Appunti di Topologia Simpliciale - Matematica e Applicazioni

TOPOLOGIA SIMPLICIALERenzo A. Piccinini

Capitolo 1Concetti Fondamentali1.1 TopologiaIn questa sezione studieremo quel minimo di topologia generale necessarioper lo svolgimento del corso.1.1.1 Spazi topologiciSia X un insieme dato. Una topologia per X è un insieme F X di sottoinsiemidi X con le proprietà seguenti:A1 ∅, X ∈ F X ;A2 se {U α |α ∈ J} è un insieme arbitrario di elementi di F X , allora∪ α∈J U α ∈ F X ;A3 se {U α |α = 1, ..., n} è un insieme arbitrario finito di elementi di F X ,allora∩ n α=1U α ∈ F X .3

4 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIUn insieme X con una topologia F X è anche detto spazio topologico. Glielementi di F X sono gli aperti di X; dunque gli assiomi A1, A2 e A3 ci diconorispettivamente che ∅, X sono aperti, che una unione arbitraria aperti è unaperto e che una intersezione finita di aperti è un aperto.Il complementare di un aperto è un chiuso; cosi, ∅ e X sono al tempostesso aperti e chiusi. La topologia F X può anche essere studiata tramite ichiusi: sia C X l’insieme di tutti i chiusi di X; la definizione di insieme chiusodice cheC ∈ C X ⇐⇒ X \ C ∈ F X .Inoltre, l’insieme C X è caratterizzato dalle seguenti proprietà:C1 ∅, X ∈ C X ;C2 se {U α |α ∈ J} è un insieme arbitrario di elementi di C X , allora∩ α∈J U α ∈ C X(in altri termini, una intersezione arbitraria di chiusi è un chiuso);C3 se {U α |α = 1, ..., n} è un insieme arbitrario finito di elementi di C X ,allora∪ n α=1U α ∈ C X(in altri termini, una unione finita di chiusi è un chiuso).La chiusura di un sottoinsieme Y ⊂ X – notazione: Y – è l’intersezionedi tutti i chiusi di X che contengono Y ; chiaramente Y ∈ C X .Due topologie vengono subito a mente per un insieme X:1. la topologia discreta che ha per aperti l’insieme F d = P(X) di tutti isottoinsiemi di X, e

1.1. TOPOLOGIA 52. la topologia banale con F b = {∅, X}.Chiaramente F d ⊃ F b e questo ci da l’idea di paragonare due topologiesul medesimo insieme: diremo che la topologia F ′ è più fine della topologiaF se F ′ ⊃ F; dunque, la topologia discreta di X è più fine di quella banale.Un insieme B di sottoinsiemi di X è una base di una topologia o una basedi aperti per X se valgono le proprietà seguenti:B1 (∀x ∈ X)(∃B ∈ B) x ∈ B ;B2 se B 1 , B 2 ∈ B e B 1 ∩ B 2 ≠ ∅, allora(∀x ∈ B 1 ∩ B 2 )(∃B 3 ∈ B) x ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 .Una base B definisce automaticamente una topologia F per X nel modoseguente:U ∈ F ⇐⇒ (∀x ∈ U)(∃B ∈ B) x ∈ B ⊂ U .È necessario dimostrare che l’insieme F cosi definito soddisfa le proprietàdegli insiemi aperti. La condizione [A1] è soddisfatta. Sia {U α |α ∈ J} uninsieme di elementi di F; vogliamo dimostrare che U = ∪ α∈J U α ∈ F. Infatti,(∀x ∈ U)(∃α ∈ J) x ∈ U αe dunque, esiste un B ∈ B tale che x ∈ B ⊂ U α ⊂ U ossia, [A2] vale.Per dimostrare [A3] partiamo da due elementi U 1 , U 2 ∈ F. Se U 1 ∩U 2 = ∅,U 1 ∩ U 2 ∈ F. Altrimenti,(∀x ∈ U 1 ∩ U 2 ) x ∈ U 1 e x ∈ U 2e perciò,(∃B 1 ∈ B) x ∈ B 1 ⊂ U 1

6 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI(∃B 2 ∈ B) x ∈ B 2 ⊂ U 2 ;siccome B è una base, esiste un elemento B 3 ∈ B tale che x ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 .Concludiamo chex ∈ B 3 ⊂ U 1 ∩ U 2e dunque U 1 ∩ U 2 ∈ F. Supponiamo che [A3] sia valida per una intersezionedi n − 1 elementi di F. Siano U 1 , U 2 , . . . , U n elementi di F; scriviamo∩ n i=1U i = (∩ n−1i=1 U i ) ∩ U ne osserivamo che ∩ n−1i=1 U i ∈ F per l’ipotesi di induzione; allora, l’intersezionedi tutti gli elementi U i dati appartiene a F per il caso (dimostrato) di dueelementi.Si osservi che tutti gli elementi di una base sono elementi della topologiada essa definita (cioè, gli elementi di una base sono automaticamente aperti).Come esempi di basi diamo i seguenti. Sia IR n lo spazio euclideo n-dimensionale. Per qualsiasi x ∈ IR n e qualsiasi numero reale ε > 0, sia◦D n ε (x) = {y ∈ IR n |d(x, y) < ε}il disco aperto n-dimensionale di centro x e raggio ε. L’insiemeB = { ◦ D n ε (x)|x ∈ IR n , ε > 0}è una base per la topologia euclidea di IR n . Per un insieme XB = {{x} | x ∈ X}è una base per la topologia discreta di X.La topologia F definita da una base B può essere descritta in un mododiverso:

1.1. TOPOLOGIA 7Lemma 1.1.1 Siano X un insieme, B una base di aperti di X e F la topologiadefinita da B. Allora, F coincide con l’insieme di tutte le unioni dielementi di B.Dimostrazione – Sia dato un insieme arbitrario {U α |α ∈ J , U α ∈ B};siccome tutti gli elementi di B ⊂ F e F è una topologia, l’unione ∪ α∈J U α ∈ F.Reciprocamente, sia dato U ∈ F. Allora,(∀x ∈ U)(∃B x ∈ B) x ∈ B x ⊂ U .Dunque U = ∪ x∈U B x ossia, U è una unione di elementi di B.✷Ora veniamo al concetto di sottobase. Un insieme S di sottoinsiemi diX è una sottobase di X se l’unione di tutti gli elementi di S coincide con X.Il risultato successivo mostra l’interesse di lavorare con sottobasi.Teorema 1.1.2 Sia S una sottobase di un insieme X. Allora, l’insieme F ditutte le unioni di tutte le intersezioni finite di elementi di S è una topologia.Dimostrazione – È sufficiente dimostrare che l’insieme B di tutte le intersezionifinite di elementi di S è una base e poi considerare il Lemma1.1.1.[B1] – (∀x ∈ X)(∃B ∈ S) x ∈ B; ma B ∈ B perché tutti gli elementi diS are elementi di B.[B2] – Siano dati B 1 = ∩ n i=1Ci 1 e B 2 = ∩ m j=1Cj 2 in B; la proprietà segueperchéB 1 ∩ B 2 = (∩ n i=1Ci 1 ) ∩ (∩ m j=1Cj 2 ) ∈ B .✷

8 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIPer esempio, l’insieme {{x} | x ∈ X} è una sottobase per la topologiadiscreta di X.Siano ora X e Y due spazi topologici con le topologie F X e F Y rispettivamente.La topologia prodotto dell’insieme X × Y è quella definita dallabaseB = {U × V |U ∈ F X , V ∈ F Y } .Sia X uno spazio topologico con topologia F X . Un sottoinsieme A di Xeredita canonicamente una topologia da F X : la topologia indottaF A = {U ∩ A|U ∈ F X } .Lemma 1.1.3 Siano dati uno spazio topologico X, un insieme Y e unasuriezione q : X → Y . L’insiemeF Y = {U ⊂ Y |q −1 (U) ∈ F X }è una topologia.Dimostrazione –A1 : q −1 (∅) = ∅ ∈ F X , q −1 (X) = X ∈ F X .A2 : vale perché essendo q suriettiva,q −1 (∪ α∈J U α ) = ∪ α∈J q −1 (U α ) .A3 : come per [A2],q −1 (∩ n i=1U i ) = ∩ n i=1q −1 (U i ) .

1.1. TOPOLOGIA 9✷La topologia F Y cosi definita è detta topologia quoziente di Y definita da q.Si osservi che l’insieme Y potrebbe essere dato da una partizione di X inclassi disgiunte la cui unione è appunto X. A seguito diamo due esempi perchiarire questo fatto.(I) Sia X = I × I (ricordiamo che I è l’intervallo unitario [0, 1]) conla topologia prodotto. Ora prendiamo l’insieme X ∗ i cui elementi sono gliinsiemi dati come segue:1. {(x, y)}, per 0 < x < 1 , 0 < y < 1 ;2. {(x, 0), (x, 1)}, per 0 < x < 1 ;3. {(0, y), (1, y)}, per 0 < y < 1 ;4. {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} .L’insieme X ∗ è una partizione di X; la funzione q : X → X ∗ che porta ogni(x, y) ∈ X × X nella sua classe è una suriezione. Lo spazio topologico X ∗con la topologia quoziente è detto toro bidimensionale T .(II) Sia D 2 il disco unitario bi-dimensionaleD 2 = {(x, y) ∈ IR 2 |x 2 + y 2 ≥ 1}e sia X ∗ l’insieme di elementi1. {(x, y)} per i punti (x, y) ∈ D 2 tali che x 2 + y 2 < 1 ;2. {(x, y), (−x, −y)}, per i punti (x, y) ∈ D 2 tali che x 2 + y 2 = 1 ;lo spazio topologico X ∗ con la topologia quoziente data dall’epimorfismoq : D 2 → X ∗ è il piano proiettivo reale IRP 2 .(III) Prendiamo nuovamente il disco unitario D 2 e sia Y ∗ l’insieme con iseguenti elementi:

10 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI1. {(x, y)} per i punti (x, y) ∈ D 2 tali che x 2 + y 2 < 1 ;2. {(x, y), (x, −y)}, per i punti (x, y) ∈ D 2 tali che x 2 + y 2 = 1 ;Lo spazio Y ∗ con la topologia quoziente definita da q : D 2 → Y ∗ è la sferabidimensionale S 2 . Si osservi che S 2 ha una topologia che proviene dallatopologia euclidea di IR 3 ; lasciamo al lettore il compito di cominciare a pensarequale potrebbe essere il legame tra la topologia quoziente di S 2 e quellaereditata da IR 3 .Il lettore avrà intuito che possiamo descrivere la situazione anterioretramite una relazione di equivalenza: sia ≡ una relazione di equivalenzain uno spazio topologico X; questa definisce una suriezioneq : X → X/ ≡che determina la topologia quoziente in X/ ≡.Le funzioni importanti fra spazi topologici sono le funzioni continue la cuidefinizione diamo in seguito. Siano X, Y spazi topologici con le topologieF X e F Y rispettivamente. Una funzione f : X → Y è detta continua se(∀U ∈ F Y ) f −1 (U) ∈ F X .Se la funzione f è biettiva (iniettiva e suriettiva) allora esiste una funzioneinversa f −1 : Y → X tale che f −1 f = 1 X (la funzione identità da X su sestesso) e ff −1 = 1 Y ; in questo caso, se f −1 è anch’essa continua, si dice che fè un omeomorfismo di X. In pratica non facciamo distinzione tra due spaziomeomorfi.Sia q : X → Y una suriezione di uno spazio topologico X in uno spaziotopologico Y con la topologia quoziente dtereminata da q. Allora, la funzioneq è continua.Il risultato seguente collega omeomorfismi e spazi quozienti.

1.1. TOPOLOGIA 11Lemma 1.1.4 Sia f : X → Y un omeomorfismo e siano ≡ X , ≡ Y rispettivamenterelazioni di equivalenza in X e Y . Allora X/ ≡ X e Y/ ≡ Y sonoomeomorfi purchéx ≡ X x ′ ⇐⇒ f(x) ≡ Y f(x ′ ) .Dimostrazione – Prendiamo il diagramma commutativo (cioè, F q X = q Y f)q X>X X/ ≡XfF∨∨Y > Y/ ≡ Yq Ycon F definito come segue:(∀[x] ∈ X/ ≡ X ) F ([x]) := [f(x)] .La F è una funzione: se x ≡ X x ′ , allora f(x) ≡ Y f(x ′ ) e dunque tuttala classe [x] si trasforma in modo univoco nella classe [f(x)]. Siccome lafunzione composta q Y f è continua, cosìaccade anche per F q X ; ma lo spazioX/ ≡ X ha la topologia quoziente e dunque (vedere e fare l’esercizio 5) F ècontinua.A questo punto consideriamo la funzione inversa f −1 : Y → X e, comeper f, costruiamo la relazioneF ′ : Y/ ≡ Y → X/ ≡ X , F ′ ([y]) := [f −1 (y)]per qualsiasi [y] ∈ Y/ ≡ Y . Anche qui abbiamo una funzione: supponiamoche y ≡ Y y ′ ; allora esistono (e sono unici) x, x ′ ∈ X tali che y = f(x) ey ′ = f(x ′ ); oray ≡ Y y ′ =⇒ f(x) ≡ Y f(x ′ ) =⇒ x ≡ X x ′

12 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI=⇒ f −1 (y) ≡ X f −1 (y ′ ) =⇒ [f −1 (y)] = [f −1 (y ′ )] .La funzione F ′ appena definita è anch’essa continua eF ′ F = 1 Y/≡Y, F F ′ = 1 X/≡Xossia, F è un omeomorfismo.✷1.1.2 Spazi compattiUno spazio toplogico X è detto compatto se qualsiasi ricoprimento aperto diX ammette un sottoricoprimento finito; in altre parole, dato arbitrariamenteun insieme di aperti di XU = {U α |U α ∈ F X }tale che ∪ α U α = X, allora esiste un numero finito di questi aperti, diciamoU 1 , U 2 , . . . , U n tale cheU 1 ∪ U 2 ∪ . . . ∪ U n = X .Il lettore può dimostrare facilmente che lo spazioX = {0} ∪ {1/n|n ∈ IN}con la topologia indotta dalla topologia euclidea di IR è compatto; d’altrocanto lo spazio IR non è compatto: infatti, il ricoprimento aperto di IRA = {(n, n + 2)|n ∈ Z}non ammette sottoricoprimenti finiti!Il risultato seguente di facile dimostrazione si dimostra di grande utilità.

1.1. TOPOLOGIA 13Lemma 1.1.5 Sia X uno spazio topologico. Un sottospazio Y ⊂ X è compatto⇐⇒ qualsiasi ricoprimento aperto di Y per aperti di X ammette unsottoricoprimento finito di Y .Teorema 1.1.6 Qualsiasi sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto.Dimostrazione – Sia Y un sottospazio chiuso di uno spazio compatto X.Sia A un ricoprimento di Y per aperti di X; allora l’insiemeB = A ∪ (X \ Y )è un ricoprimento aperto di X. Siccome X è compatto, esiste un sottoinsiemefinito C di elementi di B che ricopre X. Se X \ Y ∈ C, l’insieme C \ (X \ Y ) èun sottoinsieme finito di A che ricopre Y ; altrimenti, l’insieme C fa al nostrocaso.✷Per il prossimo risultato dobbiamo introdurre un tipo speciale di spaziotopologico. Si dice che uno spazio topologico X è Hausdorff se(∀x, y ∈ X|x ≠ y)(∃U x , U y ∈ F X ) x ∈ U x , y ∈ U y e U x ∩ U y = ∅ .È chiaro che lo spazio euclideo IR n è Hausdorff. Citiamo il seguente esempiodi uno spazio non-Hausdorff. Sia X il sottoinsieme di IR 2 dato dall’unionedella retta reale IR (asse degli x) e dal punto (0, 1); come insieme F X degliaperti di X prendiamo l’insieme vuoto ∅ e tutti i sottoinsiemi di X che contengano(0, 1) (il lettore deve verificare che F X è una topologia su X). Lospazio topologico X definito non è Hausdorff perché due aperti qualsiasi diX hanno una intersezione non-vuota!

14 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALITeorema 1.1.7 Un sottospazio compatto di uno spazio Hausdorff è chiuso.Dimostrazione – Sia Y un sottospazio compatto di uno spazio di HausdorffX. Si deve dimostrare che X \ Y è aperto. A tal fine fissiamo un elementox o ∈ X \ Y e per ogni y ∈ Y , prendiamo due aperti U y , V y ∈ F X tali chey ∈ U y , x o ∈ V y , U y ∩ V y = ∅ .L’insiemeU = {U y |y ∈ Y }è un ricoprimento di Y per aperti di X. Siccome Y è compatto, esiste uncerto numero finito di aperti in U, diciamo U 1 , . . . , U n tale cheY ⊂ ∪ n i=1U i .Ora è facile stabilire che gli insiemi aperti U = ∪ n i=1U i e V = ∩ n i=1V i non siintersecano e perciò, x o ∈ V ⊂ X \ Y . Questo vale per qualsiasi punto x o fissatoin X \ Y e dunque, l’insieme X \ Y è aperto, come volevamo dimostrare.✷Teorema 1.1.8 Sia f : X → Y una funzione continua; se X è compatto,f(X) è compatto.Dimostrazione – Sia A = {U α |α ∈ J} un ricoprimento di f(X) per apertidi Y . L’insiemeB = {f −1 (U α ∈ F X |α ∈ J}è un ricoprimento aperto di X e perciò ammette un sottoricoprimento finito,diciamo{f −1 (U 1 ), . . . , f −1 (U n )} .

1.1. TOPOLOGIA 15Allora {U 1 , . . . , U n } ricopre f(X).✷In particolare, se X è compatto qualsiasi spazio Y che gli sia omeomorfo èanch’esso compatto.È interessante osservare che la proprietà di compattezza di uno spazio èmantenuta per continuità ma una funzione continua in generale non mantienela proprietà di Hausdorff; infatti vale il seguenteTeorema 1.1.9 Sia q : X → Y una suriezione con X compatto, Hausdorffe Y con la topologia quoziente relativa a q. Inoltre, supponiamo che la mappaq porti un chiuso arbitrario di X in un chiuso di Y . 1 Allora, lo spazio Y èHausdorff.Dimostrazione – Siano y 1 e y 2 due punti distinti di Y . Siccome q è unepimorfismo, esistono due punti distinti x 1 , x 2 ∈ X tali cheq(x 1 ) = y 1 e q(x 2 ) = y 2 ;inoltre, essendo q chiusa, {y 1 } e {y 2 } sono chiusi in Y . Dunque, q −1 (y 1 ) eq −1 (y 2 ) sono due sottoinsiemi chiusi e disgiunti di X. Per ogni copia(x, a) ∈ q −1 (y 1 ) × q −1 (y 2 )siano U x,a e V x,a due aperti disgiunti di X che contengono i punti x e arispettivamente. Poiché q −1 (y 2 ) è compatto (vedi Teorema 1.1.6) esiste unsottoricoprimento finitoA = {V x,a |a ∈ A finito }del ricoprimento {V x,a |a ∈ q −1 (y 2 )} di q −1 (y 2 ); in questo modo otteniamodue aperti disgiuntiU x = ∩ a∈A U x,a e V x = ∪ a∈A V x,a1 Una funzione f che porta chiusi in chiusi è detta chiusa.

16 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIcontenenti x e q −1 (y 2 ) rispettivamente. SiaB = {U x |x ∈ B finito }un sottoricoprimento finito di {U x |x ∈ q −1 (y 1 )} (esiste perché q −1 (y 1 ) ècompatto); gli insiemiU = ∪ x∈B U x e V = ∩ x∈B V xsono aperti disgiunti di X che contengono rispettivamente q −1 (y 1 ) e q −1 (y 2 ).Gli insiemi W 1 = Y \ q(X \ U) e W 2 = Y \ (X \ V ) sono aperti di Y (q èuna mappa chiusa) contenenti rispettivamente y 1 e y 2 . Vogliamo dimostrarecheW 1 ∩ W 2 = ∅ .Supponiamo che esista un punto y ∈ W 1 ∩ W 2 .y ∉ q(X \ V ) ossia,Allora, y ∉ q(X \ U) eq −1 (y) ∩ (X \ U) = ∅ e q −1 (y) ∩ (X \ V ) = ∅ ;quindi q −1 (y) ⊂ U ∪ V = ∅, ciò che è assurdo!✷Il prossimo teorema ci da un primo esempio concreto di spazio compatto.Teorema 1.1.10 L’intervallo unitario I è compatto.Dimostrazione – Sia U un ricoprimento di I per aperti di IR (vedere Lemma1.1.5). Per prorpietà della topologia euclidea di IR possiamo dire che(∀x ∈ I)(∃δ(x) > 0)(∃U(x) ∈ U) (x − δ(x), x + δ(x)) ⊂ U(x) ;l’insieme di intervalli apertiI = {I(x) = (x − δ(x), x + δ(x))|x ∈ I}

1.1. TOPOLOGIA 17ricopre I; inoltre, se I ammette un sottoricoprimento finito di I, anche Uammetterà un sottoricoprimento finito di I: infatti, seI(x 1 ) ∪ I(x 2 ) ∪ . . . ∪ I(x n ) = Iallora ancheU(x 1 ) ∪ U(x 2 ) ∪ . . . ∪ U(x n ) = I ;dunque, possiamo partire dall’ipotesi che il ricoprimento aperto di partenzasia appunto I. Ora prendiamo l’insieme {0, 1} con la topologia discreta e lafunzionef : I → {0, 1}definita dalle seguenti condizioni:1. f(x) = 0 se l’intervallo chiuso [0, x] è ricoperto da un numero finito dielementi di I ;2. altrimenti, f(x) = 1 .Dalla definizione di f otteniamo che f(0) = 0. Vogliamo dimostrare che f ècostante in ogni aperto di I. Infatti, sia I(x) ∈ I e supponiamo che f(x) = 0;questo significa che [0, x] è ricoperto da un insieme finito C di aperti di I eperciò, per qualsiasi y ∈ I(x), l’intervallo [0, y] è ricoperto da C ∪ I(x) ossia,f(y) = 0. Si osservi che se f(x) = 1, allora f(I(x)) = 1. Dunque, f ècostante negli aperti di I e perciò, è una funzione continua: infatti, gli uniciaperti di {0, 1} sono ∅ , {0, 1}, {0} e {1}; ma1. f −1 (∅) = ∅ ∈ F I ,2. f −1 ({0, 1}) = I ∈ F I ,3. f −1 ({0}) = {∪I(x)|f(x) = 0} ∈ F I ,

18 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI4. f −1 ({1}) = {∪I(x)|f(x) = 1} ∈ F I .Ora prendiamo in prestito la definizione di spazio connesso per archi.Uno spazio X è connesso per archi se, per qualsiasi coppia di punti arbitraridistinti x e y di X, esiste una funzione continua g : I → X tale che g(0) = x eg(1) = y. Per esempio, I è connesso per archi ma lo spazio discreto {0, 1} nonè connesso per archi. La cosa che ci interessa sugli spazi connessi per arco èche l’immagine continua di uno spazio connesso per archi è necessariamenteconnesso per archi, come si vede facilmente.Ora torniamo al nostro teorema. Siccome la funzione f : I → {0, 1}è continua, l’immagine di I per f deve essere connessa per archi; siccomef(0) = 0, la funzione f definita prima deve essere costantemente uguale azero! Dunque, I è ricoperto da un numero finito di aperti di I. ✷Vogliamo dimostrare che un prodotto finito di spazi compatti è uno spaziocompatto; questo risultato sarà ottenuto come conseguenza immediata delseguente teorema.Teorema 1.1.11 Siano B e C sotospazi compatti degli spazi topologici X eY rispettivamente. SiaA = {A α ∈ F X×Y |α ∈ J}un ricoprimento di B × C. Allora(∃U ∈ F X )(∃V ∈ F Y ) B × C ⊂ U × Ve U × V è ricoperto da un numero finito di elementi di A .

1.1. TOPOLOGIA 19Dimostrazione – Sia x ∈ B preso arbitrariamente e consideriamo {x} × Y .Siccome la topologia F X×Y è defita da una baseB = {U × V |U ∈ F X , V ∈ F Y }concludiamo che(∀y ∈ C)(∃U y ∈ F X )(∃V y ∈ F Y ) x ∈ U y , y ∈ V ytali che(∃A α(y) ∈ A) U y × V y ⊂ A α(y) .Ora l’insieme C = {V y |y ∈ C} è un ricoprimento di C per aperti di Y esiccome C è compatto, C ha un sottoricoprimento finito di C; siaC ⊂ V x = ∪ n i=1V i .D’altro canto, U x = ∩ n i=1U i ∈ F X contiene x e{x} × C ⊂ U x × V x ⊂ ∪ n i+1A i .Ora lasciamo x libero di percorrere tutto lo spazio B. L’insieme D ={U x |x ∈ B} è un ricoprimento di B per aperti di X; essendo B compatto,esiste un numero finito di tali aperti, diciamo U x 1 , . . . , U x r che ricoprono B.Cosi prendiamoU = ∪ r i=1U x ie V = ∩ r i=1V xie abbiamo subito cheB × C ⊂ U × Ve U × V è ricoperto da un numero finito di elementi di A.✷Corollario 1.1.12 Siano X 1 , . . . , X n spazi compatti; allora X 1 × . . . × X n ècompatto.

20 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIDimostrazione – Nel teorema precedente facciamo B = X = X 1 e C = Y =X 2 per ottenere che X 1 × X 2 è compatto. Poi procediamo per induzione. ✷Corollario 1.1.13 Siano B e C sottospazi compatti degli spazi topologici Xe Y rispettivamente. Sia W ∈ F X×Y tale che B × C ⊂ W . Allora(∃U ∈ F X )(∃V ∈ F Y ) B × C ⊂ U × V ⊂ W .Dimostrazione – Ci basta supporre in 1.1.11 che A = {W }.✷Corollario 1.1.14 Sia X Hausdorff e siano B e C sottospazi compatti disgiuntidi X. Allora(∃U, V ∈ F X ) B ⊂ U , C ⊂ V e U ∩ V = ∅ .Dimostrazione – Cominciamo facendo una osservazione sugli spazi Hausdorffla cui dimostrazione è lasciata come esercizio. Sia∆X = {(x, x) ∈ X × X}la diagonale di X × X. Allora, X è Hausdorff se, e soltanto se, ∆X èun chiuso di X × X. Allora nel corollario precedente facciamo X = Ye W = (X × X) \ ∆X. L’ipotesi B ∩ C = ∅ ha come conseguenza cheB × C ⊂ W ; il Corollario 1.1.13 ci da la conclusione desiderata. ✷Corollario 1.1.15 Sia X un compatto Hausdorff. Allora,(∀x ∈ U ∈ F X )(∃V ∈ F X ) x ∈ V ⊂ V ⊂ U

1.1. TOPOLOGIA 21con V compatto.Dimostrazione – Siccome {x} e X \ U sono chiusi disgiunti di X e dunque,per il Teorema 1.1.6 sono compatti, dal corollario anteriore concludiamo cheesistono due aperti V e W tali che x ∈ V , X \ U ⊂ W e V ∩ W = ∅. Daquesta ultima condizione concludiamo che V ⊂ U. D’altro canto, X \W è unchiuso che contiene V ed è contenuto in U; dunque V ⊂ U come volevamodimostrare. La compattezza di V segue dal Teorema 1.1.6.✷I compatti di IR n sono speciali. Prima diamo una definizione: X ⊂ IR n èdetto limitato se esiste un disco n-dimensionale D n tale che D n ⊃ X.Teorema 1.1.16 X ⊂ IR n è compatto ⇐⇒ chiuso e limitato.Dimostrazione – ⇒ : Per il Teorema 1.1.7 X è chiuso. Per dimostrare cheX è limitato prendiamo un numero reale ε > 0 e il ricoprimentoA = {D n ε (x)|x ∈ X}di X. Siccome X è compatto, esiste un sottoricoprimento finito di A checontiene X; diciamo cheX ⊂ D n ε (x 1 ) ∪ . . . ∪ D n ε (x r ) .Per un qualsiai x o ∈ X fissato, il disco Drε(x n o ) contiene X.⇐ : Lo spazio X è contenuto in un iperdisco D n di IR n ; ma D n è contenutoin un ipercubo C n di IR n i cui lati sono tutti omeomorfi a I e dunque C nè compatto (vedere i Teoremi 1.1.10 e 1.1.11). Dunque X è un sottospaziochiuso di un compatto e per il Teorema 1.1.7 è compatto.✷

22 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALISiano X e Y due spazi topologici; prendiamo l’insieme M(X, Y ) di tuttele funzioni continue f : X → Y . Diamo a questo insieme la topologiacompatto-aperta che ha come sottobase l’insieme{W K,U = {f ∈ M(X, Y )|f(K) ⊂ U}|K ⊂ X compatto e U ∈ F Y } .Lo spazio M(X, Y ) – sempre pensato con la topologia compatto-aperta – èuno spazio di funzioni.Teorema 1.1.17 Siano X e Y spazi topologici con X compatto Hausdorff.Allora, la funzioneε : X × M(X, Y ) → Ydefinita da ε(x, f) = f(x) per qualsiasi x ∈ X e qualsiasi f ∈ M(X, Y ), ècontinua.Dimostrazione – Prendiamo arbitrariamente (x, f) ∈ X × M(X, Y ) e U ∈F Ycon f(x) ∈ V . Siccome X è compatto e f −1 (U) ∈ F X , esiste un apertoV di X tale chex ∈ V ⊂ V ⊂ f −1 (U)con V compatto. A questo punto osserviamo che(x, f) ∈ V × W V ,Ue ε(V × W V ,U) ⊂ Uper concludere la dimostrazione.✷La funzione di valutazione ε ha applicazioni importanti; qui ne vedremouna. Prima però facciamo la seguente osservazione: siano dati gli spazitopologici X, Y e Z; una funzione (di insiemi)f : X × Z → Y

1.1. TOPOLOGIA 23definisce una funzionef : Z → M(X, Y )con la condizione(∀z ∈ Z)(∀x ∈ X) (f(z))(x) = f(x, z) .Reciprocamente, data la funzione f di sopra, la funzione f è automaticamentedefinita da(∀(x, z) ∈ X × Z) f(x, z) = (f(z))(x) .Tali funzioni sono dette aggiunte.Lemma 1.1.18 Supponiamo che X sia compatto Hausdorff; allora se f ècontinua, anche f sarà continua.Dimostrazione – Si osservi che la f è la composta delle funzioni(1 X × f) : X × Z → X × M(X, Y ) e ε : X × M(X, Y ) → Y .✷Concludiamo questa piccola presentazione sugli spazi compatti con l’ennunciato(ma senza dimostrazione) di un risultato che ci sar‘˘tile in futuro (nel Teoremadella Approssimazione Simpliciale).Teorema 1.1.19 Sia A un ricoprimento aperto di uno spazio metrico e compattoX. Allora, esite un ɛ > 0 tale che, per qualsiasi sottospazio U ⊂ X didiametro < ɛ, esiste un elemento A ∈ A tale che U ⊂ A.Il numero ɛ è detto numero di Lebesgue del ricoprimento A.

24 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI1.1.3 ConnessioneOra passiamo allo studio dei cosiddetti spazi connessi; questo concetto saràintrodotto tramite il seguente risultato.Teorema 1.1.20 Sia X uno spazio topologico. Sono equivalenti i seguentifatti:(i) i due soli sottoinsiemi di X che siano in contemporanea aperti e chiusisono lo stesso X e l’insieme ∅;(ii) X non è l’unione di due sottoinsiemi U e V , aperti, non vuoti e disgiunti.Dimostrazione – (i) ⇒ (ii) : Ammettiamo che X = U ∩ V conU ≠ ∅ , V ≠ ∅ , U ∩ V = ∅ e U ∩ V = ∅ .Dunque V = X \ U è non vuoto e contemporaneamente aperto e chiuso;questo contraddice (i).(ii) ⇒ (i) : Sia U un sottoinsieme proprio e non vuoto di X, contemporaneamenteaperto e chiuso. AlloraX = U ∪ (X \ U)con X \ U ≠ ∅ e U ∩ (X \ U) = ∅ contrariamente all’ipotesi (ii).✷Come esempio di spazio connesso citiamo il seguente: dati a, b ∈ IR cona < b, l’intervallo chiuso [a, b] con la topologia indotta da IR è connesso.Malgrado questo fatto possa sembrare intuitivo, la sua dimostrazione richiedealcuni momenti di riflessione. Supponiamo che[a, b] = U ∪ V , U, V ≠ ∅ , U ∩ V = ∅ ;

1.1. TOPOLOGIA 25inoltre assumiamo che U e V siano aperti. Dunque, dalle condizioni imposte,U e V sono anche chiusi e siccome [a, b] è chiuso in IR, U e V sono chiusi inIR. Supponiamo che a ∈ U e prendiamo l’insiemeA = {u ∈ U|(∀v ∈ V ) u < v } .Siccome a ∈ U, l’insieme A è non vuoto. Dunque, sia h l’estremo superioredi A; siccome U è chiuso, h ∈ U. D’altro lato, per qualsiasi ɛ > 0(h − ɛ, h + ɛ) ∩ V ≠ ∅altrimenti h non sarebbe l’estremo superiore di A; dunque, h ∈ V = V eperciò h ∈ U ∩ V = ∅, una contradizione!Teorema 1.1.21 L’immagine di uno spazio connesso per una funzione continuaè connessa.Dimostrazione – Sia f : X → Y una funzione continua con X connesso.Vogliamo dimostrare che f(X) è uno spazio connesso; pertanto, prendiamoun sottoinsieme U ⊂ f(X) che sia contemporaneamente aperto e chiuso.Allora f −1 (U) è contemporaneamente aperto e chiuso in X e dunquef −1 (U) = ∅ o f −1 (U) = X .Se f −1 (U) = ∅ segue che U = ∅; se f −1 (U) = X allora U = f(X).✷Citiamo due conseguenze immediate del teorema anteriore:1. Siano X e Y due spazi omeomorfi dati; allora X è conesso se, e solamentese Y è connesso.2. La circonferenza S 1 è uno spazio connesso: infatti, S 1 è l’immaginedell’intervallo chiuso [0, 1] tramite la funzione(∀t ∈ [0, 1]) f(t) = e 2πit .

