL– BSD C / C++www.ode.org43 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Inizializzazione di ODE Per prima cosa si crea un mondo(contenitore di oggettiin grado di interagire fra loro)dWorldID world = dWorldCreate(); Successivamente possiamoaggiungere i corpi rigididBodyID body = dBodyCreate(world);44 Modellazione fisica per ambienti virtuali

I corpi rigidi (dBody) Metodi per settare lo statodBodySetPosition(body, x, y, z);dBodySetRotation(body, R);dBodySetQuaternion(body, q);dBodySetLinearVel(body, x, y, z);dBodySetAngularVel(body, x, y, z); ... e relativi metodi di Get Metodi per aggiungere forzedBodyAddForce(body, x, y, z);dBodyAddTorque(body, R);/* ... E molte altre varianti *//* vengono azzerate dopo ogni time step */45 Modellazione fisica per ambienti virtuali

La massa (dMass) (1/2) Struttura che contiene– Massa– Posizione del centro di gravità– Momento d’inerziad È possibile inizializzarlamediante composizione di massedi solidi elementari– Così non c’ècbisogno di calcolare I46 Modellazione fisica per ambienti virtuali

La massa (dMass) (2/2)Esempio:dMass m1, m2;dMassSetSphere(&m, density1, 5.0);dMassSetBox(&m, density2, 1.0, 2.0, 3.0);dMassAdd(&m1, &m2);dBodySetMass(body, &m1); Esempio: Altre operazioni:– Traslazione– Rotazione– Adjust (per settare la massa totale)47 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Collision detection Collision detection– Esterna– Integrata in ODE L’esitoè una serie di “contact points” Per usare la CD integrata– Ogni corpo deve avereuna sua descrizione “spaziale”48 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Geometry Objects (1/2) Descrivono figure rigide fondamentali Ogni body può averne più di una Vari tipi:– Sfera– Box– “Capped Cylinder”– Piano– Raggio– Mesh– User defined...49 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Geometry objects (2/2)Esempio:dGeomID box, sphere;box = dCreateBox(0, lx, ly, lz);sphere = dCreateSphere(0, rad);dGeomSetPosition(sphere, 0, 0, lz);dGeomSetBody(box, body);dGeomSetBody(sphere, body); Esempio: Da non confondere:– Creazione massa– Creazione geometrie50 Modellazione fisica per ambienti virtuali

I vincoli (dJoint) Limitano i movimenti possibili di uncorpo rispetto ad un altro51 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Uso dei vincoli (dJoint)dJointID joint = dJointCreateBall(world, jointGroup);/* o Hinge, Slider, Contact, Universal, Fixed... */dJointAttach(joint, body1, body2);dJointSetBallAnchor(joint, x, y, z); /* occhio! */dJointSetHingeAxis(j2, x, y, z);/* ecc. */ Limiti spaziali/angolari vanno settati a manodJointSetHingeParam(j2, dParamLoStop, val); I joint possono anche avere una velocitàdJointSetHingeParam(j2, dParamVel, val2);dJointSetHingeParam(j2, dParamBounce, 0.2);52 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Disabilitare i corpi Un corpo “lontano” può esseretemporaneamente escluso dallasimulazione In ODE c’ècla possibilità di farloautomaticamente sotto certe soglie divelocitàdBodyEnable(body);dBodyDisable(body);bool b = dBodyIsEnabled(body);dBodySetAutoDisableFlag(body, 1); Questo funziona per “isole” di corpiconnessi53 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Avanzamento di una simulazione dWorldStep(world, stepsize)– Può essere lento– Pesante in memoria– Relativamente accurato dWorldQuickStep(world, stepsize)– Molto più veloce– Molto più leggero– Meno accurato54 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Parameter tuning ERP (Error Reduction Parameter)– Ripristinare joint violati– ERP = 1.0 instabile... CFM (Constraint Force Mixing)– “Ammorbidisce” i vincoli– Stabilizza i conti... Grandezze in gioco di ordineparagonabile ... E molto altro!55 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Per approfondire56

Motori fisiciTokamak http://www.tokamakphysics.com/ Tokamak– Nativo in XVR (prossima lezione)– Documentazione scarsa– Gratis ma non open source– Sviluppo fermo?PhysX http://www.ageia.com/developers/ PhysX– Supporto hardware!– Commerciale– Ottimi strumenti per gli sviluppatoriBullet http://www.continuousphysics.com/Bullet/ Bullet– Open source– Integrazione con Blender57 Modellazione fisica per ambienti virtuali

Letture consigliate Il famoso “paper di Baraff”– http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/ ODE User Guide– http://www.ode.org/ode-latestlatest-userguide.html Novodex/PhysX– Registrazione obbligatoria ☹58 Modellazione fisica per ambienti virtuali