TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

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Infatti, per tutte le ϕ ∈ S abbiamo( [F P 1 ] ) (, ϕ = P 1 )|x||x| , P [ϕ] ∫ 1∫F [ϕ](x) − F [ϕ](0)F [ϕ](x)=dx +dx−1 |x||x|>1 |x|∫ 1 ∫∫ ∫1= ϕ(ξ)(e ixξ 1− 1) dξ dx +ϕ(ξ)e ixξ dξ dx−1 |x||x|>1 |x|∫ 1 ∫= 2 ϕ(ξ) cos(xξ) − 1 ∫ ∞ ∫dξ dx + 2 ϕ(ξ) cos(xξ) dξ dx0x1x∫ ∫ 1∫cos(xξ) − 1∞ ∫= 2 ϕ(ξ)dx dξ − 2 ϕ ′ sen (x)(ξ) dx dξxx 2∫= 2∫= 2∫= −20∫ |ξ|ϕ(ξ)0[ ∫ |ξ|ϕ(ξ)0cos(u) − 1ucos(u) − 1uϕ(ξ)(C + ln |ξ|) dξ,∫du dξ − 2du + d dξ1∫ ∞1∫ ∞ϕ ′ sen (xξ)(ξ) du dx dξ1 x]2sen (xξ)dx dξx 2da cui deriva la formula (I.30).(b) Esempio 2. Si ha in tre dimensioni[ ] 1F = 2π2|x| 2 |ξ| .(I.31)Considerando che la funzione 1/|x| 2 è localmente sommabile in R 3 , per16
tutte le ϕ ∈ S otteniamo la seguente successione di uguaglianze:( [ ] ) ( ) ∫11F , ϕ =|x| 2 |x| , F [ϕ] 1= F [ϕ] dx2 |x|2∫ ∫∫ ∫1= limϕ(ξ)e i(ξ,x) e i(ξ,x)dξ dx = lim ϕ(ξ)R→∞|x|
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Page 27: Infatti, scrivendo y(x) per la part

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