Cap. 5. Teoria di Kolmogorov e sviluppi successivi

Cap. 5. Teoria di Kolmogorov esviluppi successivi5.1 Teoria di KolmogorovIn questa sezione forniamo le ipotesi e i risultati principali della teoria di Kolmogorov (1941)sulla turbolenza omogenea e isotropa. Essa parte dalle seguenti ipotesi fondamentali:1. Si assume che valgano le proprietà di omogeneità e isotropia in senso statistico, e chevi sia una forzante a grande scala che mantiene un moto statisticamente stazionario.2. Si assume che l’energia dissipata ǫ per unità di massa e nell’unità di tempo sia indipendentedal numero di Reynolds nel limite di grandi numeri di Reynolds. Ciò vuol direche essa ha un limite finito per ν → 0.3. Nello spazio di Fourier si possonoindividuare tre bande energetiche: unabanda a piccolinumeri d’onda (ossia a grande scala) dove viene iniettata l’energia e dove essa non vienedissipata; una banda a grandi numeri d’onda dove agisce la dissipazione viscosa; infineunabandaintermedia (la banda inerziale, così chiamata perché inessa prevaleil termineinerziale) dove l’energia non viene né creata né dissipata ma soltanto trasferita da/versole altre due bande.4. Le funzioni di struttura dipendono solo dai parametri ǫ e ν (ipotesi 4a), e se la distanzatra i punti è grande rispetto alla scala dissipativa allora le funzioni di struttura nondipendono più da ν ma soltanto da ǫ (ipotesi 4b).La seconda ipotesi nasce da una constatazione sperimentale: la forza d’attrito su unoggetto in movimento in un fluido è data empiricamente daF = 1 2 C DρSU 2 (5.1)dove S è la sezione efficace, ρ è la densità del mezzo e C D è il coefficiente d’attrito. Si osservache il coefficiente d’attrito tende a diventare costante nel limite di grandi numeri di Reynoldsmentre è inversamente proporzionale a Re per valori piccoli del numero di Reynolds, cioèin questo limite la forza d’attrito tende ad essere proporzionale alla velocità e non al suoquadrato.Diamo un’interpretazione della (5.1) in termini di dissipazione di energia: la quantità dimoto della massa di fluido contenuta nel volume di sezione S e lunghezza Uτ che si muove65

66 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVIcon velocità U è pari a q = ρSUτU. Se questa venisse interamente trasferita dal fluidoall’oggetto, allora otterremmo una forza d’attrito pari a F = dqdτ = ρSU2 . Il fattore 1 2 C D della(5.1) suggerisce che solo una frazione di questo momento è effettivamente trasferita. L’energiacinetica dissipata nell’unità di tempo è pari alla potenza della forza d’attrito:dE c∣ dt ∣ = |FU| = 1 2 C DρL 2 U 3e l’energia cinetica dissipata per unità di massa nell’unità di tempo èǫ =∣∣dE C /dt ∣∣∣ρL 3 = 1 2 C U 3DL(5.2)SeC D nondipendedalla viscosità, allora neanche ǫ dipendedalla viscosità, edunqueammettelimite finito quando ν → 0.Definiamo adesso le tre bande energetiche relative alla terza ipotesi. La dimensione caratteristicadella banda a grande scala (o banda energetica) è la