TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

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Facciamo i seguenti calcoli:( [F P 1 ] ) (, ϕ = P 1 )|x| 2 |x| , F [ϕ] ∫2 ∫F [ϕ](x) − F [ϕ](0)F [ϕ](x)=dx +dx|x|1 |x|∫ ∫1=ϕ(ξ) [ e i(x,ξ) − 1 ] ∫ ∫1dξdx +|x|1 |x| 2∫ 1 ∫ ∫12π(= ϕ(ξ) eir|ξ| cos θ − 1 ) dθdξdr0 r0∫ ∞ ∫ ∫12π+ ϕ(ξ) e ir|ξ| cos θ dθdξdr1 r0∫ 1 ∫∫1∞ ∫1ϕ(ξ)[J 0 (r|ξ|) − 1] dξdr + 2πrr= 2π∫= 2π∫= 2π0∫= −2π[∫ 1ϕ(ξ)0[ ∫ |ξ|ϕ(ξ)0J 0 (r|ξ|) − 1rJ 0 (u) − 1uϕ(ξ)(C 0 + ln(|ξ|)) dξ,dr +du +∫ ∞1∫ ∞da cui segue l’uguaglianza(F P 1 )= −2π ln(|ξ|) − 2πC|x| 2 0 ,doveC 0 =∫ 101 − J 0 (u)u|ξ|du −ϕ(ξ)e i(x,ξ) dξdxϕ(ξ)J 0 (r|ξ|) dξdr1]J 0 (r|ξ|)dr dξr]J 0 (u)du dξu∫ ∞1J 0 (u)uIn queste espressioni J 0 è la funzione di Bessel di ordine 0 [Vedi l’appendice].4 Soluzione fondamentale dell’operatore di LaplaceConsideriamo l’equazione di Laplace in n variabilidu.∆E n = δ(x).(I.33)18
Per calcolare la soluzione di questa equazione in S ′ (R n ), bisogno utilizzare latrasformata di Fourier. Poiché ∆ = ∑ nj=1 Dα jper α j = (0, · · · , 0, 2, 0, · · · , 0)con il 2 al j-esimo posto, si ottiene dalla (I.33)e quindi−|ξ| 2 F [E n ](ξ) = 1,F [E n ](ξ) = − 1|ξ| 2 .Si può dimostrare che⎧1 ⎪⎨ ln(|x|), n = 2,E n (x) = 2π1 ⎪⎩ − |x| −n+2 , n ≥ 3,(n − 2)σ n(I.34)(I.35)dove σ n è la misura dell’ipersfera S n−1 in R n .Sia ora n = 3. In questo caso la funzione −1/|ξ| 2 è localmente sommabilein R n e, quindi si haF [E 3 ](ξ) = − 1[ ] 1|ξ| , E 2 3 = −F −1 .|ξ| 2Da ciò, utilizzando la formula (I.31), otteniamo per n = 3E 3 (x) = − 14π|x| .In modo analogo si calcola E n (x) per n > 3.IILE FUNZIONI ARMONICHEUna funzione u(x) di classe C 2 (G) è detta armonica in una regione G in R nse soddisfa l’equazione di Laplace ∆u = 0 in questa regione. Per n = 1 eG = (a, b) le funzioni armoniche sono quelle lineari e perciò la loro teorianon presenta alcun interesse. Per questa ragione poniamo in seguito sempren ≥ 2. Un esempio non banale di una funzione armonica in G = R n \ {0} èla soluzione fondamentale E n (x) per l’operatore di Laplace introdotto prima.19
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