TRASFORMATA DI FOURIER E LE FUNZIONI ARMONICHE

TRASFORMATA DI FOURIER E LEFUNZIONI ARMONICHENella prima parte di questo capitolo introduciamo la trasformata di Fouriere calcoliamo la funzione di Green dell’equazione delle onde in R n . Nellaseconda parte introduciamo le funzioni armoniche e discutiamo le sueproprietà. Discutiamo anche le funzioni sferiche.ITRASFORMATA DI FOURIER1 Trasformata di Fourier negli spazi L 1 e L 2 .Sia f : R n → C una funzione sommabile. Allora l’integrale (di Lebesgue)∫F [f](ξ) = f(x)e i(ξ,x) dx, ξ ∈ R n ,è assolutamente convergente e |F [f](ξ)| ≤ ‖f‖ 1 , dove ‖f‖ 1 = ∫ |f(x)| dx èla norma L 1 di f. In tal caso si definisce una funzione ξ ↦→ F [f](ξ) su R n chesi chiama la trasformata di Fourier della f. Dal teorema della convergenzadominata segue che F [f](ξ) è continua in ξ ∈ R n .Proposizione I.1 Sia f ∈ L 1 (R n ). Allora F [f](ξ) è continua in ξ ∈ R n etende a zero se |ξ| → +∞. 1Dimostrazione. La continuità di F [f](ξ) al variare di ξ segue dal teoremadella convergenza dominata (infatti, dal Lemma 6.9.1 in Giusti II). Laseconda parte segue approssimando (Re f) ± e (Im f) ± da una successione crescentedi funzioni semplici sommabili e applicando il teorema di Beppo-Levi.□1 La seconda parte si chiama il Lemma di Riemann-Lebesgue.1

Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Allora F [f], F [g] ∈ L ∞ (R n ). In tal caso risulta perf, g ∈ L 1 (R n )∫ [∫](F [f], g) = f(x)e i(x,ξ) dx g(ξ) dξ∫ [∫]= f(x) g(ξ)e i(ξ,x) dξ dx = (f, F [g]); (I.1)∫ [∫(F [f], g) c =∫=[∫f(x)]f(x)e i(x,ξ) dx g(ξ)dξ]g(ξ)e −i(ξ,x) dξ dx = (f, F [g](−ξ)) c ,(I.2)dove il secondo passaggio è giustificato grazie al teorema della convergenzadominata. Inoltre, (·, ·) c è il prodotto scalare complesso di L 2 (R n ), mentre(·, ·) è quello reale.Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Allora il teorema di Fubini dimostra che il prodottodi convoluzione∫∫(f ∗ g)(x) = f(y)g(x − y) dy = f(x − y)g(y) dyconduce ad una funzione f ∗ g ∈ L 1 (R n ). Dal teorema di Fubini segue chef ∗ g = g ∗ f,(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),dove f, g, h ∈ L 1 (R n ). Applicando la trasformazione z = x − y con y fissatosi ha∫ (∫)F [f ∗ g](ξ) = f(y)g(x − y) dy e i(x,ξ) dx∫ (∫)= f(y)e i(y,ξ) g(z)e i(z,ξ) dy dz = F [f](ξ)F [g](ξ). (I.3)In altre parole, la trasformata di Fourier manda L 1 (R n ) con il prodotto diconvoluzione in C(R n ) con il prodotto algebrico usuale.Consideriamo ora la trasformata di Fourier su L 2 (R n ).2

Teorema I.2 (di Plancherel). Sia f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ). Allora∫∫1|F [f](ξ)| 2 dξ = |f(x)| 2 dx.(2π) n(I.4)Inoltre, F ammette un’estensione lineare ad L 2 (R n ) che soddisfa (I.4) perogni f ∈ L 2 (R n ) ed è un operatore invertibile su L 2 (R n ).Dimostrazione. Prima diamo la dimostrazione per n = 1.Sia f una funzione continua e regolare a tratti con supporto in (−π, π).Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f in x ∈ [−π, π](vedi Giusti II, Teorema 2.5.2):f(x) = a 02 + ∞∑n=1= a 02 + ∞∑n=1(a n cos(nx) + b n sen (nx))(an − ib n2e inx + a )n + ib ne −inx =2dove c n = (1/2π) ∫ π−π f(x)e−inx dx = (2π) −1 F [f](−n) e∫ π−π|f(x)| 2 dx = π= 2π(|a 0 | 22∞∑n=−∞+)∞∑(|a n | 2 + |b n | 2 )n=1|c n | 2 = 12π∞∑n=−∞∞∑c n e inx ,n=1|F [f](−n)| 2 .Siccome c n [e −ixt f] = (2π) −1 F [f](−n − t) per ogni n ∈ Z, t ∈ R e |f(x)| 2 =|e −ixt f(x)| 2 , risulta∫ ∞−∞|f(x)| 2 dx =∫ 1 ∫ ∞0= 12π−∞∞∑n=−∞|f(x)| 2 dxdt∫ 10|F [f](−n − t)| 2 dt = 1 ∫ ∞|F [f](ξ)| 2 dξ.2π −∞3

Se f ha supporto compatto in R, si scelga c > 0 tale che g(x) = c 1/2 f(cx)ha supporto in (−π, π). In tal caso∫ ∞−∞|f(x)| 2 dx =∫ ∞= 12π−∞∫ ∞|g(x)| 2 dx−∞|F [g](ξ)| 2 dξ = 12π∫ ∞−∞|F [f](ξ)| 2 dξ.Se f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R), approssimiamo f da funzioni continue e regolari atratti con supporto compatto e troviamo la stessa relazione.L’equazione (I.4) dimostra che F può essere estesa ad un operatore lineareF da L 2 (R) in L 2 (R) che soddisfa (I.4). Infine, siccome F manda ilsottospazio denso L 1 (R)∩L 2 (R) di L 2 (R) nel sottospazio denso C(R)∩L 2 (R)di L 2 (R) e l’immagine di F è chiuso, F è un operatore invertibile su L 2 (R).La generalizzazione ad n ∈ N segue applicando n trasformazioni di Fourierunidimensionali in seguito.□Corollario I.3 Sia f ∈ L 2 (R n ). Allora l’operatore inverso ha la formaF −1 [f](ξ) = 1(2π) F [f](−ξ) = 1 ∫f(x)e −i(x,ξ) dx. (I.5)n (2π) nDimostrazione. Si ricordi che (·, ·) c è il prodotto scalare complesso inL 2 (R n ). Allora per f, g ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ) segue(F [f], g) c = (F [f], g) = (f, F [g]) = (f, F [g](−ξ)) c ,e questa relazione si generalizza per f, g ∈ L 2 (R n ). Dalla (I.4) segue che(f, g) c = (2π) −n (F [f], F [g]) c = (2π) −n (f, F [F [g]](−ξ)) c ,dove f, g ∈ L 2 (R n ). Siccome f, g sono arbitrarie, è valida la (I.5).□2 Funzioni Generalizzate di Crescita LentaUno dei metodi più efficaci di risoluzione dei problemi della fisica matematicaè il metodo delle trasformate di Fourier. Nel prossimo paragrafo sarà espostala teoria della trasformata di Fourier per le cosidette funzioni generalizzatedi crescita lenta (distribuzioni rinvenute). Per questa ragione si deve primastudiare la classe delle funzioni generalizzate di crescita lenta.4

