TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

1 Proprietà elementari ed il principio di massimoSia G una regione limitata in R n e supponiamo la sua frontiera S regolare atratti. Applicando la prima formula di Green per u ∈ C 2 (G)∩C 1 (G) e v = 1risulta [Vedi la (1.4) negli appunti sui problemi di Sturm-Liouville]∫G∫∆u dx =S∂u∂n dS,dove n è il versore normale esterno. Quindi per una funzione armonica u ∈C 2 (G) ∩ C 1 (G) risulta ∫∂udS = 0.∂n (II.1)SSia x ∈ G ⊂ R n . Utilizzando la seconda formula di Green [Vedi la (1.8) negliappunti sui problemi di Sturm-Liouville] per v(y) = E n (x − y) e l’identità∆ y E n (x − y) = δ(x − y), risulta per u ∈ C 2 (G) ∩ C 1 (G) armonica:∫u(x) = δ(x − y)u(y) dy∫G∫= {(∆ y E n (x − y)) u(y) − E n (x − y)∆ y u} dy + E n (x − y)∆ y u dyGG∫ (= u ∂ E n (x − y) − E n (x − y) ∂u ) ∫dS y + E n (x − y)∆ y u dyS ∂n y ∂n y G∫ (= u ∂ E n (x − y) − E n (x − y) ∂u )dS y ,∂n y ∂n ySdove l’ultimo passaggio segue dall’armonicità della u. Sostituendo la (I.35)si trovano le identità⎧(11 ∂u⎪⎨− u(y)(n − 2)σu(x)=n∫S∂)1dS|x − y| n−2 ∂n y ∂n y |x − y| n−2 y , n ≥ 3∫ (( )11 ∂u⎪⎩ ln− u(y) ∂ )1ln dS y , n = 2.2π |x − y| ∂n y ∂n y |x − y|SAdesso consideriamo un dominio sferico S R di raggio R e centro l’origine.Sia x = 0. Sia S R la superficie della sfera di questa sfera. Allora⎧ ∫ (11 ∂u⎪⎨− u(y) ∂ )1dS(n − 2)σu(0) =n S RR n−2 ∂n y ∂n y |y| n−2 y , n ≥ 3((1⎪⎩ ln2π∫S 1 ) ∂u− u(y) ∂ ln 1 )dS y , n = 2.RR ∂n y ∂n y |y|20