Introduzione a Matlab ed Aritmetica Floating–Point

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointSeealso HOME.Reference page in Help browserdoc clcRiassumendo:clear → Cancella tutte le variabiliclear → Cancella la variabile varclc → Pulisce tutte le istruzioni a schermo e blocca la barra di scorrimentohome → Pulisce tutte le istruzioni a schermohelp → Fornisce le funzionalità e le modalità d’uso di comandowho → Elenca tutte le variabili in memoriawhos → Elenca le variabili, il loro tipo e la dimensione di memoria occupataIstruzione formatIl formato di visualizzazione dei risultati, ma non la precisione con la quale sono eseguiti i calcoli,può essere cambiato utilizzando il comando format . Ad esempio, se dopo aver cambiatoil formato, digitiamo la frazione 1/7 si ottiene:format rat → ans = 1/7format short → ans = 0.1429format short e → ans = 1.4286e-01format short g → ans = 0.14286format long → ans = 0.142857142857143format long e → ans = 1.428571428571428e-01format long g → ans = 0.142857142857143Assegnazione di vettori e matriciVi sono diversi modi per creare dei vettori. Il più diretto è il seguente:>> b = [ 1 5 6 2 ];>> c = [ 1, 5, 6, 2 ];I due vettori b e c saranno identici, infatti la virgola nel secondo caso è opzionale; a volte peròè utile per evitare confusione. La dimensione è 1 × 4 per entrambi, cioè 1 riga e 4 colonne. Se sivuole creare un vettore colonna, basta usare il punto e virgola (questa volta obbligatorio):>> d = [ 1; 5; 6; 2 ];>> whosName S i z e Bytes C l a s s A t t r i b u t e sb 1x4 32 doublec 1x4 32 doubled 4x1 32 doubleOsserviamo che ognuno occupa 32 bytes = 4 · 8 bytes, dove 8 bytes = 64 bit è la dimensione diun numero in virgola mobile a doppia precisione.Per definire un vettore dati gli estremi e l’incremento, la notazione è: : : Se l’incremento è omesso, si assume pari ad uno. Ad esempio:–3–

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point>> 1:8ans =1 2 3 4 5 6 7 8>> 1:2:8ans =1 3 5 7>> 0.5: − 0.1:0ans =0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0L’ultimo caso è da evitare, perché l’accumulazione degli errori nelle somme, dovuto all’arrotondamento,può precludere la corretta chiusura del vettore (l’ultimo elemento non sarà quellorichiesto). A questo scopo è molto più sicuro utilizzare linspace:>> linspace (0 , 1, 5)ans =0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000Quanto visto si estende facilmente alle matrici:>> A= [ 1 2 3 4; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12; 13 14 15 16 ]A=1 5 9 132 6 10 143 7 11 154 8 12 16viene così creata una matrice 4 × 4. Per creare matrici più complesse si possono utilizzare combinazionidei metodi visti fino ad ora, insieme ad altri comandi come reshape, che ridimensionala matrice:>> reshape(A, 2 , 8)ans =1 3 5 7 9 11 13 152 4 6 8 10 12 14 16È inoltre possibile definire matrici a blocchi, tenendo conto però delle corrette dimensioni:>> B= [ 1:3 0; 4:−1:1 ]B=1 2 3 04 3 2 1Vi sono infine delle funzioni che creano matrici con una struttura particolare:zeros(n, m) → Matrice n × m riempita con 0ones(n, m) → Matrice n × m riempita con 1rand(n, m) → Matrice n × m riempita con numeri casuali in [0, 1]eye(n, m) → Matrice n × m riempita con 1 nei termini i = jDi tutti questi esiste la versione con un solo argomento, dove si sottointende n = m: ad esempioones(4) crea una matrice 4 × 4 con tutti 1.Esercizio 1.1Utilizzando i comandi visti, come zeros, eye e ones, per un dato numero n, si crei la matrice2n × 2n seguente:–4–