2.1 Spazio delle funzioni fondamentali SRiportiamo nell’insieme delle funzioni fondamentali S = S(R n ) tutte le funzionidella classe C ∞ (R n ) decrescenti, per |x| → +∞, con tutte le derivatepiù rapidamente di ogni potenza non negativa di 1/|x|. Definiamo la convergenzain S come segue: la successione delle funzioni ϕ 1 , ϕ 2 , · · · , da S convergead una funzione ϕ ∈ S, cioè ϕ k → ϕ per k → ∞ in S, se, per tutti i valoridei moltiindici 2 α e β, si halim sup∣ ∣x β D α ϕ k (x) − x β D α ϕ(x) ∣ = 0.k→∞ x∈R nLe operazioni di derivazione D β ϕ(x) e di sostituzione lineare non singolaredi variabili ϕ(Ay+b) (dove det A ≠ 0) sono continue da S in S. Questo seguedirettamente dalla definizione di convergenza nello spazio S.D’altro canto, la moltiplicazione per una funzione infinitamente derivabilepuò far uscire all’esterno dell’insieme S, per esempio e −|x|2 e |x|2 = 1 /∈ S.Supponiamo che una funzione a ∈ C ∞ (R n ) cresca all’infinito insieme contutte le derivate successive non più rapidamente del polinomio|D α a(x)| ≤ C α (1 + |x|) mα . (I.6)Indichiamo con θ M l’insieme di queste funzioni.L’operazione di moltiplicazione per una funzione a ∈ θ M è continua da Sin S. Infatti, dalla disuguaglianza (I.6) segue che, se ϕ ∈ S, si ha aϕ ∈ S, ese ϕ k → 0 per k → ∞ in S, per tutti i valori di α e β si hacioè aϕ k → 0 per k → ∞ in S.lim sup x β [D α (aϕ k )](x) = 0,k→∞ k∈R n2.2 Spazio delle funzioni generalizzate di crescita lenta S ′Si dice funzione generalizzata di crescita lenta ogni funzionale lineare continuosullo spazio S delle funzioni fondamentali. Denotiamo S ′ = S ′ (R n ) l’insiemedi tutte le funzioni generalizzate di crescita lenta. È evidente che S′ èun insieme lineare. Definiamo come debole la convergenza di una successione2 Se x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ R n , α = (α 1 , · · · , α n ) ∈ (N ∪ {0}) n e β = (β 1 , · · · , β n ) ∈(N ∪ {0}) n , allora x β = x β11 · · · xβn n e D α ϕ(x) = Dx α11Dx α22 · · · Dx αnnϕ(x). Secondo il teoremadi Schwartz, l’ordine di derivazione parziale non importa. Inoltre, |α| = α 1 + · · · + α n .5

di funzionali: una successione di funzioni generalizzate f 1 , f 2 , · · · , appartenentia S ′ , converge ad una funzione generalizzata f ∈ S ′ , cioè f k → f perk → ∞ in S ′ se, per qualunque ϕ ∈ S si ha (f k , ϕ) → (f, ϕ) per k → ∞.L’insieme lineare S ′ dotato di convergenza debole è detto spazio S ′ dellefunzioni generalizzate di crescita lenta.Teorema I.4 (di Laurent Schwartz). Affinché un funzionale lineare f suS appartenga a S ′ (cioè, sia continuo su S), è necessario e sufficiente cheesistono numeri C > 0 e p ∈ N ∪ {0} tali che, per qualunque ϕ ∈ S, siavalida la disuguaglianza 3 |(f, ϕ)| ≤ C‖ϕ‖ (p) , (I.7)dove‖ϕ‖ (p) =sup (1 + |x|) p |D α ϕ(x)|.|α|≤p,x∈R nDimostrazione. Per dimostrare la sufficienza, supponiamo che il funzionalelineare f su S soddisfi la disuguaglianza (I.7) per certi C > 0 ep ∈ N ∪ {0}. Dimostriamo che f ∈ S ′ . Sia ϕ k → 0 per k → ∞ in S. Siha allora ‖ϕ k ‖ (p) → 0 per k → ∞, e quindi |(f, ϕ k )| ≤ C‖ϕ k ‖ (p) → 0 perk → ∞. Ciò significa che f è un funzionale continuo su S.Per dimostrare la necessità, sia f ∈ S ′ . Dimostriamo che esistono numeriC > 0 e p ∈ N∪{0} tali che, per qualunque ϕ ∈ S ′ , è valida la disuguaglianza(I.7). Supponiamo, invece, che i numeri menzionati C e p non esistano. Alloraesiste una successione di funzioni ϕ k , k ∈ N, appartenenti a S, tali che|(f, ϕ k )| ≥ l ‖ϕ k ‖ (k) .(I.8)La successione di funzioniψ k (x) =ϕ k(x)√k ‖ϕk ‖ (k), k ∈ N,tende a zero in S, poichè per k ≥ |α| e k ≥ |β| si ha∣ x β D α ψ k (x) ∣ ∣ ∣x β D α ϕ k (x) ∣ = √ ≤ √ 1 .k ‖ϕk ‖ (k) k3 Si ricordi che ‖ϕ‖ p denota la norma L p di una funzione ϕ.6

