TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

Infatti, scrivendo y(x) per la parte a destra si hax [y ′′ (x) + y(x)] = 1 π= 1 π+ 1 π∫ π0∫ π0∫ π0x cos(x cos θ) dθ − 1 π∫ π0x cos 2 x cos(x cos θ) dθxsen 2 x cos(x cos θ) dθ = 1 π [sen θ sen (x cos θ)]π θ=0cos θ sen (x cos θ) dθ = −y ′ (x),mentre y(0) = 1 e y ′ (0) = 0. Quindi y soddisfa l’equazione differenziale diBessel. Dunque y(x) = J 0 (x). Infine, per la periodicità delle funzioni di θ sihaJ 0 (x) = 12π∫ π−πcos(x cos θ) dθ = 1 ∫ 2πcos(x cos θ) dθ = 1 ∫ 2πe ix cos θ dθ.2π 02π 0Riferimenti bibliografici[1] L. Schwartz, Théorie des Distributions, 2 vols., Hermann, Paris, 1966.[2] V.S. Vladimirov, Equazioni della Fisica Matematica, Ed. Mir, Mosca,1987.27