TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

3.4 Esempi(a) Esempio 1. Definiamo il cosiddetto valore principale di Cauchy comeil funzionale P(1/|x|) definito dall’uguaglianza(P 1 ) ∫ 1|x| , ϕ =−1ϕ(x) − ϕ(0)|x|∫dx +|x|>1ϕ(x)|x|dx, ϕ ∈ S(R 1 ).Utilizzando il teorema di Cauchy (che si consente a scrivere ϕ(x) −ϕ(0) = xϕ ′ (t) per un opportuno t tra 0 e x), si trova∣∫ 1−1ϕ(x) − ϕ(0)|x|dx∣ ≤ 2‖ϕ′ ‖ ∞ = 2 sup |ϕ ′ (x)|,mentre un calcolo elementare conduce alla stima∫(∫)ϕ(x)∣ dx|x| ∣ ≤ dysup (1 + |x|)|ϕ(x)||y|(1 + |y|) x∈R|x|>1Quindi(∣ P 1 )∣ (∣∣∣|x| , ϕ ≤2(1 + ln 2)|x|>1x∈R≤ 2 ln 2 sup (1 + |x|)|ϕ(x)|.x∈Rsupx∈R)(1 + |x|)|ϕ(x)| + sup (1 + |x|)|ϕ ′ (x)| ,x∈Re dunque, secondo il Lemma A3.1, P(1/|x|) ∈ S ′ (R 1 ). Dimostriamoora che[F P 1 ]= −2C − 2 ln |ξ|, (I.30)|x|dove C è la cosiddetta costante di Eulero,C =∫ 101 − cos(u)udu −∫ ∞1cos(u)udu.15