Da ciò e dalla continuità del funzionale f su S segue che (f, ψ k ) → 0 perk → ∞. D’altro canto, la disuguaglianza (I.8) dà|(f, ψ k )| =1√k ‖ϕk ‖ (k)|(f, ϕ k )| ≥ √ k.La contraddizione ottenuta dimostra il teorema.□Il significato del teorema dimostrato consiste nel fatto che ogni funzionegeneralizzata di crescita lenta è un funzionale continuo rispetto ad una certanorma ‖ · ‖ (p) (come si è soliti dire, ha un ordine finito).2.3 Esempi di funzioni generalizzate di crescita lenta(a) Se f(x) è una funzione localmente sommabile di crescita lenta all’infinito,cioè per un certo m ≥ 0,∫|f(x)(1 + |x|) −m dx < +∞,questa funzione definisce un funzionale regolare f appartenente a S ′ inconformità con la regola∫(f, ϕ) = f(x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ S.Ma non tutte le funzioni localmente sommabili definiscono una funzionegeneralizzata di crescita lenta, per esempio, e x /∈ S ′ (R).D’altro canto, non tutte le funzioni localmente sommabili appartenentia S ′ sono di crescita lenta. Per esempio, la funzione (cos e x ) ′ =−e x sen e x non è di crescita lenta, eppure definisce una funzione generalizzatada S ′ mediante la formula∫((cos e x ) ′ , ϕ) = − (cos e x )ϕ ′ (x) dx, ϕ ∈ S.Utilizzando il Teorema A2.1 si può dimostrare (vedi [1]) che ogni funzionegeneralizzata appartenente a S ′ è una derivata (o derivata successiva)di una funzione continua di crescita lenta.7

(b) Se f ∈ S ′ , allora ogni derivata D α f ∈ S ′ . Infatti, visto che l’operazionedi derivazione D α ϕ è continua da S in S, il secondo membrodell’uguaglianza(D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ), ϕ ∈ S,è un funzionale lineare continuo su S.(c) Se f ∈ S ′ e det A ≠ 0, si ha f(Ay + b) ∈ S ′ . Infatti, dato che l’operazionedi trasformazione ϕ[A −1 (x − b)] è continua da S in S, il secondomembro dell’uguaglianza()(f(Ay + b), ϕ) = f, ϕ[A−1 (x − b)]| det A|è un funzionale lineare continuo su S.(d) Se f ∈ S ′ ed a ∈ θ M , si ha af ∈ S ′ . Infatti, visto che l’operazionedi molteplicazione per a appartenente a θ M è continua da S in S, ilsecondo membro dell’uguaglianza(af, ϕ) = (f, aϕ)è un funzionale lineare continuo su S.(e) La derivata D α δ della funzione Delta di Dirac appartiene a S ′ . Infatti,il terzo membro dell’uguaglianza(D α δ, ϕ) = (−1) |α| (δ, D α ϕ) = (−1) |α| [D α ϕ](0)è un funzionale lineare continuo su S.3 Trasformata di Fourier delle funzioni generalizzatedi crescita lentaLa proprietà rimarchevole della classe delle funzioni generalizzate di crescitalenta consiste nel fatto che l’operazione di trasformazione di Fourier nonporta fuori dai limiti di questa classe.8

3.1 Trasformazione di Fourier delle funzioni fondamentali appartenentiad SVisto che le funzioni fondamentali appartenenti a S sono sommabili in R n ,su queste funzioni è definita l’operazione F di trasformazione di Fourier∫F [ϕ](ξ) = ϕ(x)e i(ξ,x) dx, ϕ ∈ S.In questo caso la funzione F [ϕ](ξ) la quale rappresenta la trasformata diFourier della funzione ϕ, è limitata e continua in R n . La funzione fondamentaleϕ decresce all’infinito più rapidamente di qualunque potenza positiva di1/|x| e perciò la sua trasformata di Fourier può essere derivata sotto il segnod’integrale un numero di volte arbitrario:∫D α F [ϕ](ξ) = (ix) α ϕ(x)e i(ξ,x) dx = F [(ix) α ϕ](ξ), (I.9)da cui segue che F [ϕ] ∈ C ∞ (R n ). Inoltre, possiede le stesse proprietà ogniderivata D α ϕ e quindi∫F [D α ϕ](ξ) = D α ϕ(x)e i(ξ,x) dx = F [(ix) α ϕ](ξ). (I.10)Infine, dalle formule (I.9) e (I.10) si ottieneξ β D α F [ϕ](ξ) = ξ β F [(ix) α ϕ](ξ) = i |α|+|β| F [D β (x α ϕ)](ξ).(I.11)Dall’uguaglianza (I.11) segue che per tutti gli α, β i valori di ξ β D α F [ϕ](ξ)sono uniformemente limitati rispetto a ξ ∈ R n :∫|ξ β D α F [ϕ](ξ)| ≤ |D β (x α ϕ)| dx. (I.12)Ciò vuol dire che F [ϕ] ∈ S. Dunque, la trasformata di Fourier trasforma lospazio S in se stesso.Visto che la trasformata di Fourier F [ϕ] di una funzione ϕ appartenente aS è una funzione sommabile e continuamente derivabile su R n , allora, siccomeϕ ∈ L 2 (R n ), la funzione ϕ è espressa in termini della sua trasformata diFourier F [ϕ] mediante l’operazione di trasformazione inversa di Fourier F −1 :ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]],(I.13)9

doveF −1 [ψ](x) = 1(2π) n ∫= 1(2π) n ∫ψ(ξ)e −i(ξ,x) dξ = 1(2π) n F [ψ](−x)ψ(−ξ)e i(ξ,x) dξ = 1(2π) n F [ψ(−ξ)](x).(I.14)Dalle formule (I.13) e (I.14) deriva che ogni funzione ϕ appartenente a S èla trasformata di Fourier della funzione ψ = F −1 [ϕ] appartenente a S, conϕ = F [ψ], e se F [ϕ] = 0, anche ϕ = 0. 4 Ciò vuol dire che la trasformazionedi Fourier F trasforma S in S ed inoltre in modo univoco.Lemma I.5 L’operazione di trasformazione di Fourier F è continua da Sin S.Dimostrazione. Supponiamo che ϕ k → 0 per k → +∞ in S. Allora,applicando la (I.12) alle funzioni ϕ k , si ottiene per tutti gli α e β∫|ξ β D α F [ϕ k ](ξ)| ≤ |D β (x α ϕ k )| dx∫≤ sup |D β (x α ϕ k )|(1 + |x|) n+1 dyx∈R n (1 + |y|) , n+1da cui segue chelim sup |ξ β D α F [ϕ k ](ξ)| = 0,k→∞ ξ∈R ncioè F [ϕ k ] → 0 per k → ∞ in S. Il lemma è dimostrato.L’operazione di trasformazione inversa di Fourier F −1 possiede proprietàanaloghe.3.2 Trasformazione di Fourier delle funzioni generalizzate appartenentia S ′Assumiamo l’uguaglianza (I.1) come definizione di trasformata di FourierF [f] di qualunque funzione generalizzata di crescita lenta f:(F [f], ϕ) = (f, F [ϕ]), f ∈ S ′ , ϕ ∈ S. (I.15)4 Se f ∈ L 1 (R n ) e F [f] = 0, allora f = 0 quasi ovunque. Per mancanza di una descrizionedella classe delle trasformate di Fourier delle funzioni in L 1 (R n ), questa proprietànon si dimostra tanto facilmente.10□