26 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALITeorema 1.1.22 Sia X = ∪ i∈J X i con X i connesso per qualsiasi indice i ∈ Je ∩ i∈J X i ≠ ∅. Allora X è connesso.Dimostrazione – Sia U un sottoinsieme non vuoto di X, contemporaneamenteaperto e chiuso in X. È certo che esiste un i ∈ J tale che U ∩ X i ≠ ∅;dunque U ∩ X i è contemporaneamente aperto e chiuso in X i e siccome X i èconnesso, U ∩ X i = X i e perciò U ⊃ X i . D’altro canto,(∀j ∈ J) X i ∩ X j ≠ ∅ ⇒ U ∩ X j ≠ ∅donde concludiamo che(∀j ∈ J) U ⊃ X j ⇒ U = X .✷Questo teorema ci permette di dimostrare che gli intervalli semi-apertisono connessi: infatti, dati due numeri reali a < b, l’intervallo [a, b) è unariunione di intervalli chiusi con intersezione non vuota come si osserva aseguito[a, b) = ∪ n≥1 [a, b − b − a2 n ] .Un risultato simile vale anche per (a, b]. Osservazioni analoghe valgono pergli intervalli aperti (a, b) e per la retta reale IR. Per dimostrare che il pianoreale è infatti connesso ricorriamo al seguente risultato.Teorema 1.1.23 X × Y è connesso se, e soltanto se, X e Y sono connessi.Dimostrazione – ⇒ : questa parte è una conseguenza immediata del fattoche le proiezioniX × Y → X e X × Y → Y

1.1. TOPOLOGIA 27sono suriezioni continue e del Teorema 1.1.21.⇐ : Cominciamo osservando che(∀(x, y) ∈ X × Y ) {x} × Y ≃ Y e X × {y} ≃ Xsono connessi; siccomeX × {y} ∩ {x} × Y ≠ ∅concludiamo che lo spazioA x,y = X × {y} ∩ {x} × Yè connesso. Per un y ∈ Y fissato,∩ x∈X A x,y = X × {y} ≠ ∅e dunque, X × Y = ∪ x∈X A x,y è connesso per il Teorema 1.1.22.✷Come conseguenza di questo ultimo teorema citiamo il fatto che IR 2 è connessoe dunque, per induzione, IR n è connesso. Questo ultimo fatto ci aiutaa dimostrare che per qualsiasi n ≥ 1 lo spazio IR n+1 \ {0} è connesso: infatti,assumendo che questo ultimo spazio non sia connesso arriviamo alla conclusioneerronea che IR n+1 non è connesso! Da questo risultato concludiamo cheper qualsiasi n ≥ 2, S n è connesso: si consideri la suriezione continuae si applichi il Teorema 1.1.21.f : IR n+1 \ {0} → S n , x ↦→x||x||1.1.4 Connessione per archiDiciamo che uno spazio X è connesso per archi (o per cammini) se, e soltantose,(∀x 0 , x 1 ∈ X)(∃f : [0, 1] → X continua) f(0) = x 0 , f(1) = x 1 .

28 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALICome primo esempio, citiamo lo spazio euclideo IR n , per qualsiasi n > 0.Infatti, dati x 0 , x 1 ∈ IR n , definiamof : [0, 1] → IR n , (∀t ∈ [0, 1]) f(t) = tx 1 + (1 − t)x 0 .Teorema 1.1.24 L’immagine per una funzione continua di uno spazio connessoper archi è uno spazio connesso per archi.Teorema 1.1.25 Se X ≃ Y , allora X è connesso per archi se, e soltantose, Y è connesso per archi.Teorema 1.1.26 Sia {Y i |i ∈ J} un insieme di sottospazi connessi per archidi uno spazio topologico X; se ∩ i∈J Y i ≠ ∅, allora Y = ∪ i∈J Y i è connesso perarchi.Dimostrazione – Siano x 0 , x 1 ∈ Y due punti presi arbitrariamente. Supponiamoche x 0 ∈ Y i0 e x 1 ∈ Y i1 ; sia a ∈ Y i0 ∩ Y i1 . Per ipotesi esistono duefunzioni continuef 0 : [0, 1] → Y i0 , f 0 (0) = x 0 , f 0 (1) = a ,f 1 : [0, 1] → Y i1 , f 1 (0) = x 1 , f 1 (1) = a ;con queste funzioni definiamo la mappa f : [0, 1] → Y⎧⎪⎨ f 0 (2t) , 0 ≤ t ≤ 1(∀t ∈ [0, 1]) f(t) =, 2⎪⎩1f 1 (2t − 1) , ≤ t ≤ 12che ha la proprietà f(0) = x i0 , f(1) = x i1 .✷Teorema 1.1.27 Uno spazio connesso per archi è connesso.

1.1. TOPOLOGIA 29Dimostrazione – Supponiamo che X sia l’unione di due sottospazi nonvuotiU, V che non si intersecano e che siano simultaneamente aperti e chiusi.Prendiamo due punti x 0 , x 1 ∈ X con x 0 ∈ U e x 1 ∈ V . Siccome X è connessoper archi, esiste una mappaf : [0, 1] → X , f(0) = x 0 , f(1) = x 1 .Dunque(U ∩ f([0, 1])) ∩ (V ∩ f([0, 1])) ≠ ∅e perciò, U ∩ V ≠ ∅, contradizione!✷Non è vero che uno spazio connesso sia connesso per archi; a seguitodiamo un esempio di questo fatto. Sia C il campo dei numeri complessi; siaX = A ∪ B lo spazio definito dai sottoinsiemi di CA = {i}B = {t + 0i|t ∈ [0, 1]} ∪ { 1 + yi|n ∈ IN , 0 ≤ y ≤ 1}ncon la topologia indotta. Cominciamo per osservare che B è connesso: infatti,lo spazio B è l’unione di tutti gli spaziB n = {t + 0i|t ∈ [0, 1]} ∪ { 1 + yi| , 0 ≤ y ≤ 1}nche sono chiaramente connessi per archi e sono tali che∩ n∈IN B n ≠ ∅e dunque, per il Teorema 1.1.26 B è connesso per archi e perciò B è connesso(vedi Teorema 1.1.27).Dimostriamo subito che X è connesso. Infatti, sia U ⊂ X non-vuoto,simultaneamente aperto e chiuso.Possiamo, senza perdita di generalità,

30 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIassumere che i ∈ U (altrimenti, lavoriamo con l’insieme V = X \U). SiccomeU è aperto,(∃ε > 0) X ∩ B ε (i) ⊂ Ue dunque, per qualsiasi n ∈ IN tale che 1 n < ε, 1n + i ∈ U e pertanto,U ∩ B ≠ ∅.Ma allora, abbiamo un sottoinsieme non-vuoto di B (ossia,U ∩ B) che è simultaneamente aperto e chiuso. Siccome B è connesso, nesegue che U ∩ B = B; d’altro canto, A ⊂ U e dunque, U = X ossia, X èconnesso.D’altro canto, X non è connesso per archi.Esercizi:1. Siano B e B ′ basi delle topologie F e F ′ dell’insieme X. Dimostrare cheF ′ ⊃ F ⇐⇒ (∀x ∈ X)(∀B ∈ B)x ∈ B, (∃B ′ ∈ B ′ ) x ∈ B ′ ⊂ B.2. Sia IR la retta reale in cui definiamo gli intervalli(a, b) = {x ∈ IR|a < x < b} ,[a, b) = {x ∈ IR|a ≤ x < b} ,(a, b] = {x ∈ IR|a < x ≤ b} .Consideriamo i seguenti insiemi di sottoinsiemi di IR:B 1 = {(a, b)|a < b} ,B 2 = {[a, b)|a < b} ,B 3 = {(a, b]|a < b} ,B 4 = B 1 ∪ {B \ K|B ∈ B 1 } , con K = {1/n, n ∈ IN} .Dimostrare che B i , i = 1, 2, 3, 4 sono basi di topologie in IR e paragonarequeste topologie tra loro.

1.1. TOPOLOGIA 313. Siano X, Y spazi topologici con le topologie F X e F Y rispettivamente. Sianoπ 1 : X × Y → Xπ 2 : X × Y → Y le proiezzioni nei fattori X e Y rispettivamente.Dimostrare che l’insiemeS = {π −11 (U)|U ∈ F X} ∪ {π −12 (V )|V ∈ F Y }è una sottobase per la topologia prodotto di X × Y .4. Una mappa f : X → Y è detta aperta ⇐⇒ (∀U ∈ F X ) f(U) ∈ F Y .Dimostrare che le proiezzioniπ 1 : X × Y → Xπ 2 : X × Y → Y sono mappe aperte.5. Siano X e Y due spazi topologici, q : X → Y una suriezione e supponiamoche Y abbia la topologia quoziente relativamente a q. Dimostrare che perqualsiasi spazio topologico Z e qualsiasi funzione g : Y → Z, la funzione g ècontinua ⇐⇒ gq : X → Z è continua.6. Sia f : IR → IR una funzione data. Diamo a IR la topologia euclidea.Dimostrare che le due affermazioni seguenti sono equivalenti.(∀U ⊂ IR|U aperto )(f −1 (U) aperto) ;(∀x ∈ IR)(∀ε > 0)(∃δ > 0)|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε .7. Dimostrare che se A è chiuso in Y e Y è chiuso in X, allora A è chiuso inX.8. Dimostrare che se U è aperto in X e A è chiuso in X, allora U \ A è apertoin X e A \ U è chiuso in X.9. Dimostrare che uno spazio discreto è compatto se, e solamente se è finito.

32 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI10. Siano A e B due sottoinsiemi nonvuoti di IR n . Definiamo la distanza tra Ae B comed(A, B) = inf {d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} .Dimostrare che se A ∩ B = ∅, A e B sono chiusi, e A è limitato, allora esisteun elemento a ∈ A tale ched(A, B) = d(a, B) > 0 .11. Sia f : X × Z → Y una funzione continua. Dimostrare che la funzioneaggiunta f : Z → M(X, Y ) è continua. (In questo caso non è necessario fareipotesi suplementari sullo spazio X, come nel Lemma 1.1.18).12. X × Y è connesso per archi se, e soltanto se, X e Y sono connessi per archi.1.2 CategorieIn questa sezione si descrivono gli elementi della Teoria delle Categorie chepoi ci serviranno a svolgere i temi che ci proponiamo di studiare.1.2.1 Generalità sulle CategoriePer definire una categoria C è necessario dare1. una classe di oggetti C;2. un insieme C(A, B) per ogni A, B ∈ C (gli elementi di tutti gli insiemiC(A, B) sono chiamati morfismi );3. una legge di composizioneC(A, B) × C(B, C) → C(A, C)per ogni terna di oggetti A, B, C ∈ C.

1.2. CATEGORIE 33Oltre a ciò si esige la validità dei seguenti assiomi:1. (∀A, B, C, D ∈ C)(∀f ∈ C(A, B))(∀g ∈ C(B, C))(∀h ∈ C(C, D))h(gf) = (hg)f ;2. (∀A ∈ C) esiste 1 A ∈ C(A, A) tale che, (∀f ∈ C(A, B))(∀g ∈ C(C, A))f1 A = f , 1 A g = g .Diamo ora una lista di esempi di categorie.1. Ins : categoria degli insiemi e delle funzioni tra insiemi.2. Ins ∗ : insiemi puntati e funzioni puntate (cioè, che rispettono i punti“base”).3. Top: spazi topologici e mappe ( = funzioni continue).4. T op ∗ : spazi topologici puntati e mappe puntate (queste sono funzionicontinue che portano il punto base del dominio nel punto base delcodominio). A volte indichiamo uno spazio puntato X con punto basex o con la notazione (X, x o ).5. Top 2 : coppie di spazi (X, A) con A ⊆ X chiuso in X e morfismif : (X, A) → (Y, B), f : X → Y , f|A : A → B.6. Gr : gruppi e omomorfismi di gruppi.7. Ab : gruppi abeliani e omomorfismi di gruppi abeliani.8. Ab Z : gruppi abeliani graduati e relativi morfismi, ossia: un gruppoabeliano graduato è una successione di gruppi abeliani {C n | n ∈ Z};un elemento x ∈ C n è detto di grado n; usiamo la notazione gr(x) = n

34 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIper indicare che x ∈ C n ; un morfismo (omomorfismo) di grado i tradue gruppi abeliani graduati {C n } e {C n} ′ è un insieme di omomorfismi{f n : C n → C n+i ′ | n ∈ Z}; scriviamo gr(f) = i per indicare che f hagrado i.L’insieme Top(X, Y ) possiede una relazione molto importante: la relazionedi omotopia. Due mappe f, g : X → Y sono dette omotope quandoesiste una mappaH : X × I → Ytale che H(−, 0) = f e H(−, 1) = g. Se f è omotopa a g, scriviamo f ∼ g.Per esempio, le mappe f, g : I → I date da f = 1 I e g mappa costanteda I al punto 0 ∈ I sono omotope: costruiamo la mappaH : I × I → I , (∀s, t ∈ I) H(s, t) = (1 − t)s ;chiaramente, H(−, 0) = f e H(−, 1) = g.Lemma 1.2.1 La relazione di omotopia è una relazione di equivalenza.Dimostrazione – Chiaramente una mappa f è omotopa a se stessa. Supponiamoora che f ∼ g; questo significa che esiste una mappaH : X × I → Y , H(−, 0) = f , H(−, 1) = g ;consideriamo la mappaH ′ : X × I → Y , (∀x ∈ X)(∀t ∈ I) H ′ (x, t) = H(x, 1 − t) .Si verifica immediatamente che H ′ (−, 0) = g e H ′ (−, 1) = f e dunque, g ∼ f.Infine, dimostriamo che se f ∼ g e g ∼ h, allora f ∼ h. SianoH : X × I → Y , H(−, 0) = f , H(−, 1) = g ,

1.2. CATEGORIE 35G : X × I → Y , G(−, 0) = g , G(−, 1) = h .Definiamo K : X × I → Y dalle condizioni⎧⎪⎨ H(x, 2t) , 0 ≤ t ≤ 1 2(∀x ∈ x)(∀t ∈ I) K(x, t) =⎪⎩1G(x, 2t − 1) , ≤ t ≤ 1 .2La mappa K ha le proprietà richieste.✷L’insieme quoziente ottenuto da Top(X, Y ) e la relazione ∼ è indicatocon [X, Y ].La categoria HTop – categoria omotopica associata a Top – ha comeoggetti gli spazi topologici e come morfismi, le classi di equivalenza peromotopia delle mappe: cosìHTop(X, Y ) = [X, Y ] .Nel caso di mappe puntate f, g ∈ T op ∗ ((X, x o ), (Y, y o )), diciamo che f ∼ gse esiste una mappa H : X × I → Y tale che(∀t ∈ I) H(x o , t) = y o , H(−, 0) = f e H(−, 1) = g .In questo caso adottiamo la notazione [X, Y ] ∗ = T op ∗ (X, Y )/ ∼. Si puòanche definire HT op ∗ ; in generale, possiamo definire la categoria omotopicaassociata HC per qualsiasi sottocategoria C di Top.Due spazi X, Y ∈ Top hanno il medesimo tipo di omotopia (o semplicemente,tipo) se esistono mappe f : X → Y e g : Y → X tali che gf ∼ 1 X efg ∼ 1 Y ; una tale mappa f è detta equivalenza di omotopia.Le “funzioni” tra categorie sono i cosidetti funtori i quali, in vista delladoppia natura data alle categorie dagli oggetti e dai morfismi, dovranno logicamenteportare oggetti in oggetti e morfismi in morfismi. Più precisamente,un funtoreF : C → C ′

36 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIè una relazione fra queste due categorie tale che1. (∀X ∈ C) F (X) = F X ∈ C ′ ;2. (∀f ∈ C(A, B)) F (f) ∈ C ′ (F A, F B);3. (∀f ∈ C(A, B), g ∈ C(B, C)) F (gf) = F (g)F (f);4. (∀A ∈ C) F (1 A ) = 1 F A .Un esempio molto semplice di funtore è dato dal funtore dimenticante D :Top → Ins che semplicemente “dimentica” la struttura di spazio topologico.Ora studieremo alcuni esempi non così banali.Il funtore sospensioneè definito negli oggetti (X, x o ) daΣX =Σ : T op ∗ → T op ∗I × XI × {x o } ∪ ∂I × Xdove ∂I è semplicemente l’insieme {0, 1}. Adotteremo le notazioni [t, x] ot ∧ x per indicare un elemento generico di ΣX; allora,(∀f ∈ T op ∗ (X, Y ))(∀t ∧ x ∈ ΣX)Σ(f)(t ∧ x) = t ∧ f(x) .Il funtore sospensione ha un comportamento particolarmente interessantesulle sfere; infatti, la sospensione di una sfera n-dimensionale è una sfera didimensione n + 1. Per capire bene questo fatto studieremo delle mappe checi saranno utili più avanti. Per un qualsiasi n ≥ 0 sia S n = ∂D n+1 la sferaunitaria n-dimensionale (bordo del disco (n + 1)-dimensionale). Scegliiamoil punto e o = (1, 0, . . . , 0) come punto base di S n e di D n+1 . Ora definiamole mappec n : I × S n → D n+1 , (t, x) ↦→ (1 − t)e o + tx ,

1.2. CATEGORIE 37√i + : D n+1 → S n+1 , x ↦→ (x, 1 − ‖x‖ 2 ) ,√i − : D n+1 → S n+1 , x ↦→ (x, − 1 − ‖x‖ 2 ) e˙k n+1 : I × S n → S n+1⎧⎪⎨ i + c n (2t, x) , 0 ≤ t ≤˙k 1 2n+1 (t, x) =⎪⎩1i − c n (2 − 2t, x) , ≤ t ≤ 1 .2La mappa ˙k n+1 ha la proprietà˙k n+1 (0, x) = ˙k n+1 (1, x) = ˙k n+1 (t, e o ) = e oper qualsiasi t ∈ I e qualsiasi x ∈ S n e perciò da luogo a un omeomorfismôk n+1 : ΣS n ∼ = S n+1 .Così, possiamo dire che per qualsiasi y ∈ S n+1 \{e o } esiste un unico elementox ∈ S n ed un unico t ∈ I \ ∂I tali che y = t ∧ x.Il funtoreΩ : T op ∗ → T op ∗è definito su un oggetto arbitrario (X, x o ) ∈ T op ∗ come lo spazio puntatoΩX = {f ∈ M(I, X)|f(0) = f(1) = x o }con la topologia indotta dalla topologia compatto-aperta di M(I, X).Il morfismoΩ(f) : ΩX → ΩYcorrispondente al morfismo f ∈ T op ∗ (X, Y ) è definito per composizione dimappe:(∀g ∈ ΩX)Ω(f)(g) = fg .Lo spazio ΩX è detto spazio dei lacci (puntati su x o ).

38 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALII funtori Ω e Σ hanno una speciale relazione tra loro fatta come segue.Sia f : I × X → Y una mappa tale che f(I × {x o } ∪ ∂I × X) = y o ; la suaaggiunta f : X → M(I, Y ) è continua (vedere Esercizio ??, Sezione 1.1) edè tale che(∀x ∈ X) f(x)(∂I) = y oe perciò, possiamo costruire una funzioneΦ : M ∗ (ΣX, Y ) → M ∗ (X, ΩY ) .Inversamente, data f ∈ M ∗ (X, ΩY ) la sua aggiunta f : I ×X → Y è continuaperché I è compatto Hausdorff (vedere il Lemma 1.1.18) e f ∈ M ∗ (ΣX, Y );cosìpossiamo costruire una funzioneΦ ′ : M ∗ (X, ΩY ) → M ∗ (ΣX, Y )tale che ΦΦ ′ e Φ ′ Φ siano uguali alle rispettive funzioni identità.parole,Φ : M ∗ (ΣX, Y ) → M ∗ (X, ΩY )In altreè una biiezione (iniettiva e suriettiva). Per questo motivo diciamo che Σ èaggiunto a sinistra di Ω.Siano F, G : C → C ′ due funtori dati; una trasformazione naturaleη : F → Gè una corrispondenza che porta un oggetto arbitrario A ∈ C su un morfismoA ∈ C ↦→ η(A) : F A → GAtale che(∀f ∈ C(A, B))G(f)η(A) = η(B)F (f) .

1.2. CATEGORIE 39Due funtori F, G : C → C ′ sono equivalenti - notazione: F . = G - se esistonodue tranformazioni naturali η : F → G e τ : G → G tali cheτη = 1 F e ητ = 1 Gcon 1 F e 1 G uguali alle trasformazioni naturali date dall’identità dei funtoriF e G su se stessi, rispettivamente.1.2.2 PushoutsSia C una categoria data; si dice che un diagrammaAf> Bg∨Cdi C possiede un pushout (in italiano si dovrebbe dire somma amalgamata)se esiste un oggetto D ∈ C e morfismif ∈ C(C, D) e g ∈ C(B, D)tali che gf = gf e inoltre, se vale la seguenteProprietà Universale : per un qualsiasi diagramma commutativo di CAf> Bgh∨∨C > Xkesiste un unico morfismo l ∈ C(D, X) tale chelf = k e lg = h .

40 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALISi dice che una categoria C è chiusa per pushout se qualsiasi diagrammadi CfA > Bha un pushout.g∨CNon tutte le categorie sono chiuse per pushout; qui dimostreremo che lacategoria Top degli spazi topologici e la categoria Gr dei gruppi sono chiuseper pushout. Cominciamo da Top.Teorema 1.2.2 La categoria Top è chiusa per pushout.Prendiamo arbitrariamente un diagrammaAf> Bg∨Cdi Top e costruiamo la somma disgiunta B ⊔ C ossia, lo spazio topologico cheha per insieme soggiacente l’unione disgiunta degli insiemi B e C (si ignorala possibilità di una intersezione non vuota tra B e C) e per aperti, tutti gliaperti di B e tutti gli aperti di C; dunque B e C sono sottospazi topologicidi B ⊔ C con inclusioniι B : B → B ⊔ C , ι C : C → B ⊔ C .Ora in B ⊔ C facciamo le seguenti identificazioni(∀a ∈ A) f(a) ≡ g(a) ;

1.2. CATEGORIE 41poi prendiamo l’insieme quoziente B ⊔ f,g C, la suriezione canonicaq : B ⊔ C → B ⊔ f,g Ce diamo a B⊔ f,g C la topologia quoziente relativa alla suriezione q. Finalmentedefiniamo le mappef = qι C : C → B ⊔ f,g Cg = qι B : B → B ⊔ f,g Ce osserviamo che il diagrammaAf> Bg∨Cfg∨> B ⊔ f,g Ccommuta. Manca dimostrare la proprietà universale che è lasciata a caricodel lettore.Passiamo ora alla categoria dei gruppi. Cominciamo facendo alcune osservazionesu alcuni risultati di base della teoria dei gruppi. Sia S un insiemedato. Una parola definita dagli elementi di S è un simboloω = a ε 11 a ε 22 . . . a εnncon a i ∈ S e ε i = ±1; inoltre, non escludiamo che due elementi a i sianouguali, richiediamo che n sia sempre finito e se n = 0, diciamo che ω è laparola vuota che si indica con 1.aa = a 2 , a −1 a −1 = a −2 e aa −1 = 1.Per semplificare la notazione, scriviamoA questo punto, definiamo la seguente relazione di equivalenza nell’insiemeW S di tutte le parole generate dagli elementi di S:

42 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIω 1 ≡ ω 2⇐⇒ sia che ω 2 si ottenga da ω 1 tramite una successione finita dioperazioni che consistono nel sostituirea ε 11 a ε 22 . . . a εnn per a ε 11 . . . aa −1 . . . a εnn o a ε 11 . . . a −1 a . . . a εnn ,sia che ω 1 si ottenga da ω 2 tramite simili operazioni. La classe di equivalenzadella parola ω si indica con [ω]; finalmente, siaGp(S) := W S / ≡ .Lemma 1.2.3 L’insieme Gp(S) con l’operazioneGp(S) × Gp(S) → Gp(S) , ([a ε 11 . . . a εnn ], [a ε n+1n+1 . . . a ε n+mn+m ]) ↦→ [a ε 11 . . . a ε n+mn+m ]è un gruppo.Gli elementi di S sono detti generatori del gruppo Gp(S).Per un sottoinsieme non vuoto R ⊂ Gp(S) dato, sia R l’intersezione ditutti i sottogruppi normali di Gp(S) che contengono R; il gruppo quozienteGp(S)/R = Gp(S; R)è il gruppo generato dall’insieme S con le relazioni R.Gli elementi diGp(S; R) sono le classi (modulo R) degli elementi di Gp(S); dunque, peruna qualsiasi parola ω ∈ W S , il corsipondente elemento di Gp(S; R) si scrivesotto la forma ω.R.Esempi : 1. S = {a}, Gp(S) ≃ Z; questo gruppo potrebbe essere scritto nelmodo seguente: S = {a, b}, R = {b}, Gp(S; R) ≃ Z.2. S = {a}, R = {a 2 }, Gp(S; R) ≃ Z 2 .3. S = {a, b}, R = {aba −1 b −1 }, Gp(S; R) ≃ Z × Z, il gruppo abeliano liberogenerato dagli elementi a e b.4. Qualsiasi gruppo G può essere interpretato come un gruppo generato daelementi e relazioni: prendiamo S = G e R G = {(ab) 1 b −1 a −1 |a, b ∈ G}; alloraG ≃ Gp(G; R G ).

1.2. CATEGORIE 43Lemma 1.2.4 Siano dati un gruppo G con elemento neutro 1 G , un gruppoGp(S; R) e una funzione di insiemi θ : S → G tale che, per qualsiasi ω ∈ R,θ(ω) = 1 G . Allora esiste un unico omomorfismo di gruppiθ : Gp(S; R) → Gtale che(∀a ∈ S) θ([a]) = θ(a) .Dimostrazione – Per qualsiasi parola a ε 11 . . . a εnn ∈ W S definiamoθ([a ε 11 . . . a εnn ]) := θ(a 1 ) ε 1. . . θ(a n ) εn .✷Teorema 1.2.5 La categoria Gr è chiusa per pushout.Dimostrazione – Prendiamo arbitrariamente un diagrammaGf> G 1g∨G 2di gruppi; interpretiamo i gruppi G 1 e G 2 comeG i = Gp(G i ; R Gi ) , R Gi = {(xy) 1 y −1 x −1 |x, y ∈ G i } , i = 1, 2e consideriamo l’insiemeR f,g = {f(x)g(x) −1 |x ∈ G} .

44 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIA questo punto definiamo il gruppoG := Gp(G 1 ∪ G 2 ; R G1 ∪ R G2 ∪ R f,g )e gli omomorfismif : G 2 → G , g : G 1 → G .Il diagramma seguente commuta:Gf> G 1g∨G 2fg∨> GDimostriamo la proprietà universale. Siano dato due omomorfismi di gruppoh i : G i → H , i = 1, 2tali che h 1 f = h 2 g; dunque, la funzioneθ : G 1 ∪ G 2 → H , (∀x ∈ G i ) θ(x) = h i (x) , i = 1, 2è tale che(∀x ∈ G) θ(f(x)g(x) −1 ) = 1 H ,e, per il lemma 1.2.4, esiste un unico omomorfismoθ : G → Hche estende la funzione θ e tale cheθf = h 2 , θg = h 1 .✷

1.3. AZIONI DI GRUPPI 45Il gruppo G – anche descritto dalla notazione G 1 ⋆ f,g G 2 – è la sommaamalgamata dei gruppi G 1 e G 2 relativa agli omomorfismi f e g.Esercizi:1. Dimostrare che la relazione di omotopia in Top(X, Y ) è una relazione diequivalenza; idem, per l’omotopia puntata.2. Dimostrare che per qualsiasi X, Y ∈ T op ∗ , esiste una biiezione naturale[ΣX, Y ] ∼ = [X, ΩY ] .1.3 Azioni di gruppiUn gruppo topologico è un gruppo munito di una topologia tale che le funzionidefinite dalla multiplicazione del gruppo e l’operazione di inversione deglielementi del gruppo siano continue; più precisamente, sia G un gruppo conla multiplicazione× : G × G → G , (∀(g, g ′ ) ∈ G × G) × (g, g ′ ) = gg ′ ;sia G × G dotato della topologia prodotto; allora, richiediamo che× : G × G → GeG → G (∀g ∈ G) g ↦→ g −1siano funzioni continue.A seguito diamo alcuni esempi di gruppi topologici; i dettagli delle dimostrazionisono lasciati a carico del lettore.

46 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALI1. Qualsiasi gruppo con la topologia discreta;2. il gruppo aditivo IRdei numeri reali con la topologia data dalla distanza(∀x, y ∈ IR)d(x, y) = |x − y| ;3. il gruppo multiplicativo IR ∗ = IR \ {0} con la topologia data comenell’esempio anteriore;4. il gruppo aditivo Cdei numeri complessi e la topologia data dalla distanza(∀x, y ∈ C)d(x, y) = |x − y| ;5. Sia GL(n, IR) il gruppo multiplicativo delle matrici quadre, invertibili,reali e di rango n. Per definire una topologia in GL(n, IR) procediamonel modo seguente: osserviamo che l’insieme M(n, IR) di tutte le matricireali n × n è in biezione con l’insieme IR n2tramite la funzione(a ij ) i,j=1,...,n ∈ M(n, IR) ↦→ (a 11 , a 12 , . . . , a 21 , a 22 , . . . , a nn ) ∈ IR n2 ;questa funzione definisce una topologia in M(n, IR) che proviene dallatopologia euclidea di IR n2e a sua volta, questa topologia induceuna topologia in GL(n, IR). Con questa topologia il gruppo GL(n, IR)diventa un gruppo topologico.Siano G un gruppo topologico con elemento neutro 1 G e X uno spaziotopologico. Una azione (a destra) di G su X è una funzione continuaφ : X × G → Xtale che(i) (∀x ∈ X) φ(x, 1 G ) = x

1.3. AZIONI DI GRUPPI 47(ii) (∀x ∈ X)(∀g, g ′ ∈ G) φ(φ(x, g), g ′ ) = φ(x, gg ′ ) .A volte diciamo che G agisce su X (mediante l’azione φ). Per non appesantirela notazione scriveremo φ(x, g) = xg.Lemma 1.3.1 Sia φ : G × X → X una azione di un gruppo topologico G suuno spazio topologico X. Per qualsiasi g ∈ G, la funzioneφ(g) : X → X , x ↦→ xgè un omeomorfismo.Dimostrazione – La funzione φ(g −1 ) è l’inverso di φ(g). La continuità diφ(g) è immediata: infatti, φ(g) è la composta dell’azione φ con l’inclusioneX × {g} ↩→ X × G.✷Una azione φ : X × G → X da luogo ad una relazione di equivalenza≡ (φ) in X:x ≡ (φ)x ′ ⇐⇒ (∃g ∈ G)x ′ = xg .La classe di equivalenza [x] dell’elemento x ∈ X è l’orbita di x; indichiamo conX|G l’insieme X/ ≡ (φ) delle orbite di X. L’insieme X|G con la topologiaquoziente data dall’epimorfismo canonicoq : X → X|G , x ↦→ [x]è detto spazio delle orbite di X sotto l’azione di G.Lemma 1.3.2 La mappa quoziente q : X → X|G è aperta.gruppo finito, allora q è anche chiusa. 2Se G è un2 Cioè, porta chiusi in chiusi.

48 CAPITOLO 1. CONCETTI FONDAMENTALIDimostrazione – Sia U un aperto arbitrario di X. Alloraq −1 (q(U)) = {x ∈ X|q(x) ∈ q(U)} = {x ∈ X|(∃ g ∈ G)(∃ y ∈ U) x = yg}= {x ∈ X|(∃ g ∈ G)x ∈ Ug} = ∪ g∈G φ(g)(U) .Siccome le funzioni φ(g) sono omeomorfismi per qualsiasi g ∈ G d’accordocon 1.3.1, q −1 (q(U)) è una unione di aperti di X e dunque, q(U) è aperto inX|G.Se G è finito e K ⊂ X un chiuso,q −1 (q(K)) = ∪ g∈G φ(g)(K)è chiuso inquantoché unione finita di chiusi.✷Il gruppo topologico finito Z 2 = {1, −1} agisce sulla sfera unitaria n-dimensionaleS n = {x ∈ IR n+1 | ||x|| = 1}con l’azioneS n × Z 2 → S n , (x, 1) ↦→ x e (x, −1) ↦→ −x .Lo spazio delle orbite di questa azione si ottiene mediante l’identificazione deipunti antipodali della sfera S n ; in questo modo otteniamo lo spazio proiettivoreale n-dimensionaleIRP n = S n | Z 2 .Si dice che il gruppo G agisce liberamente su uno spazio X se(∀x ∈ X)(∀g ∈ G , g ≠ 1 G ) xg ≠ x .