lunghezza di correlazione dellavelocità, anche chiamata lunghezza integrale, definita comel 0 =∫ +∞0R(r)drR(0)= 2 3∫ +∞0f(r)dr = π 2∫ +∞0k −1 E(k)dk∫ +∞0E(k)dkL’ultima uguaglianza viene da:∫+∞0R(r)dr =∫+∞0∫dkE(k)R(r) =+∞0sinkrkr∫ +∞0dr =E(k) sinkrkr∫+∞0dk E(k)kdk∫+∞0sinxx dx = π 2∫+∞0dk E(k)kNella formula (5.2) sostituiamo la lunghezza L con la lunghezza integrale l 0 , e la velocitàcaratteristica U con la velocità r.m.s. v 0 = √ 〈v 2 〉:ǫ = 1 2 C v03 Dl 0Caratterizziamo ora la scala alla quale agisce la dissipazione viscosa. Come abbiamo vistoprima la dissipazione è tanto più attiva quanto più la lunghezza in gioco è piccola.Per determinare la lunghezza dissipativa supponiamo che tutta la dissipazione provengada un solo numero d’onda k D . Alloraǫ = F visc ·v D ∼ νk 2 D̂v(k D )·̂v(k D ) (5.3)dove v D è la velocità caratteristica del fluido a questa scala e ̂v(k D ) è la sua trasformatadi Fourier. Confrontiamo il temine inerziale con quello dissipativo:|(v ·∇)v||ν∆v|∼ k D̂v 2 (k D )νk 2 D̂v(k D) = ̂v(k D)νk D

5.1. TEORIA DI KOLMOGOROV 67e chiediamo che questo rapporto sia dell’ordine dell’unità, ossia che il numero di Reynoldsbasato sulla velocità alla scala dissipativa e la lunghezza di questa sia unitario: Inseriamonella (5.3):( ǫ) 1/4ǫ ∼ νkD 2 ν2 kD 2 ⇒ k D ∼ν 3La lunghezza della scala dissipativa, anche detta lunghezza di Kolmogorov, è dunquel D = 1k D=Alle scale più piccole di l D la viscosità predomina, mentre alle scale più grandi essa èininfluente. Il rapporto tra la lunghezza integrale e quella di Kolmogorov vale:( ν3ǫ) 1/4l 0l D=l 0( ν3) 1/4=ǫ( ν3l 0v 3 0 /l 0) 1/4=( )l0 v 3/40= Re 3/4 (5.4)νSi vede quindi che le due scale sono tanto più separate quanto più è grande il numero diReynolds.La banda intermedia è costituita da quei numeri d’onda per i qualik 0 ≪ k ≪ k D ⇒ 1 l 0≪ k ≪ 1l D⇒ 1 ≪ kl 0 ≪ l 0l D= Re 3/4Una banda inerziale estesa richiede quindi che il numero di Reynolds sia molto grande.Vediamo in quale zona si trova la lunghezza di Taylor definita in (4.14) e espressa da(4.23):λ 2 = 5E Z = 10νEǫ(L’ultima uguaglianza viene da ǫ = 2νZ). Sostituiamo ǫ = v 3 0 /l 0 e E = v 2 0 /2:Pertantoλ 2 = 5νl2 0l 0 v 0= 5Re −1 l 2 0λ = √ 5Re −1/2 l 0Ricordando dalla (5.4) che l D = l 0 Re −3/4 ricaviamo infineλ = √ 5l 1/30 l 2/3DLa lunghezza di Taylor è dunque una sorta di media geometrica pesata della lunghezza integralee di quella di Kolmogorov, con un peso più importante per quest’ultima. Essa cadecomunque nella banda inerziale (in quanto l 0 ≫ λ ≫ l D ). Viene talvolta usato in letteraturail numero di Reynolds basato sulla lunghezza di Taylor, ossia:Re T = v 0λν ∼ v 0l 0 Re −1/2ν= Re 1/2