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Pointans =5 8 9>> a − bans =−3 −4 1>> H+Gans =5 8 510 8 84 6 12>> H ∗ Gans =29 20 3161 42 7145 28 33>> G ∗ aError using ∗Inner matrix dimensions must agree .Questo è l’errore più comune, infatti il vettore a è 1 × 3, mentre H è 3 × 3, quindi non va bene.>> G ∗ a’ans =262152>> a ∗ Gans =35 24 49>> 2 ∗ aans =2 4 10>> a’ ∗ bans =4 6 48 12 820 30 20>> a ∗ b’ans =36>> Aˆ2ans =8 22 2617 48 5512 30 40>> aˆ2Error using ˆInputs must be a scalar and a square matrix .To compute e l e m e n t w i s e POWER, use POWER ( . ˆ ) i n s t e a d .L’ultimo messaggio ci dice che l’elevamento a potenza è inteso nel senso di prodotto di matrici,e dunque è definito solo per matrici quadrate. Ci viene suggerito anche di usare la versione conil punto. Infatti, le operazioni binarie scalari di prodotto, divisione ed elevazione a potenza,diventano operazioni elemento per elemento per vettori e matrici nel momento in cui si pone unpunto davanti al simbolo dell’operazione:>> a .∗ bans =4 12 20>> a ./ bans =0.2500 0.3333 1.2500–7–

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point>> a .ˆ 2ans =1 4 25>> a .ˆ bans =1 64 625L’unica accortezza, in questo caso, è che i due operandi siano della stessa dimensione, o chealmeno uno dei due sia scalare (nel qual caso viene ripetuto).Esercizio 1.2Dato un numero n, creare un vettore della forma:n[ { }} { ]1, 1,...,1, 2, 2,...,2,...,n,n,...,n.} {{ } } {{ } } {{ }nnnAd esempio, per n = 3, viene [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3].Funzioni matematiche elementariUn punto di forza di Matlab è l’enorme quantità di funzioni matematiche (elementari e non)utilizzabili. Se non specificato altrimenti, quasi tutte queste funzioni si applicano elemento perelemento: data una matrice A, exp(A) non è la matrice esponenziale (che invece si calcola conexpm(A)), bensì la matrice i cui elementi sono gli esponenziali degli originali. Eccone alcune:Esercizio 1.3Si calcolinoabs(A) → Valore assoluto degli elementi di Asqrt(A) → Radice quadrata degli elementi di Aexp(A) → Funzione esponenziale degli elementi di Alog(A) → Logaritmo naturale degli elementi di Alog10(A) → Logaritmo in base 10 degli elementi di Alog2(A) → Lograritmo in base 2 degli elementi di Asin(A) → Seno degli elementi di Acos(A) → Coseno degli elementi di Atan(A) → Tangente degli elementi di Aasin(A) → Arcoseno degli elementi di A (in radianti)acos(A) → Arcocoseno degli elementi di A (in radianti)atan(A) → Arcocotangente degli elementi di A (in radianti)sinh(A) → Seno iperbolico degli elementi di Acosh(A) → Coseno iperbolico degli elementi di Atanh(A) → Tangente iperbolica degli elementi di Ae 5 +sin(π)√log2 30 − 10 ed elog 10 50 +e ln 30 +e log 2 40 .Si definiscano ( ) x =[1, ( 3, 4] ed y =[1, 1, 2] e si calcolino 2x i log 2 (|y i | + 1) − y i log 10 (x i + 2) exiarctan − sin 2 x √ 3 i |y i |).y 2 i–8–

