TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

2.1 Spazio delle funzioni fondamentali SRiportiamo nell’insieme delle funzioni fondamentali S = S(R n ) tutte le funzionidella classe C ∞ (R n ) decrescenti, per |x| → +∞, con tutte le derivatepiù rapidamente di ogni potenza non negativa di 1/|x|. Definiamo la convergenzain S come segue: la successione delle funzioni ϕ 1 , ϕ 2 , · · · , da S convergead una funzione ϕ ∈ S, cioè ϕ k → ϕ per k → ∞ in S, se, per tutti i valoridei moltiindici 2 α e β, si halim sup∣ ∣x β D α ϕ k (x) − x β D α ϕ(x) ∣ = 0.k→∞ x∈R nLe operazioni di derivazione D β ϕ(x) e di sostituzione lineare non singolaredi variabili ϕ(Ay+b) (dove det A ≠ 0) sono continue da S in S. Questo seguedirettamente dalla definizione di convergenza nello spazio S.D’altro canto, la moltiplicazione per una funzione infinitamente derivabilepuò far uscire all’esterno dell’insieme S, per esempio e −|x|2 e |x|2 = 1 /∈ S.Supponiamo che una funzione a ∈ C ∞ (R n ) cresca all’infinito insieme contutte le derivate successive non più rapidamente del polinomio|D α a(x)| ≤ C α (1 + |x|) mα . (I.6)Indichiamo con θ M l’insieme di queste funzioni.L’operazione di moltiplicazione per una funzione a ∈ θ M è continua da Sin S. Infatti, dalla disuguaglianza (I.6) segue che, se ϕ ∈ S, si ha aϕ ∈ S, ese ϕ k → 0 per k → ∞ in S, per tutti i valori di α e β si hacioè aϕ k → 0 per k → ∞ in S.lim sup x β [D α (aϕ k )](x) = 0,k→∞ k∈R n2.2 Spazio delle funzioni generalizzate di crescita lenta S ′Si dice funzione generalizzata di crescita lenta ogni funzionale lineare continuosullo spazio S delle funzioni fondamentali. Denotiamo S ′ = S ′ (R n ) l’insiemedi tutte le funzioni generalizzate di crescita lenta. È evidente che S′ èun insieme lineare. Definiamo come debole la convergenza di una successione2 Se x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ R n , α = (α 1 , · · · , α n ) ∈ (N ∪ {0}) n e β = (β 1 , · · · , β n ) ∈(N ∪ {0}) n , allora x β = x β11 · · · xβn n e D α ϕ(x) = Dx α11Dx α22 · · · Dx αnnϕ(x). Secondo il teoremadi Schwartz, l’ordine di derivazione parziale non importa. Inoltre, |α| = α 1 + · · · + α n .5