68 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVIVediamo adesso le conseguenze della quarta ipotesi di Kolmogorov. Riprendiamo l’equazione(4.44)ottenutanell’ipotesiditurbolenzaomogenea, isotropaestatisticamente stazionaria:45 ǫr +S 3 = 6ν ∂S 2∂r(Qui e nel seguito omettiamo l’apice (.) ‖ per denotare le funzioni di struttura longitudinali).Dall’ipotesi 4b, ossia dal fatto che nella banda inerziale gli effetti della viscosità sono trascurabili,deduciamo la legge 4/5, uno dei pochissimi risultati esatti della teoria della turbolenzaomogenea ed isotropa:S 3 = − 4 ǫr (5.5)5L’andamento delle funzioni di struttura di ordine diverso da 3 sono invece ricavate dall’ipotesi4b con argomenti dimensionali: ad esempio consideriamo la funzione di strutturadi ordine 2. Essa ha le dimensioni di una velocità al quadrato. Dovendo dipendere funzionalmentesoltanto dalla distanza r e dal tasso di dissipazione specifica ǫ che ha dimensioniǫ ∼ V 3 /L si avrà:S 2 = β 2 ǫ a r b ⇒ a = 2/3, b = 2/3e β 2 è una costante universale adimensionale da specificare. Il procedimento si generalizzaalla funzione di struttura di ordine p e troviamoS p = β p ǫ p/3 r p/3 (5.6)Per p = 3 vale il risultato esatto (5.5) per cui possiamo affermare che β 3 = −4/5.Con argomenti dimensionali siamo in grado di ricavare anche la forma funzionale dellospettro di energia: se E(k) (dimensione V 2 L) dipende solo da ǫ ∼ V 3 L −1 e da k ∼ L −1 alloranecessariamenteE(k) = C K ǫ 2/3 k −5/3 (5.7)C K è la costante di Kolmogorov, sperimentalmente valutata C K ≃ 1.4.Le costanti β 2 e C K non sono indipendenti in quanto esiste un legame diretto tra lafunzione di struttura S 2 e lo spettro di energia E(k):S 2 (r) = 4 3∫ +∞Infatti riprendiamo la (4.17)0E(k)H(kr)dk,f(r) = 1− S 22u 2dalla (4.16) otteniamo poi il legame tra R(r) e S 2 (r):R(r) = u22r 2 ddr (r3 f) = u22r 2 ddrInseriamo quindi questa espressione nella (4.27):e integriamo su r:∫d+∞dr (r3 S 2 ) = 6r 2 u 2 −4r 2H(x) = 1+ 3cosxx 2( )r 3 − r3 S 22u 2 = 3 2 u2 − 1 d4r 2 dr (r3 S 2 )0E(k) sinkrkrdk∫ +∞ ∫r 3 S 2 = 2r 3 u 2 E(k) r−4 dk ssinksds0 k 0− 3sinxx 3 (5.8)

5.1. TEORIA DI KOLMOGOROV 69Inoltre abbiamo E = 1 2∫ +∞S 2 = 2u 2 E(k)−4(kr)〈v2 〉 = 3 2 u2 , per cui u 2 = 2 3S 2 = 4 3∫ +∞003(sinkr−krcoskr)dk∫ +∞0E(k)dk:[E(k) 1− 3sinkr(kr) 3 + 3coskr ](kr) 2 dkche coincide con la (5.8). Inserendo in questa equazione le espressioni (5.6) e (5.7)otteniamo:β 2 = 4 ∫ +∞(3 C K x −5/3 1− 3sinxx 3 + 3cosx )x 2 dx ≃ 1.32C K0Riprendiamo le due equazioni di evoluzione per lo spettro di energia (4.45) e per il suointegrale (4.46). Nella banda inerziale la funzione di trasferimento T(k) è nulla (l’energiacinetica non viene creata né distrutta) e il flusso di energia cinetica Π(k) è costante e paria ǫ. Nella banda energetica T(k) è negativa (l’energia viene prodotta) mentre nella regionedissipativa essa è positiva (l’energia viene distrutta).Si sottolinea che la teoria di Kolmogorov non prevede nessun tipo di trasferimento dienergia inverso dalle scale piccole a quelle grandi, ossia Π(k) > 0 ∀k. Per questo motivosi parla di cascata diretta di energia, o cascata di Richardson; sperimentalmente invece siosservano spesso fenomeni di fusione di strutture piccole che generano vortici più grandi conconseguente trasferimento