Esercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo

8. Sia {f n } una successione di funzioni reali non negative su R. Si considerinoi seguenti quattro enunciati:a) Se f 1 e f 2 sono semicontinue sup., f 1 + f 2 è semicontinua sup.b) Se f 1 e f 2 sono semicontinue inf., f 1 + f 2 è semicontinua inf.∑c) Se ogni f n è semicontinua sup., ∞ f n è semicontinua sup.∑d) Se ogni f n è semicontinua inf., ∞ f n è semicontinua inf.1Si provi che tre di questi enunciati sono veri e uno è falso. Cosa succede sesi omette la condizione di non negatività?9. La funzione{ 1/q se x = p/q con p ∈ Z, q ∈ N primi tra loro,f(x) =0 altrimentiè semicontinua superiormente.10. f : [a, b] → R è semicontinua inferiormente se e solo sef = sup{g : g ∈ C[a, b], g ≤ f}.6. Esercizi sull’integrale di Lebesgue.1. Sia f non negativa, misurabile in E misurabile. Allora∫Ef =1∫ ∞0m f (t)dt,dove m f (t) è la misura dell’insieme {x ∈ E : f(x) > t}).(Supporre in un primo momento che f sia limitata e che E sia di misurafinita. Si noti che il secondo integrale è un integrale alla Riemann.)2. Sia s : [0, 1] → [0, 1] la scala di Cantor. Calcolare∫ 10s(x) dx3. Mostrare che ∫ +∞[ ] + sin xdx = +∞.0x5

(i) Dimostrare che (C[0, 1], ‖ · ‖ 2 ) è uno spazio vettoriale normato;(ii) dimostrare che esso non è completo.2. Siano p, q, r tre numeri maggiori o uguali ad 1 tali che1r = 1 p + 1 q .Dimostrare che se f ∈ L p (E) e g ∈ L q (E) allora fg ∈ L r (E) e‖fg‖ r ≤ ‖f‖ p ‖g‖ q .3. Sia p ∈ [1, ∞). Dimostrare che se g è misurabile e tale che fg ∈ L p (E) perogni f ∈ L p (E) allora g ∈ L ∞ (E).4. Siano E ⊆ R N un insieme misurabile e g : E → R una funzione misurabile.Dimostrare che l’insieme E 0 = {x ∈ E : g(x) > ess sup g} ha misura nullaEe cheess sup g = sup g.E E\E 05. Dimostrare che ‖f + g‖ ∞ ≤ ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞ .6. Lo spazio L p (E) si può ugualmente definire anche per p ∈ (0, 1).(i) Dimostrare che L p (E) è uno spazio vettoriale;(ii) dimostrare che L p (E) è uno spazio metrico con distanza definita da∫d p (f, g) = |f − g| p dx.(iii) dimostrare che (L p (E), d p ) è completo.7. L 1 and L ∞ non sono uniformemente convessi8. Sia t la successione a termini reali {t 1 , t 2 , . . ., t r , . . .} e si pongaE( ∞) 1/p∑‖t‖ lp = |t r | pr=1Si indica con l p lo spazio delle successioni t con ‖t‖ lp < +∞ Provare che l p èuno spazio lineare, normato con la norma ‖ · ‖ lp . Provare che l p è completoe separabile7