TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

si ottiene[]∂(|x|0 = |x|∫S l Y l′ l )Y l ′ − |x| l ∂(|x| l′ Y l ′)Y l ds∂n∂nn−1[]∂(r= Y l ′∫S l ∫Y l ) ∂(r l′ Y l ′)− Y l ds = (l − l ′ )∂r ∂rn−1S n−1Y l (s)Y l ′(s) ds,come volevasi dimostrare.Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla circonferenza S 1 (n = 2). Incoordinate polari abbiamou l (x) = r l Y l (θ),x = (r cos θ, rsen θ),dove ∆u l = 0. Risulta l’equazione differenzialeY ′′l (θ) + l 2 Y l (θ) = 0,da cui seguono le funzioni trigonometriche{costante, l = 0Y l (θ) =c 1 cos(lθ) + c 2 sen (lθ), l = 1, 2, 3, · · · .Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla sfera S 2 (n = 3). In coordinatesferiche abbiamo per y l (x) = r l Y l (θ, ϕ)( )1 ∂ 1 ∂Y l+ 1 ∂ 2 Y lsen ϕ ∂ϕ sen ϕ ∂ϕ sen 2 ϕ ∂θ + l(l + 1)Y l(θ, ϕ) = 0, (III.2)2dove θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [0, π] e l = 0, 1, 2, · · · . Cerchiamo le soluzioni della(III.2) in C ∞ (S 2 ). Introduciamo prima ξ = cos ϕ e scriviamo (III.2) nellaforma1 ∂ 2 Y l1 − ξ 2 ∂θ + ∂ ((1 − ξ 2 ) ∂Y )l+ l(l + 1)Y 2l (θ, ξ) = 0. (III.3)∂ξ ∂ξApplicando la separazione delle variabiliY l (θ, ϕ) = P(ξ)Θ(θ),otteniamoΘ(θ) ={costante, m = 0c 1 cos mθ + c 2 sen mθ, m = 1, 2, 3, · · · ,23