Esercizi sulle coniche nel piano - Matematica

66 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[50] Data la famiglia di coniche:C t ∶ tx 2 txy y 2 y t ⩵ 0, t∈ —,i) classificare le coniche di C t , al variare di t ∈ —.ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole (non degeneri) appartenenti a C t .iii) Posto t ⩵4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a C t così ottenuta.[51] Data la famiglia di coniche:C Λ ∶ x 2 Λxy Λy 2 x 2Λ ⩵0, Λ∈—,i) classificare le coniche di C Λ , al variare di Λ∈—.ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole appartenenti a C Λ .iii) Posto Λ⩵4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a C Λ così ottenuta.[52] Sono date le coniche di equazione:x 2 2hxy y 2 2x h ⩵ 0, h∈ —,i) riconoscere il tipo di conica al variare del parametro h.ii) Trovare per quali valori di h la conica ha il centro sulla retta di equazione x ⩵ 1.[53] Data la conica:x 2 xy 1 4 y2 2x 6y 6 ⩵ 0,i) verificare che non è riducibile;ii) verificare che è una parabola;iii) sapendo che il vertice è V ⩵ 9 5 , 6 , trovare l’asse e la tangente nel vertice;5iv) verificare che è la parabola di fuoco F ⩵1, 2 e direttrice d ∶ x 2y 1 ⩵ 0.[54] Classificare e scrivere in forma canonica la conica:x 2 2y 2 4x 4y 2 ⩵ 0,determinare centro, assi ed eventuali asintoti.[55] Data la conica:3x 2 2xy 3y 2 2x 2y ⩵ 0,i) è reale?ii) È riducibile?iii) Ha centro?iv) Di che conica si tratta?v) Ricavarne l’equazione canonica.Università di Torino

Capitolo 8 – Coniche nel piano 67[56] Data la conica:2xy x y 1 ⩵ 0,i) verificare che non è riducibile;ii) verificare che è un’iperbole equilatera;iii) trovarne il centro;iv) determinarne gli asintoti;v) verificare che la conica passa per P ⩵0, 1 e trovarne la tangente in P.[57] Studiare la conica di equazione:4xy 3y 2 8 ⩵ 0,ridurla a forma canonica e determinare le equazioni degli assi e degli asintoti.[58] Riconoscere che, nel piano, l’equazione:x 2 2xy y 2 10x 2y 7 ⩵ 0rappresenta una parabola di cui si chiedono le coordinate del vertice e l’equazione dell’asse.[59] Riconoscere che, nel piano, l’equazione:7x 2 2xy 7y 2 34x 2y 31 ⩵ 0rappresenta un’ellisse di cui si chiedono le coordinate dei vertici.[60] Classificare, al variare del parametro h ∈ —, la conica:x 2 2hxy 4y 2 8x 6y ⩵ 0.Posto h ⩵ 0, ridurre la conica così ottenuta a forma canonica e determinare il cambiamento di riferimento usatoper tale riduzione.[61] Data la famiglia di coniche:C ∶ 8x 2 2hxy 2y 2 2x 4y 1 ⩵ 0, h ∈ —.i) stabilire per quali valori di h C è una parabola.ii) Scelto uno di tali valori, scrivere l’equazione di C in forma canonica.Dipartimento di Matematica

Capitolo 17Soluzioni - Coniche nel piano⋆ NOTESThe program uses the eigenvector av2 of A of greatest numericalvalue and uses this to construct a rotation sos1. The choice ofav2 depends on the overallsign of the quadratic polynomial g thatis defined so that in the final ploti ellipses ‘lie ′ horizontally,ii hyperbolas cut the x axis,iii parabolas are ‘vertical ′ .The transformation sos2 places the centre or vertex of the conicat the origin. ImplicitPlot fails to plot yˆ2 ⩵0 or equations involving only x.⋆ 0 a33 > 0, f, f MatgPrintA ⩵ , MatrixFormA,, det A ⩵ , DetAPrintB ⩵ , MatrixFormB,, det B ⩵ , DetBPrintAutovalori di A ⩵ , EigenvaluesAav2 ∶⩵ EigenvectorsA2P ∶⩵ RootReduceav2/Sqrtav2.av2sos1 ∶⩵ x P1x P2y, y P2x P1yPrintPrima sostituzione ∶ , FSsos1h ⩵ FSg/.sos1 Mathsos2 ∶⩵x Ifa11 ⩵⩵ 0, Ifa13 ⩵⩵ 0, x, x a33/2a13, x a13/a11,y Ifa22 ⩵⩵ 0, Ifa23 ⩵⩵ 0, x, y a33/2a23,y a23/a22PrintSeconda sostituzione ∶ , FSsos2k ⩵ FSh/.sos2 PrintEquazione finale ∶ , k, ⩵ 0ImplicitPlotg ⩵⩵ 0, h ⩵⩵ 0, k ⩵⩵ 0, x, 10, 10,PlotStyle Thickness0.005, Hue0.3,Thickness0.005, Hue0.7, Thickness0.01, Hue0,PlotPoints 200Questo programma (scritto dal Prof. S.M. Salamon) consente, data l’equazione di una conica in generale, di ridurla210