Verifichiamo che il secondo membro di quest’uguaglianza definisce un funzionalelineare continuo su S, cioè che F [f] ∈ S ′ . Infatti, visto che F [ϕ] ∈ Sper tutte le ϕ ∈ S, ϕ ↦→ (f, F [ϕ]) è un funzionale (evidentemente, lineare) suS. Supponiamo che ϕ k → 0 per k → ∞ in S. Per il Lemma 3.1, F [ϕ k ] → 0per k → ∞ in S e quindi, in virtù del fatto che f appartiene a S ′ , si ha(f, F [ϕ k ]) → 0 per k → ∞, di modo che il funzionale ϕ ↦→ (f, F [ϕ]) è continuosu S. Dunque, l’operazione di trasformazione di Fourier F porta lospazio S ′ in S ′ .Inoltre, F è un’operazione lineare e continua da S ′ in S ′ . La linearità diF è evidente. Dimostriamo la sua continuità. Supponiamo che f k → 0 perk → ∞ in S ′ . In questo caso, in base alla (I.15), si ottiene per tutte le ϕ ∈ S(F [f k ], ϕ) = (f k , F [ϕ]) → 0, k → ∞.Ciò significa che F [f k ] → 0 per k → ∞ in S ′ , cioè l’operazione F è continuada S ′ in S ′ .Introduciamo in S ′ ancora un’operazione di trasformazione di Fourier chedenotiamo con F −1 :F −1 [f] = 1(2π) n F [f(−x)], f ∈ S′ . (I.16)Dimostriamo che l’operazione F −1 è un’operazione inversa di F , cioèF −1 [F [f]] = f, F [F −1 [f]] = f, f ∈ S ′ . (I.17)Infatti, dalle (I.13)-(I.16) per tutte le ϕ ∈ S, si ottengono le uguaglianze(F −1 [F [f]], ϕ) = 11(F [F [f](−ξ)], ϕ) = (F [f](−ξ), F [ϕ])(2π)n(2π)n= 1(2π) (F [f], F [ϕ](−ξ)) = (F [f], F −1 [ϕ]) = (f, F [F −1 [ϕ]])n= (f, ϕ) = (f, F −1 [F [ϕ]]) = (F −1 [f], F [ϕ]) = (F [F −1 [f]], ϕ),dove abbiamo utilizzato le corrispondenti proprietà in S al sesto ed al settimopassaggio. 5 Ora seguono le formule (I.17).Dalle formule (I.17) deriva che ogni funzione generalizzata f appartenentea S ′ è la trasformata di Fourier della funzione generalizzata g = F −1 [f]5 Si noti che S ⊆ L 2 (R n ).11

appartenente a S ′ , con f = F [g], e se F [f] = 0, si ha anche f = 0. Abbiamo,quindi, dimostrato che le trasformazioni di Fourier F e F −1 trasformano S ′in S ′ in modo biunivoco e continuo.Supponiamo che f = f(x, y) ∈ S ′ (R n+m ) dove x ∈ R n ed y ∈ R m .Introduciamo la trasformata di Fourier F x [f] rispetto alle variabili x =(x 1 , x 2 , · · · , x n ), ponendo per qualunque ϕ = ϕ(x, y) ∈ S(R n+m )(F x [f], ϕ) = (f, F ξ [ϕ]). (I.18)Come nel Lemma 3.1, si stabilisce che∫F ξ [ϕ](x, y) = ϕ(ξ, y)e i(ξ,x) dξ ∈ S(R n+m )e l’operazione F ξ [ϕ] è continua da S(R n+m ) in S(R n+m ), di modo che laformula (I.18) definisce realmente una funzione generalizzata F x [f](ξ, y) appartenentea S ′ (R n+m ).Esempio. Dimostriamo cheF [δ(x − x 0 )] = e i(ξ,x 0) .(I.19)Infatti,(F [δ(x − x 0 )], ϕ) = (δ(x − x 0 ), F [ϕ]) = F [ϕ](x 0 )∫= ϕ(ξ)e i(ξ,x0) dξ = (e i(ξ,x0) , ϕ), ϕ ∈ S.Ponendo nella (I.19) x 0 = 0, si ottieneda cuidi modo cheF [δ] = 1,δ = F −1 [1] = 1(2π) n F [1],F [1] = (2π) n δ(ξ).(I.20)(I.21)12

3.3 Proprietà della trasformazione di Fourier(a) Derivazione della trasformata di Fourier. Se f ∈ S ′ , si haD α F [f] = F [(ix) α f].(I.22)Infatti, utilizzando la (I.10), si ottiene per tutte le ϕ ∈ S(D α F [f], ϕ) = (−1) |α| (F [f], D α ϕ) = (−1) |α| (f, F [D α ϕ])= (−1) |α| (f, (−ix) α F [ϕ]) = ((ix) α f, F [ϕ]) = (F [(ix) α f], ϕ),da cui segue la formula (I.22).In particolare, ponendo nella (I.22) f = 1 ed utilizzando la formula(I.21), abbiamoF [x α ](ξ) = (−i) |α| D α F [1](ξ) = (2π) n (−i) |α| D α δ(ξ).(I.23)(b) Trasformata di Fourier della derivata. Se f ∈ S ′ , si haF [D α f] = (−iξ) α F [f].(I.24)Infatti, utilizzando la formula (I.9), si ottiene per tutte le ϕ ∈ S(F [D α f], ϕ) = (D α f, F [ϕ]) = (−1) |α| (f, D α F [ϕ])= (−1) |α| (f, F [(iξ) α ϕ]) = (−1) |α| (F [f], (iξ) α ϕ) = ((−iξ) α F [f], ϕ),da cui segue la formula (I.24).(c) Trasformata di Fourier di una traslazione. Se f ∈ S ′ , si haF [f(x − x 0 )] = e i(x 0,x) F [f].(I.25)Infatti, abbiamo per tutte le ϕ ∈ S(F [f(x − x 0 )], ϕ) = (f(x − x 0 ), F [ϕ]) = (f, F [ϕ](x + x 0 ))= (f, F [ϕe i(x0,ξ) ]) = (F [f], e i(x0,ξ) ϕ) = (e i(x0,ξ) F [f], ϕ),da cui segue la formula (I.25).13

