TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

di funzionali: una successione di funzioni generalizzate f 1 , f 2 , · · · , appartenentia S ′ , converge ad una funzione generalizzata f ∈ S ′ , cioè f k → f perk → ∞ in S ′ se, per qualunque ϕ ∈ S si ha (f k , ϕ) → (f, ϕ) per k → ∞.L’insieme lineare S ′ dotato di convergenza debole è detto spazio S ′ dellefunzioni generalizzate di crescita lenta.Teorema I.4 (di Laurent Schwartz). Affinché un funzionale lineare f suS appartenga a S ′ (cioè, sia continuo su S), è necessario e sufficiente cheesistono numeri C > 0 e p ∈ N ∪ {0} tali che, per qualunque ϕ ∈ S, siavalida la disuguaglianza 3 |(f, ϕ)| ≤ C‖ϕ‖ (p) , (I.7)dove‖ϕ‖ (p) =sup (1 + |x|) p |D α ϕ(x)|.|α|≤p,x∈R nDimostrazione. Per dimostrare la sufficienza, supponiamo che il funzionalelineare f su S soddisfi la disuguaglianza (I.7) per certi C > 0 ep ∈ N ∪ {0}. Dimostriamo che f ∈ S ′ . Sia ϕ k → 0 per k → ∞ in S. Siha allora ‖ϕ k ‖ (p) → 0 per k → ∞, e quindi |(f, ϕ k )| ≤ C‖ϕ k ‖ (p) → 0 perk → ∞. Ciò significa che f è un funzionale continuo su S.Per dimostrare la necessità, sia f ∈ S ′ . Dimostriamo che esistono numeriC > 0 e p ∈ N∪{0} tali che, per qualunque ϕ ∈ S ′ , è valida la disuguaglianza(I.7). Supponiamo, invece, che i numeri menzionati C e p non esistano. Alloraesiste una successione di funzioni ϕ k , k ∈ N, appartenenti a S, tali che|(f, ϕ k )| ≥ l ‖ϕ k ‖ (k) .(I.8)La successione di funzioniψ k (x) =ϕ k(x)√k ‖ϕk ‖ (k), k ∈ N,tende a zero in S, poichè per k ≥ |α| e k ≥ |β| si ha∣ x β D α ψ k (x) ∣ ∣ ∣x β D α ϕ k (x) ∣ = √ ≤ √ 1 .k ‖ϕk ‖ (k) k3 Si ricordi che ‖ϕ‖ p denota la norma L p di una funzione ϕ.6