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 211a forma canonica evidenziando i passaggi algebrici necessari.[1]Conic2xˆ2 yˆ2 4x 2y 3A ⩵ 2 0 , det A ⩵20 12 0 2B ⩵ 0 1 1 , det B ⩵ 82 1 3Autovalori di A ⩵1, 2Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 1 x, y 1 yEquazione finale ∶4 2x 2 y 2 ⩵ 015105-10 -5 5 10-5-10-15X 24 Y 22 ⩵ 1 x y ⩵ 1 00 1 X Y 1 1 .Dipartimento di Matematica

212 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[2]Conic3xˆ2 yˆ2 6x 1A ⩵ 3 0 , det A ⩵ 30 13 0 3B ⩵ 0 1 0 , det B ⩵ 63 0 1Autovalori di A ⩵3, 1Prima sostituzione ∶x y, y xSeconda sostituzione ∶x x, y 1 yEquazione finale ∶ 2 x 2 3y 2 ⩵ 010.5-1 -0.5 0.5 1 1.5-0.5-1-1.532 X 2 Y 22 ⩵ 1 x y ⩵ 1 00 1 X Y 1 0 .[3] Non si tratta di una conica reale.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 213[4]Conic2xˆ2 2x y 2yˆ2 2x 1A ⩵ 2 1 , det A ⩵ 31 22 1 1B ⩵ 1 2 0 , det B ⩵ 51 0 1Autovalori di A ⩵3, 1Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 1 x, y 12 3 2 yEquazione finale ∶ 5 3 x2 3y 2 ⩵ 010.5-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1-0.5-1X 2 3Y 2 ⩵ 5 3 ;xy⩵22222222 XY 2 3 1 3.Dipartimento di Matematica

214 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[5]Conicxˆ2 yˆ2 2x 4y 2A ⩵ 1 0 , det A ⩵ 10 11 0 1B ⩵ 0 1 2 , det B ⩵ 71 2 2Autovalori di A ⩵1, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 1 x, y 2 yEquazione finale ∶ 7 x 2 y 2 ⩵ 021-2 -1 1 2 3-1-2-3-4È la circonferenza di centro C ⩵1, 2 e raggio 7.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 215[6]Conicxˆ2 yˆ2A ⩵ 1 0 , det A ⩵10 11 0 0B ⩵ 0 1 0 , det B ⩵ 00 0 0Autovalori di A ⩵1, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶x yx y ⩵0105-10 -5 5 10-5-10È la conica degenere data dal prodotto delle rette x y ⩵ 0ex y ⩵ 0.Dipartimento di Matematica

216 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[7]Conicxˆ2 4x y 2yˆ2 2x 4y 1A ⩵ 1 2 , det A ⩵62 21 2 1B ⩵ 2 2 2 , det B ⩵ 161 2 1Autovalori di A ⩵2, 3Prima sostituzione ∶ x x 2y , y 2x y 555Seconda sostituzione ∶ x x, y y3Equazione finale ∶ 8 3 3x2 2y 2 ⩵ 02010-10 -5 5 10-10-202X 2 3Y 2 ⩵ 8 3 xy⩵2 5555552 55 XY23 1 3.[8] L’unico punto reale di tale conica è l’origine O ⩵0, 0.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 217[9]Conicxˆ2 3yˆ2 4x 6y 1A ⩵ 1 0 , det A ⩵ 30 31 0 2B ⩵ 0 3 3 , det B ⩵ 182 3 1Autovalori di A ⩵3, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 2 x, y 1 yEquazione finale ∶ 6 x 2 3y 2 ⩵ 01-2 -1 1 2 3 4-1-2X 26 Y 22 ⩵ 1 xy⩵ XY 21.Dipartimento di Matematica