Capitolo 2Omologia2.1 Complessi simplicialiUn complesso simpliciale (astratto) è una coppia K = (X, Θ) data da uninsieme X e da un insieme Θ di sottinsiemi finiti e non vuoti di X con leproprietà1. (∀x ∈ X) , {x} ∈ Θ ,2. (∀σ ∈ Θ)(∀σ ′ ⊂ σ , σ ′ ≠ ∅) , σ ′ ∈ Θ.Gli elementi di Θ sono detti simplessi di K. Un simplesso con n + 1 elementi(n ≥ 0) è un n-simplesso (anche detto simplesso di dimensione n); adottiamola notazione dim σ = n. Gli 0-simplessi sono anche detti vertici. Il complessoK è finito se l’insieme X è finito; se le dimensioni di tutti i simplessi di Khanno un massimo (finito) diremo che K ha dimensione finita.Dati due complessi simpliciali K = (X, Θ) e L = (Y, Γ) una funzionef : X → Y tale che(∀σ = {x 0 , x 1 , . . . , x n } ∈ Θ) , f(σ) = {f(x 0 ), f(x 1 ), . . . , f(x n )} ∈ Γ49

50 CAPITOLO 2. OMOLOGIAè detta funzione simpliciale da K a L.In seguito indicheremo con CS la categoria dei complessi simpliciali e dellefunzioni simpliciali. Ora definiamo il funtore realizzazione geometrica| | : CS −→ Top .Siano K = (X, Θ) un complesso simpliciale e V (K) l’insieme delle funzionip : X → IR quasi sempre nulle ossia, p(x) = 0 per tutti gli elementi di X aeccezione di un numero finito di vertici; l’insieme finitos(p) = {x ∈ X|p(x) ≠ 0}è detto sostegno di p.Sia |K| l’insieme definito nel modo seguente:|K| = {p ∈ V (K)|s(p) ∈ Θ , (∀x ∈ s(p)) p(x) > 0 e∑x∈s(p)p(x) = 1} ;a questo punto definiamo la metrica(∀p, q ∈ |K|) , d(p, q) = { ∑ x∈X(p(x) − q(x)) 2 } 1 2 .Lo spazio metrico |K| è la realizzazione geometrica di K. Si osservi che |K|è uno spazio metrico limitato, nel senso che (∀p, q ∈ |K|), d(p, q) ≤ √ 2.Gli elementi di |K| possono essere descriti come combinazioni lineari finite.Infatti, per un qualsiasi elemento x ∈ X, sia x ∈ V (K) la funzione avalori reali data da⎧⎪⎨ 0 se y ≠ xx(y) =⎪⎩ 1 se y = x .Allora, se s(p) = {x 0 , x 1 , . . . , x n } è il sostegno di un p ∈ |K|, assumendo chep(x i ) = α i , i = 0, 1, . . . , n, possiamo scrivere p nella forman∑p = α i x i .i=0

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 51I numeri reali α i , i = 0, . . . , n sono le coordinate baricentriche di p (inconcordanza con le coordinate baricentriche di uno spazio euclideo IR k ).Sia σ = {x 0 , x 1 , . . . , x n } un n-simplesso di un complesso simpliciale finitoK; consideriamo σ come il complesso simpliciale σ = (σ, ℘(σ)\∅) il cuiinsieme dei simplessi è l’insieme di tutti i sottoinsiemi non vuoti di σ.Teorema 2.1.1 |σ| è uno spazio compatto e convesso.Dimostrazione – Costruiamo una corrispondenza biiettiva tra lo spazio |σ|e l’insieme∆ n = {(z 0 , . . . , z n ) ∈ IR n+1 |0 ≤ z i ≤ 1, ∑ iz i = 1}portando un qualsiasi p ∈ |σ| nel punto di ∆ n con le medesime coordinatebaricentriche di p. Con questo, ∆ n con la topologia indotta dalla topologianaturale dello spazio euclideo IR n+1 diviene omeomorfo a |σ| con la topologiaindotta da |K|. Ne segue che |σ| è compatto.Per dimostrare la convessità, siano p e q punti presi arbitrariamente in|σ|. Supponiamo chen∑n∑p = α i x i e q = β i x i .i=0i=0I punti del segmento pq sono dati da l’equazionen∑r = tp + (1 − t)q = (tα i + (1 − t)β i )x ii=0con t ∈ I e ∑ ni=0 (tα i + (1 − t)β i ) = 1.✷Lo spazio |σ| è un simplesso geometrico di |K|.Osservazione 2.1.2 Da questo momento e sino alla fine di questa sezioneci asterremo a lavorare soltanto con complessi finiti. Inoltre, la condizione di

52 CAPITOLO 2. OMOLOGIAfinitudine sarà implicitamente sottintesa ognora consideriamo la realizzazionegeometrica di un complesso simpliciale astratto.Concludiamo la descrizione della topologia di |K| con il seguente.Teorema 2.1.3 Sia |K| la realizzazione geometrica di un complesso simplicialeK. Allora valgono le seguenti proprietà:1. se |σ| è un simplesso geometrico di |K| e se τ ⊂ σ, allora |τ| è anch’essoun simplesso geometrico di |K|;2. dati due simplessi di |K|, |σ| e |τ|, l’intersezione |σ| ∩ |τ| può essere ∅o un nuovo simplesso geometrico, |σ ∩ τ|;3. F ⊂ |K| è un chiuso ⇐⇒ per qualsiasi simplesso |σ| di |K|, F ∩ |σ|è un chiuso di |σ|.Dimostrazione – Le prime due proprietà sono conseguenze immediate delledefinizioni. Quando alla terza, osserviamo che la realizzazione geometricadi un simplesso |σ|, essendo un compatto di uno spazio di Hausdorff, è unchiuso di |K|. Pertanto, se F ∩|σ| è un chiuso di |σ| lo sarà anche in |K| e allora,F = ∪ |σ| F ∩|σ| è un chiuso poiché |K| è un insieme finito di simplessi. ✷L’ultimo risultato del teorema anteriore ci dice che la topologia di |K| èdefinita dalla famiglia dei suoi simplessi |σ|; talvolta diremo che |K| ha latopologia debole relativa ai simplessi |σ|.La realizzazione geometrica di un complesso simpliciale (finito) è dettapoliedro. Si osservi che un poliedro è un compatto poiché è un’unione finitadi compatti. Il complesso astratto K che da luogo al poliedro |K| è latriangolazione di |K|.

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 53Ora vediamo quale sia il comportamento di | | sui morfismi. Per qualsiasifunzione simpliciale f : K → L definiamo (a livello insiemistico)|f| : |K| → |L| , |f|( ∑ α i x i ) = ∑ α i f(x i ) .Dobbiamo dimostrare che |f| è una mappa; ciò si farà nel risultato appresso.Teorema 2.1.4 La funzione |f| indotta da una funzione simpliciale f : K →L è continua.Dimostrazione – - Si tratta di vedere che per qualsiasi p ∈ |K|, esiste unaconstante c(p) ≠ 0 dipendente da p e tale che(∀q ∈ |K|) , d(|f|(p), |f|(q)) ≤ c(p)d(p, q) .Assumiamo ches(p) = {x 0 , . . . , x n } , s(q) = {y 0 , . . . , y m }ep(x i ) = α i , i = 0, . . . , n , q(y j ) = β j , j = 0, . . . , m .Ci sono due casi da considerare.Caso 1): s(p) ∩ s(q) = ∅ - In questa situazionen∑ m∑n∑d(p, q) = { αi 2 + βj 2 } 1/2 ≥ { αi 2 } 1/2 ;i=0 j=0i=0siccome ∑ ni=0 α i = 1, il minimo di ∑ ni=0 αi 2 si ottiene solo quando α i = 1/(n+1), per qualsiasi i = 0, . . . , n. Ne segue ched(p, q) ≥ 1/ √ n + 1d(|f|(p), |f|(q))d(p, q)≤√21/ √ n + 1

54 CAPITOLO 2. OMOLOGIA(ricordiamo che d(|f|(p), |f|(q)) ≤ √ 2) e perciò,d(|f|(p), |f|(q)) ≤il risultato richiesto si ottiene facendo c(p) =√2(n + 1)d(p, q) ;√2(n + 1).Caso 2: s(p) ∩ s(q) ≠ ∅ - Riscriviamo gli indici degli elementi di s(p) e s(q)in modo di ottenere i seguenti elementi in comune:x r = y 0 , x r+1 = y 1 , . . . , x n = y n−r .Si osservi che l’insieme s(p) ∪ s(q) ha precisamente m + r + 1 elementi.Prendiamo gli elementi⎧⎪⎨x i , 0 ≤ i ≤ r − 1z i = x i = y i−r , r ≤ i ≤ n⎪⎩y i−r ,n + 1 ≤ i ≤ m + re i numeri reali⎧⎪⎨γ i =⎪⎩−α i , 0 ≤ i ≤ r − 1−α i + β i−r , r ≤ i ≤ nβ i−r , n + 1 ≤ i ≤ m + r .Ora ordiniamo i numeri γ i in tal modo cheγ 0 ≤ γ 1 ≤ . . . ≤ γ m+r(riscriviamo gli indici se necessario); si osservi che γ 0 < 0 e γ m+r > 0 perchéα i > 0 per qualsiasi i = 0, 1, . . . , n. Sia s il più grande degli indici per ilquale γ s < 0; ora prendiamos∑λ = γ i < 0i=0(osservare che ∑ m+ri=s+1 γ i > 0) e le due successioni finite di numeri reali{ γ 0λ , . . . , γ sλ } , {γ s+1−λ , . . . , γ m+r−λ } .

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 55L’elementoappartiene a |K| perchép ′ =s∑0γ iλ z i , q ′ =m+r ∑i=s+1γ i−λ z is∑ m+rγ i0λ = ∑ γ ii=s+1−λ = 1e s(p ′ ) ⊂ s(p), s(q ′ ) ⊂ s(q). Ma s(p ′ )∩s(q ′ ) = ∅ e perciò, per il caso anteriored(|f|(p ′ ), |f|(q ′ )) ≤a questo punto facciamo uso delle uguaglianzee√2(s + 1)d(p ′ , q ′ ) ;d(p ′ , q ′ ) = 1 d(p, q)−λd(|f|(p ′ ), |f|(q ′ )) = 1 d(|f|(p), |f|(q))−λ√√più il fatto che 2(s + 1) ≤ 2(n + 1) per concludere ched(|f|(p), |f|(q)) ≤Anche in questo caso facciamo c(p) =√2(n + 1)d(p, q) .√2(n + 1).La continuità di |f| in p è immediata: per qualsiasi ɛ > 0, scegliamoδ = ɛ/c(p). Siccome p è preso arbitrariamente, concludiamo che |f| è globalmentecontinua.✷Il risultato anteriore è un attimino più generale:Teorema 2.1.5 Una funzione lineareè continua.n∑n∑F : |K| → |L| , F ( α i x i ) = α i F (x i )i=0i=0

56 CAPITOLO 2. OMOLOGIASia K = (X, Φ) un complesso simpliciale; la prima suddivisione baricentricadi K è il complesso simplicialeK (1) = (X (1) , Φ (1) )ove1. X (1) = Φ ;2. Φ (1) è l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti e non-vuoti di Φ che hannola proprietà{σ i0 , . . . , σ in } ∈ Φ (1) ⇔ σ i0 ⊂ . . . ⊂ σ in .La r ma suddivisione baricentrica K (r) di K si ottiene per iterazione. Si osserviche per qualsiasi intero positivo r la r ma suddivisione baricentrica può essereconsiderata come un funtoreB (r) : CS → CS .Possiamo dare due topologie alla realizzazione geometrica K (r) : (i) latopologia definita dalla metrica d (r) ottenuta considerando i vertici di K (r)(cioè, la topologia debole definita dai simplessi geometrici |σ (r) | di K (r) ) e(ii), la topologia indotta da |K| (cioè, dalla metrica d di K o dai simplessigeometrici di K). Per questioni di finitudine queste due topologie sonoequivalenti.I due risultati seguenti hanno a che fare con la geometria delle suddivisionibaricentriche dei complessi simpliciali finiti. Cominciamo per dimostrareche la topologia della realizzazione geometrica di un complesso finito non èalterata per suddivisione baricentrica.Teorema 2.1.6 Siano K = (X, Φ) un complesso simpliciale e r un interopositivo qualsiasi. Allora i poliedri |K| e |K (r) | sono omeomorfi.

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 57Dimostrazione –qualsiasiÈ sufficiente dimostrare il risultato per r = 1. Perσ = {x 0 , . . . , x n } ∈ Φsia b(σ) il baricentro di |σ|, cioèb(σ) =n∑i=01n + 1 x i .La funzione che associa ad ogni σ ∈ K (1) il baricentro b(σ) si estende perlinearità ad una funzione continuan∑n∑F : |K (1) | −→ |K| , F ( α i σ i ) = α i b(σ i )i=0i=0(tutte le funzioni lineari sono continue: cfr. Teorema 2.1.5). Vogliamo dimostrareche la funzione F è una biiezione.Sia p = ∑ ni=0 α i σ i un puntoarbitrario di |K (1) |; si osservi che σ 0 , . . . σ n sono simplessi di K tali cheσ 0 ⊂ σ 1 ⊂ . . . ⊂ σ n .Supponiamo che dim σ 0 = r; possiamo assumere che dim σ 1 = r + 1 (casocontrario, si potrebbero prendere dei simplessi intermediariσ 0 = τ 0 ⊂ τ 1 ⊂ . . . ⊂ τ k = σ 1tali che dim τ j+1 = dim τ j + 1 e ai quali si potrebbero attribuire coefficientiuguali a zero nella somma che rappresenta p). Con ciò si può supporre cheσ 0 = {x 0 } ,σ 1 = {x 0 , x 1 } ,. . . . . . . . . . . .σ n = {x 0 , x 1 , . . . , x n }

58 CAPITOLO 2. OMOLOGIAe allora,Così, seF (p) = α 0 x 0 + α 1 ( x 0 + x 12coincidesse con F (p) si avrebbe) + . . . + α n ( x 0 + x 1 + . . . + x n) .n + 1n∑q = β i x i ∈ |K|i=0β 0 = α 0 + α 1 /2 + . . . + α n /(n + 1)β 1 = α 1 /2 + . . . + α n /(n + 1). . . . . . . . . . . .β n = α n /(n + 1)e1 ≥ β 0 ≥ β 1 ≥ . . . ≥ β n ≥ 0 .D’altro lato, data una successione di numeri reali1 ≥ β 0 ≥ β 1 ≥ . . . ≥ β n ≥ β n+1 = 0i numeri realiα i = (i + 1)(β i − β i+1 ) , i = 0, 1, . . . , nsoddisfano le uguaglianze anteriori e così, si vede che gli α i ed i β i si determinanomutuamente; ciò vuol dire che F è una biiezione. La dimostrazionesi completa ricordando che infatti F è una biiezione continua da uno spaziocompatto ad uno spazio di Hausdorff.✷Vediamo ora cosa succede con le lunghezze degli 1-simplessi di un poliedroe delle sue successive suddivisioni baricentriche. Sia K = (X, Φ) un complessosimpliciale finito; consideriamo |K (r) | come sottospazio di |K| (quest’ultimo

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 59con la topologia definita dalla metrica d). Definiamo il diametro diam |K (r) |di |K (r) | come la lunghezza massima di tutti i suoi 1-simplessi in |K|. Il risultatosuccessivo ci dice che il diametro diminuisce con le successive suddivisionibaricentriche.Teorema 2.1.7 Per qualsiasi numero reale ε > 0 esiste un intero positivo rtale che diam |K (r) | < ε.Dimostrazione – Supponiamo che dim K = n. Si prenda arbitrariamenteun 1-simplesso {σ 0 , σ 1 } di K (1) ; possiamo assumere cheσ 0 = {x i0 , . . . , x iq }eσ 1 = {x i0 , . . . , x iq , x j0 , . . . , x jp }ove p + q + 2 ≤ n. Siccome |K| ∼ = |K (1) | (infatti conviene fare una identificazione|K| ≡ |K (1) |), la lunghezza del simplesso di dimensione 1 di |K (1) |rappresentato astrattamente da {σ 0 , σ 1 } si calcola tramite la formulad(q∑ 1q + 1 x i k,k=0q∑k=01p + q + 2 x i k+p∑l=01p + q + 2 x j l) =1= {(q + 1 − 11p + q + 2 )2 (q + 1) + (p + q + 2 )2 (p + 1)} 1/2 =√1 (p + 1)(p + q + 2)==p + q + 2 q + 1= p + q + 1√ (p + 1)(p + q + 2)p + q + 2 (p + q + 1) 2 (q + 1) < n √2n + 1poichép + q + 1p + q + 2

60 CAPITOLO 2. OMOLOGIADa tutto ciò concludiamo chediam |K (1) | 0} ⊂ |K|e la funzioneδ x : |K| −→ IR , δ x (p) = p(x) .Quest’ultima è continua perché, per ogni q ∈ |K|,|δ x (p) − δ x (q)| < d(p, q) ;siccome A(x) = δx−1 (0, ∞), concludiamo che A(x) è un aperto di |K|.Si noti che a questo modo otteniamo un ricoprimento aperto di |K|.Lemma 2.1.8 Dati arbitrariamente x 0 , . . . , x n ∈ X, l’insieme σ = {x 0 , . . . , x n } ∈Φ ⇐⇒n⋂A(x i ) ≠ ∅ .i=0Dimostrazione – ⇒: Se σ ∈ Φ, il suo baricentrob(σ) =n∑i=01n + 1 x i ∈n⋂A(x i ) .i=0

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 61⇐: Se p ∈ ⋂ ni=0 A(x i ), allora p(x i ) > 0 per qualsiasi i = 0, . . . , n; perciò{x 0 , . . . , x n } ⊂ s(p) ∈ Φ .✷Per concludere questa sezione sui complessi astratti e la loro realizzazionegeometrica dimostriamo un’importante risultato riguardante il prodotto cartesianodi due poliedri: il prodotto cartesiano di due poliedri è un poliedro.Teorema 2.1.9 Siano dati due complessi simpliciali finitiK = (X, Φ) e L = (Y, Θ) .Esiste un complesso simpliciale finito K × L tale che|K × L| ∼ = |K| × |L| .Dimostrazione – Il complesso simpliciale K × L è definito seguendo laricetta appresso:1. ordiniamo gli insiemi X e Y ;2. ordiniamo X × Y tramite l’ordine lessicografica;3. richiediamo che un insieme {(x i0 , y j0 ), . . . , (x im , y jn )} di elementi di X ×Y sia un simplesso di K × L ⇐⇒ siano valide le tre condizioni:(a) (x i0 , y j0 ) < . . . < (x im , y jn ) ;(b) {x i0 , . . . , x im } ∈ Φ ;(c) {y j0 , . . . , y jn } ∈ Θ .

62 CAPITOLO 2. OMOLOGIAQuesti requisiti hanno come conseguenza che le proiezzionipr 1 : X × Y → X , pr 2 : X × Y → Ysono morfismi tra complessi simpliciali e perciò, determinano una mappaφ = |pr 1 | × |pr 2 | : |K × L| → |K| × |L| .Ci proponiamo di dimostrare che φ è un omeomorfismo.Siano p ∈ |K| e q ∈ |L| dati dam∑p = α i x i , α i > 0 ,i=oandn∑q = β j y j , β j > 0 ,j=0Definiamo i numeri realim∑α i = 1 , x 0 < · · · < x mi=0n∑β j = 1 , y 0 < · · · < y n .j=0s∑a s = α i , s = 0, 1, . . . , mi=0et∑b t = β j , t = 0, 1, . . . , n ;j=0ora ordiniamo l’insieme {0, a 0 , . . . , a m−1 , b 0 , . . . , b n = 1} in modo che0 = c−1 < c 0 < c 1 < . . . < c m+n = b n = 1e, per qualsiasi r = 0, 1, . . . , m + n, prendiamo z r = (x i , y j ) con la richiestache gli indici i (rispettivamente, j) siano uguali al numero di numeri reali a s(rispettivamente, b t ) che si trovano nell’insieme {c 0 , c 1 , . . . , c r−1 }. Si osservichez 0 = (x 0 , y 0 ) , z m+n = (x m , y n ) .

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 63Si noti anche che se z r = (x i , y j ), l’elemento z r+1 è uguale a (x i+1 , y j ) o a(x i , y j+1 ); in ogni caso z r < z r+1 e perciòz 0 = (x 0 , y 0 ) < z 1 < . . . < z m+n = (x m , y n ) .Siccomem+n ∑i=0possiamo concludere chew =(c i − c i−1 ) = c m+n − c −1 = 1m+n ∑i=0(c i − c i−1 )z i ∈ |K × L| .Questo ragionamento ci permette definire una funzioneψ : |K| × |L| −→ |K × L| , ψ(p, q) =m+n ∑i=0(c i − c i−1 )z iche è l’inverso di φ. Infatti, supponiamo p ∈ |K| e q ∈ |L| come prima.Allora,|pr 1 |ψ(p, q) =m∑γ i x i .i=0Siano z r < z r+1 < . . . < z r+t gli elementi z i di ψ(p, q) le cui prime coordinatesiano uguali a x s ; la situazione è descritta nella tabella seguente:vertici coefficienti in ψ(p, q)z r−1 = (x s−1 , y α ) c r−1 − c r−2z r = (x s , y α ) c r − c r−1. . . . . .. . . . . .. . . . . .z r+t = (x s , y α+t ) c r+t − c r+t−1z r+t+1 = (x s+1 , y α+t ) c r+t+1 − c r+t

64 CAPITOLO 2. OMOLOGIASi osservi che il coefficiente γ s in |pr 1 |ψ(p, q) è uguale a c r+t − c r−1 ; oltre aciò, si noti che d’accordo con la definizione di z r−1 e z r , possiamo concludereche c r−1 = a s−1 (e analogamnete, che c r+t = a s ). Ne segue cheγ s = c r+t − c r−1 = a s − a s−1 = α sed infine, |pr 1 |ψ(p, q) = p. Dimostriamo in modo analogo che|pr 2 |ψ(p, q) = q ;questi due fatti dimostrano che φψ = 1 |K|×|L| .Ora prendiamo un elementos∑u = ζ r z r ∈ |K × L|r=0ove ∑ sr=0 ζ r = 1 e z 0 < z 1 < . . . < z s . Siano x 0 , . . . , x m (respectively,y 0 , . . . , y n ) i vertici distinti che compaiano come prime (rispettivamente,seconde) coordinate di z 0 , . . . , z s ; allora,{x 0 , . . . , x m } ∈ Φ , {y 0 , . . . , y n } ∈ Θe inoltre, z 0 = (x 0 , y 0 ) e z s = (x m , y n ). Le definizioni date ci permettono discrivere l’uguaglianzam∑|pr 1 |(u) = α i x i ,i=0ove α i è la somma dei coefficienti ζ r degli elementi z r la cui prima coordinatasia uguale a x i ; ora si vede facilmente che ∑ mi=0 α i = 1. Osservazioni analoghepossono essere fatte per |pr 2 |(u). Concludiamo cheψφ = 1 |K×L| .Siccome |K × L| è compatto si ha che φ è un omeomorfismo.✷Esercizi:

2.1. COMPLESSI SIMPLICIALI 651. Sia U = {U x |x ∈ X} un ricoprimento aperto finito di uno spazio topologicoB. Definiamo l’insiemeΦ = {σ ⊂ X| ∩ x∈σ U x ≠ ∅} .Dimostrare che N(U) = (X, Φ) è un complesso simpliciale astratto finito,detto nervo del ricoprimento U.2. Sia K = (X, Φ) un complesso simpliciale finito. Per qualsiasi x ∈ X, la stellaSt(x) di x in |K| è il complementare in |K| dell’unione di tutti i simplessi|σ| tali che x ∉ σ. Dimostrare che S⊔ = {St(x)|x ∈ X} è un ricoprimentoaperto di |K| e N(S⊔) = K.3. Siano dati uno spazio metrico compatto X ed un numero reale positivo ε.Si costruisca l’insieme Φ di tutti i sottoinsiemi finiti σ di X il cui diametroè minore di ε. Dimostrare che K = (X, Φ) è un complesso simpliciale.4. Uno spazio topologico X è detto triangolabile se esiste un poliedro |K| chesia omeomorfo a X; per abuso di linguaggio, si dice che X è triangolabile eche K è una triangolazione di X. Esibire una triangolazione delle seguentisuperfici:a) nastro di Möbius;b) X = S 1 × S 1 (toro);c) bottiglia di Klein;d) IRP 2 (piano proiettivo reale);e) G 2 ottenuta aggiungendo due manici alla sfera S 2 ; dimostrare che G 2 èomeomorfa allo spazio ottenuto da un ottagono nel cui bordo si fannole identificazioni a 1 b 1 a −11 b−1 1 a 2b 2 a −1genere 2.2 b−1 2. Questa superficie è detta di

66 CAPITOLO 2. OMOLOGIA2.2 Omologia SimplicialeNella sezione precedente abbiamo definito il funtore “realizzazione geometrica”| | : CS −→ Top ;qui vogliamo definire il funtore “omologia” dalla categoria CS alla categoriaAb Z dei gruppi abeliani graduati.Da ora in poi tutti i nostri complessi simpliciali saranno orientati cioè,ognuno dei loro simplessi ha un ordinamento prescelto dell’insieme dei vertici.Due ordinamenti dei vertici di un simplesso sono equivalenti se uno di questiordinamenti proviene dall’altro per una permutazione pari dei vertici. Inquesto modo, un complesso astratto ha sostanzialmente due soli possibili orientamenti.Come si vedrà, la scelta di un’orientamento, malgrado essenzialeper la definizione dei gruppi di omologia, non è determinante per l’andamentogenerale della teoria perché i gruppi ottenuti con un ordinamento o con l’altrosono isomorfi.Sia K = (X, Φ) un complesso simpliciale astratto (non necessariamentefinito). Per qualsiasi numero naturale n dato, sia C n (K) il gruppo abelianodelle combinazioni lineari finite a coefficienti nel gruppo Z degli n-simplessidi K; prendiamo C n (K) = 0 per tutti gli n < 0. Gli elementi di C n (K) sonole n-catene. Per qualsiasi n ∈ Z siad n = d K n: C n (K) −→ C n−1 (K)l’omomorfismo 0 se n ≤ 0; per gli indici n > 1, d n è l’omomorfismo lineareche trasforma un n-simplesso {x 0 , x 1 , . . . , x n } nella (n − 1)-catena{x 1 , x 2 , . . . , x n } + (−1) {x 0 , x 2 , . . . , x n } . . .. . . + (−1) n {x 0 , x 1 , . . . , x n−1 } =n∑(−1) j {x 0 , . . . , ̂x j , . . . , x n }j=0

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 67(il simbolo ̂ su x j significa che il vertice x j è stato eliminato). Gli omomorfismidi grado -1 appena definiti sono chiamati omomorfismi di bordo.Lemma 2.2.1 Per qualsiasi n ∈ Z, d n−1 d n = 0.Dimostrazione – Basta dimostrare il risultato per un arbitrario {x 0 , x 1 , . . . , x n }.d n−1 d n ({x 0 , x 1 , . . . , x n } = d n−1n ∑j=0(−1) j {x 0 , . . . , ̂x j , . . . , x n } =n∑j=0(−1) j ∑ (−1) k {x 0 , . . . , ̂x k , . . . , ̂x j , . . . , x n } +kj✷Questa proprietà degli omomorfismi di bordo ci permette di osservare cheper qualsiani n, l’immagine di d n+1 è contenuta nel nucleo di d n ossia, con lenotazioniZ n (K) = ker d n e B n (K) = im d n+1 ,B n (K) ⊂ Z n (K). Dunque possiamo definire i gruppi quozientiH n (K) = Z n (K)/B n (K)per ogni n ∈ Z; è evidente che H n (K) = 0 per qualsiasi n < 0. Gli elementidi Z n (K) sono detti n-cicli e quelli di B n (K), n-bordi; il gruppo H n (K) èl’ennesimo gruppo di omologia di K (con coefficienti in Z).A questo punto sappiamo che il funtore “omologia” che vogliamo definireassocia ad ogni complesso simpliciale astratto K il gruppo abeliano graduatoH(K) = {H n (K)|n ∈ Z}. La questione che si apre è quella di stabilire ilcomportamento di questo funtore nei morfismi di CS. Sia f : K = (X, Φ) →

68 CAPITOLO 2. OMOLOGIAL = (Y, Θ) una funzione simpliciale (K e L con un orientamento fissato).DefiniamoC n (f) : C n (K) −→ C n (L)sui simplessi tramite la formula⎧⎪⎨ {f(x 0 ), . . . , f(x n )}, (∀i ≠ j)f(x i ) ≠ f(x j )C n (f)({x 0 , . . . , x n }) =⎪⎩ 0, caso contrario.È facile dimostrare che d L nC n (f) = C n−1 (f)d K n , per qualsiasi n ∈ Z: questosi può fare con una semplice verifica su un singolo n-simplesso. Per qualsiasin ≥ 0, definiamoH n (f) : H n (K) −→ H n (L)z + B n (K) ↦→ C n (f)(z) + B n (L) ;come prima cosa osserviamo che C n (f)(z) è un ciclo di C n (L): infatti,d L nC n (f)(z) = C n−1 (f)d K n (z) = 0perché z è un ciclo. D’altro canto, H n (f) è ben-definita: supponiamo chez − z ′ = d K n+1(w); allora,C n (f)(z − z ′ ) = C n (f)d K n+1(w) = d L n+1C n+1 (f)(w)dunque C n (f)(z − z ′ ) ∈ B n (L) e perciò, H n (f)((z − z ′ ) + B n (K)) = 0.Per n < 0 prendiamo H n (f) = 0; in questo modo otteniamo un omomorfismodi gruppi abeliani H n (f) per qualsiasi n ∈ Z. Il lettore è invitato adimostrare cheH n (1 K ) = 1 Hn(K) e H n (gf) = H n (g)H n (f)per qualsiasi n ∈ Z. Ora concludiamo la costruzione del funtore omologiaH : CS −→ Ab Z :

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 69si osservi che se K α e K β rappresentano il complesso simpliciale K con i duepossibili orientamenti α e β, siccome i passaggi di un orientamento all’altroi α,β : K α → K β , i β,α : K β → K αpossono essere interpretati como funzioni simpliciali, si ottiene cheH n (i α,β i β,α ) = 1 Hn(K β )eH n (i β,α i α,β ) = 1 Hn(K α )e perciò, H n (K α ) ∼ = H n (K β ). Dunque, a meno di isomorfismo, l’orientamentodel complesso non influisce sulla definizione del gruppo H n (K) e così , possiamoignorare l’orientamento (sebbene nella soluzione di molti problemi ciòin generale non possa essere fatto). Tutto questo armamentario ci permettedi definire il funtoreH ⋆ : CS −→ Ab ZprendendoH ⋆ (K) = {H n (K)|n ∈ Z} e H ⋆ (f) = {H n (f)|n ∈ Z}sugli oggetti e morfismi, rispettivamente. Osserviamo esplicitamente che perogni n ≥ 0H n (−) : CS → Grè un funtore covariante.Ricapitolando, ad ogni complesso simpliciale astratto K, possiamo associareun gruppo abeliano graduato C(K) = {C n (K)} e per ogni n ∈ Z, unomomorfismo d n : C n (K) → C n−1 (K), con la proprietà d n−1 d n = 0 che a lorovolta definiscono un gruppo abeliano graduato H ∗ (K) = {H n (K)}. Questo

70 CAPITOLO 2. OMOLOGIAfatto può essere inserito in un contesto più generale che si rende molto utile,come vedremo a seguito.Un complesso di catene è un gruppo graduato {C n } insieme a un endomorfismod = {d n } di grado -1 chiamato omomorfismo di bordo 1 d = {d n :C n → C n−1 } con la proprietà che d 2 = 0, cioè d n d n+1 = 0 per ogni n ∈ Z.DunqueB n = im d n+1 ⊂ Z n = ker d ne perciò possiamo definire H ∗ (C) = Z n /B n detta omologia di C.Un omomorfismo di catene tra due complessi di catene (C, d) e (C ′ , d ′ ) èuna omomorfismo di gruppi abeliani graduati f = {f n : C n → C n} ′ di grado0 che commuta con gli omomorfismi di bordo, cioè f n−1 d n = d ′ nf n .Di solito visualizziamo complessi di catene come diagrammi· · · > C n+1d n+1> Cnd n> Cn−1 > · · ·e i loro morfismi come diagrammi commutativi· · · > C n+1d n+1> Cnd n> Cn−1 > · · ·f n+1∨· · · > C ′ n+1f n f n+1d ′ ∨∨n+1 d ′> C′ nn > C′n−1 > · · ·Si osservi che i complessi di catene e i loro morfismi costituiscono unacategoria.Queste definizione sono inspirate chiaramente da ciò che abbiamo fattoper definire i gruppi di omologia di un complesso simpliciale astratto; infatti,ci teniamo ad osservare che per qualsiasi complesso simpliciale astratto K, ilgruppo graduato abeliano {C n (K)|n ∈ Z} con il suo omomorfismo di bordo1 In alcuni testi chiamati operatori differenziali.

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 71d K= {d K n |n ∈ Z} è un complesso di catene (C(K), d K ). Il complesso dicatene C(K) è detto positivo perché tutti i termini di indice negativo sono0. In particolare, se f : K → M è una funzione simpliciale, l’omomorfismoC(f) : C(K) → C(M)è un omomorfismo di complessi di catene.Se K è finito, tutti i gruppi C n (K) sono liberi di rango uguale al numerodegli n-simplessi di K; i sottogruppi Z n (K) e B n (K) di C n (K) sono anch’essiliberi, con un numero finito di generatori. Infine, i gruppi di omologia H n (K)sono abeliani e finitamente generati e perciò, a causa del Teorema della decomposizionedei gruppi abeliani finitamente generati, sono isomorfi a sommediretteZ β(n) ⊕ Z n(1) ⊕ . . . ⊕ Z n(k)con Z n(i) ciclico di ordine n(i). Il numero β(n) – uguale al rango del gruppoabeliano H n (K) – è l’n mo -numero di Betti del complesso K.Ora cominciamo a studiare la successione esatta di omologia di una coppia(K, L) di complessi astratti, con L sottocomplesso di K. Evidentementeabbiamo bisogno di una definizione: un complesso simpliciale L = (Y, Θ) èun sottocomplesso (simpliciale) di un complesso simpliciale K = (X, Φ) seY ⊂ X e Θ ⊂ Φ. Per qualsiasi n ≥ 0 prendiamo il quoziente dei gruppi dicatene C n (K)/C n (L) e definiamod K,Ln: C n (K)/C n (L) → C n−1 (K)/C n−1 (L)tramite la formulad K,Ln (c + C n (L)) = (d K n (c)) + C n−1 (L)(che è ben definita perché nell’ipotesi in cui c ′ sia anch’esso un rappresentante

72 CAPITOLO 2. OMOLOGIAdi c + C n (L), allora c − c ′ ∈ C n (L) ed K n (c − c ′ ) = d L n(c − c ′ ) ∈ C n−1 (L) ;dunque d K,Ln(c + C n (L)) = d K,Ln (c ′ + C n (L))). Il lettore può verificare senzadifficoltà che gli omomorfismi d K,Lnsono omomorfismi di bordo e perciò,C(K, L) = {C n (K)/C n (L), d K,Ln }è un complesso di catene i cui gruppi di omologia H n (K, L; Z) sono i cosiddettigruppi di omologia relativa della coppia (K, L). Sia CCS la categoriache ha per oggetti le coppie (K, L) formate da un complesso simpliciale astrattoed un suo sottocomplesso L e per morfismi, coppie (k, l) di funzionisimpliciali, diciamo per esempio(k, l) : (K, L) −→ (K ′ , L ′ )tale che k : K → K ′ , l : L → L ′ e k|L = l.Il lettore potrà verificarefacilmente che l’omologia relativa determina un funtore covarianteH(−, −) : CCS −→ Ab Z .Una successione (infinita) di gruppiè esatta se· · · > G n+1f n+1> Gnf n> Gn−1 > · · ·(∀n ∈ Z) im f n+1 = ker f n .Di particolare importanza sono le successioni esatte con soltanto tre gruppiconsecutivi non-banali:d n+1 d. . . → 0 → G n+1 −→nGn −→ Gn−1 → 0 → . . .