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointFunzioni per la gestione di matriciSiano A, B due matrici e b un vettore.size(A) → Restituisce un vettore di due elementi, il primo è il numero di righedi A, il secondo il numero di colonne;size(A, 1) → Restituisce il primo elemento di size(A), ossia il numero di righe;size(A, 2) → Restituisce il secondo elemento di size(A), ossia il numero dicolonne;length(b) → Restituisce il numero di elementi del vettore b;max(b) → Restituisce il più grande elemento del vettore b;min(b) → Restituisce il più piccolo elemento del vettore b;max(A) → Restituisce un vettore riga contenente il più grande elemento di ognicolonna di A;min(A) → Restituisce un vettore riga contenente il più piccolo elemento di ognicolonna di A;max(A,B) → Restituisce una matrice delle stessi dimensioni di A e B contenenteil massimo elemento per elemento;min(A,B) → Restituisce una matrice delle stessi dimensioni di A e B contenenteil minimo elemento per elemento;max(A,[],2) → Restituisce un vettore colonna contenente il più grande elemento diogni riga di A. Se al posto del 2 c’è 1 si ha semplicemente max(A);min(A,[],2) → Restituisce un vettore colonna contenente il più piccolo elemento diogni riga di A. Se al posto del 2 c’è 1 si ha semplicemente max(A);sum(b) → Restituisce uno scalare pari alla somma degli elementi del vettoreb;sum(A) → Restituisce un vettore riga i cui elementi sono la somma per colonnedegli elementi della matrice A;sum(A,2) → Restituisce un vettore colonna i cui elementi sono la somma perrighe degli elementi della matrice A;diag(A) → Restituisce il vettore della diagonale della matrice A;diag(A,k) → Restituisce il vettore della k–esima sopradiagonale della matrice A;diag(A,-k) → Restituisce il vettore della k–esima sottodiagonale della matrice A;diag(b) → Restituisce una matrice sulla cui diagonale ci sono gli elementi delvettore b;diag(b,k) → Restituisce una matrice sulla cui k–esima sopradiagonale ci sono glielementi del vettore b;diag(b,-k) → Restituisce una matrice sulla cui k–esima sottodiagonale ci sono glielementi del vettore b;tril(A) → Restituisce la parte triangolare inferiore (lower) della matrice A,ossia annulla tutti i termini strettamente sopra la diagonale (anchenel caso rettangolare);triu(A) → Restituisce la parte triangolare superiore (upper) della matrice A,ossia annulla tutti i termini strettamente sotto la diagonale (anchenel caso rettangolare);Vi sono moltissime altre funzioni importanti, quali det, che restituisce il determinante di unamatrice quadrata, trace, che restituisce la traccia, norm per calcolare le norme, e via discorrendo.Man mano che serviranno introdurremo queste funzioni.–9–

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointEsercizio 1.4Dato uno scalare positivo n, siaA = magic(n).Sommare per righe, per colonne. Sommare inoltre gli elementi della diagonale. Cosa si osserva?Funzioni e scriptGran parte dei comandi che abbiamo introdotto sono definiti come funzioni, ossia procedure cheprendono in ingresso dei dati e forniscono in uscita qualcos’altro. In Matlab vi sono molti modiper definire una funzione.Supponiamo ad esempio di voler una funzione fun(x) che restituisca il valore di f(x) =x sin x +cos 2 x, per un dato x. Il metodo “storico” (legacy) consiste nel definire la stringa corrispondentealla funzione, e poi valutarla così come se fosse stata scritta al momento tramite il comandoeval:>> fun = ’x*sin(x) + (cos(x))^2’;>> x = 1.0;>> eval(fun)ans =1.1334Osserviamo fin da subito un problema:>> x = [ 1 2 3 ];>> eval(fun)Error using ∗Inner matrix dimensions must agree .Infatti, se x è un vettore, sin(x) sarà un vettore di pari dimensioni, e il prodotto con x*sin(x)non sarà possibile. Bisogna vettorizzare l’espressione, andando a mettere il punto dove serve (ameno che la funzione scritta non debba davvero essere intesa in senso vettoriale):>> fun = ’x.