TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

Corollario II.3 Se la successione di funzioni {u n } ∞ n=1, armoniche in G econtinue su G è uniformemente convergente sulla frontiera S, questa successioneè anche uniformemente convergente su G.Dimostrazione.Quest’asserzione segue dalla disuguaglianza|u p (x) − u q (x)| ≤ maxx∈S |u p(x) − u q (x)| → 0, p, q → ∞, x ∈ G.□I corollari B1.2 e B1.3 valgono anche per la regione G 1condizione che le funzioni coinvolte si annullino all’infinito.= R n \ G aIIILE FUNZIONI SFERICHEConsideriamo adesso una classe di funzioni speciali molto importanti per lafisica matematica.1 Funzioni sfericheSi dice funzione sferica di ordine l = 0, 1, 2, · · · ogni polinomio armonicoomogeneo di grado l considerato sulla sfera unitaria S n−1 ⊂ R n . Dunque,tra le funzioni sferiche Y l (s), s ∈ S n−1 , di ordine l ed i polinomi armoniciomogenei u l (x), x ∈ R n , l’identità( ) xY l (s) = u l|x|= u l(x)|x| l , s = x|x| ,(III.1)stabilisce una corrispondenza biunivoca.Le funzioni sferiche Y l e Y l ′, di ordini diversi sono ortogonali in L 2 (S n−1 ),cioè∫(Y l , Y l ′) = Y l (s)Y l ′(s) ds = 0, l ≠ l ′ .S n−1Infatti, applicando per la sfera la formula di Green ai polinomi armonici( )( )xxu l (x) = |x| l Y l , u l ′(x) = |x| l′ Y l ′ ,|x||x|22