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 73in tal caso, d n+1 è iniettivo e d n è suriettivo. Tali successioni esatte sonodette successioni esatte corte. La successione esatta corta descritta sopra siscrive anche nella formaG n+1 > − > G n − −≫ G n−1 .Il risultato seguente è molto importante ed ha il nome di Teorema dellaSuccessione Esatta Lunga dell’omologia di una coppia di complessi simpliciali(K, L).Teorema 2.2.2 Sia (K, L) una coppia di complessi simpliciali. Per qualsiasin > 0 esiste un omomorfismo˜λ n : H n (K, L) → H n−1 (L)(detto omomorfismo di connessione) che rende esatta la seguente successionedi gruppi di omologia. . . → H n (L) Hn(i)−→ H n (K) q∗(n)−→ H n (K, L) ˜λ n−→ Hn−1 (L) → . . .Dimostrazione – La dimostrazione del teorema non è difficile, però è abbastanzalunga. La divideremo in una serie di passi, lasciando la dimostrazionedi alcuni al lettore.1. Per qualsiasi n > 0 siaq n : C n (K) → C n (K)/C n (L)l’omomorfismo quoziente. Dalle definizioni date, è facile dimostrare che(∀n ≥ 0) d K,Ln q n = q n−1 d K ne dunqueq = {q n } : C(K) → C(K, L)

74 CAPITOLO 2. OMOLOGIAè un omomorfismo di complessi di catene. Inoltre, si osservi che perogni n ≥ 0 la successione di gruppiC n (i)nC n (L) > − > C n (K) −q−≫ C n (K)/C n (L)è esatta corta e dunque, abbiamo una successione esatta corta di complessidi cateneC(i) qC(L) > − > C(K) − −≫ C(K, L)2. Definizione di ˜λ n . Consideriamo la seguente porzione della successioneesatta corta di complessi:C n (L) >C n (i)−> C n (K) −q n− ≫ C n (K)/C n (L)d L nd K nd K,Ln∨∨∨C n−1 (L) > − > C n−1 (K) −−≫ C n−1 (K)/C n−1 (L)C n−1 (i) qn−1Prendiamo un ciclo z di C n (K)/C n (L); l’omomorfismo q n è suriettivo,perciò esiste una catena ˜z ∈ C n (K) con q n (˜z) = z; per la commutativitàdel diagramma,q n−1 (d K n ˜z) = d K,Ln q n (˜z) = d K,Ln z = 0e quindi, d K n ˜z ∈ ker q n−1 = im C n−1 (i), perciò esiste un’unica catenac ∈ C n−1 (L) per la qualein realtà c è un ciclo, dato cheC n−1 (i)(c) = d K n ˜z ;C n−2 (i)d L n−1c = d K n−1C n−1 (i)(c) = d K n−1d K n ˜z = 0

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 75e C n−2 (i) è un monomorfismo. Possiamo quindi definire˜λ n : H n (K, L) → H n−1 (L)ponendo ˜λ n [z] := [c] .3. La definizione di ˜λ n è corretta. Si deve verificare che ˜λ n non dipende nèdalla scelta del ciclo z che rappresenta la classe di coomologia nè dallacatena ˜z che si mappa su z. Supponiamo di aver scelto un’altro ciclo z ′di C n (K)/C n (L) con [z] = [z ′ ] e un ˜z ′ con q n (˜z ′ ) = z ′ e sia inoltre c ′ ilciclo in C n−1 (L) con la proprietà C n−1 (i)(c ′ ) = d K n ˜z ′ ; per definizione diclasse di omologia esiste una catena b ∈ C n+1 (K)/C n+1 (L) con d K,Ln+1b =z − z ′ .Siccome q n+1 è un epimorfismo, esiste un ˜b ∈ C n+1 (K) con q n+1 (˜b) = b;ora,quindi esiste un a ∈ C n (L) conaddesso abbiamoq n (˜z − ˜z ′ − d K n+1˜b) = z − z ′ − d K,Ln+1b = 0C n (i)(a) = ˜z − ˜z ′ − d K n+1˜b ;C n−1 (i)(d L na) = d K n (˜z − ˜z ′ − d K n+1˜b) = C n−1 (i)(c − c ′ )e per l’iniettività di C n−1 (i) concludiamo c − c ′ = d L na, cioè c e c ′rappresentano la stessa classe di omologia in H n (L).Osservazione - I due punti precedenti sono esempi tipici del cosidetto”diagram chasing”. Per seguire i ragionamenti consigliamo al lettore ditracciare i diagrammi e i vari elementi considerando soltanto le mappee trascurando gli indici, che anche se danno la precisione ma a volterendendo difficile la lettura.

76 CAPITOLO 2. OMOLOGIA4. La successione è esatta. Per dimostrare l’esattezza della successione digruppi di omologia dobbiamo verificare i seguenti fatti:(a) im H n (i) = ker q ∗ (n) ;(b) im q ∗ (n) = ker ˜λ n ;(c) im ˜λ n = ker H n−1 (i) .Considereremo soltanto il secondo fatto, lasciando gli altri al lettore.Prendiamo una classe [z] ∈ H n (K, L) e calcoliamo ˜λ n q ∗ (n)([z]) =˜λ n [q n (z)]. Sapendo che possiamo prendere un qualunque (!) elementodi C n (K) che si proietta su q n (z), scegliamo z stesso e visto ched K,Ln z = 0 concludiamo che ˜λ n [q n (z)] = 0, cioè im q ∗ (n) ⊆ ker ˜λ n .Viceversa, se [z] è una classe di omologia in H n (K, L) con ˜λ n [z] = 0sappiamo, dalla definizione di ˜λ n , che devono esistere ˜z ∈ C n (K) e unciclo c ∈ C n−1 (L) tali cheq n (˜z) = z e C n−1 (i)(c) = d K n ˜z ;siccome ˜λ n [z] = 0, esiste un ˜c ∈ C n (L) tale che c = d L n(˜c). Osserviamoched K n (C n (i)(˜c) − ˜z) = 0e inoltre, q n (C n (i)(˜c) − ˜z) = z; quindi ker ˜λ n ⊆ im q ∗ (n).La dimostrazione degli altri due punti è simile.✷Ora vogliamo spiegare come l’omomorfismo di connessione ˜λ n sia naturalerelativamente a morfismi di coppie di complessi simpliciali. Cominciamo conun risultato la cui dimostrazione si ottiene facilmente dalle definizioni date epertanto, è lasciata a carico del lettore:

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 77Teorema 2.2.3 Sia (k, l) : (K, L) → (K ′ , L ′ ) una funzione simpliciale data.Allora, per qualsiasi n ≥ 1, il diagramma seguente commuta:H n (K, L)˜λ n> Hn−1 (L)C n (k, l)∨H n (K ′ , L ′ )C n−1 (l)∨> H n−1 (L ′ )˜λ nOra ritorniamo alla categoria CCS delle coppie di complessi simpliciali;siaπ 2 : CCS → CSil funtore definito da(∀(K, L) ∈ CCS) π 2 (K, L) = Le(∀(k, l) ∈ CCS((K, L), (K ′ , L ′ ))) π 2 (k, l) = l .Per ogni n ≥ 0 prendiamo i funtori covariantiH n (−, −) : CCS → Gredunque, il Teorema 2.2.3 ci dice cheH n−1 (−) ◦ π 2 : CCS → Gr ;˜λ n : H n (−, −) → H n−1 ◦ π 2è una trasformazione naturale (vedere la definizione di trasformazione naturaletra funtori nella Sezione 1.2).

78 CAPITOLO 2. OMOLOGIAUn’altra tecnica molto utile è quella della successione di Mayer – Vietoris.Siano dati due complessi simpliciali K 1 = (X 1 , Φ 1 ) e K 2 = (X 2 , Φ 2 ) e sianoK 1 ∪ K 2 = (X 1 ∪ X 2 , Φ 1 ∪ Φ 2 )eK 1 ∩ K 2 = (X 1 ∩ X 2 , Φ 1 ∩ Φ 2 ) .Le inclusioniΦ 1 ∩ Φ 2 ↩→ Φ α , Φ α ↩→ Φ 1 ∪ Φ 2 , α = 1, 2definiscono funzioni simplicialii α : K 1 ∩ K 2 −→ K α , j α : K α −→ K 1 ∪ K 2 , α = 1, 2che a loro volta definiscono gli omomorfismiĩ(n) : C n (K 1 ∩ K 2 ) → C n (K 1 ) ⊕ C n (K 2 ) , c ↦→ (C n (i 1 )(c), C n (i 2 )(c))˜j(n) : C n (K 1 ) ⊕ C n (K 2 ) → C n (K 1 ∪ K 2 ) ,(c, c ′ ) ↦→ C n (j 1 )(c) − C n (j 2 )(c ′ ) .Gli omomorfismi appena definiti hanno le proprietà seguenti:1. ĩ(n) è iniettivo;2. ˜j(n) è suriettivo;3. im ĩ(n) = ker ˜j(n);4. (d K 1n ⊕ d K 2n )ĩ(n) = ĩ(n − 1)d K 1∩K 2n ;5. ˜j(n − 1)(d K 1n ⊕ d K 2n ) = d K 1∪K 2n˜j(n).

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 79Così , la successione di complessi di catene0 → C(K 1 ∩ K 2 )ĩ˜j−→ C(K 1 ) ⊕ C(K 2 ) −→ C(K 1 ∪ K 2 ) → 0è esatta corta. Con una dimostrazione perfettamente analoga a quella delTeorema 2.2.2 otteniamo il risultato seguente:Teorema 2.2.4 (Mayer–Vietoris) Per qualsiasi n ∈ Z esiste un omomorfismoλ n : H n (K 1 ∪ K 2 ) −→ H n−1 (K 1 ∩ K 2 )tale che la successione infinita di gruppi di omologiasia esatta.. . . → H n (K 1 ∩ K 2 ) Hn(ĩ)−→ H n (K 1 ) ⊕ H n (K 2 )H n(˜j)−→ H n (K 1 ∪ K 2 ) λn−→ H n−1 (K 1 ∩ K 2 )(K 2 ) → . . .Prima di calcolare l’omologia di alcuni complessi simpliciali facciamo unaparentesi nella nostra esposizione per studiare alcuni fatti di carattere puramentealgebrico; questi fatti permetteranno una esposizione più agevole deirisultati che vogliamo presentare.Siano f, g : (C, d) → (C ′ , d ′ ) morfismi tra complessi di catene. Un’omotopiatra f e g è un morfismo s : C → C ′ tra gruppi graduati, di grado +1, chesoddisfa la relazione f − g = d ′ s + sd o, più precisamente(∀n ∈ Z) f n − g n = d ′ n+1s n + s n−1 d n .In questo caso diciamo che i morfismi f e g sono omotopi, il che è chiaramenteuna relazione di equivalenza. In particolare, il morfismo f è null-omotopo seesiste un’omotopia s tale che f = d ′ s + sd (dunque, f e g sono omotopi se esoltanto se f − g è null-omotopo).

80 CAPITOLO 2. OMOLOGIAProposizione 2.2.5 Se i morfismi di catene f, g : (C, d) → (C ′ , d ′ ) sonoomotopi, allora(∀n) H n (f) = H n (g) : H n C → H n C ′ .Dimostrazione – Per ogni ciclo z ∈ Z n C abbiamoH n f[z] = [f n (z)] = [g n (z)] + [d ′ n+1s n (z)] + [s n−1 d n (z)] = H n g[z]perchè d n z = 0 e d ′ n+1s n (z) è un bordo e quindi omologo allo zero.✷Il lettore è pregato di osservare che se f è null-omotopo, H n (f) = 0 perqualsiasi n.Prima di continuare, introduciamo alcuni tipi di complessi che useremonelle applicazioni. Diciamo che il complesso (C, d) è: libero, se tutti i gruppiC n sono gruppi abeliani liberi; positivo, se C n = 0 per n < 0. Il complesso dicatene C(K) associato ad un complesso simpliciale è libero e positivo.Un complesso positivo (C, d) ha un prolungamento a Z se esiste un epimorfismoε : C 0 → Ztale che εd 1 = 0. L’omomorfismo ε è detto omomorfismo di prolungamento.Un complesso (C, d) è detto aciclico se, per qualsiasi n ∈ Z, ker d n =im d n+1 cioè, se la successione· · · > C n+1d n+1> Cnd n> Cn−1 > · · ·è esatta. Un complesso positivo (C, d) con omomorfismo di prolungamento èaciclico se la successione· · · > C nd n> · · ·d 1> C 0 − ε − ≫ Z

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 81è esatta.Siano (C, d) , (C ′ , d ′ ) due complessi positivi con prolungamento a Z.Diciamo che un morfismo di catene f : (C, d) → (C ′ , d ′ ) è estensione di unomomorfismo ¯f : Z → Z se commuta il diagramma· · · > C 1d 1> C 0 − ε − ≫ Z¯ff 1∨· · · > C ′ 1d ′ 1f 0∨> C 0 ′ − −ε′∨≫ ZTeorema 2.2.6 Siano (C, d) e (C ′ , d ′ ) complessi come sopra, con l’aggiuntache (C, d) sia libero e (C ′ , d) sia aciclico. Allora ogni omomorfismo ¯f : Z →Z ha un’estensione f : (C, d) → (C ′ , d ′ ), univocamente definita a meno diomotopia di catene.Dimostrazione – Dato che l’omomorfismo di prolungamento ε ′ : C 0 ′ →Z è suriettivo, possiamo scegliere per ogni elemento x 0 della base di C 0un elemento di C 0 ′ che si proietta mediante ε ′ su ¯fε(x 0 ) il che definisce unomomorfismo f 0 : C 0 → C 0 ′ per il quale ¯fε = ε ′ f 0 . Sia ora x 1 un elementoarbitrario della base di C 1 . Siccomeε ′ f 0 d 1 (x 1 ) = ¯fεd 1 (x 1 ) = 0e im d ′ 1 = ker ε ′ esiste y 1 ′ ∈ C 1 ′ tale che d ′ 1(y 1) ′ = f 0 d 1 (x 1 ); con questo metodootteniamo un omomorfismo f 1 : C 1 → C 1 ′ tale che f 0 d 1 = d ′ 1f 1 .Assumiamo ora di avere costruito per induzione omomorfismi f i : C i → C i′che commutano con gli omomorfismi di bordo, per i ≤ n e consideriamo il

82 CAPITOLO 2. OMOLOGIAseguente diagramma:· · · > C n+1d n+1> Cnd n> Cn−1 > · · ·f n−1· · · > C ′ n+1nd ∨f ′ ∨n+1 d ′> C′ nn > C′n−1 > · · ·Per ogni x n+1 della base di C n+1 abbiamod ′ nf n d n+1 (x n+1 ) = f n−1 d n d n+1 (x n+1 ) = 0 ,cioè f n d n+1 (x n+1 ) ∈ ker d ′ n. Ne segue che f n d n+1 (x n+1 ) è un n-ciclo di (C ′ , d ′ )che è aciclico e quindi esiste un y ′ n+1 ∈ C ′ n+1 con d ′ (y ′ n+1) = f n d(x n+1 ). Seestendiamo linearmente x n+1 ↦→ y ′ n+1 otteniamo un omomorfismof n+1 : C n+1 → C ′ n+1 , d ′ n+1f n+1 = f n d n+1 ;con questo concludiamo la costruzione induttiva.Sia g : (C, d) → (C ′ , d ′ ) è un’altra estensione di ¯f.generatore qualsiasi x 0 di C 0 ,Allora, per unε ′ (f 0 − g 0 )(x 0 ) = 0 ;siccome ker ε ′ = im d ′ 1 esiste un elemento y 1 ∈ C 1 ′ tale che d ′ 1(y) = (f 0 −g 0 )(x 0 ). Definiamo s 0 : C 0 → C 1 ′ come s 0 (x 0 ) = y 1 sui generatori ed estendiamoquesta funzione linearmente su tutto il gruppo C 0 ; in questo modootteniamo un omomorfismo s 0 : C 0 → C 1 ′ tale che d ′ 1s 0 = f 0 − g 0 . Assumiamoche, per qualsiasi i = 1, · · · , n, siano stati definiti gli omomorfismis i : C i → C i+1 ′ aventi la proprietàd ′ i+1s i + s i−1 d i = f i − g i .

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 83Per un qualsiasi generatore x n+1 di C n+1d ′ n+1(f n+1 − g n+1 − s n d n+1 )(x n+1 ) = 0(perché d ′ n+1s n + s n−1 d n = f n − g n ); dunque esiste un elemento y n+2 ∈ C n+2′tale che(f n+1 − g n+1 − s n d n+1 )(x n+1 ) = d ′ n+2(y n+2 ) .Con questo argomento costruiamo un omomorfismo s n+1 : C n+1 → C n+2 ′ ealla fine di questo processo abbiamo una omotopia tra f e g.✷Corollario 2.2.7 Siano (C, d) e (C ′ , d ′ ) due complessi positivi con prolungamentoa Z; supponiamo che (C, d) sia libero e che (C ′ , d ′ ) sia aciclico. Sef : (C, d) → (C ′ , d ′ ) estende l’omomorfismo nullo di Z su se stesso, allora fè null-omotopo.Il teorema anteriore ed il suo corollario richiedano che il complesso dicatene (C ′ , d ′ ) sia aciclico; questa condizione è evidentemente molto restrittivama può essere sostituita da una condizione più debole ma comunquemolto importante, nell’ambito dei cosiddetti sostegni aciclici. Per questofacciamo alcune considerazioni preliminari. Un complesso di catene ( ˜C, ˜d) èun sottocomplesso di (C, d)notazione : ( ˜C, ˜d) ≤ (C, d)se, per qualsiasi n ∈ Z, ˜C n è un sottogruppo di C n e˜d n = d n | ˜C n : ˜C n −→) ˜C n−1 .Sia (C, d) un complesso libero dato. Per qualsiasi n ∈ Z, scegliamo uninsiemi di generatori di C n ,g n = {x n λ|λ ∈ Λ n } .

84 CAPITOLO 2. OMOLOGIASia ora dato un complesso di catene (C ′ , d ′ ) e sia S(C ′ ) l’insieme di tutti isottocomplessi di (C ′ , d ′ ). Un sostegno aciclico da (C, d) a (C ′ , d ′ ) (relativoalla scelta dei generatori g n ) è una funzioneS : g = ∪ n∈ Z g n −→ S(C ′ )tale che:1.(∀x n λ ∈ g n ) (S(x n λ), d ′ |S(x n λ))è aciclico;2. dato x n λ ∈ g n siad n (x n λ) = ∑ a λ ′x n−1λ ′ con a λ ′ ≠ 0 ;allora, S(x n−1λ ) é un sottocomplesso di ′S(xn λ).Si dice che il sostegno aciclico S è il em sostegno aciclico di una funzionedi complessi di catenese,Dunque, per qualsiasi x n λ ∈ g n , valef : (C, d) −→ (C ′ , d ′ )(∀x n λ ∈ g n )(f(x n λ) ∈ S(x n λ)gr(f(x n λ )) . 2f(d n (x n λ)) ∈ S(x n λ)gr(f(x n λ )) .Teorema 2.2.8 (sul sostegno aciclico) Sia S un sostegno aciclico tra duecomplessi positivi con omomorfismi di prolungamento (C, d) e (C ′ , d ′ ). Alloraogni omomorfismo ¯f : Z → Z ha un’estensione f : (C, d) → (C ′ , d ′ ) consostegno S, univocamente definita a meno di omotopia di catene.2 Rivedere la definizione di grado nella Sezione 1.2.

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 85Dimostrazione – Sia x 0 un generatore arbitrario di C 0 e sia S(x 0 ) ≤ (C ′ , d ′ )il sottocomplesso aciclico determinato da S; si noti che la restrizione di ε ′ aS(x 0 ) 0 è un omomorfismo di prolungamento di S(x 0 ). Siccome tale restrizioneè suriettiva, esiste un y 0 ∈ S(x 0 ) 0 tale che ε ′ (y 0 ) = ¯fε(x 0 ), l’argomento usualeproduce f 0 , che per costruzione ha sostegno S.La dimostrazione ora prosegue per induzione, come nel Teorema 2.2.6.Supponiamo di avere costruito gli omomorfismi f i : C i → C i ′ che commutanocon gli omomorfismi bordo, per i ≤ n. Osserviamo che per un generatorearbitrario x n+1 di C n+1d ′ nf n d n+1 (x n+1 ) == f n−1 d n d n+1 (x n+1 ) = 0 ;d’altro lato, f n d n+1 (x n+1 ) appartiene al sottocomplesso aciclicoS(x n+1 ) ≤ (C ′ , d ′ )e perciò, esiste un y n+1 ∈ C n+1 ′ ∩ S(x n+1 ) con d ′ n+1(y n+1 ) = f n d n+1 (x n+1 ). Lafunzione x n+1 ↦→ y n+1 si estende linearmente per dare luogo a un omomorfismof n+1 : C n+1 → C n+1 ′ con d ′ f n+1 = f n d.Anche la dimostrazione della seconda parte del risultato segue le orme diquella fatta in 2.2.6.✷Corollario 2.2.9 Siano (C, d) e (C ′ , d ′ ) due complessi positivi con prolungamentoa Z; supponiamo che (C, d) sia libero. Allora, qualsiasi omomorfismodi catene f : (C, d) → (C ′ , d ′ ) che estenda l’omomorfismo nullo di Z su sestesso e abbia un sostegno aciclico S è null-omotopo.

86 CAPITOLO 2. OMOLOGIAOra torniamo all’omologia simpliciale. Un complesso simpliciale K =(X, Φ) è detto connesso se(∀x, y ∈ X)(∃{x i 0, x i 1} ∈ Φ, i = 0, . . . , n) x 0 0 = x, x n 1 = y, x i 1 = x i+10 .Non è difficile dare esempi di complessi simpliciali che non siano connessi;questi però possono essere decomposti in parti connesse facendo le seguenticonsiderazioni.Dato un complesso simpliciale K = (X, Φ), si dice chedue vertici x, y ∈ X sono connessi se esiste una successione di 1-simplessi({x i 0, x i 1} ∈ Φ, i = 0, . . . , n) ove x 0 0 = x, x n 1 = y, x i 1 = x i+10 ; così abbiamo unarelazione di equivalenza nell’insieme X che pertanto si decompone in unaunione disgiunta di sottoinsiemiX = X 1 ⊔ X 2 ⊔ . . . ⊔ X k .Gli insiemiΦ i = {σ ∈ Φ|(∃x ∈ X i |x ∈ σ)} , i = 1, . . . , ksono disgiunti; inoltre, le coppie K i = (X i , Φ i ), i = 1, . . . , k sono sottocomplessisimpliciali di K. Si vede che la relazione di connessione divide ilcomplesso K in una unione di sottocomplessi simpliciali disgiunti detti componenticonnesse di K. In quest’ottica, un complesso K è connesso se, esoltanto se, ha una unica componente connessa.Lemma 2.2.10 Sono equivalenti le proprietà relative a un complesso simplicialeK = (X, Φ):1. K è connesso;2. H 0 (K) ≃ Z;3. il nucleo dell’omomorfismo di prolungamentoε : C 0 (K) → Z ,n∑n∑g i {x i } ↦→ g ii=1i=1

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 87coincide con il gruppo B 0 (K).Dimostrazione – 1. ⇒ 3. : Cominciamo per osservare che l’inclusioneB 0 (K) ⊂ ker εè sempre valida: infatti,k∑k∑ k∑ε(d 1 ( g i {x i 0, x i 1})) = g i − g i = 0 .i=0i=0 i=0Ora sia fissato un vertice x di K. La connessione di K si traduce nel fattoche per qualsiasi vertice y di K, gli 0-cicli {x} e {y} sono omologhi e perciò,per qualsiasi 0-catena c 0 = ∑ ki=0 g i {x i } esiste una 1-catena c 1 tale chek∑k∑g i {x i } − ( g i ){x} = d 1 (c 1 ) .i=0i=0Dunque se c 0 ∈ ker ε, è chiaro che c 0 ∈ B 0 (K).3. ⇒ 2. : Dati due 0-cicli omologhi z 0 e z 0, ′ dalla proprietà z 0 −z 0 ′ ∈ B 0 (K)concludiamo che ε(z 0 ) = ε(z 0) ′ e così possiamo definire l’omomorfismoθ : H 0 (K) → Z , z 0 + B 0 (K) ↦→ ε(z 0 )che si vede facilmente essere iniettivo (dal’ipotesi 3.). La suriettività di θè immediata: per qualsiasi g ∈ Z, θ(g{x} + B 0 (K)) = g, ove x ∈ X è unvertice fissato.2. ⇒ 1. : Sia K = K 1 ⊔ K 2 ⊔ . . . ⊔ K k la decomposizione di K nelle suecomponenti connesse. Dalle definizioni date e da ciò che abbiamo dimostratoanteriormente si ottiene chek∑k∑H 0 (K) ≃ H 0 (K i ) ≃i=1i=1Zma siccome H 0 (K) ≃ Z, dobbiamo avere k = 1 cioè, K è connesso.✷

88 CAPITOLO 2. OMOLOGIAI prossimi tre esempi sono esempi di complessi simpliciali astratti dettiaciclici perché i complessi di catene a cui essi danno luogo sono aciclici (nelsenso della definizione data anteriormente).Omologia dell’n-simplesso simpliciale – Dato X = {x 0 , x 1 , . . . , x n }consideriamo il complesso simplicialeσ(n) = (X, ℘(X)\∅)con ℘(X) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X; questo complesso è detto n-simplesso simpliciale. Siccome σ(n) è connesso, il lemma 2.2.10 ci garantisceche H 0 (σ(n)) = Z.Vogliamo dimostrare che H i (σ(n)) = 0 per qualsiasii > 0. Per arrivare a tanto, cominciamo per ordinare l’insieme X, assumendoche x 0 sia il primo elemento. Ora, per una qualsiasi intero 0 < j < n e unsimplesso ordinato {x i0 , . . . , x ij }, definiamo⎧⎪⎨ {x 0 , x i0 , . . . , x ij } 0 < i 0k j ({x i0 , . . . , x ij } =⎪⎩ 0 0 = i 0che estendiamo per linearità su tutte le j-catene di σ(n) e perciò, a unomomorfismok j : C j (σ(n)) −→ C j+1 (σ(n)) .Un semplice conto (sui simplessi di σ(n)) dimostra che per qualsiasi catenac ∈ C j (σ(n))d j+1 k j (c) + k j−1 d j (c) = ce perciò, qualsiasi z j ∈ Z j (σ(n)) è un bordo o, in altre parole, H j (σ(n)) = 0.Quanto a H n (σ(n)), si osservi che l’unico n-simplesso di σ(n) è σ(n) stessoche peraltro non può essere un ciclo e pertanto Z n (σ(n)) = 0. 33 (in altre parole, l’omomorfismo identità è null-omotopo.

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 89Omologia dell’n-cono simpliciale – Siano X = {x 0 , x 1 , . . . , x n+1 }, Φ =℘(X)\∅ e Φ n = {σ ∈ Φ| dim σ ≤ n}. Chiamiamo n-cono simpliciale divertice {x 0 } il complesso simplicialeC(n) = (X, Φ n \{x 1 , . . . , x n+1 } .Anche l’n-cono simpliciale è connesso e pertanto H 0 (C(n)) = Z; una dimostrazionesimile a quella usata per l’n-simplesso simpliciale ci fa vedereche H j (C(n)) = 0 per qualsiasi 0 < j < n. Quanto al caso j = n, si osserviche il vertice x 0 appartiene a qualsiasi n-simplesso di C n e perciò,(∀c ∈ C n (C(n)))c = k n−1 d n (c)cosa che ci permette di concludere che l’unico n-ciclo di C(n) è il ciclo banale0, cioè, H n (C(n)) = 0.Nel prossimo esempio ci riferiamo alla costruzione di un sostegno aciclico.Omologia del cono astratto – Sia K = (X, Φ) un complesso astrattofinito orientato tramite un ordinamento di X. Sia v un elemento nonappartenente a X. Il cono astratto di vertice v generato da K è il complessosimpliciale vK = (vX, vΦ) che ha per vertici tutti i vertici di K piùil vertice {v} e per simplessi, tutti i simplessi di K più i simplessi del tipovσ = {v, x i0 , . . . , x in } per σ = {x i0 , . . . , x in } ∈ Φ. Un n-simplesso (conn ≥ 1) può essere interpretato come il cono di una sua qualsiasi faccia.Lemma 2.2.11 I coni astratti vK sono complessi simpliciali aciclici.Dimostrazione – Sia v il complesso astratto con un unico vertice v e nessun’altrosimplesso; è evidente che v (considerato come un complesso simpliciale)è un complesso simpliciale aciclico. Il complesso di catene C(v) è un

90 CAPITOLO 2. OMOLOGIAsottocomplesso di C(vK); sia ι : C(v) → C(vK) l’inclusione. Consideriamola funzione simplicialec : vK → v , y ∈ vΦ ↦→ {v} .Si costata immediatamente che il morfismo di cateneC(c)ι : C(v) −→ C(v)coincide con l’omomorfismo identità di C(v) e perciò, per qualsiasi n ∈ Z,H n (c)H n (ι) è uguale all’identità. Dimostriamo che ιC(c) e l’omomorfismoidentità 1 C(vK) di C(vK) sono omotopi. Definiamos n : C n (vK) → C n+1 (vK)sugli n-simplessi orientati σ ∈ vΦ (interpretati come catene) tramite laformula⎧⎪⎨ 0 se v ∈ σ ,s n (σ) =⎪⎩ vσ se v ∉ σ ;s n si estende per linearità a un omomorfismo di C n (vK). Controlliamo orale proprietà di queste funzioni.Caso 1: n = 0 – Sia x un vertice arbitrario di vK.⎧⎪⎨ x − v se x ≠ v ,(1 C0 (vK) − ιC 0 (c))(x) =⎪⎩ 0 se x = v .⎧⎪⎨ x − v se x ≠ v ,d 1 s 0 (x) =⎪⎩ 0 se x = v .Caso 2: n > 0 – Sia σ un simplesso orientato arbitrario di vK. Cominciamoper osservare che se v non è un vertice di σ, allorad n+1 (vσ) = σ − vd n (σ) .

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 91Si osservi pure che ιC n (c)(σ) = 0.Caso 1: v ∉ σ –s n−1 d n (σ) + d n+1 s n (σ) = vd n (σ) + d n+1 (vσ) = σ ;Caso 2: v ∈ σ –s n−1 d n (σ) + d n+1 s n (σ) = s n−1 d n (σ) = σ ;dunque, ιC(c) e l’omomorfismo identità 1 C(vK) sono omotopi e a causa dellaProposizione 2.2.5, per qualsiasi n ∈ Z, H n (ι)H n (c) coincide con l’omomorfismoidentità.✷Ora cerchiamo di capire meglio l’omologia relativa H ∗ (K, L) di una coppiadi complessi simpliciali (K, L). Per fare questo dimostriamo un importanterisultato conosciuto con il nome 5-lemma.Lemma 2.2.12 (5-lemma)Supponiamo che il diagramma di gruppi abeliani ed omomorfismiAf> Bg> Ch> Dk> Eαβγδɛ∨ f ′ ∨ g ′ ∨∨∨A ′ > B ′ > C ′ h ′ > D ′ k ′ > E ′sia commutativo e che le righe siano esatte. Allora, se gli omomorfismi α,β, δ ed ɛ sono isomorfismi, lo è anche γ.Dimostrazione – Prendiamo un c ∈ C per il quale γ(c) = 0; allora δh(c) =h ′ γ(c) = 0 e, dato che δ è un isomorfismo, anche h(c) = 0; a causa dell’esattezza,

92 CAPITOLO 2. OMOLOGIAesiste un b ∈ B con g(b) = c e g ′ β(b) = γg(b) = 0, cioè esiste un a ′ ∈ A ′ conf ′ (a ′ ) = β(b); infinec = g(b) = gβ −1 f ′ (a ′ ) = gfα −1 (a ′ ) = 0e quindi γ è iniettiva. Sia ora c ′ ∈ C ′ arbitrario;kδ −1 h ′ (c ′ ) = ɛ −1 k ′ h ′ (c ′ ) = 0perciò esiste un c ∈ C con h(c) = δ −1 h ′ (c ′ ); inoltreh ′ (c ′ − γ(c)) = h ′ (c ′ ) − δδ −1 h ′ (c ′ ) = 0e quindi esiste un b ′ ∈ B ′ con g ′ (b ′ ) = c ′ − γ(c); addesso abbiamoγ(c + gβ −1 (b ′ )) = γ(c) + g ′ ββ −1 (b ′ ) = c ′ ;ne segue che γ è anche suriettiva.✷Come al solito, K = (X, Φ) e L = (Y, Θ) con Y ⊂ X e Θ ⊂ Φ. Sia l unpunto non appartenente agli insiemi dei vertici di K e di L. Sia CL il conoastratto lL. Dalle definizioni segue che K ∩ CL = L.Teorema 2.2.13 (∀n ≥ 1) H n (K, L) ∼ = H n (K ∪ CL).Dimostrazione – L’idea centrale della dimostrazione è di paragonare lasuccessione esatta di omologia della coppia (K, L) con la successione esattadi Mayer - Vietoris di K e CL e addoperare il 5-lemma; la notazione è quellagià adottata per il Teorema di Mayer - Vietoris.Consideriamo la funzione simpliciale f : K → CL definita sui vertici dallacondizione⎧⎪⎨ x se x ∈ Yf(x) =⎪⎩ l se x ∈ X \ Y .