*sin(x) + cos(x).^2’;>> x = [ 1 2 3 ];>> eval(fun)ans =1.1334 1.9918 1.4034Esiste inoltre il comando vectorize che trasforma la funzione nella sua versione vettoriale.Moltissimi codici (soprattutto datati) usano ancora eval, ma vi sono ottime ragioni per evitarlo:prima tra tutte è scomodo definire x ogni volta.Una seconda possibilità, che utilizzeremo molto più spesso, si basa sul concetto di funzionianonime.>> fun = @(x) x.∗ sin(x) + cos(x).ˆ2;>> x = [ 1 2 3 ];>> fun(x)ans =1.1334 1.9918 1.4034Il simbolo @ è detto function handle. Attenzione che il comando vectorize non funziona inquesto caso. Si possono anche avere più argomenti o restituire matrici e vettori:>> fun = @(x,y) [ x.ˆ2 , x∗y; x∗y, y.ˆ2 ];>> fun (1 ,2)ans =1 22 4– 10 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointVi sono almeno altri due modi per definire le funzioni da linea di comando, che però non approfondiremo:inline e tramite il Toolbox simbolico. Approfondiamo invece l’ultimo caso, ossiatramite script.Uno script è un file di testo con estensione .m, contenente un listato di comandi che Matlabeseguirà una volta richiamato il file. Quest’ultimo può essere modificato tramite unqualsiasi editor di testi, oppure con l’editor interno richiamato con il comando:>> editSupponiamo ad esempio che il file myscript.m contenga:clear ; clc ;% Questo e ’ un commento:% somma dei quadrati della diagonale% della matrice magican = 4;A=magic(n);somma = sum( diag(A) . ˆ 2 )Se il file si trova nella directory di lavoro, allora:>> myscriptsomma =414ossia viene eseguito così come se fosse stato scritto direttamente nel terminale.Uno script può contenere anche solo una funzione, con questa sintassi:function y = myfun(x)y = x.∗ sin(x) + (cos(x)).ˆ2;endIn questo caso è obbligatorio salvare il file con lo stesso nome della funzione (quindi myfun.m).>> x = [ 1 2 3 ];>> myfun(x)ans =1.1334 1.9918 1.4034Gli script di funzioni possono contenere al più una funzione (volendo però esistono le funzioniinterne o nested che non tratteremo), ed è buona norma usare nomi in minuscolo e senza spazi.È possibile inoltre avere funzioni che prendano in ingresso più argomenti e ne restituiscanoaltrettanti:function [A, b] = vecmat(n, m)%VECMAT G e n e r o u n a m a t r i c e e u n v e t t o r e .% [A,B] = VECMAT(N,M) Genera una matrice A di dimensione M x N% e un vettore B di dimensione N x 1, casuali .A=rand(n,m);b = rand(n,1);endA questo punto possiamo richiamarla:>> [K, f ] = vecmat(2 ,3)K=0.4387 0.7655 0.18690.3816 0.7952 0.4898f =0.44560.6463– 11 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point>> vecmat (2 ,3)ans =0.6787 0.7431 0.65550.7577 0.3922 0.1712>> help vecmatVECMAT G e n e r o una m a t r i c e e un v e t t o r e[A,B] = VECMAT(N,M) Genera una matrice A di dimensione M x Ne un vettore B di dimensione N x 1, casuali .Cicli e controlliMatlab ha un linguaggio di programmazione vero e proprio, interpretato. Molte operazioni peril controllo del flusso sono dunque disponibili.