218 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[10]Conicxˆ2 2xy x yA ⩵ 1 1 , det A ⩵11 011 12B ⩵ 1 0 1 2 1 1 02 2, det B ⩵3 4Autovalori di A ⩵ 1 2 1 5, 1 2 1 5Prima sostituzione∶5 5x 5 5y 5 5x 5 5yx , y 1010Seconda sostituzione ∶x 1 52 2 1152 5 x, y 1 2 2 112 5 yEquazione finale ∶ 1 4 3 2 1 5 x 2 2 1 5 y 2 ⩵ 015105-10 -5 5 10-5-10-15Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 21921 53X 2 21 5Y 2 ⩵ 13xy⩵5 5105 5105 5105 510XY2512.[11]Conicyˆ2 xy 110A ⩵ 2 1 , det A ⩵11 4 2 10 02B ⩵ 1 1 0, det B ⩵21 40 0 1Autovalori di A ⩵ 1 2 1 2, 1 2 1 2Prima sostituzione ∶x 1 22 2x2 2y, y 1 2 2 2x 2 2ySeconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶ 1 2 2 x2 y 2 2 x yx y ⩵ 0105-10 -5 5 10-5-102 1X 2 22 1Y 2 ⩵ 12xy⩵2 222 222 222 22XY.Dipartimento di Matematica

220 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[12]Conicxˆ2 3xy yˆ2 4 Sqrt2x y631A ⩵ 2 3 , det A ⩵15 4 2 312 22B ⩵ 3 1 2 2 , det B ⩵212 2 2 22 6Autovalori di A ⩵ 5 2 , 1 2 Prima sostituzione ∶ x x y 2, y x y 2Seconda sostituzione ∶ x x, y 8 5 yEquazione finale ∶ 110 4 5x2 25 y 2 ⩵02010-10 -5 5 10-10 1 2 X 2 5 2 Y 2 ⩵ 2 5 xy⩵1 12 2X1 1 2 Y2 85 2 85 2.[13] Si tratta della circonferenza di centro O ⩵0, 0 e raggio 1.[14] Non è una circonferenza reale.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 221[15]Conicxˆ2 6xy 7 yˆ2 2x 6y 19A ⩵ 1 3 , det A ⩵163 71 3 1B ⩵ 3 7 3 , det B ⩵ 3201 3 19Autovalori di A ⩵8, 2Prima sostituzione ∶ x 3x y , y x 3y 10 10Seconda sostituzione ∶ x 3 x, y 1 y10 10Equazione finale ∶ 2 10 x 2 4y 2 ⩵05-10 -5 5 10-5-10110 X 2 2 5 Y 2 ⩵ 1xy⩵3 110 101 3 10 10XY025.Dipartimento di Matematica

222 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[16]Conic3xˆ2 4x y 3yˆ2 2x 2y 3A ⩵ 3 2 , det A ⩵ 52 33 2 1B ⩵ 2 3 1 , det B ⩵ 251 1 3Autovalori di A ⩵5, 1Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 2 x, y yEquazione finale ∶ 5 x 2 5y 2 ⩵ 02.521.510.5-2 -1 1 2 3-0.5-1X 25 Y 2 ⩵ 1xy⩵12 1 21 2X12 Y 11.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 223[17]Conic3xˆ2 4xy 3 yˆ2 2x 2y 3A ⩵ 3 2 , det A ⩵ 52 33 2 1B ⩵ 2 3 1 , det B ⩵ 251 1 3Autovalori di A ⩵5, 1Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 2 x, y yEquazione finale ∶ 5 x 2 5y 2 ⩵ 010.5-3 -2 -1 1 2-0.5-1-1.5-2-2.5X 25 Y 2 ⩵ 1xy⩵12 1 21 2X12 Y 11.Dipartimento di Matematica

224 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[18]Conic3xˆ2 2xy 3 yˆ2 6x 2y 1A ⩵ 3 1 , det A ⩵ 81 33 1 3B ⩵ 1 3 1 , det B ⩵ 163 1 1Autovalori di A ⩵4, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 1 2 x, y 1 2 yEquazione finale ∶2 1 x 2 2y 2 ⩵010.5-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5-0.5X 22 Y 2 ⩵ 1xy⩵12 1 21 2X12 Y 01.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 225[19]Conicxˆ2 2xy yˆ2 2x 2yA ⩵ 1 1 , det A ⩵ 01 11 1 1B ⩵ 1 1 1 , det B ⩵41 1 0Autovalori di A ⩵0, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶ 2 x 2 2y ⩵ 0-10 -5 5 10-20-40-60Y 2 2X ⩵ 0xy⩵22222222 XY.Dipartimento di Matematica