2.2. OMOLOGIA SIMPLICIALE 93Ora, per ogni intero non-negativo n, definiamo gli omomorfismi˜k n : C n (K) → C n (K) ⊕ C n (CL) , c ↦→ (c, C n (f)(c))e˜h n : C n (K)/C n (L) −→ C n (K ∪ CL) ,c + C n (L) ↦→ C n (j 1 )(c) − C n (j 2 )C n (f)(c)(in altre parole, ˜h n (c + C n (L)) = ˜j n˜kn (c)). La funzione ˜h n è ben definitaperché se c ′ ∈ C n (K) fosse tale che c−c ′ ∈ C n (L), allora c−c ′ ∈ C n (K ∩CL)e perciò˜j n˜kn (c − c ′ ) = ˜j n ĩ n (c − c ′ ) = 0 .Le successioni di omomorfismi ˜h = {˜h n |n ≥ 0} e {˜k = {˜k n |n ≥ 0} sono omomorfismidi complessi di catene che producono un diagramma commutativoC(L) >C(i)−> C(K) −˜q− ≫ C(K, L)1˜k˜h∨∨∨C(K ∩ CL) > ĩ−>˜jC(K) ⊕ C(CL) −−≫ C(K ∪ CL)Siccome CL è un complesso simpliciale aciclico otteniamo, per qualsiasin ≥ 2, il diagramma commutativo di gruppi abelianiH n (L) > H n (K) > H n (K, L) > H n−1 (L) > H n−1 (K)1∼=γ1∼=∨∨∨∨∨H n (L) > H n (K) > H n (K ∪ CL) > H n−1 (L) > H n−1 (K)e per il 5-lemma concludiamo che γ è un isomorfismo; nel caso in cui n = 1,l’ultima freccia verticale è un omomorfismo iniettivoH 0 (K) −→ H 0 (K) ⊕ Z

94 CAPITOLO 2. OMOLOGIAe nuovamente, con un argomento simile al 5-lemma, γ è un isomorfismo.✷Esercizi:1. Calcolare i gruppi di omologia del cilindro X = S 1 × I.2. La n-sfera simpliciale è il complesso simplicialeΣ n = ∂(σ n ) = (σ n , Φ)con σ n = {x 0 , x 1 , . . . , x n+1 } e Φ = ℘(X)\{∅, {x 0 , x 1 , . . . , x n+1 }}. Dimostrareche⎧⎪⎨ Z , p = 0, nH p (∂(σ n )) =⎪⎩ 0 , p ≠ 0, n .3. Sia K un complesso simpliciale finito. Per ogni 0 ≤ n ≤ dim K, sia s(n) ilnumero degli n-simplessi di K. Dimostrare cheIl numerodim K ∑n=0(−1) n s(n) =χ(K) =dim K ∑n=0dim K ∑n=0è la caratteristica di Euler-Poincaré di K.(−1) n β(n) .(−1) n β(n)4. Calcolare i gruppi di omologia delle seguenti superfici. (Si consiglia al lettoredi rivedere gli esercizi della Sezione 2.1 prima di cimentarsi nel calcolo diquesti gruppi di omologia.)a) nastro di Möbius;b) X = S 1 × S 1 (toro);b) bottiglia di Klein;

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 95d) IRP 2 (piano proiettivo reale);e) G 2 ottenuta aggiungendo due manici alla sfera S 2 .5. Calcolare i numeri di Betti e la caratteristica di Euler-Poincaré delle superficidell’esercizio anteriore.6. Sia K un complesso simpliciale dato. Per due elementi distinti l e l ′ nonappartenenti a K, costruiamo i coni astratti CK = lK e C ′ K = l ′ K. Siosservi che CK ∪ C ′ K = K. Il complesso simpliciale astrattoΣK = CK ∪ C ′ Kè detto sospensione di K.Vietoris cheDimostrare, tramite la successione di Mayer-(∀n > 1)H n (ΣK) ∼ = H n−1 (K) .2.3 Omologia dei PoliedriCominciamo questa sezione ricordando che le realizzazioni geometriche di unpoliedro e di una sua suddivisione baricentrica sono omeomorfe; uno dei nostriobiettivi è quello di dimostrare che dati due complessi simpliciali K e L finiti,e una mappa f : |K| → |L| esiste una funzione simpliciale di una suddivisionebaricentrica K (r) a L la cui realizzazione geometrica è omotopa alla compostadi f con l’omeomorfismo appropriato tra K (r) e K. L’interesse nell’ottenerequesta “approssimazione simpliciale” a f risiede nel fatto che in questo modopossiamo definire un funtore dalla categoria dei poliedri a quella dei gruppigraduati abeliani. Questo è fatto in grandi linee nel modo seguente. Associamoa un poliedro |K| il gruppo graduato abeliano H ∗ (K, Z); la mappa f daluogo a un omomorfismo tra i gruppi graduati corrispondenti che provienedalla “approssimazione” di f. Con tutto questo, non ci deve sorprendere

96 CAPITOLO 2. OMOLOGIAil fatto che possiamo definire anche il concetto di omotopia tra morfismi dicatene, parallelo all’omotopia di mappe tra spazi. Vedremo poi alcune conseguenzedi questo importante risultato. Tutti i nostri complessi simplicialisono orientati.Ancora una volta facciamo presente al lettore che un complesso simplicialeK definisce un complesso di catene (C(K), d K ) positivo, libero e conomomorfismo di prolungamento ε : C 0 (K) → Z. In particolare, se il complessosimpliciale K è aciclico (per esempio, K è un simplesso, un n-conosimpliciale o un cono astratto), allora il complesso di catene (C(K), d K ) èaciclico.Due funzioni simpliciali f, g : K = (X, Φ) → L = (Y, Θ) sono dettecontigue se(∀σ ∈ Φ)(∃¯σ ∈ Θ) f(σ) ⊂ ¯σ , g(σ) ⊂ ¯σ .Per ogni n-simplesso σ ∈ Φ (un generatore di C n (K)), sia ¯σ il più piccolosimplesso di L che contiene ambi i simplessi f(σ) e g(σ). Definiamo (S(σ), d σ )come il complesso di catene con⎧⎪⎨ C n (¯σ) , n ≥ 0S(σ) n =⎪⎩ 0 , n < 0 .Siccome ¯σ è un complesso simpliciale aciclico, ne segue che S è un sostegnoaciclico tra C(K) e C(L). Inoltre, S è un sostegno aciclico di C(f) − C(g):infatti, se x è un vertice di K tale che f(x) ≠ g(x), la contiguità tra f e ggarantisce l’esistenza di un simplesso ¯σ di L che contiene ambi i vertici f(x)e g(x) e perciò(C 0 (f) − C 0 (g))(x) ∈ C 0 (¯σ) = S(x) 0 .Più generalmente, per un qualsiasi generatore σ di C(K), è facile dimostrareche(C(f) − C(g))(σ) ⊂ S(σ)

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 97cioè, il sostegno aciclico S sopra è un sostegno aciclico per l’omomorfismo dicatene C(f) − C(g).Teorema 2.3.1 Se f, g : K → L sono contigue, H n (f) = H n (g) per qualsiasin ∈ Z.Dimostrazione – Per cominciare dimostriamo che l’omomorfismo di cateneC(f) − C(g) : C(K) → C(L)estende l’omomorfismo 0 : Z → Z. Infatti, sia x un vertice di K; se f(x) =g(x), allora (C 0 (f) − C 0 (g))(x) = 0; altrimenti, se f(x) ≠ g(x),ɛ ′ (C 0 (f) − C 0 (g))(x) = ɛ ′ (f(x) − g(x)) = 0e dunque, C(f) − C(g) estende 0. Il Corollario 2.2.9, ci permette di concludereche C(f) − C(g) è null-omotopo. La dimostrazione si conclude conl’aiuto del Teorema 2.2.5.✷Il Teorema 2.1.6 ci ha detto che le realizzazioni geometriche di un complessosimpliciale finito e di una sua suddivisione baricentrica sono omeomorfe;in seguito si vedrà che i gruppi di omologia dei complessi simpliciali non sialterano (a meno di isomorfismo) per suddivisione baricentrica.Per un complesso simpliciale K, chiamiamo di proiezione di K (1) su Kad una qualsiasi funzione π che porta ogni vertice di K (1) (cioè un simplessodi K) in un suo vertice; una tale funzione è infatti una funzione simplicialedi K (1) su K: se{σ i0 , · · · , σ in } ∈ Φ (1) , con σ i0 ⊂ · · · ⊂ σ in ,

98 CAPITOLO 2. OMOLOGIAπ({σ i0 , · · · , σ in }) ⊂ σ in e siccome quest’ultimo è un simplesso di K, concludiamoche π({σ i0 , · · · , σ in }) ∈ Φ. Dal punto di vista dell’omologia la scelta diun vertice per ogni simplesso è assolutamente indifferente perché se π ′ fosseun’altra proiezione,π({σ i0 , · · · , σ in }) ⊂ σ inπ ′ ({σ i0 , · · · , σ in }) ⊂ σ inper qualsiasi {σ i0 , · · · , σ in } ∈ Φ (1) , e perciò, le proiezioni π e π ′ sarebberocontigue. Dovuto a queste considerazioni, scegliamo π come la funzione cheassocia a ogni simplesso di K il suo ultimo vertice.Teorema 2.3.2 Sia π : K (1) → K una proiezione. Allora H n (π) è unisomorfismo, per qualsiasi n ∈ Z.Dimostrazione – La proiezione π produce un omomorfismo di complessi dicateneC(π) : C(K (1) ) −→ C(K) ;il nostro obiettivo è quello di trovare un omomorfismo di cateneλ : C(K) −→ C(K (1) )tale che λC(π) sia omotopo a 1 C(K (1) ) e C(π)λ sia omotopo a 1 C(K) .Il morfismo λ non proviene da una funzione simpliciale ed è definito induttivamentecome segue. Siccome i vertici di K sono anche vertici di K (1) ,definiamo λ 0 sui generatori {x} di C 0 (K) come λ 0 ({x}) = {x}. Supponiamoche per qualsiasi i = 1, . . . , n − 1 abbiamo definito λ i in tal modo cheλ i−1 d K i= d K(1)i λ i .

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 99Definiamo λ n per i generatori σ n di C n (K) (ossia sugli n-simplessi orientatidi K) tramite la formulaλ n (σ n ) := b(σ n )λ n−1 (d K n (σ n ))dove b(σ n ) è il baricentro di σ n (perciò, un vertice di K (1) ) eb(σ n )λ n−1 (d K n (σ n ))rappresenta la n-catena costruita prendendo il cono astratto di vertice b(σ n )di ogni componente della (n − 1)-catena λ n−1 (d K n (σ n )). L’unica cosa importanteda dimostrare è che λ n−1 d K n= d K(1)n λ n . Ma questo è immediato:d K(1)n (λ n (σ n )) = λ n−1 (d K n (σ n )) − b(σ n )d K(1)n−1 (λ n−1 (d K n (σ n )))= λ n−1 (d K n (σ n ))perché d K(1)n−1 λ n−1 = λ n−2 d K n−1. Chiamiamo λ : C(K) −→ C(K (1) ) di omomorfismodella suddivisione baricentrica.Per verificazione diretta si ottiene l’uguaglianza C(π)λ = 1 C(K) . In seguitodimostreremo che 1 C(K (1) ) − λC(π) è null-omotopo donde, per la Proposizione2.2.5, λ ∗ H ∗ (π) = 1 . Per semplicità chiameremo 1 C(K (1) ) con 1, K (1)con K ′ e d K(1)ngenerica σ ′ n.con d ′ n; gli n-simplessi di K ′ saranno indicati con l’espressioneSia ε : C 0 (K ′ ) → Z l’omomorfismo di prolungamento del complesso dicatene (C(K ′ ), d ′ ); siccomeɛ((1 − λ 0 C 0 (π))(σ n ) = ɛ(σ n − {x n }) = 01 − λC(π)) è una estensione dell’omomorfismo banale da Z su se stesso.D’altro canto, ad ogni generatoreσ ′ n = {σ 0 , . . . , σ n }

100 CAPITOLO 2. OMOLOGIAdi C n (K ′ ), associamo il complesso di catene S(σ ′ n) ≤ C(K ′ ) definito daigruppi liberi⎧⎪⎨ CS(σ n) ′ i ((σ n ) (1) ) , i ≥ 0i =⎪⎩ 0 , i < 0 .Il complesso (σ n ) (1) è la prima suddivisione baricentrica di σ n e perciò è uncomplesso aciclico perché può essere interpretato come il cono astratto convertice nel baricentro di σ n relativo al “bordo” di (σ n ) (1) (vedere la Sezione2.2); dunque il complesso di cateneS(σ ′ n) ≤ C(K ′ )appena definito è aciclico. Abbiamo cosìottenuto un sostegno aciclico daC(K ′ ) su sé stesso. Affermiamo che S è un sostegno aciclico di 1 − λC(π).Infatti, per un vertice arbitrario σ n = {x 0 , . . . , x n } di K ′(1 − λ 0 C 0 (π))(σ n ) = σ n − {x n } ∈ C 0 (σ (1)n ) = S(σ ′ n) 0 ;le definizioni date garantiscono che per qualsiasi n ≥ 1,(1 − λ n C n (π))(σ ′ n) ∈ S(σ ′ n) .La dimostrazione si conclude con l’aiuto del Corollario 2.2.9.✷Questo risultato può essere esteso per iterazione: sia K (r) la r ma -suddivisionebaricentrica di K e siala composizione di proiezioniK (r)π r : K (r) → Kπ−→ K (r−1)π−→ . . .π−→ K .Allora, per qualsiasi n ≥ 0,H n (π r ) : H n (K (r) , Z) → H n (K, Z)

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 101è un isomorfismo.Una funzione simpliciale g : K (r) → L è detta approssimazione simplicialedi una mappa f : |K| −→ |L| se(∀p ∈ |K (r) )|) |g|(p) ∈ |s(fF (p))|dove F : |K (r) )| ∼ = |K| è l’omeomorfismo definito nel Teorema 2.1.6. Identificando|K| con |K (r) | possiamo dire che g : K (r) → L è una approssimazionesimpliciale di f se(∀p ∈ |K (r) )|) |g|(p) ∈ |s(f(p))|.L’importante risultato qui appresso ci dice che qualsiasi mappa f : |K| →|L| possiede una approssimazione simpliciale.Teorema 2.3.3 (approssimazione simpliciale) SianoK = (X, Φ) e L = (Y, Θ)due complessi simpliciali (finiti) e sia f : |K| → |L| una mappa. Allora esistanoun intero r ≥ 0 e una funzione simpliciale g : K (r) → L che approssimasimplicialmente f.Dimostrazione – Prendiamo il ricoprimento finito aperto {A(y)|y ∈ Y }di |L| (leggere le osservazioni che precedono il Lemma 2.1.8) e sia ε il numerodi Lebesgue (vedere il Teorema 1.1.19) del ricoprimento aperto finito{f −1 {A((y)}|y ∈ Y } di |K|. Sia r un intero positivo tale che diam |K (r) |

102 CAPITOLO 2. OMOLOGIAe così possiamo ottenere una funzioneg : K (r) −→ L , g(σ) = y .La funzione g è simpliciale: per qualsiasi simplesso {σ 0 , . . . , σ n } di K (r) ,n⋂A(σ i ) ≠ ∅i=0(Lemma 2.1.8); d’altro lato,(∀i = 0, . . . , n) A(σ i ) ⊂ (fF ) −1 (A(g(σ i )))e perciò dan⋂n⋂A(σ i ) ⊂ (fF ) −1 ( A(g(σ i )))i=0i=0concludiamo chen⋂A(g(σ i )) ≠ ∅i=0e nuovamente tramite il Lemma 2.1.8 otteniamo che{g(σ 0 ), . . . , g(σ n )} ∈ Θ .Ora dobbiamo dimostrare che g è una approssimazione simpliciale di f.Per un qualsiasisi han∑p = α i σ i ∈ |K (r) |i=0(∀i = 0, . . . , n) p ∈ A(σ i ) ⇒ fF (p) ∈ fF (A(σ i )) ⊂ A(g(σ i ))cioè, {g(σ 0 ), . . . , g(σ n )} ⊂ s(fF (p)). Siccomen∑|g|(p) = α i g(σ i )i=0possiamo concludere che |g|(p) ∈ |s(fF (p))|.✷

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 103Il Teorema dell’approssimazione simpliciale appena dimostrato non garantiscel’unicità della funzione simpliciale che approssima la mappa data; questoperò è irrilevante tanto dal punto di vista omotopico quanto da quello algebrico(omologico) come si vedrà a seguito.Teorema 2.3.4 La realizzazione geometrica di una approssimazione simplicialeg : K (r) → L a una mappa f : |K| → |L| è omotopa a fF .Dimostrazione – Per definizione, dato un qualsiasi p ∈ |K|, il segmento conestremi fF (p) e |g|(p) è contenuto totalmente nello spazio convesso (vedereTeorema 2.1.1) |s(fF (p))| ⊂ |L|. La mappaH : |K| × I → |L| , H(p, t) = tfF (p) + (1 − t)|g|(p)è una omotopia tra fF e |g|.✷Teorema 2.3.5 Siano g : K (r) → L e g ′ : K (s) → L due approssimazionisimpliciali di una mappa f : |K| → |L|. Supponiamo che s < r e cheπ (r,s) : K (r) → K (s) sia una composizione di proiezioni. Allora le funzionisimplicialig : K (r) → L e g ′ π (r,s) : K (r) → Lsono contigue.Dimostrazione – Si deve dimostrare che per qualsiasi simplesso σ ∈ Φ (r)esiste un simplesso ¯σ ∈ Θ tale cheg(σ) ⊂ ¯σ e g ′ π (r,s) (σ) ⊂ ¯σ .

104 CAPITOLO 2. OMOLOGIAPer ogni σ ∈ Φ (r) prendiamo il suo baricentro b(σ) e definiamo¯σ = s(f(b(σ))) .Siccome g è un’approssimazione simpliciale di f,|g|(b(σ)) ∈ |s(f(b(σ)))| ;ma g(σ) è il più piccolo simplesso di L la cui realizzazione geometrica contieneil punto |g|(b(σ)) e perciò, g(σ) ⊂ ¯σ.D’altro canto, sia P (σ) il più piccolo simplesso di K (s) tale che |σ| ⊂|P (σ)|. Chiaramente|π (r,s) (σ)| ⊂ |P (σ)|e|g ′ (π (r,s) (σ))| ⊂ |g ′ (P (σ))| .Dal fatto che b(σ) ∈ |σ| ⊂ |P (σ)| concludiamo che|g ′ |(b(σ)) ∈ |g ′ (P (σ))|e perciò,|g ′ (P (σ))| ⊂ |s(f(b(σ)))|perché appunto |g ′ |(b(σ)) ∈ |s(f(b(σ)))|. Da tutto ciò si conclude che|g ′ (π (r,s) (σ))| ⊂ |s(f(b(σ)))|e di conseguenza, g ′ (π (r,s) (σ)) ⊂ s(f(b(σ))).✷Corollario 2.3.6 Una mappa f : |K| → |L| definisce in modo unico unomomorfismo di gruppi graduatif ⋆ : H ⋆ (K) −→ H ⋆ (L) .

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 105Dimostrazione – Per una qualsiasi approssimazione simpliciale g : K (r) →L di f poniamof ⋆ = H ⋆ (g)(H ⋆ (π (r) )) −1 : H ⋆ (K) → H ⋆ (L)ove π (r) è una composizione di proiezioni. Supponiamo che g ′ : K (s) → Lsia un’altra approssimazione simpliciale di f, con s < r. La contiguità dellefunzioni simpliciali g e g ′ π (r,s) (fatto garantito dal Teorema anteriore) ci dicecheH ⋆ (g ′ π (r,s) ) = H ⋆ (g)(cfr. Corollario 2.3.1). Ma π (r) = π (s) π (r,s) e perciò,H ⋆ (g ′ )(H ⋆ (π (s) )) −1 = H ⋆ (g)(H ⋆ (π (r) )) −1 = f ⋆ .✷Dimostriamo ora che l’omomorfismo f ⋆ : H ⋆ (K) → H ⋆ (L) definito da unamappa f : |K| → |L| è un’invariante omotopico. Più precisamente, vale ilrisultato seguente:Teorema 2.3.7 Siano f, g : |K| → |L| mappe omotope date. Allora f ⋆ = g ⋆ .Dimostrazione – Sia H : |K| × I → |L| l’omotopia che lega f a g; supponiamoche H i 0 = f e H i 1 = g, ove i 0 e i 1 sono le mappei α : |K| → |K| × I , p ↦→ (p, α) , α = 0, 1 .Ora rappresentiamo l’intervallo I = [0, 1] come la realizzazione geometricadel complessoI = (I, Υ) , I = {0, 1} , Υ = {{0}, {1}, {0, 1}} .

106 CAPITOLO 2. OMOLOGIACosì, con l’apposita identificazione |K × I| ≡ |K| × I (cfr. Teorema 2.1.9)possiamo assumere che i 0 e i 1 sono le realizzazioni geometriche della funzionisimplicialiĩα : K → K × Iche portano gli 0-simplessi {x} di K negli 0-simplessi {(x, α)} di K × I.Per verificare il teorema ci basta dimostrare che ĩ0 e ĩ1 sono contigue. Conquesto obiettivo cominciamo per assumere che X = {x 0 , x 1 . . . , x r } e chex 0 < x 1 < . . . < x r . Per ognuno degli interi n = 0, . . . , r + 1 definiamo lefunzioni simplicialif n : K → K × I⎧⎪⎨ {(x i , 0)} , i < n ,f n ({x i }) =⎪⎩ {(x i , 1)} , i ≥ n .Queste funzioni hanno le proprietà seguenti:1. (∀n = 0, . . . , r − 1) f n e f n+1 sono contigue;2. f r+1 = ĩ0 e f 0 = ĩ1.Per dimostrare la prima proprietà prendiamo arbitrariamenteσ = {x i0 , . . . , x ik } ∈ Φtale chex i0 < x i1 < . . . < x n−1 < x n < x n+1 < . . . < x ik .La definizione di f n e f n+1 ci dice chef n (σ) = {(x i0 , 0), . . . , (x n−1 , 0), (x n , 1), . . . , (x ik , 1)}ef n+1 (σ) = {(x i0 , 0), . . . , (x n , 0), (x n+1 , 1), . . . , (x ik , 1)}

2.3. OMOLOGIA DEI POLIEDRI 107e ambi gli insiemi f n (σ) e f n+1 (σ) sono sottoinsiemi di{(x i0 , 0), . . . , (x n−1 , 0), (x n , 0), (x n , 1), . . . , (x ik , 1)} .✷Corollario 2.3.8 I gruppi di omologia di due poliedri dello stesso tipo diomotopia sono isomorfi.Dimostrazione – Sia f : |K| → |L| una equivalenza di omotopia con inversodi omotopia f ′ : |L| → |K|. Allora f ⋆ f ′ ⋆ = 1 e f ′ ⋆f ⋆ = 1.✷Concludiamo questa sezione con una osservazione. Sia HP la categoriadei poliedri e delle classi di omotopia delle mappe tra poliedri. Il Corollario2.3.6 ed il Teorema 2.3.7 ci permettono di concludere che l’omologiasimpliciale determina un funtoreH ⋆ : HP −→ Ab Z .Esercizi:1. Dimostrare (tramite il teorema dell’approssimazione simpliciale) che l’insieme[|K|, |L|] delle classi di omotopia delle mappe da un poliedro |K| ad unpoliedro |L| è numerabile.2. Siano |K| , |L| due poliedri connessi per cammini. Dimostrare cheH n (|K| ∨ |L|) ∼ = H n (|K|) ⊕ H n (|L|)per qualsiasi 0 ≤ n ≤ max.(dim(|K|), dim(|L|)).

108 CAPITOLO 2. OMOLOGIA

Capitolo 3Omologia con coefficienti3.1 Omologia con coefficientiNella Sezione 2.2 abbiamo studiato l’omologia dei dei complessi simplicialiastratti K determinata dai complessi di catene (C(K), d) = {C n (K), d K n |n ∈Z}, con C n (K) definiti come i gruppi abeliani liberi delle combinazioni lineariformali finite a coefficienti in Z degli n-simplessi di K. Ora vogliamoestendere la nostra omologia con coefficienti nel gruppo abeliano Z a unaomologia nella quale lavoriamo con coefficienti tratti da un gruppo abelianoarbitrario G; come vedremo presto, ciò non solo è possibile ma saremo anchecapaci di trasformare questa omologia a coefficienti in G in un funtore checapovolge il verso dei morfismi e che possiede delle proprietà particolarmenteinteressanti (questa è la cosiddetta coomologia).Per fare partire la costruzione dell’omologia a coefficienti in G di un complessosimpliciale orientato K è necessario rivedere la costruzione del prodottotensoriale di due gruppi abeliani A, B: per definizione, A ⊗ B è il gruppoabeliano generato dall’insieme di elementi{a ⊗ b|a ∈ A , b ∈ B}109

110 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIcon le relazioni (∀a, a ′ ∈ A , b, b ′ ∈ B)1. (a + a ′ ) ⊗ b = a ⊗ b + a ′ ⊗ b ,2. a ⊗ (b + b ′ ) = a ⊗ b + a ⊗ b ′ .Si noti che la funzioneA ⊗ Z → A , a ⊗ n ↦→ naè un isomorfismo di gruppi, cioè A ⊗ Z ∼ = A (analogamente, Z ⊗ A ∼ = A). Illettore può dimostrare facilmente che(A ⊕ B) ⊗ C ∼ = (A ⊗ C) ⊕ (B ⊗ C)per qualsiasi terna di gruppi abeliani (A, B, C). Finalmente, dati gli omomorfismidi gruppiφ : A → A ′ e ψ : B → B ′la funzioneφ ⊗ ψ : A ⊗ B → A ′ ⊗ B ′ , φ ⊗ ψ(a ⊗ b) := φ(a) ⊗ ψ(b)è un omomorfismo di gruppi abeliani.Così con un gruppo abeliano fissato G possiamo costruire un funtorecovariante− ⊗ G : Ab → Abche trasforma un gruppo A in A ⊗ G e un morfismo φ : A → B nel morfismoφ ⊗ 1 G .Estendiamo il funtore appena definito ai complessi di catene: per esempio,trasformiamo il complesso di catene (C(K), d) nel complesso (C(K) ⊗ G, d ⊗1 G ) prendendo, per qualsiasi n ∈ Z,(C(K) ⊗ G) n := C n (K) ⊗ G

3.1. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI 111e definendo gli omomorfismiSiccome(d ⊗ 1 G ) n := d n ⊗ 1 G : C n (K) ⊗ G → C n−1 (K) ⊗ G .(d ⊗ 1 G ) n−1 (d ⊗ 1 G ) n = (d n−1 ⊗ 1 G )(d n ⊗ 1 G ) = d n−1 d n ⊗ 1 G = 0concludamo che (C(K) ⊗ G, d ⊗ 1 G ) è un complesso di catene i cui gruppi diomologia sono i gruppi di omologia di K a coefficienti in G. Per completezzaricordiamo al lettore che l’ennesimo gruppo di omologia di K a coefficientiin G è definito dal gruppo quozienteH n (K; G) = ker(d n ⊗ 1 G )/ im(d n+1 ⊗ 1 G ) .L’importante è paragonare questi gruppi di omologia con i corrispondentigruppi di omologia a coefficienti in Z. A questo punto dobbiamo fare alcuneconsiderazioni preliminari. Diciamo che H(K; G) è l’omologia di K.È facile capire che per ogni n ≥ 0 abbiamo una successione esatta cortadi gruppi abeliani liberid nZ n (K) >−> C n (K) − −≫ Bn−1 (K)Il fatto cruciale è che tensorizzando ogni componente di questa successioneesatta con G otteniamo ancora una successione esatta corta. Infatti, abbiamoil seguente risultato più generaleLemma 3.1.1 SeA >f−> B −g−≫ Cè una successione esatta corta di gruppi liberi e G un gruppo abeliano, alloraancheè una successione esatta.f ⊗ 1 G g ⊗ 1 GA ⊗ G > − > B ⊗ G − − ≫ C ⊗ G

112 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIDimostrazione – Incominciamo osservando che il gruppo C è libero e quindipossiamo definire una mappa s : C → B semplicemente scegliendo perogni elemento di una base di C come immagine un elemento della sua controimmaginemediante g. Il composto gs : C → C è identità sugli elementidella base e quindi è identità anche su tutto il gruppo. Ne segue cheg(1 B − sg) = g − (gs)g = 0, cioè l’immagine di 1 B − sg è contenuto nelker g = im f, perciò possiamo definire la mappa r := f −1 (1 B − sg) : B → Ache soddisfa anche rf = f −1 (1 B − sg)f = 1 A . Così abbiamo ottenuto lerelazionirf = 1 A gs = 1 C e fr + sg = 1 BSapiamo che il prodotto tensore con G è un funtore e che trasforma sommedi omomorfismi in somme di omomorfismi trasformati, perciò tensorizzandootteniamo le relazioni(r ⊗ 1 G )(f ⊗ 1 G ) = 1 A⊗G (g ⊗ 1 G )(s ⊗ 1 G ) = 1 C⊗Ge(f ⊗ 1 G )(r ⊗ 1 G ) + (s ⊗ 1 G )(g ⊗ 1 G ) = 1 B⊗G .La prima ci dice che (f ⊗ 1 G ) è iniettiva, la seconda che (g ⊗ 1 G ) è suriettivae la terza che im(f ⊗ 1 G ) = ker(g ⊗ 1 G ) perchè, se per un x ∈ B ⊗ G vale(g ⊗ 1 G )(x) = 0, allorax = (f ⊗ 1 G )(r ⊗ 1 G )(x) + (s ⊗ 1 G )(g ⊗ 1 G )(x) == (f ⊗ 1 G )((r ⊗ 1 G )(x)) ∈ im(f ⊗ 1 G ) .✷

3.1. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI 113Useremo questo lemma per costruire una successione esatta corta di complessidi catene. Cominciamo per notare che per qualsiasi intero non-negativon e per ogni complesso simpliciale astratto K la successione di gruppi abelianiliberid nZ n (K) >−> C n (K) − −≫ Bn−1 (K)è esatta corta; dunque, per il lemma anteriore,d n ⊗ 1 GZ n (K) ⊗ G >−> C n (K) ⊗ G − − ≫ B n−1 (K) ⊗ Gè esatta corta. Ora passiamo ai complessi di catene. SianoZ(K) = {Z n (K)|n ≥ 0} e B(K) = {B n (K)}rispettivamente i gruppi abeliani graduati definiti dai cicli e dai bordi delcomplesso di catene C(K); in congiunzione con (K) consideriamo il gruppoabeliano graduatoB(K) ˜ = { B(K) ˜n:= B n−1 (K)} .Ora prendiamo i complessi di catene(Z(K) ⊗ G, 0) , ( ˜ B(K) ⊗ 0) e (C(K) ⊗ G, d ⊗ 1 G )(dove 0 è l’omomorfismo banale) e osserviamo, in base alle osservazionianteriori che la seguente successione di complessi di catene è esatta corta:(Z(K) ⊗ G, 0) >−> (C(K) ⊗ G, d ⊗ 1 G ) −−≫ ( ˜ B(K) ⊗ G, 0) .Con una dimostrazione analoga a quella data per il Teorema della SuccessioneEsatta Lunga per una coppia di complessi simpliciali (vedere il Teorema2.2.2) possiamo dimostrare che questa successione esatta corta di complessidi catene da origine ad una successione esatta lunga di gruppi di omologia; qui

114 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIè d’uopo osservare che nella successione esatta corta in questione, il primo edil terzo complesso hanno i morfismi di bordo banali, perciò la loro omologiaè di nuovo Z(K) ⊗ G e˜ B(K) ⊗ G rispettivamente mentre l’omologia delsecondo complesso è esattamente l’omologia di K con coefficienti in G, ossiaH(K; G). Dunque, abbiamo la successione esatta lungaH n (K; G)· · · > B n (K) ⊗ G i n ⊗ 1 G>Zn (K) ⊗ G j n>h n>Bn−1 (K) ⊗ G i n−1 ⊗ 1 G>Zn−1 (K) ⊗ G > · · ·dove i n è l’inclusione di B n (K) in Z n (K) e j n è l’omomorfismo indottodall’inclusione Z n (K) → C n (K) (il lettore è pregato di osservare che l’omomorfismodi connessione ˜λ n+1 del Teorema 2.2.2 coincide con i n ⊗ 1 G ).Siccome im j n = ker h n concludiamo che, per qualsiasi n ≥ 0, la seguentesuccessione è esatta corta:Si osservi cheil gruppo quozienteh nim j n > −> H n (K; G) −−≫ im h n .im j n∼ = Zn (K) ⊗ G/ ker j n = Z n (K) ⊗ G/ im(i n ⊗ 1 G ) ;Z n (K) ⊗ G/ im(i n ⊗ 1 G ) := coker(i n ⊗ 1 G )è detto conucleo di i n ⊗ 1 G . Siccome im h n = ker(i n−1 ⊗ 1 G ), l’ultimasuccessione esatta corta si scrive nella formacoker(i n ⊗ 1 G ) >−> H n (K; G) −−≫ ker(i n−1 ⊗ 1 G ) .Il primo ed il terzo termine della successione esatta di sopra possono essereinterpretati diversamente; cominciamo per dimostrare checoker(i n ⊗ 1 G ) ∼ = H n (K) ⊗ G .

3.1. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI 115Infatti, siccome per definizione coker(i n ⊗ 1 G ) = Z n (K) ⊗ G/ im(i n ⊗ 1 G )esiste un’omomorfismoφ : coker(i n ⊗ 1 G ) → H n (K) ⊗ Gdefinito sui generatori come φ[z ⊗ g] := p(z) ⊗ g (dove p : Z n (K) → H n (K)è la proiezione naturale). Dall’altro canto, per un y ∈ H n (K) possiamoscegliere un x ∈ p −1 (y) ⊆ Z n (K) e definireψ : H n (K) ⊗ G → coker(i n ⊗ 1 G )sui generatori con g(y ⊗ g) := [x ⊗ g]. La definizione è corretta, perchè perun altro x ′ con p(x ′ ) = y abbiamo, a causa dell’esattezza chex ⊗ g − x ′ ⊗ g = (x − x ′ ) ⊗ g ∈ im(i n ⊗ 1 G ) ,cioè [x ⊗ g] = [x ′ ⊗ g]. Gli omomorfismi φ e ψ sono chiaramente inversi unoall’altro e quindi coker(i n ⊗ 1 G ) ∼ = H n (K) ⊗ G.Passiamo adesso all’identificazione dei nuclei delle mappe i n ⊗ 1 G . Primaperò voremmo richiamare l’attenzione del lettore su un fatto, a prima vistasorprendente. Abbiamo appena visto che il conucleo del’omomorfismo i n ⊗1 Gnon dipende esattamente da B n (K) ⊗ G e Z n (K) ⊗ G bensì solo da H n (K),che è il conucleo di i : B n (K) → Z n (K), e da G. Questo ci fa pensare che lastessa cosa potrebbe valere anche per ker(i n ⊗ 1 G ) ed infatti, è così .Proposizione 3.1.2 Sia H il conucleo del monomorfismo i : B → Z tragruppi abeliani liberi e sia G un gruppo abeliano arbitrario. Allora sia ilnucleo che il conucleo dell’omomorfismo i ⊗ 1 G dipendono solo da H e G. Inpiù il conucleo di i ⊗ 1 G è naturalmente isomorfo a H ⊗ G, mentre il nucleodi i ⊗ 1 G determina un nuovo funtore covariante, detto prodotto di torsionee denotato con H ∗ G o Tor(H, G).