>> for i = 1:3 , magic( i), end ;ans =1ans =1 34 2ans =8 1 63 5 74 9 2>> n=1; while n < 4, magic(n) , n = n+1; end ;ans =1ans =1 34 2ans =8 1 63 5 74 9 2>> if rand(1) > 0.5 , disp( ’Maggiore 0.5’); else , disp( ’Minore 0.5’); end ;Maggiore 0.5Mano a mano che serviranno ulteriori dettagli, vedremo di aggiungerli. In genere la struttura èmolto intuitiva. Come si può osservare, scrivere questi controlli da linea di comando è piuttostoscomodo e poco leggibile: si preferisce quindi scrivere tutto in uno script, con una correttaindentazione, ed eseguire man mano quello che serve.Esercizio 1.5• Scrivere una funzione dal nome cubediag che, data in ingresso una matrice A, restituiscala somma dei cubi della diagonale.• Scrivere una nuova funzione cubeantidiag che restituisca la somma dei cubi dell’antidiagonale(ossia quella simmetrica rispetto a quella normale).GraficiPer disegnare il grafico di una funzione reale di variabile reale si utilizza il comando plot. Nellasua versione di base, la sintassi prevede che siano dati in ingresso due vettori x ed y della stessadimensione, che indicano la posizione dei punti.– 12 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point>> x = linspace( −1, 1, 100);>> parab = @(x) x .ˆ2;>> plot(x, parab(x));10.90.80.70.60.50.40.30.20.10−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Per controllare stile, dimensione, colore del tratto, vi sono numerose opzioni, che tipicamentesono inserite subito dopo l’ultimo argomento, in questo modo:>> x = linspace( −1, 1, 20);>> plot(x,parab(x) , ’r*--’ , ’LineWidth’ , 2.0 , ’MarkerSize’ , 15.0);>> grid on ;>> xlabel( ’Ascissa’);>> ylabel( ’Ordinata’);>> title( ’Una parabola’ , ’FontWeight’ , ’bold’);1Una Parabola0.90.80.70.6Ordinata0.50.40.30.20.10−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Ascissa– 13 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointDigitando help plot o doc plot si avrà una panoramica di tutte le possibili combinazioni perlo stile. Il più utilizzato è il terzo argomento, ossia la stringa r*--: tradotto risulta r = red, cioètratto di linea rosso, *, cioèmarkers a forma di asterisco, e --, ossia linea a tratti. L’ordine èfissato, ma ognuno è facoltativo: scrivendo semplicemente y si ha una linea gialla (yellow).Per sovrapporre dei grafici, si può procedere in diversi modi:>> x = linspace( −1, 1, 20);>> parab = @(x) x .ˆ2;>> cubic = @(x) x.ˆ3;>> plot(x, parab(x) , x, cubic(x));oppure:>> plot(x, [parab(x); cubic(x )]);oppure:>> plot(x, parab(x));>> hold all ;>> plot(x, cubic(x));>> hold off ;Si può aggiungere una legenda con il comando:>> legend( ’Parabola’ , ’Cubica’);10.8parabcubic0.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Esercizio 1.6Disegnare il grafico della funzione f(x) =2+(x − 3) sin ( 5(x − 3) ) ,per0≤ x ≤ 6. Sovrapporrea questo grafico, in linea a tratti, le rette che delimitano tale funzione.Un altro tipo di grafico molto importante, in particolare quando si deve valutare l’andamentodell’errore rispetto a dei parametri, è quello in scala logaritmica o semilogaritmica. Per una datafunzione f(x), con grafico y = f(x):– 14 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point• semilogx rappresenta i punti dopo il cambio di variabile x ↦→ log x;• semilogy rappresenta i punti dopo il cambio di variabile y ↦→ log y;• loglog effettua entrambi i precedenti cambi di variabile.Ad esempio, il grafico y =e αx , in scala y–logaritmica diventa ỹ := log y = αx, ossia una retta.