inverso di energia.Geometricamente si può fornire una semplice visualizzazione della teoria di Kolmogorov(si veda la figura 5.1): immaginando successive generazioni di vortici che, partendo dalla scalaintegrale l 0 alla quale si introduce l’energia sviluppano per frammentazione vortici più piccoli,in numero tale da riempire la stessa porzione di spazio (in virtù dell’ipotesi di omogeneità insenso statistico). Il processo si ripete in tutta la banda inerziale, trasferendo indipendentementedalla scala sempre la stessa quantità di energia Π(k) = ǫ, fino a giungere alla scaladissipativa l D (indicata con η nella figura) dove intervengono gli sforzi viscosi.Legge 4/3 di RichardsonCome corollario della teoria di Kolmogorov si può spiegare questa legge, scoperta sperimentalmenteda Richardson nel 1926, la quale afferma che due particelle poste inizialmente vicinein un fluido turbolento si allontanano in modo che la derivata temporale del quadrato dellaloro distanza r 2 sia proporzionale a r 4/3 . Si può arrivare a questa legge con argomenti di tipodimensionale: se le distanza tra le particelle è all’interno della banda inerziale la quantitàdr 2 /dt in virtù dell’ipotesi 4b potrà dipendere soltanto da r e da ǫ, pertantodr 2dt = cǫ1/3 r 4/3dove c è una costante universale senza dimensioni. La soluzione di questa equazione differenzialeèr = ( 1 3 ǫ1/3 t+d) 3/2in particolare ponendo d = 0 (particelle coincidenti all’istante iniziale) :r = 1 √27ǫ 1/2 t 3/2

70 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVIFigura 5.1: La cascata di energia secondo Richardson e Kolmogorov (tratta da Frisch).da cui si vede che le particelle si allontanano molto più rapidamente che se fossero in uncampo di velocità costante nel tempo (in questo caso sarebbe r ∝ t)5.2 IntermittenzaIl difetto fondamentale della teoria di Kolmogorov sta nel fatto che un segnale turbolento èintermittente. Un aspetto del problema è che il tasso di dissipazione ǫ non è una quantitàcostante nello spazio e nel tempo ma è una variabile aleatoria. Questa è la famosa obiezionedi Landau alla teoria di Kolmogorov. In altri termini, invece di scrivereS p ∼ r p/3 ǫ p/3intendendo con ciòdovremmo scrivereS p ∼ r p/3 〈ǫ〉 p/3S p ∼ r p/3〈 ǫ p/3〉Le due ultime espressioni sono uguali solo per p = 3, come era da aspettarsi visto che la leggeS 3 = − 4 5 r〈ǫ〉 è esatta. Il problema diventa quindi quello di prescrivere il valore di 〈 ǫ p/3〉 .Cominiciamo con definire l’intermittenza: un segnale intermittente è una funzione chemanifesta attività solo in certe regioni dello spazio o per intervalli di tempo che diminuisconocon la scala in considerazione. Con questa definizione non sono intermittenti nè segnaligaussiani, nè segnali che soddisfano alle ipotesi di Kolmogorov. Il termine intermittentein turbolenza fa riferimento alle caratteristiche di non gaussianità della turbolenza o percaratterizzare risultati in discordanza a quelli della teoria originale di Kolmogorov.