116 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIDimostrazione – Dire che H è il conucleo del monomorfismo i : B → Zsignifica che le basi di Z e B rappresentano H con generatori e relazioni. Supponiamodi avere un’altra rappresentazione di H con generatori e relazioni:R >j−> F −q−≫ He consideriamo B > −> i jZ e R > −> F come complessi, denotati C e C ′ rispettivamente,il cui unico gruppo di omologia non banale è H 0 C = H 0 C ′ = H.Analogamente al Teorema 2.2.8 otteniamo morfismi di catene f : C → C ′ eg : C ′ → C i cui composti fg e gf sono omotopi alle rispettive identità. Ilprodotto tensoriale con G è un funtore che preserva somme di morfismi, perciòtensorizzando con G otteniamo morfismi di catene f ⊗1 G : C⊗G → C ′ ⊗Ge g ⊗ 1 G : C ′ ⊗ G → C ⊗ G e inoltre (f ⊗ 1 G )(g ⊗ 1 G ) e (g ⊗ 1 G )(f ⊗ 1 G ) sonoancora omotopi alle rispettive identità. Ciò significa che le mappe indotte inomologiaH 1 (f ⊗ 1 G )ker(i ⊗ 1 G )>−> F −−≫ He R ′ >−> F ′ −−≫ H ′ e usando il Teorema 2.2.8 otteniamo un morfismo dicatene f tra complessi R >−> F e R ′ >−> F ′ che estende ¯f, ed è unico aSe

3.1. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI 117meno di omotopia di catene. Tensorizzando con G e prendendo i gruppi diomologia otteniamo H 1 (f ⊗ 1 G ) : H ∗ G → H ′ ∗ G che è, per definizione, ilvalore del prodotto di torsione sul omomorfismo ¯f.✷Combinando questa proposizione con le successioni esatte corte ottenuteprima otteniamo:Teorema 3.1.3 (Teorema dei coefficienti universali in omologia)L’omologia di un complesso simpliciale K con coefficienti in un gruppoabeliano G è determinata dalle seguenti successioni esatte corte:H n (K) ⊗ G >−> H n (K; G) −−≫ H n−1 (K) ∗ GVediamo cosa succede nel caso in cui G = CQ, il gruppo aditivo dei razionali.Questo gruppo non è libero, ma è localmente libero: si dice che un gruppoabeliano G è localmente libero se qualsiasi sottogruppo finitamente generatodi G è libero; in particolare, in virtù del Teorema di decomposizione deigruppi abeliani finitamente generati (vedere 2.2), un gruppo abeliano finitamentegenerato è localmente libero se, e soltanto se, è privo di torsione. Orapassiamo al seguenteLemma 3.1.4 Se i : A → A ′ è un monomorfismo e G è localmente libero,allorai ⊗ 1 G : A ⊗ G −→ A ′ ⊗ Gè un monomorfismo.In particolare, il monomorfismoi n−1 : B n−1 (K) −→ Z n−1 (K)

118 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIdetermina il monomorfismoi n−1 ⊗ 1 CQ : B n−1 (K) ⊗ CQ −→ Z n−1 (K) ⊗ CQe dunque,Il Teorema ?? ci permette di dire cheH n−1 (K) ∗ CQ = ker(i n−1 ⊗ 1 CQ ) = 0 .H n (K; CQ) ∼ = H n (K) ⊗ CQe perciò, ancora con l’aiuto del Teorema di decomposizione dei gruppi abelianofinitamente generati, H n (K; CQ) è uno spazio vettoriale razionale di dimensioneuguale al rango di H n (K) (n mo -numero di Betti di K).Esercizi:1. Sia K un complesso simpliciale arbitrario. Dimostrare che per qualsiasinumero primo p la successione esatta corta0 > Zp · −> Zmodp> Zp > 0da luogo ad una successione esatta di gruppi di omologia· · · > H n (K; Z) p · − > H n (K; Z) modp >modp> Hn (K; Z p )β p>Hn−1 (K; Z) > · · ·detta successione esatta lunga di Bockstein. L’omomorfismo di gruppi abelianiH n (K; Z p )β p>Hn−1 (K; Z)è detto operatore di Bockstein.

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 1192. (ker-coker lemma) Consideriamo il seguente diagramma commutativo, le cuirighe sono successioni esatte di gruppi abeliani:A > B > C > 0fgh∨∨∨0 > A ′ > B ′ > C ′Dimostrare che esiste un omomorfismo d che rende esatta la successione:ker f > ker g > ker hd >coker f > coker g > coker he usando questo Lemma dare una dimostrazione alternativa al Teorema 2.2.2.3. (forma generale del 5-lemma) SiaAf> Bg> Ch> Dk> Eαβγdɛ∨∨∨∨∨A ′ f ′ > B ′ g ′ > C ′ h ′ > D ′ k> E ′un diagramma commutativo di gruppi abeliani con righe esatte. Dimostrareche:• se α è suriettivo e β, δ sono iniettivi, allora γ è iniettivo;• se ɛ è iniettivo e β, δ sono suriettivi, allora γ è suriettivo.Come conseguenza di questi risultati si ha immediatamente che se α, β, δ eɛ sono isomorfismi, allora anche γ è un isomorfismo.3.2 Alcune applicazioniIn questa sezione daremo alcune applicazioni dell’omologia simpliciale allageometria. Il nostro primo risultato importante è il Teorema del Punto Fisso

120 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIdi Lefschetz e perciò ora passiamo in rassegna alcuni risultati ben noti diAlgebra Lineare.La traccia di una matrice razionale quadra (a ij ), i = j = 1, . . . , n è ilnumero razionalen∑Tr ((a ij )) = a ii .Si osservi che per due qualsiasi matrici razionali quadre A e B, Tr (AB) =Tr (BA). Di conseguenza, possiamo definire la traccia di una trasformazionelineare α : V → V di uno spazio vettoriale razionale di dimensione n : infatti,basta ricordare che due matrici razionali quadre A e B rappresentano α see soltanto se esiste una matrice n × n invertibile C tale che B = CAC −1 .Allora, possiamo definireTr (α) = Tr (B) = Tr (A) .i=1Lemma 3.2.1 Sia0 → U α−→ Vβ−→ W → 0uns successione esatta di spazi vettoriali razionali di dimensione finita etrasformazioni lineari. Sia γ : V → V una trasformazione lineare la cuirestrizione a U sia una trasformazione lineare γ U : U → U. Allora possiamodefinire γ W : W → W eTr (γ) = Tr (γ U ) + Tr (γ W ) .Dimostrazione – Prendiamo una base {⃗u 1 , . . . , ⃗u r } di U e i vettori ⃗v i =α(⃗u i ) ∈ V , i = 1, . . . , r. Questi ultimi sono linearmente indipendenti in Ve perciò possono essere completati a una base {⃗v 1 , . . . , ⃗v n } di V . Si osserviche i vettori ⃗w r+1 = β(⃗v r+1 ), . . . , w n = β(⃗v n ) formano una base di W . Lamatrice (a ij ) con i, j = 1, . . . , n ottenuta tramite le uguaglianzen∑γ(⃗v i ) = a ij ⃗v j , i = 1, . . . , nj=1

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 121rappresenta γ. Ora definiamo γ U e γ W tramite le formuler∑(∀i = 1, . . . , r) γ U (⃗u i ) = a ij ⃗u j(∀i = r + 1, . . . , n) γ W (⃗w i ) =j=1n∑j=r+1a ij ⃗w j .✷Passiamo alla geometria. Le nostre dimostrazioni saranno fatte nell’ambitodell’omologia razionale, cioè dell’omologia con coefficienti in CQ. Ricordiamobrevemente che, per un qualsiasi poliedro |K|, H n (|K|, CQ) è uno spaziovettoriale razionale di dimensione β(n).lineareD’altro canto, una mappa f : |K| → |K| da luogo a una trasformazionef ∗ (n) : H n (|K|, CQ) → H n (|K|, CQ)per ogni intero n ∈ {0, . . . , dim K}. Per definizione, il numero di Lefschetzdi una mappa f : |K| → |K| è il numero razionaleΛ(f) =dim K ∑n=0(−1) n Tr (f ∗ (n)) .Ma come si definisce l’omomorfismo f ∗ dello spazio vettoriale graduatoH ∗ (|K|, CQ) su se stesso?simpliciale g : K (r)Cominciamo per prendere una approssimazione→ K di f (vedere il Teorema 2.3.3); questa produceun morfismo di catene C(g) : C(K r , CQ) → C(K, CQ).Ora mettiamo inballo il morfismo di catene (omomorfismo di suddivisione) λ : C(K, CQ) →C(K (r) , CQ): il lettore è pregato di ricordarsi che il morfismo di cateneC(g)λ : C(K, CQ) −→ C(K, CQ)è appunto quell’omomorfismo che al livello dell’omotopia da luogo a f ∗ , cioèf ∗ (n) = H n (C(g)λ). Siccome per qualsiasi n = 0, . . . , dim K,C n (g)λ n : C n (K, CQ) −→ C n (K, CQ)

122 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIè una trasformazione lineare, possiamo definire il numeroΛ(C(g)λ) =dim K ∑n=0(−1) n Tr (C n (g)λ n ) ;è perfettamente naturale domandarsi quale sarebbe la relazione tra quest’ultimonumero ed il numero di Lefschetz Λ(f). La risposta a questo quesito è fornitadal Lemma successivo.Lemma 3.2.2 (Teorema della traccia di Hopf) Per qualsiasi mappa f :|K| → |K|,Λ(C(g)λ) = Λ(f) .Dimostrazione – Per qualsiasi n ≥ 0 consideriamo le due successioni esatte(1) 0 → Z n (K, CQ) → C n (K, CQ) → B n−1 (K, CQ) → 0 e(2) 0 → B n (K, CQ) → Z n (K, CQ) → H n (K, CQ) → 0 .Ora, per un t ∈ Z fissato, definiamo i numeric(t) = ∑ t n Tr (C n (g)λ n ) ,z(t) = ∑ t n Tr ((C n (g)λ n )|Z n (K, CQ)) ,b(t) = ∑ t n Tr ((C n (g)λ n )|B n (K, CQ)) eh(t) = ∑ t n Tr (f ∗ (n)) .Il Lemma 3.2.1 applicato alle successioni esatte (1) e (2) ci permette diconcludere chec(t) = z(t) + tb(t) ez(t) = b(t) + h(t)donde deduciamo l’uguaglianza c(t) − h(t) = (1 + t)b(t) la quale, per t = −1,ci permette di ottenere la tesi enunciata.✷

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 123Teorema 3.2.3 (Teorema del punto fisso di Lefschetz) Per una qualsiasimappa f : |K| → |K| priva di punto fisso Λ(f) = 0.Dimostrazione – Sia Ψ : |K| → IR la funzione definita da Ψ(p) = d(p, f(p))per qualsiasi p ∈ |K|. Siccome f è priva di punto fisso, (∀p ∈ |K|) Ψ(p) > 0.Ma allora, essendo |K| un compatto, esiste un ε > 0 tale che Ψ(p) ≥ ε, perqualsiasi p ∈ |K|. Per il Teorema 2.1.7 esiste un intero r tale che il diametrodi |K (r) | sia minore di ε . Il Teorema 2.1.6 ci dice che esiste un omeomorfismo3F : |K (r) | → |K|; con questo definiamo la mappaf (r) := F −1 fF : |K (r) | −→ |K (r) | .Il lettore può ora dimostrare facilmente le due affermazioni seguenti:1. Λ(f (r) ) = Λ(f) ;2. la mappa f è priva di punti fissi se e soltanto se f (r) è priva di puntifissi.Dunque possiamo assumere di essere partiti con la mappa f (r) per dimostrareche Λ(f (r) ) = 0.Sia f (r) approssimato dalla funzione simpliciale g : K (t) → K (r) , cont ≥ r; allora,(∀p ∈ |K (t) |) |g|(p) ∈ |s(f (r) (p))|e siccome s(f (r) (p)) è un simplesso di K (r) , concludiamo che(∀p ∈ |K (t) |) d(|g|(p), f (r) (p)) < ε 3 .Quest’ultima disuguaglianza, la proprietà triangolare della metrica e la condizione(∀p ∈ |K (t) |) ε < Ψ(p) = d(p, f (r) (p))

124 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIci permettono di concludere che(∀p ∈ |K (t) |) d(p, |g|(p)) > 2 ε 3 ;in altre parole, per qualsiasi punto p ∈ |K (t) |, |g|(p) e p non possono conviverenel medesimo simplesso di |K (r) |.Sia σ un n-simplesso arbitrariodi K (r) , interpretato come un elemento della base canonica di C n (K (r) , CQ);ipotizziamo per un momento che tra i vettori che compongono C n (g)λ n (σ),quando scriviamo quest’ultimo come combinazione lineare dei vettori dellabase canonica, ci sia appunto il vettore σ. Ora, λ n (σ) è una combinazionelineare di n-simplessi di K (t) le cui realizzazioni geometriche sono contenutein |σ|; siccome C n (g)λ n (σ) ha σ tra le sue componenti, uno degli n-simplessidi K (t) che compongono la catena λ n (σ) deve essere portato in σ da C n (g);d’altro lato C n (π (t,r) )λ n (σ) = σ e perciò, la nostra ipotesi ci porta alla conclusioneche esiste un punto p ∈ |K (t) | tale che d(p, |g|(p)) < ε , in contradizione3con i risultati anteriori. Dunque, Tr (C n (g)λ n ) = 0; il Teorema della Tracciadi Hopf ci permette di concludere che Λ(f (r) ) = 0 e perciò, Λ(f) = 0.✷Il Teorema del punto fisso di Lefschetz fornisce una condizione necessariama non sufficiente perché una mappa f : |K| → |K| sia priva di punti fissi.Infatti,f : S 1 → S 1 , e 2πit ↦→ e 2πi(t+ 112 ), t ∈ [0, 1)è priva di punti fissi e pertanto Λ(f) = 0; ma f è omotopa all’identità 1 S 1tramiteH(e 2πit , s) = e 2πi(t+s 112 )e dunque, Λ(1 S 1) = 0 (perché il numero di Lefschetz è invariante per omotopia)ma 1 S 1 ha tutti i punti fissi.

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 125Corollario 3.2.4 (Teorema del punto fisso di Brouwer) Qualsiasi automappanon costante di un poliedro connesso e aciclico 1 ha un punto fisso.Dimostrazione – Sia |K| un tale poliedro; l’ipotesi fatta significa che l’omologiadi |K| è banale a tutti i livelli, tranne per H 0 (K, CQ) ∼ = CQ. Supponiamo chef sia approssimata simplicialmente da g : K (r) → K. Sia x 0 un vertice di|K| e supponiamo che {x 0 } + B 0 (K, CQ) sia un generatore di H 0 (K, CQ). MaC 0 (g)λ 0 ({x 0 }) = g(x 0 )e g(x 0 ) è un vertice di K perché g è simpliciale. Siccome |K| è connesso,g(x 0 ) è omologo a {x 0 } e dunque, Λ(f) = 1. Il Teorema di Lefschetz ci permettedi concludere che f non può essere priva di punti fissi.✷Prima di passare al prossimo corollario, vediamo la definizione di gradodi una automappa di una sfera. Consideriamo la n-sfera S n (n ≥ 1) come larealizzazione geometrica della n-sfera simpliciale Σ n (vedere la Sezione 2.2).Siano f : S n → S n una mappa data e g : (Σ n ) (r) → Σ n una sua approssimazionesimpliciale. L’omologia intera di Σ n è banale in tutte le dimensionidiverse da 0 ed n, e in questi due casi è isomorfa al gruppo abeliano Z. Ricordiamoche H n ((Σ n ) (r) ) ∼ = Z n ((Σ n ) (r) ) ha soltanto due possibili generatori (chedifferescono dall’orientamento); sia z uno di questi generatori. Allora, esisteun intero d tale che H n (g)(z) = d z. Questo numero, che è evidentementeindipendente dalla classe di omotopia della mappa f e dalla approssimazionesimpliciale g di f, è il grado di f (notazione: gr (f)). 21 Vedere esempi di complessi aciclici nella Sezione 2.22 Il caso n = 1 è particolarmente istruttivo: in pratica, quando “percorriamo” il cicloz, l’immagine g(z) avvolge d volte in S 1 il corrispondente ciclo generatore di Z n (Σ n ).

126 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTILemma 3.2.5 Per qualsiasi mappa f : S n → S nΛ(f) = 1 + (−1) n gr (f) .Dimostrazione – Il numero di Lefschetz è definito per l’omologia a coefficientirazionali. Siccome Σ n è connesso, la traccia di f ∗ (0) = 1; ci mancadimostrare che Tr (f ∗ (n)) = gr (f). È sufficiente osservare cheZ n ((Σ n ) (r) , CQ) ∼ = Z n ((Σ n ) (r) ) ⊗ CQ .✷Corollario 3.2.6 Una mappa f : S 2 → S 2 ha un punto fisso o esiste unp ∈ S 2 tale che f(p) = −p.Dimostrazione – Supponiamo che f sia priva di punti fissi; allora, per ilLemma anteriore concludiamo che gr (f) = −1. In particolare, la funzioneantipodaleA : S 2 → S 2 , p ↦→ −pha grado −1. Siccome gr (Af) = gr (A)gr (f) = 1, si ottiene cheΛ(Af) = 1 + (−1) 2 gr (Af) = 2dunque esiste p ∈ S 2 tale che Af(p) = p e perciò, f(p) = −p.✷Corollario 3.2.7 Non esiste nessuna mappa f : S 2n → S 2n , n ≥ 1 per cui ivettori p e f(p) siano perpendicolari, per qualsiasi p ∈ S 2n .

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 127Dimostrazione – Supponiamo che una tale funzione esista. Allora,e perciò possiamo definire una mappa(∀p ∈ S 2n ) ||(1 − t)f(p) + tp|| ≠ 0F : S 2n × I → S 2n , (p, t) ↦→(1 − t)f(p) + tp||(1 − t)f(p) + tp|| .Questa mappa è una omotopia tra la funzione f e la funzione identità 1 S 2n.Ne segue cheΛ(f) = Λ(1 S 2n) = 1 + (−1) 2n = 2e dunque (∃p ∈ S 2n ) f(p) = p. Questo è in contradizione con l’ipotesi fattasu f.✷Osservazione – Il Corollario 3.2.7 equivale a dire che una sfera di dimensionepari non ammette una campo vettoriale tangente. Le sfere didimensione dispari ammettono tali campi: per esempio,S 2n−1 → S 2n−1 , (x 1 , . . . , x 2n ) ↦→ (−x 2 , x 1 , . . . , −x 2n , x 2n−1 ) .Corollario 3.2.8 (Teorema fondamentale dell’algebra)Qualsiasi polinomioz n + a 1 z n−1 + . . . + a n−1 z + a n ∈ C[z](con n ≥ 1) ha una radice complessa.Dimostrazione – Cominciamo per interpretare il nostro polinomio comeuna mappa P : IR 2 → IR 2 . Ci proponiamo di dimostrare che P è suriettiva:in tal caso, avremmo in corrispondenza a 0 ∈ IR 2 un α ∈ Z tale cheα n + a 1 α n−1 + . . . + a n−1 α + a n = 0

128 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIcosa che dimsotrerebbe l’enunciato. Prendiamo il compattificato S 2 di IR 2ottenuto per aggiunzione di un punto ∞ a IR 2 ed estendiamo P a una mappaP : S 2 → S 2 definendo P (∞) = ∞. La mappaH : S 2 × I → S 2 , (p, t) ↦→ z n + (1 − t){a 1 z n−1 + . . . + a n } , ∞ ↦→ ∞è una omotopia tra la mappa P e la mappaf : S 2 → S 2 , z ↦→ z n .Vogliamo dimostrare che gr (f) = n. Prendiamo i numeri complessix s = e 2πisn 2 , s = 0, 1, . . . , n 2 − 1e costruiamo il complesso simpliciale K(n 2 ) costituito daivertici:{0}, {x 0 }, . . . , {x n 2 −1}, {∞} ;1-simplessi:{0, x 0 }, . . . , {0, x n 2 −1}{x 0 , ∞}, . . . , {x n 2 −1, ∞}{x 0 , x 1 }, . . . , {x n 2 −1, x 0 }2-simplessi:{0, x 0 , x 1 }, . . . , {0, x 1 , x 2 }, . . . , {0, x n 2 −1, x 0 }{∞, x 0 , x 1 }, . . . , {∞, x 1 , x 2 }, . . . , {∞, x n 2 −1, x 0 }la cui realizzazione geometrica è omeomorfa a S 2 .Ora prendiamo i numeri complessiy t = e 2πitn , t = 0, 1, . . . , n − 1

3.2. ALCUNE APPLICAZIONI 129e consideriamo il complesso simpliciale K(n) costituito daivertici:{0}, {y 0 }, . . . , {y n−1 }, {∞} ;1-simplessi:{0, y 0 }, . . . , {0, y n−1 }{y 0 , ∞}, . . . , {y n−1 , ∞}{y 0 , y 1 }, . . . , {y n−1 , y 0 }2-simplessi:{0, y 0 , y 1 }, . . . , {0, y 1 , y 2 }, . . . , {0, y n−1 , y 0 }{∞, y 0 , y 1 }, . . . , {∞, y 1 , y 2 }, . . . , {∞, y n−1 , y 0 }la cui realizzazione geometrica è anche omeomorfa a S 2 . Si osservi chef(0) = 0 , f(∞) = ∞ e f(x s ) = y se che f può essere interpretata come una funzione simpliciale che avvolge ilcerchio unitario S 1 ⊂ C n volte su se stesso, cioè, gr (f) = n.Siccome il grado di una mappa è un invariante per omotopia, concludiamoche gr (P ) = n.Supponiamo ora che P non sia una suriezione. Ciò vuol dire che esiste unp ∈ S 2 tale che P (S 2 ) ⊂ S 2 \p. Così, possiamo interpretare la P come unamappa da S 2 a CQ 2 e perciò, è omotopa alla mappa costante da S 2 a 0 ∈ CQ 2 .Ma questa ultima mappa deve avere grado 0, cosa che contradice il fatto cheP è di grado n ≠ 0.✷Esercizi:

130 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI1. Sia A : S 1 → S 1 la funzione antipodale. Dimostrare che gr A = 1.2. Dimostrare che non esiste una retrazione del disco unitario D n ⊂ IR n sul suobordo S n−1 .3. Un poliedro |K| ha la proprietà del punto fisso se qualsiasi mappa f : |K| →|K| ha almeno un punto fisso. Dimostrare che la proprietà del punto fisso simantiene per omeomorfismi.4. Sia |K| un poliedro con la proprietà del punto fisso. Dimostrare che se |L| èun retratto di |K| allora anche |L| ha la proprietà del punto fisso.5. Prendiamo lo spazioX = {(x 0 , x 1 , x 2 ) ∈ IR 3 |(∀i = 0, 1, 2)x i ≥ 0}con la topologia indotta da IR 3 e sia f : X → X una funzione continua data.Dimostrare che è possibile trovare un vettore unitario ⃗v ∈ X e un numeroreale non negativo λ tali che f(⃗v) = λ⃗v.6. Sia M 3×3 + l’insieme di tutte le matrici reali quadre i cui elementi siano nonnegativi.Tramite l’esercizio anteriore dimostrare che, per qualsiasi matriceA ∈ M 3×3 + , almeno uno degli autovalori di A è non-negativo.3.3 CoomologiaSappiamo che i gruppi di omologia H n (|K|; CQ) di un poliedro |K| in veritàhanno la struttura di spazi vettoriali e perciò possono essere dualizzati. Lapossibilità di dualizzare tali spazi vettoriali portò i matematici a pensarese fosse possibile “dualizzare” i gruppi di omologia anche nel caso in cui silavori con coefficienti in un gruppo abeliano G diverso. Il lavoro di ricercache condusse alla dualizzazione dell’omologia fu fatto sostanzialmente tra il1925 ed il 1935; uno dei primi matematici a interessarsi a questo problema fu

3.3. COOMOLOGIA 131Solomon Lefschetz che introdusse formalmente le sue idee nel libro Topology(American Mathematical Society, Colloquium Pubblication n. 12, New York1930). L’idea di aggiungere la particola “co” alla parola “homology” (dandoluogo a “cohomology”) è dovuta a H. Whitney, il quale fu anche responsabileper la formalizzazione e le notazioni dell’odierna teoria di coomologia (vedereOn products in a complex, Annals of Math. 39 (1938), 397 – 432).Ora vogliamo rammentare il fatto che per cambiare i coefficienti dell’omologiaci siamo serviti del prodotto tensoriale; per “dualizzare” l’omologia o cambiarei coefficienti della teoria dualizzata ricorriamo al funtoreHom(−, G) : Ab → Abcon G un gruppo abeliano fissato. Più precisamente, dato un gruppo abelianoA, definiamo Hom(G, Z) come il gruppo abeliano di tutti gli omomorfismida A a G con la legge di composizioneHom(A, G) × Hom(A, G)) → Hom(A, G)(φ, ψ) ↦→ φψ | (∀a ∈ A)φψ(a) = φ(a) + ψ(a) .Sui morfismi Hom(−, G) si comporta nel modo seguente: dato f : A → A ′ ,Hom(f, G) : Hom(A ′ , G) → Hom(A, G) , φ ↦→ φ ◦ f .L’omomorfismo Hom(f, G) è detto aggiunto di f. Si osservi che il funtoreHom(−, G) : Ab → Abè controvariante.Come per il cambiamento dei coefficienti in omologia, situazione in cuiabbiamo applicato il funtore − ⊗ G al complesso di catene (C(K), d), orapossiamo applicare il funtore Hom(−, G) a tale complesso. Sebbene dal punto

132 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIdi vista formale non ci siano difficoltà nel procedere, più avanti nel testoesporremo la terminologia e fatti principali che avranno un significato diversoquando applicati a situazioni geometriche.Passiamo ora alla costruzione della coomologia simpliciale. Sia (C(K), d)il complesso di catene associato ad un complesso simpliciale orientato K.Applichiamo il funtore Hom(−, Z) al gruppo abeliano graduato C(K) perottenere il gruppo graduatoHom(C(K), Z) = {C n (K) := Hom(C n (K), Z)}(per n < 0, C n (K) = 0). Indichiamo con d n−1 l’omomorfismo aggiuntodell’omomorfismo di bordo d n : C n (K) → C n−1 (K) ossia,d n−1 := Hom(d n , Z) : C n−1 (K) → C n (K) .Siccome d n d n+1 = 0 concludiamo immediatamente che d n d n−1 = 0 e dunque,im d n−1 := B n (K) ⊂ ker d n := Z n (K) .Il gruppo quozienteH n (K, Z) = H n (K) := Z n (K)/B n (K)è detto n mo -gruppo di coomologia (simpliciale) di K.Come per l’omologia simpliciale, possiamo definire la coomologia H(K, L)di una coppia di complessi simpliciali (K, L): è sufficiente applicare il funtoreHom(−, Z) al complesso di catene(C(K, L), d K,L ) := {C n (K)/C n (L), d K,Ln } .Inoltre, (K, L) produce una successione esatta lunga in coomologia simplicialeossia, vale il seguente risultato:

3.3. COOMOLOGIA 133Teorema 3.3.1 (successione esatta lunga in coomologia)Sia (K, L) una coppia di complessi simpliciali. Per qualsiasi n > 0 esisteun omomorfismo˜λ n : H n (L) → H n+1 (K, L)che rende esatta la seguente successione di gruppi di coomologia. . . → H n (K) Hn (i)−→ H n (L) ˜λ n−→ H n+1 (K, L) q∗ (n+1)−→ H n+1 (K) → . . .La dimostrazione di questo teorema segue le orme della dimostrazionedel corrispondente teorema in omologia (Teorema 2.2.2); vogliamo soltantorilevare in modo esplicito che il risultato chiave per questa dimostrazione èil seguente lemmaLemma 3.3.2 SeA >f−> B −g−≫ Cè una successione esatta corta di gruppi liberi e G un gruppo abeliano, alloraancheHom(g, G)Hom(g, G)Hom(C, G) > − > Hom(B, G) − − ≫ Hom(A, G)è una successione esatta.Per la dimostrazione di questo lemma il lettore si può basare nella dimostrazionedel Lemma 3.1.1; infatti, l’unica proprietà del prodotto tensoreche abbiamo usato in 3.1.1 è che − ⊗ G è un funtore che trasforma somme dimorfismi in somme di morfismi ed esattamente la stessa proprietà vale ancheper il funtore (controvariante) Hom(−, G).Per definire la coomologia determinata da un complesso simpliciale orientatoK con coefficienti in un gruppo abeliano G, procediamo come per quella

134 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIcon coefficienti in Z, ma applicando il funtore controvariante Hom(−, G) inluogo di Hom(−, Z) al complesso di catene (C(K), d).Come nel caso dell’omologia a coefficienti ci interesserà come determinarela coomologia a coefficienti del complesso simpliciale conoscendo solo la suaomologia ed il gruppo. Cercheremo perciò di sfruttare le stesse idee comeprima, tenendo però conto che il funtore A ↦→ A ⊗ G è covariante, mentreA ↦→ Hom(A, G) è controvariante. Per cominciare, rivediamo ciò che abbiamofatto finora in chiave generale. Un complesso di cocatene (o cocomplesso) è ungruppo abeliano graduato {C n } con un’endomorfismo di grado +1, chiamatoomomorfismo di cobordo d ∗ = {d n : C n → C n+1 } con la proprietà d n+1 d n = 0.Un omomorfismo di cocatene tra complessi di cocatene (C, d ∗ ) e (C ′ , d ′∗ ) èuna omomorfismo tra gruppi abeliani graduati C e C ′ che commuta con gliomomorfismi di cobordo.Anche gli altri concetti definiti per complessi di catene hanno i lorocorrispondenti duali: gli elementi di C n sono detti n-cocatene; gli elementidi Z n C := ker(d n : C n → C n+1 ) sono n-cocicli mentre gli elementidi B n C := im(d n−1 : C n−1 → C n ) sono n-cobordi; infine, il quozienteH n (C) := Z n C/B n C è il gruppo di coomologia del cocomplesso (C, d ∗ ) indimensione n.Se, partendo da un cocomplesso (C ∗ , d ∗ ), definiamo C n := C −n e d n :=d −n allora chiaramente (C ∗ , d) è un complesso di catene e tutti i concetti sitraducono rispettivamente. In particolare, la coomologia di (C ∗ , d ∗ ) non èaltro che l’omologia del complesso (C ∗ , d). Questo ci indica come possiamotradurre tutti i risultati nell’ambito coomologico il che in seguito faremosenza ulteriori commenti.Per ogni complesso (C, d) e ogni gruppo abeliano G possiamo definire uncocomplesso (C ∗ , d ∗ ) con C n := Hom(C n , G), il gruppo di omomorfismi da

3.3. COOMOLOGIA 135C n in G e con d n : C n → C n+1 , la mappa aggiunta a d n+1 : C n+1 → C n .La coomologia di questo cocomplesso viene detta coomologia del complesso(C, d) con coefficienti in G.Assumiamo dunque che il complesso (C, d) sia libero e così , anche Z n Ce B n C sono liberi; per qualsiasi n la successione di gruppi abeliani liberiZ n C > −> C n −d n−≫ Bn−1 Cè esatta corta; dunque, per il Lemma 3.3.2Hom(B n−1 C, G) >−> Hom(C n , G) −−≫ Hom(Z n C, G)è esatta.complessiQuesto ci permette di costruire la successione esatta corta di(Hom( ˜ B(C), G), 0) >−> (Hom(C, G), d) −−≫ (Hom(ZC, G), 0)doveB(C) ˜ = { B(C) ˜ n := B n−1 (K)} .Il teorema della successione esatta lunga in coomologia (vedere Teorema3.3.1) nella sua forma generale (il lettore è pregato di enunciare e dimostrareil teorema solo in termini di complessi di catene) ci permette di scrivere lasuccessione esatta lunga· · · > Hom(Z n−1 C, G)> Hom(Z n C, G)i ∗ > Hom(B n−1 , G) > H n (C; G)i ∗ > Hom(B n , G) > · · ·che si scompone in successioni esatte cortecoker i n−1 >−> H n (C; G) −−≫ ker i nUn f ∈ ker i ∗ è un omomorfismo da Z n C in G che si annulla su B n C equindi corrisponde a un omomorfismo dal quoziente in G. Questo dimostra

136 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTIche ker i ∗ = Hom(H n C, G) e cioè che ker i ∗ non dipende da B n C e Z n C masolo dal loro quoziente. Lo stesso possiamo dimostrare anche per il conucleo;abbiamo infatti la seguente proposizione, duale alla Proposizione 3.1.2:Proposizione 3.3.3 Sia H il conucleo del monomorfismo i : B → Z tragruppi abeliani liberi e G un gruppo abeliano arbitrario. Allora sia il nucleoche il conucleo dell’omomorfismo i ∗ : Hom(Z, G) → Hom(B, G) dipendonosolo da H e G. In più il nucleo di i ∗ è naturalmente isomorfo aHom(H, G), mentre il conucleo di i ∗ determina un nuovo bifuntore, additivo,controvariante nella prima variabile e covariante nella seconda, denotato conExt(H, G).Dimostrazione – Il metodo di dimostrazione è analogo a quello della Proposizione3.1.2, sostituendo semplicemente il funtore − ⊗ G con il funtoreHom(−, G) e tenendo conto della controvarianza del secondo. Lasciamo idettagli al lettore.✷Applicando questo risultato alle successioni esatte ottenute prima abbiamo:Teorema 3.3.4 (dei coefficienti universali in coomologia)La coomologia di un complesso positivo e libero (C, d) con coefficienti in ungruppo abeliano G è determinata dalle seguenti successioni esatte corte:Ext(H n−1 C, G) >−> H n (C; G) −−≫ Hom(H n C, G)Concludiamo osservando specificamente che per un complesso simplicialeorientato K applichiamo il funtore Hom(−, G) al complesso di catene liberoe positivo (C(K), d) per ottenere per ogni n > 0 le seguenti successioni esatte

3.3. COOMOLOGIA 137corte:Ext(H n−1 (K), G) >−> H n (K; G) −−≫ Hom(H n (K), G)

138 CAPITOLO 3. OMOLOGIA CON COEFFICIENTI

Capitolo 4Varietà Topologiche4.1 Definizione e esempiUno spazio topologico di Hausdorff X è detto varietà n-dimensionale osemplicemente n-varietà, se per qualsiasi punto x ∈ X esiste un aperto U diX che contenga x e sia omeomorfo a un aperto di IR n . Dunque una n-varietàX è caratterizzata da un insiemeA = {(U i , φ i )|ı ∈ J}in cui gli U i sono aperti che ricoprono X e φ i è un omeomorfismo di U i in unaperto di IR n . L’insieme A è l’atlante di X ed ogni copia (U i , φ i ) è una cartadi X.Prima ancora di dare alcuni esempi di varietà osserviamo che la condizioneche X sia di Hausdorff è parte integrante della definizione e non dipende dalresto delle condizioni. Infatti, siaX = (−1, 2] = {x ∈ IR| − 1 < x ≤ 2}con la topologia data dal seguente insieme di apertiU = {∅, X} ∪ {(α, β) | − 1 ≤ α < β ≤ 2}∪139

140 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHE∪{(α, 0) ∪ (β, 2] | − 1 ≤ α < 0 , −1 ≤ β < 2} .Questo spazio non è di Hausdorff perchè un qualsiasi aperto che contiene0 interseca un qualsiasi aperto contenente 2. D’altro canto, qualsiasi x ∈X \ {2} è contenuto in un aperto omeomorfo a un aperto di IR; quanto alpunto x = 2, prendiamo l’apertoU = (− 1 2 , 0) ∪ (3 2 , 2]e le funzionieφ : U → (−1, 1) =◦ψ : D 1 → U◦D 1definite rispettivamente dae⎧⎪⎨ 2x se 1φ(x) =< x < 02⎪⎩ 4 − 2x se 3 < x ≤ 22⎧⎪⎨ xse − 1 < x < 02ψ(x) =⎪⎩ 2 − x se 0 ≤ x < 1 .2Il lettore può verificare che φ e ψ sono continue e inverse una dell’altra;dunque, φ è un omeomorfismo e perciò X ha le proprietà di 1-varietà adeccezione della proprietà di separazione di Hausdorff.Il risultato seguente è semplice ed utile:Lemma 4.1.1 Sia V un aperto di una n-varietà X. Allora V è una n-varietà.Dimostrazione – Dato arbitrariamente x ∈ V ⊂ X, sia (U, φ) una cartadi X contenente x; supponiamo che φ(U) = W ⊂ IR n . Dunque U ∩ V è un

4.1. DEFINIZIONE E ESEMPI 141aperto di V contenente x e φ(U ∩V ) è un aperto di IR n omeomorfo a U ∩V . ✷Lemma 4.1.2 Il prodotto cartesiano di una n-varietà X per una m-varietàY è una (n + m)-varietà.Dimostrazione – Per un qualsiasi (x, y) ∈ X ×Y scegliamo rispettivamentedue carte (U, φ) e (V, ψ) di x ∈ X e y ∈ Y ; si noti ora che (U × V, φ × ψ)è una carta del prodotto cartesiano delle varietà: infatti, φ(U) × ψ(V ) è unaperto (elementare) di IR n × IR m ∼ = IR n+m .✷Ora passiamo ad alcuni esempi. È facile verificare che per qualsiasi n > 0,lo spazio euclideo IR n è una n-varietà. La circonferenza S 1 ⊂ IR con la topologiaindotta dalla topologia euclidea di IR è una 1-varietà, come si dimostraimmediatamente. Più generalmente, la sfera S 2 con la topologia indotta daIR 3 è una 2-varietà (o superfice): infatti, S 2 è di Hausdorff e ha per atlantel’insiemeA = {(S 2 \ {−x}, φ x )|x ∈ S 2 }con φ x uguale alla proiezione stereografica di S 2 \ {−x} per il punto −x sulpiano tangente T x a S 2 per x. Un risultato simile vale anche per le ipersfereS n , n > 2.Una conseguenza immediata del Lemma 4.1.2 è che il toroT 2 ∼ = S 1 × S 1è una 2-varietà.Per dimostrare che lo spazio proiettivo reale IRP n è una n-varietà facciamoricorso al teorema seguente.