>> x = linspace (1 , 10, 100);>> semilogy(x, exp(x) , x, exp(2∗ x), ’LineWidth’ , 2.0);>> grid on ;>> legend( ’Pendenza 1’ , ’Pendenza 2’ , ’Location’ , ’NorthWest’);10 10 Pendenza 1Pendenza 210 810 610 410 210 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10Esercizio 1.7Sia f(x) = (log x) 2 per 0.1 ≤ x ≤ 10. Cosa ci si aspetta dal grafico in scala x–logaritmica?Disegnare e verificare.Cifre significativeSia ˆx una approssimazione di un numero x ∈ R. Per misurare l’accuratezza di ˆx ci sono:E abs (ˆx) :=|x − ˆx|,E rel (ˆx) :=(errore assoluto)|x − ˆx|, x ≠0. (errore relativo)|x|L’errore relativo può anche essere definito come E rel (ˆx) =|ρ|, doveρ è tale che ˆx = x(1 + ρ). Ilprincipale vantaggio dell’errore relativo è che non risente dei riscalamenti.Un concetto legato all’errore relativo è quello delle cifre significative. Da un punto di vistamatematico è difficile dare una definizione che metta tutti d’accordo, perciò limiteremo l’interesseper questo argomento soltanto a questa sezione, mentre in futuro ci affideremo alla nozione, benpiù robusta, di errore relativo.– 15 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointSia s il più grande intero tale che |x| ≥ 10 s . Diremo allora che l’approssimazione ˆx di x ha pcifre significative quando p è il più grande intero tale cheE abs (ˆx) ≤ 1 2 × 10s−p+1 .Ad esempio, siano x =0.127 e ˆx =0.123; allora s = −1 eE abs =0.4 · 10 −2 ≤ 0.5 · 10 −2 ,quindise s − p +1=−2 si ha p = 2.Quando x non è a disposizione (come in gran parte delle applicazioni), si può ragionare per approssimazionisuccessive. Supponiamo di avere una sequenza {x i } ∞ i=0 che tende a x: si consideracome errore assoluto al passo i–esimo |x i − x i−1 |,peri>0.Al esempio siano dati:Le cifre significative saranno le seguenti:x 0 =0.82707464509147,x 1 =0.82413716191931,x 2 =0.82413231231575,x 3 =0.82413231230252.|x 0 − x 1 | =0.00293748317217 ≤ 0.5 · 10 −2 ⇒ p =2,|x 1 − x 2 | =4.84960355884301 · 10 −6 ≤ 0.5 · 10 −5 ⇒ p =5,|x 1 − x 2 | =1.322519871393979 · 10 −11 ≤ 0.5 · 10 −10 ⇒ p = 10.Esercizio 1.8Si completi la seguente tabella (usare format short per l’errore relativo):x ˆx Errore relativo Errore assoluto Cifre significative1.6925 1.69285 – – –23.130 23.129 – – –23.130 23.1299 – – –23.130 23.129999 – – –0.00345 0.00343 – – –0.01008 0.01012 – – –0.01008 0.01002 – – –0.01008 0.0102 – – –Aritmetica in virgola mobileI numeri naturali N, seppur infiniti, possono essere rappresentati esattamente sul calcolatoreentro una finestra prefissata di valori. Ad esempio, un numero intero 32–bit può rappresentarein formato binario i numeri da 0 a 2 32 − 1. Oppure, con lo stesso intero, rappresentiamo i numeriinteri Z (per l’appunto) da −2 31 fino a 2 31 − 1.I numeri reali R, in una qualsiasi finestra scelta, rimangono invece troppi per essere rappresentatitutti. Vi sono almeno due possibilità: la prima consiste nel fissare il numero di cifre dopo la– 16 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Pointvirgola (fixed–point). La seconda invece considera l’insieme proprio F ⊂ R dei numeri a virgolamobile (floating–point):y = ±m × β e−t ,dove β è la base, t è la precisione ed e ∈ [e min ,e max ] l’esponente. Per esempio, con β = 2, t = 3,e min = −1 ed e max = 3 si possono rappresentare i seguenti numeri:0, 0.25, 0.3125, 0.3750, 0.4375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1.0,1.25, 1.50, 1.75, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0.0 1 2 3 4 5 6 7Lo standard IEEE–754 fissa i valori per i parametri in due importanti casi: singola precisione(single–precision o float in C), dove β = 2, t = 24, e min = −125 ed e max = 128, e