5.2. INTERMITTENZA 71Figura 5.2: Andamento sperimentale della curva ζ p (p) fornito da misure sperimentali(contrassegnati da simboli geometrici) e da alcuni modelli di intermittenzaNella banda dissipativa diverse misure confermano un carattere intermittente; ma anchea scale più grandi, nella banda inerziale, è presente tale proprietà, comportando la necessitàdi correggere le ipotesi e i risultati della sezione precedente. Giungiamo a tale conclusionenotando che gli esponenti di scala ζ p , per la generica funzione di strutturaS p ∼ r ζpcalcolati sperimentalmente, non corrispondono precisamente al risultato classico ζ p = p/3,soprattutto per ordini p elevati (p > 3, si veda la figura 5.2). I valori misurati confrontati conle previsioni della teoria di Kolmogorov, sono presentati nella tabella 5.1.ζ p sperimentale Kolmogorov (p/3)ζ 2 0.71 0.667ζ 3 1 1ζ 4 1.28 1.33ζ 5 1.53 1.67ζ 6 1.78 2ζ 7 2.01 2.33ζ 8 2.22 2.67ζ 10 2.60 3.33Tabella 5.1: Esponenti di scala per le funzioni di struttura di vario ordine: valori misurati aconfronto con le previsioni della teoria di KolmogorovDa questi dati si può notare come ad esempio l’iper-flattnessF 6 (r) = S 6(r)(S 2 (r)) 3 ∼ r−0.35

72 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVIche nella teoria di Kolmogorov rimane costante, in realtà cresca indefinitamente per r piccoli,pur rimanendo nel range inerziale.Un altro indice di intermittenza nelle correnti turbolente omogenee e isotrope è la nongaussianità delle funzioni densità di probabilità di grandezze fisiche quali le derivate o gliincrementi di velocità, caratterizzate da distribuzioni con code meno ripide, con ali più larghe,più vicine ad una funzione esponenziale questo è significativo della presenza di eventi rarie particolarmente intensi, quali la concentrazione della vorticità elevata in zone limitate,dalla struttura filamentosa, osservata in numerose simulazioni numeriche dirette. La presenzadi queste strutture coerenti, dette comunemente worms (vedi figura 5.3), su uno sfondo divorticità debole, porta a segnali tipicamente intermittenti con zone di attività alternate azone spente.Figura 5.3: Vista di un campo di vorticità (rappresentato attraverso vettori di lunghezzaproporzionale al suo modulo in ogni nodo di griglia), per un campo omogeneo isotropo aRe ≃ 1000 (tratta da Vincent e Meneguzzi).Prendendo in esame le p.d.f. per le componenti di velocità, sia da prove sperimentali chenumeriche, emerge unadistribuzioneabbastanza vicina a unagaussiana, anche se leggermentepiù ripida (figura 5.4).Il carattere fortemente non gaussiano si legge nelle p.d.f. per le derivate della velocità:la derivata longitudinale (per esempio ∂v x /∂x, figura 5.5) risulta nelle code più vicina aduna esponenziale. Queste code nelle distribuzioni di probabilità sono dovute principalmentea forti fluttuazioni di velocità a piccola scala.Passando a considerare gli incrementi longitudinali di velocità si ottiene una variazionecontinua della distribuzione da unagaussiana, per r dell’ordine della scala integrale, alla p.d.f.altamente intermittente della derivata longitudinale per r → 0. Per scale intermedie nel range

5.2. INTERMITTENZA 73Figura 5.4: Distribuzione di probabilitàdella componente di velocità v x per uncampo omogeneo isotropo a Re ≃ 1000,a confronto con la gaussiana indicatanel tratteggio (tratta da Vincent eMeneguzzi).Figura 5.5: Distribuzione di probabilitàdella ∂v x /∂x per un campo omogeneoisotropo a Re ≃ 1000 (tratta da Vincente Meneguzzi).inerziale risulta abbastanza buona l’approssimazione con code esponenziali (figure 5.6 e 5.7).Figura 5.6: Distribuzione di probabilità diδv x (r), con r nel range dissipativo, per uncampo omogeneo isotropo a Re ≃ 1000(tratta da Vincent e Meneguzzi).Figura 5.7: Distribuzione di probabilità diδv x (r), con r nel range inerziale, per uncampo omogeneo isotropo a Re ≃ 1000(tratta da Vincent e Meneguzzi).Presentiamo ora in sintesi alcuni modelli di intermittenza con le relative correzioni alleleggi di scala della teoria di Kolmogorov.