142 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHETeorema 4.1.3 Siano X una n-varietà compatta e G un gruppo topologicofinito che agisce liberamente su X. Allora lo spazio omogeneo X|G è unan-varietà.Dimostrazione – Sia G il gruppo finito di elementi g 1 = 1 G , g 2 , . . . , g p ; alloral’orbita di un elemento arbitrario x ∈ X è costituita dai p elementi (distinti)x = xg 1 , xg 2 , . . . , xg p . Per ogni coppia (x, xg i ), i = 2, . . . , p prendiamo unacoppia (U xgi , V xgi ) di aperti di X tali chex ∈ U xgi , xg i ∈ V xgi e U xgi ∩ V xgi = ∅ .L’insieme U = ∩ p i=2U xgi è un aperto di X contenente x e disgiunto da tuttigli aperti V xgi , i = 2, . . . , p. Dunque la restrizione dell’epimorfismo canonicoq : X → X|G a U, ossiaq|U : U → q(U) ⊂ X|Gè un omeomorfismo. Siccome U è una n-varietà inquanto che aperto di X(vedere il Lemma 4.1.1), ne segue che il punto [x] ∈ X|G appartiene ad unaperto di X|G che è omeomorfo ad un aperto di IR n . Per concludere cheX|G è una n-varietà si rende necessario dimostrare che X|G è uno spazio diHausdorff: ma questo è immediato dal Teorema 1.1.9, date le ipotesi di 4.1.3.✷Siccome IRP n = S n | Z 2 concludiamo dal teorema che IRP n è una n-varietà.Esercizi:1. Dare un esempio per dimostrare che un sottospazio chiuso di una n-varietànon è necessariamente una n-varietà.

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 1434.2 Superfici TopologicheIn questa sezione studieremo le 2-varietà topologiche compatte e connesse,che chiameremo d’ora in poi superfici. Nella sezione anteriore abbiamo datoesempi di alcune superfici: S 2 , IRP 2 , T 2 ∼ = S 1 × S 1 . Ma ce ne sono tantialtri, come la linea proiettiva complessa, e la bottiglia di Klein. Cominciamostudiando questi due esempi in modo più dettagliato.Per ottenere la linea proiettiva complessa CP 1 possiamo procedere comesegue: consideriamo lo spazio C 2 \ {(0, 0)} e la relazione di equivalenza(z 0 , z 1 ) ≡ (z 0, ′ z 1) ′ ⇐⇒ (∃z ∈ C \ {0}) z 0 ′ = zz 0 , z 1 ′ = zz 1 ;definiamoCP 1 := ( C 2 \ {0})/ ≡ .A seguito, la classe di equivalenza di (z 0 , z 1 ) ∈ C 2 \ {(0, 0)} è indicata con[(z 0 , z 1 )]. La relazioneη : {[(z 0 , z 1 )] | z 0 ≠ 0} → C , [(z 0 , z 1 )] ↦→ z 1 /z 0è una funzione ben definita perché se (z 0, ′ z 1) ′ ≡ (z 0 , z 1 ) e z 0 ≠ 0, allora anchez 0 ′ ≠ 0 ez 1/z ′ 0 ′ = z 1 /z 0 = z .Inoltre, si osservi che η è una biezione; se ora aggiungiamo la classe [(0, z 1 )]otteniamo una biezione di CP 1 nella retta complessa “impropria” C ∗ ∼ = S2e dunque,CP 1 ∼ = S2che è una 2-varietà.Per dimostrare che la bottiglia di Klein K è una 2-superficie partiamodalla definizione e adottiamo un procedimento intuitivo. Ricordiamo che la

144 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEbottiglia di Klein è ottenuta dal quadrato I 2 ⊂ IR 2 di vertici (0,0), (1,0),(0,1), (1,1) mediante le identificazioni(t, 0) ≡ (t, 1) , 0 ≤ t ≤ 1 ,(0, s) ≡ (1, 1 − s) , 0 ≤ s ≤ 1 .Vogliamo definire una operazione tra due superfici, la cosiddetta sommaconnessa. Per questo motivo facciamo le seguenti considerazioni. Siano Suna superficie data e (U, φ) una carta di S che contiene un punto arbitrariox ∈ S. Supponiamo che φ(U) = V ⊂ IR 2 . Sia◦D 2 ε= {x ∈ IR 2 | ||x|| < ε}un disco aperto di IR 2 centrato in φ(x), di raggio ε e contenuto in V . Prendiamoil discoe osserviamo che◦D 2 ε2⊂ ◦ D 2 ε⊂ IR 2D = φ −1 ( D ◦ 2 ε )2è un chiuso di S che contiene x ed è omeomorfo al disco unitario D 2 1 di IR 2 ;sia h : D → D 2 1 tale omeomorfismo. Per abuso di linguaggio diciamo che Dè un disco chiuso di S centrato in x. In sintesi, per qualsiasi punto x di unasuperficie S esiste un “disco chiuso” D di S con x ∈ D e un omeomorfismoh : D → D 2 1. Finalmente, per completare queste osservazioni, si noti che∂(S\ ◦ D) = ∂D ≃ S 1 .Siano ora S 1 ed S 2 due superfici arbitrarie; prendiamo arbitrariamente ipunti x 1 ∈ S 1 e x 2 ∈ S 2 assieme ai dischi chiusi D 1 e D 2 centrati rispettivamentein x 1 , x 2 e gli omeomorfismih 1 : D 1 → D 2 1 , h 2 : D 2 → D 2 1 ,

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 145e facciamo il pushout del diagrammah −12 h 1>∂D 1 S2 \ D ◦2∨∨S 1 \ ◦D 1per ottenere uno spazio (unico a meno di omeomorfismo)S 1 ♯S 2:= S 1 \ ◦D 1⊔h −12 h 1S 2 \ ◦D 2detto somma connessa delle superfici S 1 e S 2 .Teorema 4.2.1 Lo spazio S 1 ♯S 2 è una superficie ed è indipendente (moduloomeomorfismo) dalla scelta dei dischi chiusi D 1 e D 2 , e dagli omeomorfismih 1 e h 2 .Sia S l’insieme di tutte le superfici (2-varietà connesse e compatte).Teorema 4.2.2 La somma connessa di superfici determina una operazione♯ : S × S → Sche è associativa, commutativa e possiede un elemento neutro (la sfera S 2 ).La sfera S 2 , il toro T 2 , il piano proeittivo reale IRP 2 e le somme connesse ditali spazi hanno rappresentazioni particolarmente interessanti. Cominciamoda S 2 . SiaD1 2 = {(x, y) ∈ IR 2 |x 2 + y 2 ≤ 1}il disco unitario chiuso di IR 2 . Lo spazio ottenuto da D1 2 facendo le identificazioni(x, y) ≡ (x ′ , y ′ ) ⇐⇒ x = x ′ e x 2 + y 2 = 1 , x ′2 + y ′2 = 1

146 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEè omeomorfo a S 2 ; dunque, se indichiamo il semi-cerchio da (-1,0) a (1,0)passanteper (0,1) con a e il semi-cerchio da (-1,0) a (1,0) passante per (0,-1) conb (ambi orientati da (-1,0) a (1,0)), S 2 si può pensare come il disco D1 2 condue vertici A = (−1, 0), B = (1, 0) e due archi (lati) identificati tra loro, cioèda un disco con due vertici e un solo lato a = b; se percorriamo ∂S 2 nel sensoorario a partire da A, il lato b viene percorso in senso inverso alla orientazioneche gli avevamo dato, e così possiamo interpretare S 2 come un disco con unbordo a 1 a −1 . (Diamo l’esponente 1 al lato a quando lo percorriamo nel sensoscelto (orario)).Il toro T 2 si interpreta come un quadrato (omeomorfo a un disco chiuso)con i due lati orizzontali identificati tra loro, così come avviene per i due lativerticali. In altre parole, interpretiamo T 2 come un quadrato (disco chiuso)con un solo vertice A e due lati a, b; percorrendo il bordo del quadrato nelsenso orario, tale bordo si legge come la successione a 1 b 1 a −1 b −1 .Il piano proiettivo reale si interpreta come un disco chiuso con un solovertice, il cui bordo è dato da a 1 a 1 (identifichiamo i punti antipodali delbordo).Ora vediamo come interpretare la somma connessa T 2 ♯T 2 . Supponiamoche il primo toro sia rappresentato da un quadrato con bordo a 1 b 1 a −1 b −1 eche il secondo toro sia rappresentato da un quadrato con bordo c 1 d 1 c −1 d −1 ;eliminiamo da ogni quadrato l’interiore di (una porzione corrispondente a)un disco chiuso che contiene un vertice del quadrato corrispondente nel suobordo, otteniamo due poligoni chiusi con bordia 1 b 1 a −1 b −1 e −1 e c 1 d 1 c −1 d −1 frispettivamente. Se identifichiamo e ≡ f, concludiamo che T 2 ♯T 2 si inter-

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 147preta come un ottagono con bordoa 1 b 1 a −1 b −1 c 1 d 1 c −1 d −1 .Come interpretare la somma connessa IRP 2 ♯IRP 2 ? Assumiamo che ilprimo (rispettivamente, secondo) di questi piani proiettivi sia un disco chiusocon due vertici antipodali identificati e due lati identificati antipodalmentea 1 a 1 (rispettivamente b 1 b 1 ). Per ciascuno di questi dischi eliminiamol’interiore di un piccolo disco chiuso tangente al bordo del disco più grandein uno dei due vertici scelti; in questo modo otteniamo due triangoli di bordoa 1 a 1 c 1 e b 1 b 1 c 1 ,che messi assieme identificando c, danno luogo a un quadrato di bordoa 1 a 1 b 1 b 1che con le dovute identificazioni è omeomorfo a IRP 2 ♯IRP 2 .Concludiamo osservando che le superficinT := T ♯ . . . ♯T n voltenIRP 2 := IRP 2 ♯ . . . ♯IRP 2 n voltepossono essere rappresentate rispettivamente da 4n-agoni (poligoni con 4nlati) e 2n-agoni i cui bordi sono 4n-poligonali e 2n-poligonali con i latiidentificati due a due e di tipoa 1 1b 1 1a −11 b −11 . . . a 1 nb 1 na −1na 1 1a 1 1a 1 2a 1 2 . . . a 1 na 1 n .b −1n ,Il prossimo teorema, la cui dimostrazione si basa sul fatto che qualsiasisuperficie è triangolabile, classifica le superfici. 1L’esistenza di una triangolazioneper una superficie (più precisamente, data una superficie S esiste1 Ricordiamo che la parola superficie indica una varietà topologica di dimensione due,compatta e connessa.

148 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEun complesso simpliciale finito K tale che |K| ∼ = S) è stata dimostrata perprimo da Tibor Radó nel lavoro Über den Begriff der Riemannschen Fläche,Acta Litt. Sci. Szeged 2 (1925), 101-121. In questi appunti non daremo taledimostrazione.Teorema 4.2.3 (Teorema Fondamentale delle Superfici) - Qualsiasi superficiecompatta e connessa è omeomorfa ad una delle seguenti superfici:(i) S 2(ii) nT := T ♯ . . . ♯T n volte(iii) nIRP 2 := IRP 2 ♯ . . . ♯IRP 2 n volte .Dimostrazione – La dimostrazione del teorema non è particolarmente difficilema è piuttosto lunga e pertanto, sarà divisa in diversi parti.Siano S una superficie e K una sua triangolazione. Il complesso K ha unnumero finito di vertici, 1-simplessi e 2-simplessi; supponiamo che K abbian 2-simplessi. Le realizzazioni geometriche degli 1-simplessi sono dette lati equelle dei 2-simplessi, triangoli.Parte I. - Considerazioni preliminari1. Ogni lato di S è lato di due triangoli soltantoSia p un punto arbitrario del lato l; siccome S è una superficie, esisteun aperto U ⊂ S che contiene p ed è omeomorfo ad un disco aperto di IR 2 ;assumiamo senza dimostrazione il fatto che se p fosse un punto di un solotriangolo (o di pi‘˘di due triangoli), questo non sarebbe possibile.2. Sia v un vertice di K; allora i triangoli con vertice v possono esseredisposti in ordine ciclicatale cheT 0 , T 1 , . . . , T r = T 0T i−1 ∩ T i = l i

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 1491 ≤ i ≤ r.Da 1. si ottiene che in principio potremmo avere diversi insiemi di triangolicome sopra intorno a v; questi avrebbero in comune soltanto il punto vma siccome S è una superficie, v ha un intorno aperto omeomorfo a un discoaperto di IR 2 e perciò, abbiamo un solo isieme come descritto sopra.3. Gli n triangoli di |K| possono essere indicizzati nella formaT 1 , T 2 , . . . , T nin tal modo che ogni T i abbia un lato l i in comune con al meno uno deitriangoli T 1 , . . . , T i−1 , 2 ≤ i ≤ n.Diamo il nome T 1 ad un triangolo arbitrario di |K| e prendiamo perT 2 un triangolo che abbia un lato in comune con T 1 ; a seguito scegliamoun triangolo che abbia un lato in comune con T 1 o T 2 e chiamiamolo T 3 .Supponiamo avere indicizzato i triangoli T 1 , T 2 , . . . , T k in questo modo e poiessere bloccati, cioè non ci è possibile trovare T k+1 con la suddetta proprietà;a questo punto riprendiamo il processo con un triangolo che non sia tra i ktriangoli già scelti, per ottenere un altro insieme di triangoli T k+1 , . . . , T l icui triangoli non possono avere un lato o un vertice in comune con qualsiasitriangolo del primo insieme (vedere 2.). Ma questo darebbe luogo ad unapartizione di S in due sottoinsiemi disgiunti e chiusi, cosa che è contrariaall’ipotesi di connessione su S.4. Usando i triangoli T 1 , . . . , T n e i lati l 2 , . . . , l n possiamo costruire unmodello piano di S ossia, un poligono i cui lati sono identificati a coppie eche sia omeomorfo a S.Per fare questo, prendiamo una copia τ i del triangolo standard ∆ 2 ⊂ IR 3di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) per ogni T i , i = 1, . . . , n. Il triangolo T iè omeomorfo al triangolo euclideo τ i tramite un omeomorfismo φ i : τ i → T i .

150 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHESiaφ : τ = ⊔ n i=1τ i −→ Sla mappa definita da φ|τ i = φ i , i = 1, . . . , n. Siccome τ è compatto e Sè Hausdorff, φ è una mappa chiusa; essendo φ suriettiva, lo spazio S hala topologia quoziente relativa alla mappa φ. Ora facciamo alcune identificazioniin τ. Consideriamo il lato l i di T i ; d’accordo con 3. l i è un lato diun triangolo T j , 1 ≤ j < i. Dunque,φ −1 (l i ) = λ i ⊔ λ jcon λ i e λ j lati dei triangoli euclidei τ i e τ j rispettivamente. A questo puntofacciamo le identificazioni seguenti: siano x ∈ λ i e y ∈ λ j due punti dati;allora,x ≡ y ⇐⇒ φ i (x) = φ j (y) .Sia D lo spazio quozienteD = τ/ ≡e sia q : τ → D la mappa quoziente; l’epimorfismo φ : τ → S si decomponenella formaqψφ : τ > D > Se siccome ψ : D → S è chiusa e suriettiva, S ha anche la topologia quozienterelativa a ψ. Inoltre, essendo ogni τ i omeomorfo ad un disco chiuso D 2 , lospazio D è omeomorfo ad un disco chiuso. Lo spazio D può essere interpretatocome un poligono triangolato orientato il cui bordo ∂D ha un numero paridi lati e dunque, S si ottiene tramite l’identificazione di certe coppie di latidi D (il lettore deve tenere presente che la superficie S non ha un bordo –questo deriva dalla nostra definizione di varietà). Ora scegliamo un ordine dipersorso per la poligonale ∂D (per esempio, nel senso orario) e indichiamo

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 151i lati orientati di ∂D con le lettere latine a, b, c, . . ., dotate dell’esponente1 (rispettivamente, -1) ogniqualvolta il corrispondente lato è orientato nelmedesimo senso dell’ordine di percorso stabilito per ∂D (rispettivamente, ilcorrispondente lato è orientato nell’ordine opposto a quello di ∂D); in questomodo ∂D è rappresentata da una successione di simboli del tipoa 1 b 1 a −1 c −1 b −1 . . .(prescindendo dall’esponente 1 o −1, ogni lettera a, b, c, . . ., compare duevolte).Prima di passare alla seconda parte della dimostrazione diamo le seguentidefinizioni:1. una coppia di lati che compare con i due esponenti +1 e -1 (per esempio,la coppia di lati indicati dalla lettera a nella poligonale orientataa 1 b −1 . . . a −1 e 1 . . . )è detta di tipo I ; altrimenti, diciamo che la coppia è di tipo II ;2. malgrado i lati del nostro poligono sono identificati a coppie, i verticisono identificati a insiemi con un numero variabile di elementi; duevertici sono detti equivalenti nel caso in cui sono identificati.Parte II - Eliminazione delle coppie di Tipo I adiacentiQui supponiamo che la nostra superficie sia rappresentata da un poligonocon 4 lati al minimo; la sfera S 2 , data da un 2-agono a 1 a −1 non può evidentementerientrare in questo discorso. Supponiamo che il nostro poligono abbiacome bordo una poligonale orientata . . . a 1 a 1 . . .. Siano O a e F a i vertici dellato a; nella poligonale che abbiamo indicato i lati a 1 e a −1 si incontrano nelvertice F a . Per eliminare la coppia a 1 a −1 tiriamo il vertice F a all’interno del

152 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEpoligono e identifichiamo i lati a; in questo modo eliminiamo la coppia e ilvertice F a .Parte III - Trasformazione in un poligono con tutti i vertici identificatiAnche qui non consideriamo la sfera S 2 , rappresentata da un 2-agonocon 2 vertici non identificabili. Il poligono rappresentante la superficie deveavere al meno due lati adiacenti con vertici non equivalenti; siano essi ae b con vertici O a , F a , O b e F b (più precisamente, supponiamo avere peresempio la poligonale . . . a 1 b 1 . . . a 1 . . . e i vertici in successione . . . O a , F a =O b , F b . . . O a , F a . . .). Ora facciamo la seguente trasformazione di questo poligono:siccome il lato a compare un’altra volta nella poligonale data dal bordodel poligono, disegnamo il segmento c = O a F b e tagliamo fuori il triangoloO a F a F b incollandolo poi al lato a rimanente, tramite a. In questo modootteniamo un nuovo poligono con bordo . . . c 1 . . . c 1 b −1 . . . e i vertici in successione. . . O a , F b , . . . , O a , F b , F a = O b , . . .. A questo punto osserviamo chenel primo poligono la classe di equivalenza del vertice F a ha al meno 2 elementi,ma la classe di F a nel poligono trasformato ha un elemento in meno(si noti che la classe di F b aumenta di elemento nel poligono trasformato). Inquesto processo può accadere che formiamo coppie adiacenti di Tipo I, cheeliminiamo; poi riprendiamo la trasformazione appena descritta. Il processosi ripete fino alla eliminazione completa della classe di F a . In questo modootteniamo un poligono con tutti i vertici identificati ad un solo vertice.Parte IV - Trasformazione delle coppie di Tipo II in coppie adiacentiSupponiamo che il poligono rappresentante la superficie abbia una coppiadi lati non adiacenti del Tipo II; per esempio, con un bordo . . . a 1 . . . a 1 . . ..Come al solito, i vertici di a sono O a e F a . Tagliamo il poligono lungo il

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 153segmento b che unisce le “origini” O a dei due lati a e identifichiamo questi dueultimi; otteniamo un poligono con bordo . . . b 1 b 1 . . .. Proseguendo in questomodo si ottiene un poligono in cui tutte le coppie di Tipo II sono adiacenti; senon esistono coppie di Tipo I siamo arrivati alla fine del processo: la nostrasuperficie è una somma connessa di piani proiettivi reali.Supponiamo che il poligono abbia al meno una coppia di lati di Tipo I; inquesto caso, possiamo dimostrare che esiste al meno un’altra coppia di TipoI separata dalla prima, ossia il bordo del poligono potrebbe avere l’aspettoseguente:. . . . . . a . . . b −1 . . . a −1 . . . b 1 . . . .Infatti, supponiamo che l’affermazione fatta non sia vera cioè, oltre alla coppiaa 1 , a −1 non abbiamo un’altra coppia di Tipo I. Siccome tutte le coppiedi lati di Tipo II sono adiacenti (abbiamo concluso il processo IV) il bordodel poligono in due parti A e B separate tra loro dai lati a 1 e a −1 e tali che:1. un lato di A si identifica ad un lato adiacente in A;2. un lato di B si identifica ad un lato adiacente in B;3. nessun lato di A si identifica ad un qualsiasi lato di B .Ma questo è in contradizione con il fatto che i vertici O a e F a devono essereidentificati (vedere Parte III).Parte V - Coppie di Tipo ISupponiamo di avere due coppie di Tipo I separate tra loro come abbiamoosservato di sopra cioè, supponiamo che il nostro poligono abbia un bordodel tipo. . . a 1 . . . b 1 . . . a −1 . . . b −1 . . . .Tagliamo il poligono lungo il segmento c = F a F a e incolliamo la parte delpoligono tra c e b 1 (questa porzione del poligono non contiene i lati a) lungo

154 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEb al rimanente poligono, per ottenere un poligono il cui bordo è dato dallapoligonale. . . a 1 c 1 a −1 . . . c −1 . . . .In questo modo possiamo ottenere un poligono il cui bordo è di tipo. . . c 1 d 1 c −1 d −1 . . . .Se il nostro poligono non ha nessuna coppia di Tipo II ma soltanto coppie diTipo I consecutive, ossia il poligono ha un bordo di tipoa 1 1b 1 1a −11 b −11 . . . a 1 nb 1 na −1nb −1n ,allora la superficie è la somma connessa di n tori.Parte VI - Coppie di Tipo I e di Tipo IISupponiamo che il poligono che rappresenta la superficie abbia coppie dilati dei due tipi; i risultati precedenti indicano la possibilità di avvicinare talecoppie in modo che una porzione del bordo rappresenti la somma connessadi un toro con un piano proiettivo reale (o di un piano proettivo reale con untoro); questo “caso misto” in verità non si propone perché, come dimostreremoin seguito, la somma connessa di un toro con un piano proiettivo reale èomeomorfa alla somma connessa di tre piani proiettivi reali.A questo scopo facciamo due osservazioni preliminari:A. Il piano proiettivo reale può essere ottenuto mediante l’aggiunzione di undisco a una fascia di MöbiusInfatti, la fascia di Möbius M si ottiene da un quadrato identificando i lativerticali con orientazione contraria: per esempio, M proviene dal quadratoI × I tramite le identificazioni:(0, t) ≡ (1, 1 − t) , 0 ≤ t ≤ 1 .

4.2. SUPERFICI TOPOLOGICHE 155Siano D 2 il disco unitario di IR 2 e S 1 = ∂D 2 . Definiamo la funzione⎧⎪⎨ (2t, 0) , 0 ≤ t ≤ 1f : S 1 → M , e 2πit 2↦→⎪⎩1(2t − 1, 1) , ≤ t ≤ 1 ;2il lettore può verificare senza difficoltà che IRP 2 è dato dal pushoutfS 1 > M∨∨∨ ¯f ∨D 2 > IRP2Il lettore potrebbe anche studiare il problema a ritroso: il piano proiettivoreale ha per modello un disco chiuso D 2 con bordo a 1 a 1 ; sia O a l’origine dia; sia D un piccolo disco chiuso contenuto in D 2 e con centro in O a ; si vedefacilmente cheD 2 \ ◦ D ∼ = Me dunque, IRP 2 è omeomorfo allo spazio di aggiunzione di M e un discochiuso. Notare che M non è una superficie nel nostro senso (è una superficiecon bordo).B. La bottiglia di Klein K è omeomorfa alla somma connessa di due pianiproiettivi realiPrendiamo due copie del piano proiettivo reale rappresentate da due dischichiusi D 1 e D 2 di bordo a 1 1a 1 1 e a 1 2a 1 2 rispettivamente. Sia D ′ 1 (rispettivamenteD ′ 2) un piccolo disco contenuto in D 1 (rispettivamente D 2 ) tangente al bordodi D 1 in F a1(rispettivamente, al bordo di D 2 in O a2 ). Osserviamo cheD 1 \ ◦ D ′ 1 ∼ = triangolo orientato di bordo a 1 1a 1 1c 1D 2 \ ◦ D ′ 2 ∼ = triangolo orientato di bordo a 1 2a 1 2d 1e dunque, identificando i lati c e d otteniamo un quadrato orientato di latia 1 1a 1 1a 1 2a 1 2. Ora tagliamo questo quadrato lungo la diagonale che passa per i

156 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEvertici F a2e O a1 ; otteniamo due triangoli di bordoa 1 1a 1 2d −1 e a 1 2a 1 1d 1 ;ora identifichiamo i lati indicati con a 1 per ottenere un quadrato orientato dibordoa 1 2d −1 a −12 d −1il quale, con le identificazioni dei lati del bordo, rappresenta una bottiglia diKlein K.Per completare la dimostrazione del fatto che la somma connessa di untoro con un piano proiettivo reale è omeomorfa alla somma connessa di trepiani proiettivi reali, facciamo vedere cheT 2 ♯IRP 2 ∼ = K♯IRP 2 .Osserviamo in partenza che la somma connessa di due superfici è indipendentedalla posizione in cui si trovano i dischi da rimuovere per fare l’incollamentodelle due superfici; dunque, possiamo incollare T 2 e K nella componente diIRP 2 data dalla fascia di Möbius M. Per attaccare T 2 a M dobbiamo rimuovereun disco aperto di T 2 e un disco aperto di M e incollare i due spazi (viaun pushout!) nei bordi creati; questo è come attaccare un manico a M. Ma lospazio ottenuto è lo stesso che si otterrebbe se rimuovessimo due dischi apertidistinti di M e incollassimo un cilindro a M, identificando con la medesimaorientazione le circonferenze che limitano il cilindro ai bordi formati dallarimozione dei due dischi aperti (se percorriamo le due circonferenze limitantiil cilindro nel senso orario, i due incollamenti si faranno nel senso orario). Perattaccare una bottiglia di Klein K a M, prendiamo il cilindro che da luogoa K i lo incolliamo a M in modo che le circonferenze che limitano il cilindrosiano incollate in sensi opposti (una nel senso orario, l’altra nel senso antiorario).Ora, gli spazi ottenuto per aggiunzione di un cilindro a M nei due

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 157odi indicati sono omeomorfi tra di loro. Questo conclude la dimostrazionedella Parte VI e dunque, del Teorema.✷4.3 Il gruppo fondamentaleIl Teorema Fondamentale delle Superfici ci assicura che qualsiasi superficiecompatta connessa è omeomorfa a una delle seguenti superfici: la sfera bidimensionale,una somma connessa di tori o una somma connessa di pianiproiettivi reali. Però, a questo punto, non sappiamo ancora che i tre tipi disuperfici sopra menzionate non sono omeomorfe tra di loro; per dimostrareche di fatto queste non sono omeomorfe ci serviremo di un invariante algebricoimportante detto gruppo fondamentale.Nella sezione 1.2 abbiamo definito il concetto di omotopia tra due funzionida uno spazio topologico X ad uno spazio topologico Y ; ora vogliamoraffinare questa nozione. Siano dati due spazi X e Y , un sottospazio A ⊂ Xe due funzioni continuef 0 , f 1 : X → Ytali che (∀a ∈ A) f 0 (a) = f 1 (a). Diciamo che f 0 è omotopa a f 1 relativamenteal sottospazio A (e scriviamo f 0 ∼ A f 1 ) se esiste una mappaF : X × I → Y(detta omotopia rel. A tra f 0 e f 1 ) tale che1. F (−, 0) = f 0 , F (−, 1) = f 1 ,2. (∀(a, t) ∈ A × I) F (a, t) = f 0 (a) = f 1 (a).

158 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHELa relazione ∼ A è una relazione di equivalenza (vedere la dimostrazione delLemma 1.2.1). Se A = {x o } allora ∼ A coincide con l’omotopia puntata di1.2.Come al solito, Map(X, Y ) rappresenta l’insieme delle mappe da X a Y ;per un sottospazio A ⊂ X indichiamo con[X, Y ] A = Map(X, Y )/ ∼ Al’insieme delle classi di equivalenza per omotopia rel. A delle mappe da X aY .Ora vediamo due definizioni che saranno necessarie più avanti:1. siano A un sottospazio di X e i : A −→ X la mappa di inclusione di Ain X; allora, è un retratto di deformazione di X se esiste una funzionecontinua r : X → A tale che ri = 1 A : A → A e ir ∼ 1 X .2. con la notazione della precendente definizione, A è detto retratto fortedi deformazione di X se ri = 1 A e ir ∼ A 1 X .Dunque, se A è un retratto di deformazione di X, esiste una omotopiaF : X × I → X tale cheF (−, 0) = 1 X , F (−, 1) : X → A e F (A, 1) = 1 A .Se invece A è un retratto forte di deformazione di X, esiste una omotopiaF : X × I → X con le condizioniF (−, 0) = 1 X , F (−, 1) : X → A e (∀a ∈ A, t ∈ I)F (a, t) = a .Intuitivamente un sottospazio A di X è un retratto forte di deformazionedi X se X può essere deformato con continuità su A, mantenendo fisso Adurante la deformazione. Chiaramente, un retratto forte di deformazione è

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 159un retratto di deformazione. Le definizioni ci dicono che se A è un retratto(forte o no) di deformazione di X allora, A e X hanno lo stesso tipo diomotopia.Osserviamo che la circonferenzaS 1 = {(x, y) ∈ IR 2 |x 2 + y 2 = 1} .è un retratto forte di deformazione del cilindroesaminare l’omotopiaC = {(x, y, z) ∈ IR 3 |x 2 + y 2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1} :F : C × I −→ C , F ((x, y, z), t) = (x, y, (1 − t)z) .Se A ⊂ X è un retratto di deformazione e A = {x o } diciamo che X ècontraibile a x o . In tale caso, l’identità 1 X : X → X è omotopa alla mappacostante c : X → {x o }. Come esempio, osserviamo che il discoè contraibile a (0, 0).D 2 = {(x, y) ∈ IR 2 |x 2 + y 2 ≤ 1}A questo punto cominciamo a studiare i cammini di uno spazio topologicoY , cioè le mappe f : I = [0, 1] → Y in congiunzione con il concetto diomotopia relativa; assumiamo dunque che X = I e A = ∂I = {0, 1}. Maprima diamo la seguente definizione: la composizione di due cammini f :I → Y e g : I → Y componibili, ossia tali che f(1) = g(0), è il camminof ∗ g : I → Y definito come segue:⎧⎪⎨ f(2t) 0 ≤ t ≤ 1 2(∀t ∈ I) f ∗ g(t) =⎪⎩1g(2t − 1) ≤ t ≤ 1 .2Per capire bene il concetto di componibilità di cammini dimostriamo unaserie di quattro lemmi, dei cui il primo è il seguente:

160 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHELemma 4.3.1 Siano dati i cammini componibilif 0 , f 1 , g 0 , g 1 : I → Ye supponiamo chef 0 ∼ ∂I f 1 e g 0 ∼ ∂I g 1 .Allora, f 0 ∗ g 0 ∼ ∂I f 1 ∗ g 1 .Dimostrazione – Siano F e G le omotopie rel. ∂I tra f 0 , f 1 e g 0 , g 1 rispettivamente;allora definiamo l’omotopia H : I × I → Y come segue⎧⎪⎨ F (2t, s) , 0 ≤ t ≤ 1 2(∀(t, s) ∈ I × I)H(t, s) =⎪⎩1G(2t − 1, s) , ≤ t ≤ 1 . 2✷Sia[I, Y ] ∂I ∗ [I, Y ] ∂I ⊂ [I, Y ] ∂I × [I, Y ] ∂Il’insieme delle coppie di classi di omotopia rel. ∂I di cammini componibili;il lemma anteriore ci permette di concludere l’esistenza di una funzione[I, Y ] ∂I ∗ [I, Y ] ∂I → [I, Y ] ∂Idefinita da[f] ∂I ∗ [g] ∂I := [f ∗ g] ∂I .Lemma 4.3.2 La composizione di cammini componibili è associativa.Dimostrazione – Siano dati tre cammini f, g e h di Y tali che f siacomponibile con g e g sia componibile con h. Vogliamo dimostrare che(f ∗ g) ∗ h ∼ ∂I f ∗ (g ∗ h) .