doppiaprecisione (double–precision o double in C), dove β = 2, t = 53, e min = −1021 ed e max = 1024.L’epsilon macchina ε M = β 1−t è la distanza tra 1 e il numero subito successivo in F; in singolaprecisione è circa 1.19 × 10 −7 , in doppia invece 2.22 × 10 −16 . Si può mostrare che per un datox ∈ F, ilsuosuccessivoinF cade nell’intervallo [β −1 ε M |x|, ε M |x|].In Matlab possiamo vedere quanto valgono ε M ed i limiti di F:>> epsans =2.2204e−16>> realmaxans =1.7977e+308>> realminans =2.2251e−308Come si osserva dal grafico dell’esempio precedente, la distanza tra i numeri in F non è costante.Il comando eps di Matlab permette di sapere queste distanze:>> eps (1)ans =2.2204e−16>> eps (10)ans =1.7764e−15>> eps (100)ans =1.4211e−14>> eps(1000)ans =1.1369e−13L’insieme F mette a disposizione anche alcuni casi eccezionali:>> 1e400ans =Inf>> 1e−400ans =0– 17 –

Laboratorio I Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–Point>> 1/0ans =Inf>> 0/0ans =NaNIl numero Inf è ∞, nel senso che è oltre realmax. Non è da considerarsi un errore, nel sensoche le operazioni aritmetiche sono ancora valide (benché spesso dannose). Se si è sotto realmin,allora viene approssimato a 0. La situazione NaN (Not–a–Number) indica invece che il risultatonon ha senso.L’algebra dell’insieme F è diversa da quella di R, nel senso che alcune proprietà non sonocorrisposte. La più importante è la proprietà associativa (e distributiva) che non vale più:>> x = 1.0e−15;>> (1+x)−1ans =1.1102e−15>> (1−1)+xans =1.0000e−15Questo è legato agli errori di cancellazione, ossia l’operazione x − y non è accurata in Fquando x ≈ y. Il problema è piuttosto serio, in quando la situazione è abbastanza comune(vedremo il caso del calcolo di derivate a questo proposito). Ad esempio, sianof(x) = 1 − cos xx 2 , g(x) = 1 2( ) 2 sin(x/2).x/2Proviamo a valutare entrambe le funzioni (che sono identiche) per x =1.2 × 10 −8 :>> x = 1.2e−8;>> (1−cos(x))/xˆ2;ans =0.7710>> 0.5∗ ( sin(x/2)/(x/2) )ˆ2;ans =0.5000Il primo risultato è chiaramente sbagliato (oltretutto 0 ≤ f(x) ≤ 0.5).È buona norma evitare il più possibile casi di questo tipo, che sono molto frequenti. Ad esempio:f(x) = ex − 1, per x ≈ 1;xx 1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac, per b 2 ≈ 4ac e b ≈ √ b2a2 − 4acs 2 n = 1 ( ∑nn − 1 i=1 x2 i − 1 (∑)n 2i)nx i=1Nell’ultimo caso, sul calcolo della varianza, si possono addirittura ottenere risultati negativi, chenon hanno alcun senso matematico.– 18 –

Laboratorio X Introduzione a Matlab R ed Aritmetica Floating–PointEsercizio 1.9La strategia usata da Archimede per approssimare π considera i poligoni regolari iscritti e circoscrittinel cerchio unitario. Infatti, se n è il numero dei lati, il perimetro P n → 2π pern →∞.Partendo da un esagono, e raddoppiando in successione i lati, si trova che peri →∞si ha6 · 2 i · t i → π, dovet i soddisfa la seguente relazione:t 0 = √ 1√t2, t i+1 = i +1− 1.3 t i1. Implementare in Matlab l’algoritmo e confrontare l’approssimazione con π fornito da pi.Cosa si osserva?2. Sostituire ora la formula ricorsiva con l’equivalente:t 0 = √ 1t, t i+1 = √ i3 t2i +1+1 .Commentare eventuali differenze.Nota. Usare format long per visualizzare le differenze.Esercizio 1.10Sia p(x) =(x−1) 7 per x ∈ [0.998, 1.012]. Espandere il polinomio p(x) con la formula del binomio,e rappresentarla sovrapposta al caso non espanso. Commentare eventuali differenze.– 19 –