(d) Traslazione della trasformata di Fourier. Se f ∈ S ′ , si haF [f](ξ + ξ 0 ) = F [e i(ξ 0,x) f](ξ).Infatti, utilizzando la formula (I.25), si ottiene per tutte le ϕ ∈ SF [f](ξ + ξ 0 ), ϕ) = (F [f], ϕ(ξ − ξ 0 )) = (f, F [ϕ(ξ − ξ 0 )])= (f, e i(ξ 0,x) F [ϕ]) = (e i(ξ 0,x) f, F [ϕ]) = (F [e i(ξ 0,x) f], ϕ),da cui segue la formula (I.26).(I.26)(e) Trasformata di Fourier di similitudine (con riflessione). Sef ∈ S ′ , per tutti i valori reali di c ≠ 0 si haF [f(cx)](ξ) = 1 ( ) ξ|c| F [f] , (I.27)n cpoichè per tutte le ϕ ∈ S abbiamo(F [f(cx)], ϕ) = (f(cx), F [ϕ]) = 1= 1 ( ∫f,|c| n)ϕ(ξ)e i( x c ,ξ) dξ= (F [f], ϕ(cξ)) = 1|c| n (F [f]( ( x))f, F [ϕ]|c| n c∫= (f, ϕ(cξ ′ )e i(x,ξ′) dξ ′ ) = (f, F [ϕ(cξ)])( ) ) ξ, ϕ .c(f) Trasformata di Fourier del prodotto diretto. Se f ∈ S ′ (R n ) eg ∈ S ′ (R m ), si haF [f(x)·g(y)] = F x [f(x)·F [g](η)] = F y [F [f](ξ)·g(y)] = F [f](ξ)·F [g](η).(I.28)Infatti, per tutte le ϕ(ξ, η) ∈ S(R n+m ) abbiamo(F [f(x) · g(y)], ϕ) = (f(x) · g(y), F [ϕ])= (f(x), (g(y), F η F ξ [ϕ])) = (f(x), (F [g], F ξ [ϕ]))= (f(x) · F [g](η), F ξ [ϕ]) = (F x [f(x) · F [g](η)], ϕ) = (F [g](η), (f(x), F ξ [ϕ]))= (F [g](η), (F [f](ξ), ϕ)) = (F [f](ξ) · F [g](η), ϕ),da cui seguono le uguaglianze (I.28).(g) Formule analoghe sono anche valide per la trasformazione di FourierF x , per esempio: se f(x, y) ∈ S ′ (R n+m ), si haD α ξ D β y F x [f] = F x [(ix) α D β y f],14F x [D α x D β y f] = (−iξ) α D β y F x [f].(I.29)

3.4 Esempi(a) Esempio 1. Definiamo il cosiddetto valore principale di Cauchy comeil funzionale P(1/|x|) definito dall’uguaglianza(P 1 ) ∫ 1|x| , ϕ =−1ϕ(x) − ϕ(0)|x|∫dx +|x|>1ϕ(x)|x|dx, ϕ ∈ S(R 1 ).Utilizzando il teorema di Cauchy (che si consente a scrivere ϕ(x) −ϕ(0) = xϕ ′ (t) per un opportuno t tra 0 e x), si trova∣∫ 1−1ϕ(x) − ϕ(0)|x|dx∣ ≤ 2‖ϕ′ ‖ ∞ = 2 sup |ϕ ′ (x)|,mentre un calcolo elementare conduce alla stima∫(∫)ϕ(x)∣ dx|x| ∣ ≤ dysup (1 + |x|)|ϕ(x)||y|(1 + |y|) x∈R|x|>1Quindi(∣ P 1 )∣ (∣∣∣|x| , ϕ ≤2(1 + ln 2)|x|>1x∈R≤ 2 ln 2 sup (1 + |x|)|ϕ(x)|.x∈Rsupx∈R)(1 + |x|)|ϕ(x)| + sup (1 + |x|)|ϕ ′ (x)| ,x∈Re dunque, secondo il Lemma A3.1, P(1/|x|) ∈ S ′ (R 1 ). Dimostriamoora che[F P 1 ]= −2C − 2 ln |ξ|, (I.30)|x|dove C è la cosiddetta costante di Eulero,C =∫ 101 − cos(u)udu −∫ ∞1cos(u)udu.15

Infatti, per tutte le ϕ ∈ S abbiamo( [F P 1 ] ) (, ϕ = P 1 )|x||x| , P [ϕ] ∫ 1∫F [ϕ](x) − F [ϕ](0)F [ϕ](x)=dx +dx−1 |x||x|>1 |x|∫ 1 ∫∫ ∫1= ϕ(ξ)(e ixξ 1− 1) dξ dx +ϕ(ξ)e ixξ dξ dx−1 |x||x|>1 |x|∫ 1 ∫= 2 ϕ(ξ) cos(xξ) − 1 ∫ ∞ ∫dξ dx + 2 ϕ(ξ) cos(xξ) dξ dx0x1x∫ ∫ 1∫cos(xξ) − 1∞ ∫= 2 ϕ(ξ)dx dξ − 2 ϕ ′ sen (x)(ξ) dx dξxx 2∫= 2∫= 2∫= −20∫ |ξ|ϕ(ξ)0[ ∫ |ξ|ϕ(ξ)0cos(u) − 1ucos(u) − 1uϕ(ξ)(C + ln |ξ|) dξ,∫du dξ − 2du + d dξ1∫ ∞1∫ ∞ϕ ′ sen (xξ)(ξ) du dx dξ1 x]2sen (xξ)dx dξx 2da cui deriva la formula (I.30).(b) Esempio 2. Si ha in tre dimensioni[ ] 1F = 2π2|x| 2 |ξ| .(I.31)Considerando che la funzione 1/|x| 2 è localmente sommabile in R 3 , per16

tutte le ϕ ∈ S otteniamo la seguente successione di uguaglianze:( [ ] ) ( ) ∫11F , ϕ =|x| 2 |x| , F [ϕ] 1= F [ϕ] dx2 |x|2∫ ∫∫ ∫1= limϕ(ξ)e i(ξ,x) e i(ξ,x)dξ dx = lim ϕ(ξ)R→∞|x|

