topografia 1 cartografia - ISIS Via Ivon de Begnac

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Ogni fuso è stato suddiviso in 20 fasce di ampiezza pari a 8° di latitudine ciascuna,individuate da una lettera maiuscola; ciascuna zona, individuata dall’intersezione diun fuso con una fascia, viene ulteriormente suddivisa in quadrati di 100 Km di lato,con rette parallele agli assi N ed E individuati da due lettere maiuscole.Un punto viene identificato mediante coordinate alfanumeriche (numero del fuso eUTMUniversale Trasversadi Mercatorelettera della fascia, coppia di lettere del quadrato ed infine dalle sue coordinatepiane). Nella cartografia UTM la coordinata Nord ha origine sull’equatore, mentre,allo scopo di eliminare l'uso dei numeri negativi per le ascisse dei numeri posti adOvest dei rispettivi meridiani centrali, si è ricorso allo spostamento fittiziodell'origine delle ascisse, istituendo una falsa origine e attribuendo ai punti sulmeridiano centrale di ogni fuso un valore convenzionale dalla coordinata Est pari a500 km. Si vengono quindi a determinare le coordinate E (Est) e N (Nord), definiteda: N = y ; E = 500 ± x
A-B QUASICONVEXITY AND IMPLICIT PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 29Also, the function'( 1 ; 2 ; 3 ) := 1 2 3 + j 1 jsatis…es (6.7), and taking h e := (1; 0; 0) then (0; 0; 1); (0; 0; 1) 2 Z, and we concludethat 0 2 co Z. Note, however, that ' =2 C 1 .(ii) The anisotropic energy densities ' considered by Landau and Lifschitz in[16] satisfy property (6.7) with ' 2 C 1 . Note that although 0 =2 co Z, we may stillhave existence of minima for the energy E, as illustrated by the example treated byJames-Kinderlehrer [15] and addressed in the Introduction where h e = Dm 1 and'(m 1 ) = 0. Indeed, it is easy to prove that here Z = fm 1 g, and James-Kinderlehrer[15] provide a solution with induced magnetic …eld h m 6= 0.Proof. If 2 Z thenand so'() hh e ; i = () ( ) = '( ) + hh e ; i = '() + hh e ; i ;(6.8) Z f 2 S 2 : hh e ; i 0g; co Z f 2 B(0; 1) : hh e ; i 0g:If h e 6= 0 it follows immediately that 0 =2 int co Z.Assume now that ' satis…es (6.7) and that h i e 6= 0 for all i 2 f1; 2; 3g. If 0 2 co Zthen4X4X0 = t i i ; i 2 Z; t i 0; t i = 1:i=1By (6.7) we have that for i 2 f1; 2; 3; 4g'( i 1; i 2; i 3) he ; ( i 1; i 2; i 3) '( i 1; i 2; i 3) he ; ( i 1; i 2; i 3) = '( i 1; i 2; i 3) he ; ( i 1; i 2; i 3) ;and thus h 1 e i 1 0; more generally(6.9) h j e i j 0 for all j 2 f1; 2; 3g; i 2 f1; 2; 3; 4g:We have0 = hh e ; 0i =i=14X t i he ; iwhich, together with (6.8), yields h e ; i = 0 for all i 2 f1; 2; 3; 4g. In view of (6.9)we now have that h j e i j = 0 for all j 2 f1; 2; 3g; i 2 f1; 2; 3; 4g, hence i = 0 for alli 2 f1; 2; 3; 4g, contradicting the fact that 2 S 2 . We conclude that 0 =2 co Z.Finally, consider the case where h e 6= 0, and ' 2 C 1 satis…es (6.7). Without lossof generality we assume that h 1 e > 0. We claim that Z fx > 0g, from what itwill follow that co Z fx > 0g, and hence 0 =2 co Z. Let = (x; y; z) 2 Z. Sincei=1'(x; y; z) hh e ; (x; y; z)i '( x; y; z) hh e ; ( x; y; z)i ;by (6.7) we deduce that 2h 1 ex 0, i.e. x 0. If x = 0 then there exists a Lagrangemultiplier =2 2 R such thatr (0; y; z) + 2 rjidj2 (0; y; z) = 0;and so@'@x (0; y; z) h1 e = 0:
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