74 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVI5.3 Modello βQuesto modello consiste in una semplice correzione del modello fenomenologico della cascatadi energia illustrato inprecedenza: l’interpretazione geometrica fornitaconsisteva nell’immaginareuna successiva frammentazione di strutture dalle scale integrali fino a quelle dissipative,in cui alla n esima iterazione vortici di scala r n fanno nascere un numero di vortici di scalar n+1 = γr n (γ < 1) tale da riempire lo stesso volume di spazio dei precedenti (si veda lafigura 5.1). Ora correggiamo questa visione supponendo che ad ogni passo il volume complessivooccupato diminuisca di una frazione β < 1. Alla generazione n la scala è r n = γ n l 0 ela frazione di volume occupata è p n = β n . Da ciò si ricava( )logβp(r) = β n = β log(r/lo)logγr logγ=l 0Poniamo logβ/logγ = 3−D:( ) r 3−Dp(r) =l 0p(r) può essere interpretata come la probabilità che una sfera di raggio r intersechi lo spaziofrattale su cui si accumulano le strutture vorticose. Queste strutture hanno quindi unadimensione frattale pari a D.Ci proponiamo ora di ricavare l’andamento delle funzioni di struttura in funzione di r. Ladissipazione alla scala r sarà data daǫ ∼ v3 rr p rIl tasso di dissipazione per ipotesi non dipende dalla scala, pertantov03 ( )∼ v3 r r 1/3 ( )1rl 0 r p r =⇒ v r ∼ v 0 p −1/3 3 −3−D 3r = v 0l 0 l 0Le velocità hanno dunque un esponente di scala h = 1 3 − 3−D3sul frattale di dimensione D con( )proporzione di volume in cui esse risiedono pari a p r = r 3−D.l 0L’andamento delle funzionidi struttura è infine:( )pS p (r) = 〈δvr〉 p ∼ vrp p r = v p r 3 +(3−D)(1−p 3)0l 0da ciò si vede che l’esponente di scala ζ p delle funzioni di struttura non vale p/3 come nellateoria di Kolmogorov maζ p = p (3 +(3−D) 1− p )3Notiamo che per p = 3 si ottiene ζ 3 = 1 conformemente alla (5.5). ζ p è ancora una retta maconpendenzaminorerispettoalvalore1/3delmodellodiKolmogorov. Lacorrezioneottenutanon è dunque ancora in grado di riprodurre bene l’andamento sperimentale del diagrammaζ p vs. p, soprattutto per ordini p elevati.L’esponente dello spettro di energia è legato a quello della funzione di struttura di ordine2. Infatti S 2 (r) e E(k) sono legate dalla relazione (5.8). Assumendo E(k) ∼ k α :S 2 (r) ∼∫ +∞0(kr) α ∫dkr +∞H(kr) = r −1−α x α H(x)dxrα r0

5.4. MODELLI BI-FRATTALE E MULTIFRATTALE 75Da ciò deduciamo chee pertantoζ 2 = −1−α (5.9)α = − 5 3 − 3−D35.4 Modelli bi-frattale e multifrattaleIl modello bi-frattale è una variazione del modello precedente: si assume che il dominio siapervaso da due insiemi frattali, uno con dimensione frattale D 1 e legge di scala con esponenteph 1 , l’altro con dimensione frattale D 2 ed esponente ph 2 .S p (r) = 〈(δv r ) p 〉 ∼ µ 