TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

Per calcolare la soluzione di questa equazione in S ′ (R n ), bisogno utilizzare latrasformata di Fourier. Poiché ∆ = ∑ nj=1 Dα jper α j = (0, · · · , 0, 2, 0, · · · , 0)con il 2 al j-esimo posto, si ottiene dalla (I.33)e quindi−|ξ| 2 F [E n ](ξ) = 1,F [E n ](ξ) = − 1|ξ| 2 .Si può dimostrare che⎧1 ⎪⎨ ln(|x|), n = 2,E n (x) = 2π1 ⎪⎩ − |x| −n+2 , n ≥ 3,(n − 2)σ n(I.34)(I.35)dove σ n è la misura dell’ipersfera S n−1 in R n .Sia ora n = 3. In questo caso la funzione −1/|ξ| 2 è localmente sommabilein R n e, quindi si haF [E 3 ](ξ) = − 1[ ] 1|ξ| , E 2 3 = −F −1 .|ξ| 2Da ciò, utilizzando la formula (I.31), otteniamo per n = 3E 3 (x) = − 14π|x| .In modo analogo si calcola E n (x) per n > 3.IILE FUNZIONI ARMONICHEUna funzione u(x) di classe C 2 (G) è detta armonica in una regione G in R nse soddisfa l’equazione di Laplace ∆u = 0 in questa regione. Per n = 1 eG = (a, b) le funzioni armoniche sono quelle lineari e perciò la loro teorianon presenta alcun interesse. Per questa ragione poniamo in seguito sempren ≥ 2. Un esempio non banale di una funzione armonica in G = R n \ {0} èla soluzione fondamentale E n (x) per l’operatore di Laplace introdotto prima.19