Facciamo i seguenti calcoli:( [F P 1 ] ) (, ϕ = P 1 )|x| 2 |x| , F [ϕ] ∫2 ∫F [ϕ](x) − F [ϕ](0)F [ϕ](x)=dx +dx|x|1 |x|∫ ∫1=ϕ(ξ) [ e i(x,ξ) − 1 ] ∫ ∫1dξdx +|x|1 |x| 2∫ 1 ∫ ∫12π(= ϕ(ξ) eir|ξ| cos θ − 1 ) dθdξdr0 r0∫ ∞ ∫ ∫12π+ ϕ(ξ) e ir|ξ| cos θ dθdξdr1 r0∫ 1 ∫∫1∞ ∫1ϕ(ξ)[J 0 (r|ξ|) − 1] dξdr + 2πrr= 2π∫= 2π∫= 2π0∫= −2π[∫ 1ϕ(ξ)0[ ∫ |ξ|ϕ(ξ)0J 0 (r|ξ|) − 1rJ 0 (u) − 1uϕ(ξ)(C 0 + ln(|ξ|)) dξ,dr +du +∫ ∞1∫ ∞da cui segue l’uguaglianza(F P 1 )= −2π ln(|ξ|) − 2πC|x| 2 0 ,doveC 0 =∫ 101 − J 0 (u)u|ξ|du −ϕ(ξ)e i(x,ξ) dξdxϕ(ξ)J 0 (r|ξ|) dξdr1]J 0 (r|ξ|)dr dξr]J 0 (u)du dξu∫ ∞1J 0 (u)uIn queste espressioni J 0 è la funzione di Bessel di ordine 0 [Vedi l’appendice].4 Soluzione fondamentale dell’operatore di LaplaceConsideriamo l’equazione di Laplace in n variabilidu.∆E n = δ(x).(I.33)18

Per calcolare la soluzione di questa equazione in S ′ (R n ), bisogno utilizzare latrasformata di Fourier. Poiché ∆ = ∑ nj=1 Dα jper α j = (0, · · · , 0, 2, 0, · · · , 0)con il 2 al j-esimo posto, si ottiene dalla (I.33)e quindi−|ξ| 2 F [E n ](ξ) = 1,F [E n ](ξ) = − 1|ξ| 2 .Si può dimostrare che⎧1 ⎪⎨ ln(|x|), n = 2,E n (x) = 2π1 ⎪⎩ − |x| −n+2 , n ≥ 3,(n − 2)σ n(I.34)(I.35)dove σ n è la misura dell’ipersfera S n−1 in R n .Sia ora n = 3. In questo caso la funzione −1/|ξ| 2 è localmente sommabilein R n e, quindi si haF [E 3 ](ξ) = − 1[ ] 1|ξ| , E 2 3 = −F −1 .|ξ| 2Da ciò, utilizzando la formula (I.31), otteniamo per n = 3E 3 (x) = − 14π|x| .In modo analogo si calcola E n (x) per n > 3.IILE FUNZIONI ARMONICHEUna funzione u(x) di classe C 2 (G) è detta armonica in una regione G in R nse soddisfa l’equazione di Laplace ∆u = 0 in questa regione. Per n = 1 eG = (a, b) le funzioni armoniche sono quelle lineari e perciò la loro teorianon presenta alcun interesse. Per questa ragione poniamo in seguito sempren ≥ 2. Un esempio non banale di una funzione armonica in G = R n \ {0} èla soluzione fondamentale E n (x) per l’operatore di Laplace introdotto prima.19

1 Proprietà elementari ed il principio di massimoSia G una regione limitata in R n e supponiamo la sua frontiera S regolare atratti. Applicando la prima formula di Green per u ∈ C 2 (G)∩C 1 (G) e v = 1risulta [Vedi la (1.4) negli appunti sui problemi di Sturm-Liouville]∫G∫∆u dx =S∂u∂n dS,dove n è il versore normale esterno. Quindi per una funzione armonica u ∈C 2 (G) ∩ C 1 (G) risulta ∫∂udS = 0.∂n (II.1)SSia x ∈ G ⊂ R n . Utilizzando la seconda formula di Green [Vedi la (1.8) negliappunti sui problemi di Sturm-Liouville] per v(y) = E n (x − y) e l’identità∆ y E n (x − y) = δ(x − y), risulta per u ∈ C 2 (G) ∩ C 1 (G) armonica:∫u(x) = δ(x − y)u(y) dy∫G∫= {(∆ y E n (x − y)) u(y) − E n (x − y)∆ y u} dy + E n (x − y)∆ y u dyGG∫ (= u ∂ E n (x − y) − E n (x − y) ∂u ) ∫dS y + E n (x − y)∆ y u dyS ∂n y ∂n y G∫ (= u ∂ E n (x − y) − E n (x − y) ∂u )dS y ,∂n y ∂n ySdove l’ultimo passaggio segue dall’armonicità della u. Sostituendo la (I.35)si trovano le identità⎧(11 ∂u⎪⎨− u(y)(n − 2)σu(x)=n∫S∂)1dS|x − y| n−2 ∂n y ∂n y |x − y| n−2 y , n ≥ 3∫ (( )11 ∂u⎪⎩ ln− u(y) ∂ )1ln dS y , n = 2.2π |x − y| ∂n y ∂n y |x − y|SAdesso consideriamo un dominio sferico S R di raggio R e centro l’origine.Sia x = 0. Sia S R la superficie della sfera di questa sfera. Allora⎧ ∫ (11 ∂u⎪⎨− u(y) ∂ )1dS(n − 2)σu(0) =n S RR n−2 ∂n y ∂n y |y| n−2 y , n ≥ 3((1⎪⎩ ln2π∫S 1 ) ∂u− u(y) ∂ ln 1 )dS y , n = 2.RR ∂n y ∂n y |y|20