1( rl 0) ph1 ( rl 0) 3−D1+µ 2( rl 0) ph2 ( rl 0) 3−D2QuindiS p (r) ∼ r ζp , ζ p = min(ph 1 +3−D 1 ,ph 2 +3−D 2 )Dunque al variare di p il contributo dominante sarà dovuto a uno o all’altro frattale.Adesempioconsideriamo comeprimofrattale il modellodiKolmogorov: D 1 = 3, h 1 = 1/3e come secondo frattale quello del modello β: h 2 = 1 3 − (3−D 2)3. Otteniamo:ζ p = p 3per 0 ≤ p ≤ 3, ζ p = p 3 +(3−D 2)(1− p )3per p ≥ 3cioè la turbolenza è di tipo Kolmogorov per p ≤ 3 e intermittente secondo il modello β perp ≥ 3.Il modello bi-frattale può essere generalizzato nel modello multifrattale: si assume cheesista per la velocità un intervallo di esponenti di scala h ∈ [h min ,h max ]; per ciascuno di talih esista inoltre un insieme S h di dimensione frattale D(h) tale cheSi dimostra che vale S p (r) ∼ r ζp con( )δv r r h∼v 0 l 0ζ p = infh [ph+3−D(h)]L’esponente ζ p è ottenuto da D(h) mediante una trasformazione di Legendre, che invertitafornisce:D(h) = infp [ph+3−ζ p]Risulta infine che l’esponente di scala h è la pendenza del diagramma ζ p vs p, in corrispondenzadel valore di p che minimizza (ph+3−ζ p ):h = dζ pdp

76 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVI5.5 Modelli random cascadeIn questi modelli la cascata delle strutture, che per frammentazione generano le varie scale, èsimulata attraverso un processo moltiplicativo.Consideriamo per esempio un cubo di lato l 0 con dissipazione uniforme ǫ. Questo cuboviene diviso in otto cubi di lato l 1 = l 0 /2. In ciascuno di essi moltiplichiamo ǫ per realizzazioniindipendenti di una variabile aleatoria W positiva di media unitaria e con tutti i momenti diordine q definiti: W ≥ 0, 〈W〉 = 1, 〈W q 〉 < +∞ ∀q > 0.Iteriamo il processo per avere all’n-esimo passo della cascata 2 3n strutture di scalar n = l 0 2 −nin ciascuna delle quali la dissipazione è uniforme e pari aǫ r = ǫW 1 W 2···W ncon W i indipendenti e identicamente distribuite. Calcoliamo i momenti di ordine q delladissipazione:〈ǫ q r〉 = ǫ q 〈W q 1 ...Wq n〉 = ǫ q 〈W q 1 〉n = ǫ q 〈W q 1 〉−log 2( rl 0)= ǫ q ( rl 0) −log2 〈W q 1〉Pertanto〈ǫ q r〉 = ǫ q ( rl 0) τqcon τ q = −log 2 〈W q 〉Determiniamo l’esponente di scala ζ p delle funzioni di struttura:〈S p (r) = 〈(δv r ) p 〉 ∼ǫ p/3r〉r p/3 = r τ p/3+p/3Pertantoζ p = p 3 −log 2〈W p/3〉Con diverse scelte delle p.d.f di W si possono generare diversi modelli di intermittenza, tracui lo stesso modello β precedentemente studiato.Modello black and white di Novikov e Stewart (1964)In questo modello si assume che W sia un processo di Bernoulli: W = 1/β con probabilità βe W = 0 con probabilità 1−β. Risulta 〈W α 〉 = β 1−α . Pertantoτ q = −log 2 〈W q 〉 = −(1−q)log 2 β, ζ p = p (3 − 1− p )log3 2 βRitroviamo lo stesso risultato del modello β con 3−D = −log 2 β.

