esercizi di preparazione all'esame del II modulo - Matematica e ...

Esercizi di preparazione per l’Esame di istituzioni di geometriasuperiore II moduloEsercizio 1. i): Sia r > 0 e poniamoB n (0, r) = {x ∈ R n : ‖x‖ < r}.Sia f : B n (0, 1) → R n un diffeomorfismo locale. Sia F : B n (0, 1)×[0, 1] → R nun’omotopia C ∞ con f 0 = f (qui f t = F ( , t) : B n (0, 1) → R n ). Si dimostriche esiste ɛ 0 ∈ (0, 1) tale che per ogni ɛ ∈ (0, ɛ 0 ) la mappa indotta(f : B n 0, 1 )→ R n2é un diffeomorfismo locale.ii): Si usi i) per dimostrare quanto segue: siano X e Y varietá differenziabilicon X compatta. Sia g : X → Y un diffeomorfismo locale (cioé X eY hanno uguale dimensione, diciamo n, e il differenziale d x g ha rango n inogni x ∈ X). Sia G : X × [0, 1] → Y un’omotopia C ∞ con g 0 = g. Alloraesiste ɛ 0 ∈ (0, 1) tale che per ogni ɛ ∈ (0, ɛ 0 ) la mappa indotta g : X → Y éun diffeomorfismo locale (Sugg.: Poiché X é compatta, esiste un atlante diX dato da un numero finito di carte localiϕ i : B n (0, 1) → X,(i = 1, . . . , r),tali cheX =r⋃i=1( (ϕ i B n 0, 1 ));2si applichi i) alle mappe f i = g ◦ ϕ i : B n (0, 1) → R n e alle omotopie F i :B n (0, 1) × [0, 1] → R n date da F i (x, t) = G(ϕ i (x), t)).iii): Si dia un esempio che mostra che la conclusione in ii) é generalmentefalsa se X non é compatta.Esercizio 2. Si spieghi cosa significa che una mappa C ∞ di varietá differenziabilif : X → Y é trasversale a una sottovarietá Z ⊆ Y . Si enunci unteorema che descrive le proprietá dell’immagine inversa f −1 (Z) ⊆ X sottol’ipotesi che f sia trasversale a Z e lo si dimostri.Esercizio 3. Per quali valori di a il luogoX = {x ∈ R n : cos(1 + ‖x‖ 2 ) ≤ a}1

é una varietá con bordo? Di quale dimensione? Con quali spazi tangenti?Per quali valori di a ∈ R la varietáS = {x ∈ R 4 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 , x 2 − y 2 + z 2 − t 2 = a}é una varietá con bordo? Di quale dimensione? Con quali spazi tangenti?Esercizio 4. Si dia un esempio di varietá con bordo non compatta (X, ∂X)con una mappa C ∞ f : X → ∂X tale che f(x) = x per ogni x ∈ ∂X. Sidimostri che ció non puó accadere per varietá con bordo compatte.Esercizio 5. Si dia un esempio di varietá con bordo compatta (X, ∂X) euna mappa f : X → X senza punti fissi. Sia D = B 2 (0, 1) e si dia un esempiodi mappa f : D → D senza punti fissi. Si enunci e dimostri il teorema delpunto fisso di Brower. Si considerino al variare di α ∈ C \ {±1} le mapperazionali fratte ϕ α : C \ { − 1 α}→ C date daϕ α (z) = z + ααz + 1 .Sapendo che ogni ϕ α porta cerchi in rette o cerchi, determinare quali ϕ αinducono una mappa D → D e discurne i punti fissi.Esercizio 6. Sia X ⊆ R 3 una superficie liscia (in altre parole, una sottovarietábidimensionale) non contenente l’origine. Si dimostri che quasi ogniretta e ogni piano passanti per l’origine 0 sono trasversali a X. Si rimuova poil’ipotesi che X non passi per l’origine e si dimostri la stessa cosa. Potrebbeessere vero lo stesso asserto senza l’ipotesi che 0 ∉ X se X fosse una superficiein R 4 ?Esercizio 7. Si dimostri che la sfera ed il toro non sono diffeomorfi (si usil’invariante I 2 ). Si dimostri che il toro e la sfera privati di un punto non sonodiffeomorfi.Esercizio 8. Si definisca il fibrato normale di una sottovarietá X ⊆ R k e sidimostri che é una varietá k-dimensionale (Sugg.: si cominci col descrivere ilfibrato normale di una sottovarietá della forma X = F −1 (a), ove F : R k →R l é C ∞ e a ∈ R l é un valore regolare di F ; si osservi poi che localmenteogni sottovarietá ha questa forma.) Si consideri l’ellissoide{ }x2X =a + y22 b + z22 c = 1 2e si trovino i punti critici e i valori singolari della mappa ψ : N(X) → R 3data da ψ(x, v) = x + v.2

Esercizio 9. Sia f : X → Y una mappa C ∞ e sia Z ⊆ Y una sottovarietácon dimX + dim Z = dim Y . Si definisca il numero di intersezione mod. 2 dif con Z, spiegando perché la definizione é ben posta.Esercizio 10. Si dimostri che esiste un numero complesso z tale chez 37 + ln(1 + |z| 2 )z 22 cos(|z| 2 ) = 0.Esercizio 11. Si dimostri che una varietá compatta non é contrattile. Sidimostri che una varietá compatta privata di un punto puó essere o menocontrattile.Esercizio 12. Sia X ⊆ R k un’ipersuperficie compatta e sia x ∈ R k \ X. Sidefinisca il numero di avvolgimento modulo 2 di X rispetto a x, W 2 (X, x). Siaγ : [0, 1] → R k \X una curva C ∞ . Si dimostri che W 2 (X, γ(0)) = W 2 (X, γ(1)).Esercizio 13. Si dimostri che se nelle ipotesi precedenti si ha ‖x‖ ≫ 0 alloraW 2 (X, x) = 0.eccetera eccetera...3