Utilizzando la (II.1) otteniamo⎧ ∫−1⎪⎨u(y) ∂ 1(n − 2)σu(0) =n S R∂n y |y| dS n−2 y =∫−1⎪⎩ u(y) ∂ ln 12π S R∂n y |y| dS y = 1 ∫2πR∫1σ n R n−1S Ru(y) dS y , n ≥ 3S Ru(y) dy, n = 2.Siccome σ n R n−1 (per n ≥ 3) oppure 2πR (per n = 2) è la misura di S R , siha1σ n R n−1 ∫S R[u(y) − u(0)] dS y = 0, n ≥ 2,dove σ 2 = 2π e σ n è la superficie della ipersfera di raggio 1 in R n . Essendoσ n R n−1 la misura della ipersfera di raggio R in R n , non si può avere u(y) ≤u(0) o u(y) ≥ u(0) per quasi ogni y ∈ S R per u non costante.Teorema II.1 [principio del massimo]. Se una funzione u(x) ≢ costante èarmonica in una regione limitata G e appartiene a C 2 (G) ∩ C 1 (G), questafunzione non può assumere i suoi valori massimo e minimo in G.Dimostrazione. Sia x ∈ G un punto di massimo della funzione armonicau su G. Scegliendo un dominio sferico U 1 con la sua chiusura contenuta inG, u è anche armonica su quel dominio. Grazie al ragionamente precedentela funzione u deve essere costante su quel sottodominio sferico.Prendiamo ora un punto arbitrario x 1 ∈ G che si trova sulla frontieradel dominio sferico U 1 . Ripetendo il ragionamento precedente si trova undominio U 2 tale che U 1 ⊂ U 2 ⊂ U 2 ⊂ G con U 1 strettamente contenuto inU 2 . Continuando cosìtroviamo una successione di domini sferici U n tali cheU n ⊂ U n+1 ⊂ U n+1 ⊂ G con U n strettamente contenuto in U n+1 . Nella lorounione V la funzione u è costante e massima. Siccome si può estendere ildominio V in cui u è costante e massima, se esistesse un punto di frontieradi V all’interno di G, abbiamo V = G, per forza. Quindi u è costante in Ge massima.Lo stesso ragiomento vale se u avesse un punto di minimo all’interno diG. □Dal teorema precedente segue che una funzione armonica non può avereall’interno di una regione nè massimi, né minimi locali.Corollario II.2 Sia u ∈ C 2 (G)∩C 1 (G) una funzione armonica. Se u(x) ≡ 0sulla frontiera S, si ha u(x) ≡ 0 in G.21

Corollario II.3 Se la successione di funzioni {u n } ∞ n=1, armoniche in G econtinue su G è uniformemente convergente sulla frontiera S, questa successioneè anche uniformemente convergente su G.Dimostrazione.Quest’asserzione segue dalla disuguaglianza|u p (x) − u q (x)| ≤ maxx∈S |u p(x) − u q (x)| → 0, p, q → ∞, x ∈ G.□I corollari B1.2 e B1.3 valgono anche per la regione G 1condizione che le funzioni coinvolte si annullino all’infinito.= R n \ G aIIILE FUNZIONI SFERICHEConsideriamo adesso una classe di funzioni speciali molto importanti per lafisica matematica.1 Funzioni sfericheSi dice funzione sferica di ordine l = 0, 1, 2, · · · ogni polinomio armonicoomogeneo di grado l considerato sulla sfera unitaria S n−1 ⊂ R n . Dunque,tra le funzioni sferiche Y l (s), s ∈ S n−1 , di ordine l ed i polinomi armoniciomogenei u l (x), x ∈ R n , l’identità( ) xY l (s) = u l|x|= u l(x)|x| l , s = x|x| ,(III.1)stabilisce una corrispondenza biunivoca.Le funzioni sferiche Y l e Y l ′, di ordini diversi sono ortogonali in L 2 (S n−1 ),cioè∫(Y l , Y l ′) = Y l (s)Y l ′(s) ds = 0, l ≠ l ′ .S n−1Infatti, applicando per la sfera la formula di Green ai polinomi armonici( )( )xxu l (x) = |x| l Y l , u l ′(x) = |x| l′ Y l ′ ,|x||x|22

si ottiene[]∂(|x|0 = |x|∫S l Y l′ l )Y l ′ − |x| l ∂(|x| l′ Y l ′)Y l ds∂n∂nn−1[]∂(r= Y l ′∫S l ∫Y l ) ∂(r l′ Y l ′)− Y l ds = (l − l ′ )∂r ∂rn−1S n−1Y l (s)Y l ′(s) ds,come volevasi dimostrare.Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla circonferenza S 1 (n = 2). Incoordinate polari abbiamou l (x) = r l Y l (θ),x = (r cos θ, rsen θ),dove ∆u l = 0. Risulta l’equazione differenzialeY ′′l (θ) + l 2 Y l (θ) = 0,da cui seguono le funzioni trigonometriche{costante, l = 0Y l (θ) =c 1 cos(lθ) + c 2 sen (lθ), l = 1, 2, 3, · · · .Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla sfera S 2 (n = 3). In coordinatesferiche abbiamo per y l (x) = r l Y l (θ, ϕ)( )1 ∂ 1 ∂Y l+ 1 ∂ 2 Y lsen ϕ ∂ϕ sen ϕ ∂ϕ sen 2 ϕ ∂θ + l(l + 1)Y l(θ, ϕ) = 0, (III.2)2dove θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [0, π] e l = 0, 1, 2, · · · . Cerchiamo le soluzioni della(III.2) in C ∞ (S 2 ). Introduciamo prima ξ = cos ϕ e scriviamo (III.2) nellaforma1 ∂ 2 Y l1 − ξ 2 ∂θ + ∂ ((1 − ξ 2 ) ∂Y )l+ l(l + 1)Y 2l (θ, ξ) = 0. (III.3)∂ξ ∂ξApplicando la separazione delle variabiliY l (θ, ϕ) = P(ξ)Θ(θ),otteniamoΘ(θ) ={costante, m = 0c 1 cos mθ + c 2 sen mθ, m = 1, 2, 3, · · · ,23

