TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

Quindi, se P l (ξ) sono i polinomi di Legendre, i polinomi (d/dξ) m P l+m (ξ)(l = 0, 1, 2, · · · ) sono un sistemi di polinomi ortogonali (di grado l) rispettoal peso w(ξ) = (1 − ξ 2 ) m .Troviamo ora la costante di normalizzazione. Si ha∫ 1−1[=(1 − ξ 2 ) m P (m) (ξ)P (m) (ξ) dξ(1 − ξ 2 ) m P (m)lll ′(ξ)P (m−1)l ′] 1∫ 1(ξ) −−1 −1∫ 1= (l − m − 1)(l + m) (1 − ξ 2 ) m−1 P (m−1)l−1= (l + m)(l − m + 1)(l + m − 1)(l − m + 2)××=∫ 1−1(1 − ξ 2 ) m−2 P (m−2)l(l + m)!(l − m)!∫ 1−1Quindi( 2(l + m) + 12(ξ)P (m−2)l(ξ) dξ′P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = 2 (l + m)!2l + 1 (l − m)! δ l.l ′.[′P (m−1)l(ξ) (1 − ξ 2 ) m P (m)′l(ξ)]dξ(ξ)P (m−1)l(ξ) dξ′1/2 ( ) ml! dP l+m (ξ), l = 0, 1, 2, · · · ,(l + 2m)!)dξè il sistema ortonormale dei polinomi rispetto al peso (1 − ξ 2 ) m [con coefficientedi ξ l positivo].3 Le funzioni sferiche per n = 3: CompletezzaNella letteratura ci sono diverse normalizzazioni delle funzioni sferiche in R 3 .Qui ne scegliamo una. Poniamo{Yl m Pl m (cos ϕ)(sen ϕ) m cos(mθ), m = 0, 1, · · · , l;(ϕ, θ) =P |m|l(cos ϕ)(sen ϕ) m sen (|m|θ), m = −1, −2, · · · , −l,dove l = 0, 1, 2, · · · . Le funzioni sferiche Ylm (m = 0, ±1, · · · , ±l) di ordine lsono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineariY l (s) =l∑m=−la (m)lYlm(s)25