TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

(b) Se f ∈ S ′ , allora ogni derivata D α f ∈ S ′ . Infatti, visto che l’operazionedi derivazione D α ϕ è continua da S in S, il secondo membrodell’uguaglianza(D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ), ϕ ∈ S,è un funzionale lineare continuo su S.(c) Se f ∈ S ′ e det A ≠ 0, si ha f(Ay + b) ∈ S ′ . Infatti, dato che l’operazionedi trasformazione ϕ[A −1 (x − b)] è continua da S in S, il secondomembro dell’uguaglianza()(f(Ay + b), ϕ) = f, ϕ[A−1 (x − b)]| det A|è un funzionale lineare continuo su S.(d) Se f ∈ S ′ ed a ∈ θ M , si ha af ∈ S ′ . Infatti, visto che l’operazionedi molteplicazione per a appartenente a θ M è continua da S in S, ilsecondo membro dell’uguaglianza(af, ϕ) = (f, aϕ)è un funzionale lineare continuo su S.(e) La derivata D α δ della funzione Delta di Dirac appartiene a S ′ . Infatti,il terzo membro dell’uguaglianza(D α δ, ϕ) = (−1) |α| (δ, D α ϕ) = (−1) |α| [D α ϕ](0)è un funzionale lineare continuo su S.3 Trasformata di Fourier delle funzioni generalizzatedi crescita lentaLa proprietà rimarchevole della classe delle funzioni generalizzate di crescitalenta consiste nel fatto che l’operazione di trasformazione di Fourier nonporta fuori dai limiti di questa classe.8