dove abbiamo sfruttato la periodicità della Θ(θ): Θ(θ + 2π) ≡ Θ(θ). DunqueΘ ′′ (θ) = −m 2 Θ(θ). Risulta l’equazione differenziale(d(1 − ξ 2 ) dP )]+[l(l + 1) − m2P(ξ) = 0. (III.4)dξ dξ1 − ξ 2Quest’equazione si può scrivere nella forma− [ (1 − ξ 2 )P ′] ′+m 2P = l(l + 1)P.1 − ξ2 Le soluzioni di quest’equazione nei punti ±1 debbono assumere valori finiti.2 Funzioni di Legendre associateSostituiamo P(ξ) = (1 − ξ 2 ) m/2 z(ξ) nella (III.3). Risulta(1 − ξ 2 )z ′′ (ξ) − 2(m + 1)ξz ′ (ξ) + (l − m)(l + m + 1)z(ξ) = 0. (III.5)Molteplicando la (III.5) per (1 − ξ 2 ) m , otteniamo per P = P l[ ](1 − ξ 2 ) m+1 P l′ ′= −(l − m)(l + m + 1)(1 − ξ 2 ) m P l . (III.6)Per m = 0 risulta l’equazione differenziale per il polinomio di Legendredi grado l:(1 − ξ 2 )P l ′′ (ξ) − 2ξP l ′ (ξ) + l(l + 1)P l (ξ) = 0.Calcolando la derivata m-esima z = P (m)ldi quest’equazione otteniamo(1 − ξ 2 )z ′′ (ξ) − 2(m + 1)z ′ (ξ) + (l − m)(l + m + 1)z(ξ) = 0.Quindi le funzioni (d/dξ) m P l (ξ) sono soluzioni della (III.5). Molteplicando la(III.6) per P l ′(ξ) e la (III.6) con l ′ invece di l per P l (ξ) e sottraendo, otteniamo[(l − l ′ )(l + l ′ + 1)] (1 − ξ 2 ) m P l (ξ)P l ′(ξ) = P l (ξ) [ (1 − ξ 2 ) m+1 P ′ l ′ ] ′− P l ′(ξ) [ (1 − ξ 2 ) m+1 P ′ l] ′.Integrando quest’equazione tra −1 e +1 e applicando l’integrazione per partirisulta∫ 1[(l − l ′ )(l + l ′ + 1)] (1 − ξ 2 ) m P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = 0.−124

Quindi, se P l (ξ) sono i polinomi di Legendre, i polinomi (d/dξ) m P l+m (ξ)(l = 0, 1, 2, · · · ) sono un sistemi di polinomi ortogonali (di grado l) rispettoal peso w(ξ) = (1 − ξ 2 ) m .Troviamo ora la costante di normalizzazione. Si ha∫ 1−1[=(1 − ξ 2 ) m P (m) (ξ)P (m) (ξ) dξ(1 − ξ 2 ) m P (m)lll ′(ξ)P (m−1)l ′] 1∫ 1(ξ) −−1 −1∫ 1= (l − m − 1)(l + m) (1 − ξ 2 ) m−1 P (m−1)l−1= (l + m)(l − m + 1)(l + m − 1)(l − m + 2)××=∫ 1−1(1 − ξ 2 ) m−2 P (m−2)l(l + m)!(l − m)!∫ 1−1Quindi( 2(l + m) + 12(ξ)P (m−2)l(ξ) dξ′P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = 2 (l + m)!2l + 1 (l − m)! δ l.l ′.[′P (m−1)l(ξ) (1 − ξ 2 ) m P (m)′l(ξ)]dξ(ξ)P (m−1)l(ξ) dξ′1/2 ( ) ml! dP l+m (ξ), l = 0, 1, 2, · · · ,(l + 2m)!)dξè il sistema ortonormale dei polinomi rispetto al peso (1 − ξ 2 ) m [con coefficientedi ξ l positivo].3 Le funzioni sferiche per n = 3: CompletezzaNella letteratura ci sono diverse normalizzazioni delle funzioni sferiche in R 3 .Qui ne scegliamo una. Poniamo{Yl m Pl m (cos ϕ)(sen ϕ) m cos(mθ), m = 0, 1, · · · , l;(ϕ, θ) =P |m|l(cos ϕ)(sen ϕ) m sen (|m|θ), m = −1, −2, · · · , −l,dove l = 0, 1, 2, · · · . Le funzioni sferiche Ylm (m = 0, ±1, · · · , ±l) di ordine lsono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineariY l (s) =l∑m=−la (m)lYlm(s)25

a coefficienti arbitrari a (m)lsono anch’esse funzioni sferiche di ordine l.Le funzioni sferiche {Ylm } formano un sistema ortogonale e completo inL 2 (S 2 ), ed inoltreInfatti,‖Y ml ‖ 2 L 2 (S 2 ) = 2π 1 + δ 0,m2l + 1(l + |m|)!l − |m|)! .‖Yl m ‖ 2 ==∫ 1−1∫ π ∫ 2π00|Y mlP |m|l(ξ) 2 (1 − ξ 2 ) m dξ(θ, ϕ)| 2 dθ dϕ∫ 2π0{ } cos 2 mθsen 2 mθdθ = 2π 1 + δ 0,m2l + 1l + |m|)!(l − |m|)! .La completezza di un sistema ortogonale di funzioni sferiche {Ylm } significache ogni funzione f appartenente a L 2 (S 2 ) può essere sviluppata in seriedi Fourier di queste funzioni:f(s) =∞∑ l∑l=0 m=−la (m)lYl m (s) =∞∑Y l (s),l=0convergente in L 2 (S 2 ). I coefficienti a (m)lsono calcolati mediante la formulaa (m)l=2l + 1 (l − |m|)!2π(1 + δ 0,m ) (l + |m|)!∫ π ∫ 2π00f(θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)sen ϕ dθ dϕ.Le funzioni sferiche Ylm , m = 0, ±1, · · · , ±l, sono autofunzioni dell’operatoredi Beltrami,− 1 (∂sen ϕ ∂ )− 1 ∂ 2sen ϕ ∂ϕ ∂ϕ sen 2 ϕ ∂θ , 2che corrisponde all’autovalore λ = l(l + 1) di molteplicità 2l + 1.AUn’espressione per una funzione di BesselSi può mostrare cheJ 0 (x) = 1 π∫ π0cos(xsen θ) dθ = 1 ∫ 2πe ix cos θ dθ.2π 026

Infatti, scrivendo y(x) per la parte a destra si hax [y ′′ (x) + y(x)] = 1 π= 1 π+ 1 π∫ π0∫ π0∫ π0x cos(x cos θ) dθ − 1 π∫ π0x cos 2 x cos(x cos θ) dθxsen 2 x cos(x cos θ) dθ = 1 π [sen θ sen (x cos θ)]π θ=0cos θ sen (x cos θ) dθ = −y ′ (x),mentre y(0) = 1 e y ′ (0) = 0. Quindi y soddisfa l’equazione differenziale diBessel. Dunque y(x) = J 0 (x). Infine, per la periodicità delle funzioni di θ sihaJ 0 (x) = 12π∫ π−πcos(x cos θ) dθ = 1 ∫ 2πcos(x cos θ) dθ = 1 ∫ 2πe ix cos θ dθ.2π 02π 0Riferimenti bibliografici[1] L. Schwartz, Théorie des Distributions, 2 vols., Hermann, Paris, 1966.[2] V.S. Vladimirov, Equazioni della Fisica Matematica, Ed. Mir, Mosca,1987.27