TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

a coefficienti arbitrari a (m)lsono anch’esse funzioni sferiche di ordine l.Le funzioni sferiche {Ylm } formano un sistema ortogonale e completo inL 2 (S 2 ), ed inoltreInfatti,‖Y ml ‖ 2 L 2 (S 2 ) = 2π 1 + δ 0,m2l + 1(l + |m|)!l − |m|)! .‖Yl m ‖ 2 ==∫ 1−1∫ π ∫ 2π00|Y mlP |m|l(ξ) 2 (1 − ξ 2 ) m dξ(θ, ϕ)| 2 dθ dϕ∫ 2π0{ } cos 2 mθsen 2 mθdθ = 2π 1 + δ 0,m2l + 1l + |m|)!(l − |m|)! .La completezza di un sistema ortogonale di funzioni sferiche {Ylm } significache ogni funzione f appartenente a L 2 (S 2 ) può essere sviluppata in seriedi Fourier di queste funzioni:f(s) =∞∑ l∑l=0 m=−la (m)lYl m (s) =∞∑Y l (s),l=0convergente in L 2 (S 2 ). I coefficienti a (m)lsono calcolati mediante la formulaa (m)l=2l + 1 (l − |m|)!2π(1 + δ 0,m ) (l + |m|)!∫ π ∫ 2π00f(θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)sen ϕ dθ dϕ.Le funzioni sferiche Ylm , m = 0, ±1, · · · , ±l, sono autofunzioni dell’operatoredi Beltrami,− 1 (∂sen ϕ ∂ )− 1 ∂ 2sen ϕ ∂ϕ ∂ϕ sen 2 ϕ ∂θ , 2che corrisponde all’autovalore λ = l(l + 1) di molteplicità 2l + 1.AUn’espressione per una funzione di BesselSi può mostrare cheJ 0 (x) = 1 π∫ π0cos(xsen θ) dθ = 1 ∫ 2πe ix cos θ dθ.2π 026