5.6. MODELLI SHELL 77Modello log-normaleUno dei primi modelli proposti per correggere i risultati della teoria di Kolmogorov fu introdottoda Kolmogorov stesso nel 1962 ed è noto come modello log-normale. In esso siassume che il logaritmo di W abbia una distribuzione gaussiana: W = 2 −Y con Y variabilealeatoria gaussiana Y ∼ N(m,σ 2 ). Si può mostrare che la condizione 〈W〉 = 1 impone che2m = σ 2 log2. Poniamo µ = 2m; risulta:τ q = µ 2 (q −q2 ) ζ p = p 3 + µ 18 (3p−p2 )Notiamo che per p = 3 si ottiene come previsto ζ 3 = 1.Il principale difetto di questo modello consiste nel fatto che per p > 3 2 + 3 µ , ζ p risulta unafunzione decrescente di p: questo viola le condizioni secondo cui ζ 2p deve essere una funzioneconcava e non decrescente di p, altrimenti si produrrebbe una singolarità nel campo di moto(come mostreremo nella sezione 5.7).Modello log-PoissonSi accenna infine ad un modello nel quale la variabile Y (W = 2 −Y ) ha una distribuzionedi Poisson ; questo porta ad una relazione ζ p che risulta in ottimo accordo con i risultatisperimentali disponibili:ζ p = p 9 +2−2 ( 23) p/3.5.6 Modelli shellSono modelli che usano una versione semplificata dell’equazione della quantità di moto nellospazio di Fourier cercando di emularne le caratteristiche principali: il terminenon lineare deveessere quadratico e conservare l’energia; il sistema deve possedere soluzioni statisticamentestazionarie con spettro di energia simile a quello di Kolmogorov.Il modello di Lorenz è un esempio di modello shell. Tra i numerosi modelli proposti inletteratura uno dei più interessanti è il modello GOY:( ddt +νk2 n)u n = i(a n u n+1 u n+2 −k n−2 u n−1 u n+1 −k n−3 u n−1 u n−2 ) ∗ +f n , k n = k 0 2 nLe soluzioni numeriche ottenute con questo modello indicano che le funzioni di strutturaS p (n) = 〈|u n | p 〉 hanno una legge di scalaS p (n) ∼ k −ζpncon esponenti ζ p che dipendono in modo non triviale da p; il modello dunque mostra interessanticaratteristiche di multifrattalità.5.7 Proprietà degli esponenti delle funzioni di strutturaGli esponenti ζ p con indice pari delle funzioni di struttura devono soddisfare le due condizioniseguenti:

78 CAPITOLO 5. TEORIA DI KOLMOGOROV E SVILUPPI SUCCESSIVI1. ζ 2p deve essere una funzione concava di p2. ζ 2p deve essere una funzione non decrescente di p, altrimenti la velocità avrebbe unasingolarità.La prima proprietà è conseguenza della disuguaglianza di Schwarz: se X e Y sono duevariabili aleatorie allora〈XY〉 ≤ √ 〈X 2 〉〈Y 2 〉 (5.10)Poniamo X = (δv r ) p e Y = (δv r ) q . La (5.10) fornisceS p+q ≤ √ S 2p S 2qquindi se S p = A p r ζp :A p+q r ζ p+q≤ √ A 2p A 2q r (ζ 2p+ζ 2q )/2√r ζ p+q−(ζ 2p +ζ 2q )/2 A 2p A 2q≤A 2 p+qNel limite r → 0 il primo membro rimane limitato alla condizione cheper q = p+2:ζ p+q ≥ (ζ 2p +ζ 2q )/2ζ 2p+2 ≥ (ζ 2p +ζ 2p+4 )/2e pertanto ζ 2p deve essere una funzione concava di p.Dimostriamooralasecondaproprietà. SiaV max ilvaloremassimodelmodulodellavelocitàassunto dal fluido nello spazio e nel tempo.〈(δv)2p+2 〉 = 〈 (δv) 2p (δv) 2〉 ≤ 4 〈 (δv) 2p V 2 max〉= 4V2max〈(δv)2p 〉QuindicioèA 2p+2 r ζ 2p+2≤ 4A 2p V 2 max rζ 2pV 2 max ≥ A 2p+24A 2pr ζ 2p+2−ζ 2pse ζ 2p+2 −ζ 2p < 0 allora il secondo membro della disuguaglianza diverge per r → 0.