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 161Cominciamo per osservare che, per qualsiasi t ∈ I,⎧⎪⎨(f ∗ g) ∗ h(t) =⎪⎩f(4t) , 0 ≤ t ≤ 1 4g(4t − 1) ,14 ≤ t ≤ 1 2h(2t − 1) ,12 ≤ t ≤ 1 ,e⎧⎪⎨f ∗ (g ∗ h)(t) =⎪⎩f(2t) , 0 ≤ t ≤ 1 2g(4t − 2) ,12 ≤ t ≤ 3 4h(4t − 3) ,34 ≤ t ≤ 1 .L’omotopia richiesta è data dalla formula⎧f( 4t⎪⎨) , 0 ≤ t ≤ s+11+s 4F (t, s) =s+1g(4t − s − 1) , ≤ t ≤ s+24 4⎪⎩ h( 4t−s−2s+2) , ≤ t ≤ 1 .2−s 4✷Per qualsiasi punto y ∈ Y fissato, definiamo il cammino costanteε y : I → Y , (∀t ∈ I) ε y (t) = y .Lemma 4.3.3 Sia f : I → Y un cammino di Y con f(0) = a e f(1) = b.Allora,[ε a ] ∂I ∗ [f] ∂I = [f] ∂I ∗ [ε b ] ∂I = [f] ∂I .Dimostrazione – Dimostriamo che[ε a ] ∂I ∗ [f] ∂I = [f] ∂I .Per questo definiamo l’omotopia relativa⎧⎪⎨ x ,F (t, s) =⎪⎩0 ≤ t ≤ 1−s2f( 2t+s−1s+1 ) , 1−s2≤ t ≤ 1 .

162 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHE ✷Il cammino inverso di un cammino arbitrario f è il camminof : I → Y , (∀t ∈ I)f(t) := f(1 − t) .L’ultimo lemma della serie è il seguente:Lemma 4.3.4 Per qualsiasi cammino f di Y ,[f] ∂I ∗ [f] ∂I = [ε f(0) ] ∂I ,[f] ∂I ∗ [f] ∂I = [ε f(1) ] ∂I .Dimostrazione – Dimostriamo chef ∗ f ∼ ∂I ε f(0) .A questo scopo notiamo che (∀t ∈ I)e poi scriviamo l’omotopia⎧⎪⎨ f(2t) , 0 ≤ t ≤ 1 2f ∗ f(t) =⎪⎩1f(2 − 2t) , ≤ t ≤ 12⎧⎪⎨ f(2t(1 − s)) , 0 ≤ t ≤ 1 2F (t, s) =⎪⎩1f((2 − 2t)(1 − s)) , ≤ t ≤ 1 . 2✷Per un punto y o ∈ Y fissato, un camminof : I → Y | f(0) = f(1) = y o

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 163è detto camino chiuso o laccio di base y o . L’insieme di tutti i lacci di Y dibase y o (o puntati su y o ) è indicato con Ω yo (Y ) ed è lo spazio dei lacci puntatisu y o di Y . In questi insieme l’omotopia rel. ∂I si indica con ∼ ∗ e abbiamof 0 ∼ ∗ f 1 ⇐⇒ (∃F : I × I → Y )F (−, 0) = f 0 , F (−, 1) = f 1 , F (0, −) = F (1, −) = ε yo .Notazione:π(Y, y o ) = Ω yo / ∼ ∗ .Si osservi che due lacci puntati su y o qualsiasi sono componibili; inoltre, ilemmi 4.3.1 a 4.3.4 ci permettono di concludere il seguente risultato:Teorema 4.3.5 La composizione di classi di omotopia puntata di lacci di Ypuntati su y o definisce una operazione∗ : π(Y, y o ) × π(Y, y o ) → π(Y, y o )che da a π(Y, y o ) una struttura di gruppo con elemento neutro [ε yo ] ∗ e con([f] ∗ ) −1 = [f] yo per qualsiasi elemento [f] yo ∈ π(Y, y o ).Il gruppo π(Y, y o ) è il gruppo fondamentale di Y (relativo al punto basey o ).Teorema 4.3.6 La costruzione del gruppo fondamentale definisce un funtorecovarianteπ : T op ∗ → Gr .Dalla definizione data si intuisce che il gruppo fondamentale di uno spaziodipende dal punto base (vedere Esercizio ?????); vale il teorema seguente:Teorema 4.3.7 Un cammino qualsiasi f : I → Y con f(0) = y 0 e f(1) = y 1da luogo a un isomorfismo di gruppiφ f : π(Y, y 0 ) → π(Y, y 1 ) .

164 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHECorollario 4.3.8 I gruppi fondamentali di uno spazio connesso per archinon dipendono dal punto base (cioè, sono tutti isomorfi).Due cammini diversi di Y colleganti due punti y 0 , y 1 ∈ Y in generaledanno luogo a due isomorfismi diversi tra π(Y, y 0 ) e π(Y, y 1 ); il risultatosuccessivo ci fa vedere che si possono classificare i cammini all’origine almedesimo isomorfismo.Teorema 4.3.9 Siano f, g : I → Y due cammini con f(0) = g(0) = y 0 ef(1) = g(1) = y 1 . Allora,φ f = φ g ⇐⇒ [g ∗ f] ∗ ∈ Zπ(Y, y 0 )(Zπ(Y, y 0 ) rappresenta il centro di π(Y, y 0 )).4.3.1 Gruppi fondamentali di poliedriNon esistono regole fisse per calcolare il gruppo fondamentale di uno spaziopuntato arbitrario; però esiste un metodo pratico ed efficace per calcolareil gruppo fondamentale di un poliedro puntato su un vertice. Si consigliail lettore di rivedere la materia relativa ai complessi simpliciali e la lororealizzazione geometrica, anche per riguardare la notazione.Teorema 4.3.10 Sia |K| un poliedro connesso per cammini e puntato in unsuo vertice a o . Sia |L| un sottopoliedro di |K| tale che:1. dim(|L|) = 1;2. |L| contiene tutti i vertici di |K|;3. |L| è contraibile a un punto.

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 165D’altro canto, siano: (i) S un insieme di simboli g ij associati ad ogni 1-simplesso {a i , a j } ∈ K;(ii) R = {g ij |{a i , a j } ∈ L} ∪ {g ij g jk g ki |{a i , a j , a k } ∈ K} .Allora,π(|K|, a o ) ∼ = Gp(S; R) .Dimostrazione – Come prima cosa ordiniamo l’insieme finito dei vertici di|K|:a 0 = a o < a 1 < . . . < a n .Dunque, ogni p-simplesso σ di |K| può essere scritto nella formaσ = {a i0 , . . . , a ip } .Sia I il complesso simpliciale con due vertici 0,1 e un unico 1-simplesso {0, 1};si osservi che |I| ∼ = I. Ora prendiamo un elemento arbitrario [f] ∈ π(|K|, a o )rappresentato dal laccio f : I → |K|; per il Teorema dell’ApprossimazioneSimpliciale 2.3.3 esiste una funzione simplicialeg : I (r) → Ktale che – con la dovuta identificazione I (r) ∼ = I – |g| ∼ f. Dunque la classedi omotopia [f] può essere rappresentata da un cammino chiuso puntato ina o formato esclusivamente da 1-simplessi di K.Definiamo un omomorfismo di gruppiφ : Gp(S; R) −→ π(|K|, a o )nel modo seguente: sia {a i , a j } il simplesso associato al generatore g ij ∈ S;siccome L contiene tutti i vertici di K, scegliamo in L due cammini conorigine a o :

166 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHE1. α i , cammino in L da a o a a i e2. α j , cammino in L da a o a a j ;a questo punto definiamoφ(g ij ) := [α i {a i , a j }α −1j ] .Si osservi che φ è indipendente dalla scelta di α i e α j : un cammino di 1-simplessi contenuto in L è contraibile data la contraibilità di quest’ultimo;dunque, se α ′ i e α ′ j fossero nuovi cammi di 1-simplessi da a o ad a i e a jrispettivamente, α i ∼ α ′ i e α j ∼ α ′ j perché contraibili.Supponiamo che {a i , a j , a k } sia un 2-simplesso di K; allora,φ(g ij )φ(g jk )φ(g ki ) =[α i {a i , a j }α −1j][α j {a j , a k }αk−1 ][α k{a k , a i }αi −1 ] =[α i α −1i ] = 1e dunque φ si estende a un omomorfismo di gruppi.Ora definiamo un omomorfismoψ : π(|K|, a o ) −→ Gp(S; R) .Per ogni 1-simplesso {a i , a j } di K definiamo il simbolo⎧⎪⎨ g ij se {a i , a j } ∈ K \ Lh ij :=⎪⎩ 1 se {a i , a j } ∈ L ;questi simboli ci servono per definire ψ su un elemento arbitrario [f] ∈π(|K|, a o ) rappresentato da un cammino chiuso di 1-simplessiα = {a o , a i }{a i , a j } . . . {a k , a o } :

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 167ψ([f]) := h oi h ij . . . h ko ∈ G .Ora, per qualsiasi generatore g ij di G,ψφ(g ij ) = ψ([α i {a i , a j }αj−1 ]) = g ijperché i cammini α i e α j sono costituiti da 1-simplessi di L (vedere ladefinizione di φ). Dunque,ψφ = 1 G .D’altro lato, per qualsiasi 1-simplesso {a i , a j } di Kφψ([α i {a i , a j }αj−1 ]) = [α i {a i , a j }αj −1 ](qui α i e α j sono cammini di L presi come per la definizione di φ). Dunque,per un cammino chiuso di 1-simplessiα = {a o , a i }{a i , a j } . . . {a k , a o } ,possiamo scrivereφψ(α) = φψ([α o {a o , a i }αi−1 ]) . . . φψ([α k {a k , a o }αo −1 ]) =e perciò, φψ = 1 π(|K|,ao) .[α o {a o , a i }αi−1 ] . . . [α k {a k , a o }αo −1 ] = α ,✷Il teorema precedente dipende dall’esistenza di un cammino unidimensionalee contraibile di K che contenga tutti i vertici; ora facciamo alcuneconsiderazioni per dimostrare l’esistenza di un tale cammino in qualsiasi complessosimpliciale connesso finito. Un albero di |K| è un sottopoliedro unidimensionalecontraibile |L| ⊂ |K|; l’esistenza di alberi in un poliedro |K| è

168 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEgarantita dal fatto che la realizzazione geometrica di un qualsiasi 1-simplessodi K essendo omeomorfa al disco D 1 è contraibile. Gli alberi di un complessosono parzialmente ordinati per inclusione; un albero è detto massimalese non è contenuto in un albero strettamente pi‘ğrande; siccome K è finito,l’esistenza di un albero massimale è garantita.Lemma 4.3.11 Se |K| è connesso per cammini e |L| è un albero massimale,allora L contiene tutti i vertici di K.Dimostrazione – Supponiamo che a sia un vertice di K che non sia unvertice di L. Prendiamo un vertice qualsiasi b di L e siccome |K| è connessoper cammini, esiste un cammino che collega b a a, che per il Teorema 2.3.3può essere pensato come un cammino di 1-simplessi di Kα = {b, x 0 }.{x 0 , x 1 }. . . . .{x n , a} .Sia x r l’ultimo vertice di α in L; dunque {x r , x r+1 } è un 1-simplesso che nonappartiene ad L (possiamo supporre che x r ≠ x r+1 perché a ∉ L). Da questofatto concludiamo che|L| = |L| ∪ |{x r , x r+1 }|è un sottocomplesso unidimensionale di |K| strettamente più grande di |L|e contraibile perché unione di due spazi contraibili con un punto in comune.Dunque, |L| non è massimale, contrariamente all’ipotesi.✷Ora calcoliamo i gruppi fondamentali di alcuni spazi a mò di esempi.(I) π(S 1 , a o ) ∼ = Z.Triangoliamo la circonferenza con il complesso simpliciale K di verticia o , a 1 , a 2 e 1-simplessi{a o , a 1 }, {a 1 , a 2 } e {a 2 , a o } .

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 169Qui abbiamo l’albero massimale |L| dato dai due simplessi {a o , a 1 } e {a 1 , a 2 }.Dunque, per il Teorema 4.3.10, π(S 1 , a o ) ha un solo generatore.(II) π(S 2 , a o ) = 0.Immediato da 4.3.10, triangolando S 2 come il bordo di un tetraedro.(III) π(T 2 , a o ) ∼ = Z × ZPrendiamo la triangolazione del toro con 9 vertici, 27 spigoli e 18 faccecome nella Figura 1 alla fine del capitolo. L’albero massimale |L| è dato dallerealizzazioni geometriche degli 1-simplessi seguenti:{a 0 , a 1 }, {a 1 , a 3 }, {a 3 , a 5 }, {a 5 , a 2 }, {a 2 , a 6 }, {a 6 , a 7 }, {a 7 , a 8 }, {a 8 , a 4 } .Alla fine di parecchi calcoli troviamo due generatori: g 20 , g 40 e una relazione:g 20 g 40 g20 −1 g40−1che appunto ci permettono di concludere l’enunciato.(IV) π(IRP 2 , a o ) ∼ = Z 2 .Prendiamo la triangolazione del piano proiettivo reale con 6 vertici, 15spigoli e 10 facce come nella Figura 2 alla fine del capitolo. L’albero massimale|L| è dato dalle realizzazioni geometriche degli 1-simplessi seguenti:{a 0 , a 1 }, {a 1 , a 2 }, {a 2 , a 3 }, {a 3 , a 4 }, {a 4 , a 5 } .In questo esempio abbiamo un solo generatore g 02 e una relazione g 2 02.Il Teorema 4.3.10 permette di calcolare il gruppo fondamentale di unpoliedro connesso ma a caro prezzo: infatti, il numero dei generatori e dellerelazioni può essere eccessivamente grande. Così cerchiamo di ottenere risultatiin modo più economico; con questo obiettivo in mente facciamo alcuneconsiderazioni.Nella Sezione 1.2 abbiamo dimostrato che la categoria dei gruppi è chiusaper pushout. Ritorniamo a questa affermazione. Siano G 1 e G 2 due gruppi

170 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEdati da generatori e relazioniG 1 = Gp(S 1 , R 1 ) e G 2 = Gp(S 2 , R 2 ) ;ora diamo il diagramma di gruppi e omomorfismiGf> G 1ge consideriamo l’insieme∨G 2R f,g = {f(x)g(x) −1 |x ∈ G} .Allora, il gruppo (unico a meno di isomorfismi)G 1 ⋆ f,g G 2 := Gp(S 1 ∪ S 2 ; R 1 ∪ R 2 ∪ R f,g )– detto somma amalgamata dei gruppi G 1 e G 2 relativa agli omomorfismi fe g – ha le seguenti proprietà:1. esistono due omomorfismig : G 1 −→ G 1 ⋆ f,g G 2f : G 2 −→ G 1 ⋆ f,g G 2tali che fg = gf;2. per qualsiasi gruppo H e omomorfismih : G 1 → H e k : G 2 → Htali che hf = kg, esiste un unico omomorfismol : G 1 ⋆ f,g G 2 −→ H

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 171tale chelf = k e lg = h .In particolare, se G = 0 allora, f = g = 0, R f,g = 0 eG 1 ⋆ 0,0 G 2 := Gp(S 1 ∪ S 2 ; R 1 ∪ R 2 )(anche descritto da G 1 ⋆ G 2 ) è detto prodotto libero di G 1 e G 2 .Teorema 4.3.12 Siano |L| e |M| due poliedri connessi per cammini e nondisgiunti e sia a o un vertice comune a ambi. Il diagramma,π(|L ∩ M|, a o ) π(i L)> π(|L|, a o )π(i M )∨π(|M|, a o )π(i M )∨> π(|L ∪ M|, a o )π(i L )(in cui i L e i M sono le mappe di inclusione) è un pushout.Dimostrazione – Estendiamo un albero massimale |A(L ∩ M)| di |L ∩ M|agli alberi massimali |A(L)| e |A(M)| di |L| e |M| rispettivamente; l’unione|A(L)| ∪ |A(M)| = |A(L ∪ M)|è un albero massimale di |L ∪ M| e dunque contiene tutti i vertici di L ∪ Mper il Lemma 4.3.11.Ora ordiniamo i vertici di L∪M; con questo i vertici di L e di M vengonoordinati automaticamente. Per il Teorema 4.3.5 sapiamo che π(|L ∪ M|, a o )è generato dagli elementi g ij corrispondenti agli 1-simplessi ordinati {a i , a j }di L ∪ M \ A(L ∪ M), con le relazioni g ij g jk g ki relative ai 2-simplessi ordinati{a i , a j , a k } di L ∪ M.

172 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHED’altro lato, la somma amalgamata dei gruppi π(|L|, a o ) e π(|M|, a o )relativamente agli omomorfismiπ(i L ) : π(|L ∩ M|, a o ) → π(|L|, a o ) ,π(i M ) : π(|L ∪ M|, a o ) → π(|M|, a o )è determinata dai generatori g ij e h ij corrispondenti rispettivamente agli 1-simplessi ordinati di L\A(L) e M \A(M) con le relazioni g ij g jk g ki , h ij h jk h kieπ(i L )g ij (π(i M )h ji ) −1ogniqualvolta g ij = h ij in L ∩ M.Ora è facile vedere che il gruppo π(|L ∪ M|, a o ) descritto dai generatori erelazioni come sopra e la somma amalgamata in questione coincidono. ✷Corollario 4.3.13 Se π(|L ∩ M|, a o ) = 0, allora π(|L ∪ M|, a o ) è il prodottoliberoπ(|L|, a o ) ⋆ π(|M|, a o ) .Prima di passare ad un altro risultato facciamo alcune considerazioni. Sia|K| un poliedro connesso per cammini e sia α un cammino chiuso puntatosu un vertice a 0 ∈ K, fatto dalle realizzazioni geometriche di 1-simplessi:α = |{a 0 , a 1 }|.|{a 1 , a 2 }|. . . . .|{a n , a 0 }| .Prendiamo un disco D 2 di centro c e dividiamo il suo bordo ∂D 2 in n+1 partitramite i punti (distinti) b 0 , . . . , b n . Sia D = (Y, Φ) il complesso simplicialedi verticiY = {c, b 0 , . . . , b n }

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 173e simplessiΦ = {c, b 0 , . . . , b n ; b 0 b 1 , b 1 b 2 , . . . , b n b 0 , cb 0 , cb 1 , . . . , cb n ,cb 0 b 1 , cb 1 b 2 , . . . , cb n b 0 }(tralasciamo le parentesi graffe che indicano i simplessi). Il complesso simpliciale∂D di dimensione 1 formato dai simplessi{b 0 , . . . , b n ; b 0 b 1 , b 1 b 2 , . . . , b n b 0 }è un sottocomplesso di D; si noti che|D| ∼ = D 2 e |∂D| ∼ = ∂D 2 ∼ = S 1 .Consideriamo la funzione simplicialef : ∂D → K , (∀i = 0, 1, ..., n) f(b i ) = a ie sia X uno spazio di aggiunzione definito dal pushoutS 1 ∼ = |∂D||f|> |K|∨D 2 ∼ = |D||f|∨> XIn queste condizioni abbiamo il seguente:Teorema 4.3.14 Il gruppo fondamentale π(X, a 0 ) si ottiene dal gruppo π(|K|, a 0 )aggiungendo la relazione definita dalla classe di omotopia del cammino α.Dimostrazione – Facciamo un passo indietro: prima di incollare D 2 a Kritriangoliamo D 2 aggiungendo 2(n + 1) nuovi verticic 0 , c 1 , . . . , c n ; d 0 , d 1 , . . . , d n

174 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEe irisultanti 1-simplessi e 2-simplessi, come nella Figura ?? . Lo spazio che siottiene con l’incollando D 2 così triangolato a K è ancora X; si noti che Xpuò essere interpretato come la realizzazione geometrica di un complesso simplicialeastratto W . Prendiamo il 2-simplesso σ = {b 0 , c 0 , d 0 } e consideriamoil pushout|W \ σ| ∩ |σ|i W \σ>|W \ σ|i σ∨ ∨i σ|σ|i W \σ> XPer il Teorema 4.3.12 concludiamo che π(X, a 0 ) è un pushout del diagrammaπ(|W \ σ| ∩ |σ|, a 0 ) π(i W \σ)> π(|W \ σ|, a0 )π(i σ )∨π(|σ|, a 0 )e dunque, π(X, a 0 ) si ottiene prendendo il prodotto liberoπ(|σ|, a 0 ) ⋆ π(|W \ σ|, a 0 )e aggiungendoci le relazioniπ(i W \σ )(c)(π(i σ )(c)) −1con c il generatore di π(|∂σ|, a 0 ) (osservare che|W \ σ| ∩ |σ| = |∂σ|e ∂σ è il complesso simpliciale unidimensionale definito dagli 1-simplessi{b 0 , c 0 }, {c 0 , d 0 } e {d 0 , b 0 }).

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 175Siccome π(|σ|, a 0 ) = 0 la situazione si semplifica di parecchio: π(X, a 0 )proviene da π(|W \ σ|, a 0 ) con l’aggiunzione della relazioneπ(i W \σ )(c) = |{b 0 , c 0 }|.|{c 0 , d 0 }|.|{d 0 , b 0 }| .Ci manca soltanto calcolare il gruppo fondamentale di |W \ σ|. A questoscopo prendiamo il baricentro b(σ) di σ e proiettiamo radialmente |D \ σ|su |∂D|; otteniamo una retrazione che si estende a una retrazione forte dideformazioneF : |W \ σ| −→ |K|con F (|{b 0 , c 0 }|.|{c 0 , d 0 }|.|{d 0 , b 0 }|) = α. Concludiamo la dimostrazione osservandoche F induce un isomorfismo tra i gruppi di omotopia interessati. ✷Ricalcoliamo il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale senza ricorrerea tanti generatori e relazioni come abbiamo fatto quando aplicammoil Teorema 4.3.10. Sappiamo che IRP 2 si ottine da un disco D 2 identificandoi punti antipodali del bordo ∂D 2 ; in atre parole, IRP 2 è un pushout deldiagrammaS 1f> S 1g∨D 2f : S 1 → S 1 , (cos θ, sin θ) ↦→ (cos(2θ), sin(2θ)) .Abbiamo un solo generatore (quello di π(S 1 , a o ) dato dal cammino chiuso α)e una sola relazione α 2 ; dunque π(IRP 2 , a o ) ∼ = Z 2 .

176 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHE4.3.2 Poliedri con gruppo fondamentale datoVogliamo dimostrare che per qualsiasi gruppo G dato da un numero finito digeneratori e relazioni esiste un poliedro il cui gruppo fondamentale è G. Piùprecisamente:Teorema 4.3.15 Sia G = Gp(S; R) un gruppo dato dai generatori S ={g i , . . . , g m } e dalle relazioni R = {r 1 , . . . , r n }. Allora esiste un poliedro |K|di dimensione 2, tale cheπ(|K|, a o ) ∼ = Gper un certo vertice a o ∈ K.Dimostrazione – Per ciascun generatore g i prendiamo una circonferenza S 1 icon un punto base e i ∈ S 1 i , i = 1, . . . , m. Consideriamo l’insiemeY = S 1 1 ∨ S 1 2 ∨ . . . ∨ S 1 mdi tutte le m-uple (x 1 , . . . , x m ) ∈ S1×. 1 . . Sm 1 con al massimo una coordinata x idiversa dal rispettivo punto base e 1 i ; diamo a Y il punto base a o = (e 1 , . . . , e m )e la topologia indotta dalla topologia dello spazio prodotto S1 1 ×. . .×Sm. 1 Quici fermiamo un momento per dare a Y un’altra interpretazione. Prendiamoil pushout{x}i 1> S 1 1i 2∨ ∨i 2S21 i 1> Z(con i i (x) = e i , i = 1, 2); si noti che Z ∼ = S1 1 ∨ S21 e per induzione, ancheS1∨S 1 2∨. 1 . .∨Sm 1 può essere interpretato come lo spazio pushout di un apposito

4.3. IL GRUPPO FONDAMENTALE 177diagramma. Inoltre, si osservi che in virtu del Corollario 4.3.13 π(S1 1 ∨S2, 1 e) èun gruppo libero a due generatori e, più generalmente, π(S1 1 ∨S2 1 ∨. . .∨Sm, 1 e)è un gruppo libero a m generatori.Ora torniamo al nostro teorema. Una relazione, diciamo r j , è una parolar j = b ɛ 1i1. . . b ɛpi pcon ɛ i = ±1 ; in corrispondenza alla parola r j definiamo una funzionef j : S 1 −→ Ynel modo seguente: siccome la parola r j ha p lettere, dividiamo S 1 in p partiuguali; il q mo arco viene avvolto completamente nella componente S 1 i qdi Ynel senso orario se ɛ q = +1 e in quello antiorario se ɛ q = −1. Analiticamente,tale funzione viene espressa come segue:⎧⎪⎨ (cos(pθ − 2(q − 1)π), sin(pθ − 2(q − 1)π) , ɛ q = +1f j (cos θ, sin θ) =⎪⎩ (cos(2qπ − pθ), sin(2qπ − pθ)) , ɛ q = −1 ,con 2(q − 1)π/p ≤ θ ≤ 2qπ/p , 1 ≤ q ≤ p. (Rivedere la funzione f : S 1 → S 1usata per calcolare il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale pocoprima dell’inizio di questa sottosezione.)A questo punto costruiamo il pushout∂W = ∨ n j=1S 1 j∨f j> Y∨W = ∨ n j=1D 2 j∨f j∨> Xin altre parole, costruiamo uno spazio X incollando n dischi 2-dimensionaliD 2 j a Y tramite le funzioni f j , j = 1, . . . , n, una per ogni relazione r j .

178 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEPossiamo considerare lo spazio Y come la realizzazione geometrica di uncomplesso simpliciale di dimensione 1, con 2m + 1 verticia o ; a 1 1, a 1 2; a 2 1, a 2 2; . . . ; a m 1 , a m 2(i vertici a i 1, a i 2 in corrispondenza con due punti distinti di S 1 i e a o = (e 1 , . . . , e m ))e 3m 1-simplessi{a o , a 1 1}, {a 1 1, a 1 2}, {a 1 2, a o }; . . . ; {a o , a m 1 }, {a m 1 , a m 2 }, {a m 2 , a o }(ogni gruppo di tre 1-simplessi corrisponde ad una circonferenza). Dopo diche, pensiamo al disco D 2 j corrispondente alla relazione r j data da una paroladi lunghezza p come un 3p-poliedro regolare, j = 1, . . . , n. In questo modo, ildisco D 2 j è incollato a Y – come abbiamo fatto nel Teorema 4.3.14 – tramiteil cammino chiuso di 1-simplessi geometrici˜r j = (|{a o , a i 11 }|.|{a i 11 , a i 12 }|.|{a i 12 , a o }|) ɛ 1. . . (|{a o , a ip1 }|.|{a ip1 , a ip2 }|.|{a ip2 , a o }|) ɛpD’altro lato, il gruppo fondamentale di Y è il gruppo libero generatoda ˜g i , i = 1, . . . , n con ogni ˜g i uguale alla classe di omotopia del camminogeometrico chiuso|{a o , a i 1}|.|{a i 1, a i 2}|.|{a i 2, a o }| .Concludiamo la dimostrazione invocando il Teorema 4.3.14.✷Il Teorema 4.3.15 può essere addoperato a ritroso per calcolare il gruppofondamentale di certi poliedri bidimensionali: infatti, se un poliedro |K| ècostruito come nel teorema, abbiamo subito i generatori e le relazioni chedefiniscono il gruppo fondamentale di |K|. Ad esempio, sia |K| = T 2 il toro;invocando la Figura 1 e chiamando i lati a 0 a 1 a 2 a 0 e a 0 a 3 a 4 a 0 rispettivamentecon a e b, vediamo che π(T 2 , a 0 ) è il gruppo definito dai generatori a, b e larelazione aba −1 b −1 e dunque, π(T 2 , a 0 ) ∼ = Z × Z.

4.4. CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI 179Esercizi:1. Dimostrare che un disco n-dimensionale (con n ≥ 1) è contraibile a qualsiasidei suoi punti.2. Sia X = ??? e a 1 , a 2 ∈ X. Dimostrare che i gruppi fondamentali puntati ina i non sono isomorfi.3. Usare l’esercizio 2 per dimostrare che l’omologia dello spazio S 1 ∨ S 1 ∨ S 2coincide con l’omologia del toro T 2 . Inoltre, dimostrare che i gruppi fondamentalidel toro T 2 e dello spazio S 1 ∨ S 1 ∨ S 2 non sono isomorfi; dunque,questi spazi, malgrado abbino la stessa omologia, non hanno il medesimotipo di omotopia.4.4 Classificazione delle SuperficiOra torniamo alla classificazione delle superfici compatte e connesse. Il lettorericorderà che per il Teorema Fondamentale delle Superfici qualsiasi superficiecompatta connessa è omeomorfa a una sfera bidimensionale, unasomma connessa di tori o una somma connessa di piani proiettivi reali. Comeosservammo nell’inizio della Sezione 4.3 non sappiamo se queste tre superficisiano o no omeomorfe tra loro; per differenziarle ci appoggeremo al gruppofondamentale di ciascun tipo.Sia ⋆ un generico punto base di nT 2 o di nIRP 2 ; per il Teorema 4.3.14π(nT 2 , ⋆) ∼ = Gp(a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , a n , b n ; a 1 1b 1 1a −11 b −11 . . . a 1 nb 1 na −1nb −1n )π(nIRP 2 , ⋆) ∼ = Gp(a 1 , a 2 , . . . , a n ; a 1 1a 1 1 . . . a 1 na 1 n) .

180 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHEQuesti gruppi sono non-nulli e dunque diversi dal gruppo fondamentale di S 2che è nullo; siccome il gruppo fondamentale di uno spazio è un invariante peromeomorfismi, se nT 2 o nIRP 2 fossero omeomorfi a S 2 , i gruppi fondamentalidi tali spazi sarebbero nulli. Così escludiamo che ci sia un omeomorfismotra S 2 e i due tipi di somme connesse in questione.A questo punto non sappiamo differenziare π(nT 2 , ∗) e π(nIRP 2 , ∗). Perfare questo ricorriamo ad un piccolo artifizio algebrico.Dato un gruppo G; un elemento di G della forma ghg −1 h −1 è detto uncommutatore di G; il sottoinsieme di G[G, G] = {x ∈ G|x = ghg −1 h −1 , g, h ∈ G}è un sottogruppo normale di G noto come sottogruppo dei commutatori diG ed è il più piccolo dei sottogruppi H di G per i quali G/H è abeliano. Ilgruppo G/[G, G] è detto abelianizzato di G.Lemma 4.4.1 Un omomorfismo di gruppi φ : G → H induce un omomorfismo¯φ : G/[G, G] → H/[H, H]tale cheGφ> H∨G/[G, G]∨> H/[H, H]¯φe inoltre, ¯φ è un isomorfismo se φ è un isomorfismo.Dimostrazione – Definiamo l’omomorfismo¯φ(g + [G, G]) := φ(g) + [H, H]

4.4. CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI 181per qualsiasi g + [G, G] ∈ G/[G, G].✷Torniamo alle superfici.generato dagli elementiL’abelianizzato di G = π(nT 2 , ⋆) è il gruppoa 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , a n , b ncon l’insieme di relazioniR = {a 1 1b 1 1a −11 b −11 . . . a 1 nb 1 na −1nb −1n ); xyx −1 y −1 |x, y ∈ G}e dunque,π(nT 2 , ⋆)/[π(nT 2 , ⋆), π(nT 2 , ⋆)] ∼ = Z 2n .D’altro lato, l’abelianizzato di H = π(nIRP 2 , ⋆) è il gruppo Gp(S; R) conS = {a 1 , a 2 , . . . , a n }R = {a 1 1a 1 1 . . . a 1 na 1 n} ∪ {xyx −1 y −1 |x, y ∈ S} ;dunque, l’abelianizzato di H è un gruppo abeliano generato dagli elementia 1 , a 2 , . . . , a n con la relazione2(a 1 + a 2 + . . . + a n ) = 1e perciò, scrivendo h = a 1 + . . . + a n ,π(nIRP 2 , ⋆)/[π(nIRP 2 , ⋆), π(nIRP 2 , ⋆)] ∼ = Gp(a 1 , . . . , a n−1 , h; 2h) ∼ = Z n−1 × Z 2 .Siccome Z 2n e Z n−1 × Z 2 non sono isomorfi, concludiamo che nT 2 e nIRP 2non sono omeomorfi.

182 CAPITOLO 4. VARIETÀ TOPOLOGICHE

Bibliografia[1] C. Kosniowski – Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli,Bologna 1988.[2] C.R.F. Maunder – Algebraic Topology, Cambridge University Press,Cambridge 1970.[3] W.S. Massey – Algebraic Topology: an introduction, Harcourt, Brace &World, Inc., New York 1967.[4] J.R. Munkres – Topology, a first course, Prentice-Hall Inc., EnglewoodCliffs (NJ) 1975.[5] R.A. Piccinini – Lectures on Homotopy Theory, North-Holland,Amsterdam, London, New York 1992.183