226 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[20]Conicxˆ2 2xy yˆ2 2y 1A ⩵ 1 1 , det A ⩵21 11 1 0B ⩵ 1 1 1 , det B ⩵ 30 1 1Autovalori di A ⩵ 2, 2Prima sostituzione ∶x 1 22 2x2 2y, y 1 2 2 2x 2 2ySeconda sostituzione ∶ x 1 4 2 2 x, y 1 1 1 y42 2Equazione finale ∶ 3 2 2 x yx y ⩵02010-10 -5 5 10-10-20Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 2272 23 Y 2 2 23 X 2 ⩵ 1.[21]Conicxˆ2 2xy 2 yˆ2 1A ⩵ 1 1 , det A ⩵31 2B ⩵1 1 01 2 00 0 1, det B ⩵ 3Autovalori di A ⩵ 1 2 1 13, 1 2 1 131Prima sostituzione ∶ x 2 32 13 x 12 32 13 y, 1y 2 3 12 13 x 2 32 13 ySeconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶ 1 2 2 1 13 x 2 1 13 y 2 ⩵ 0105-10 -5 5 10-5-101 132X 2 1 13Y 2 ⩵ 1.2Dipartimento di Matematica

228 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[22]Conicxˆ2 xy 1/4 yˆ2 2x 6y 611A ⩵ 2 1 1 , det A ⩵1 2 2 4 11 12B ⩵ 1 13, det B ⩵2 43541 3 6Autovalori di A ⩵ 1 8 3 41, 1 8 3 411Prima sostituzione ∶ x 2 52 41 x 12 52 41 y, 1y 2 5 12 41 x 2 52 41 ySecondasostituzione ∶149x 8 8151498 41 x, y 8 8158 41 yEquazione finale ∶ 1 8 140 3 41 x 2 3 41 y 2 ⩵ 02010-10 -5 5 10-10-203 41X 2 3 41Y 2 ⩵ 140.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 229[23]Conic7xˆ2 8xy yˆ2 9x 1A ⩵ 7 4 , det A ⩵94 197 42B ⩵ 4 1 0 9 0 12Autovalori di A ⩵1, 9, det B ⩵454Prima sostituzione ∶ x 2x y 5, y x 2y 5Seconda sostituzione ∶ x 1 5 x, y 92 5 yEquazione finale ∶ 5 4 9x2 y 2 ⩵ 0Dipartimento di Matematica

230 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I604020-10-5 5 10-20-40-6045 X 2 36 5 Y 2 ⩵ 1xy⩵2 15 5X1 2 5 Y5 122.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 231[24]Conicxˆ2 4yˆ2 4x 8y 7A ⩵ 1 0 , det A ⩵ 40 41 0 2B ⩵ 0 4 4 , det B ⩵ 42 4 7Autovalori di A ⩵4, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 2 x, y 1 yEquazione finale ∶ 1 x 2 4y 2 ⩵ 01.510.5-1 1 2 3-0.5X 2 4Y 2 ⩵ 1 x y ⩵ X Y 2 1 .Dipartimento di Matematica

232 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[25]Conic4xˆ2 yˆ2 8x 4y 7A ⩵ 4 0 , det A ⩵ 40 14 0 4B ⩵ 0 1 2 , det B ⩵ 44 2 7Autovalori di A ⩵4, 1Prima sostituzione ∶x y, y xSeconda sostituzione ∶x 2 x, y 1 yEquazione finale ∶ 1 x 2 4y 2 ⩵ 0321-1 1 2 3-1X 2 4Y 2 ⩵ 1 x y ⩵ X Y 2 1 .[26]Conicxˆ2 4x y 4yˆ2 5y 9A ⩵ 1 2 , det A ⩵ 02 41 2 05B ⩵ 2 42 , det B ⩵5254 0 9 2Autovalori di A ⩵0, 5Prima sostituzione ∶ x x 2y , y 2x y 55Seconda sostituzione ∶ x 1 x, y 9 y5 5Equazione finale ∶1 5x 2 5y ⩵ 0Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 23320015010050-10-5 510Y 2 ⩵ 1 5Xxy⩵2 15 5X1 2 5 Y5 21585.Dipartimento di Matematica

234 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[27]Conic7xˆ2 8x y yˆ2 9x 6y 1A ⩵ 7 4 , det A ⩵94 197 42B ⩵ 4 1 3 9 3 12Autovalori di A ⩵1, 9, det B ⩵1354Prima sostituzione ∶ x 2x y 5, y x 2y 5Seconda sostituzione ∶ x 43 5 x, y 32 5 yEquazione finale ∶ 154 9x2 y 2 ⩵ 0Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 235604020-10-5 5 10-20-40-60125 X 2 415 Y 2 ⩵ 1xy⩵2 15 5152 5XY2615 2315.Dipartimento di Matematica

236 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[28]Conic2xˆ2 4x y yˆ2 6y 8A ⩵ 2 2 , det A ⩵62 12 2 0B ⩵ 2 1 3 , det B ⩵ 300 3 8Autovalori di A ⩵2, 3Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 55Seconda sostituzione ∶ x 1 5 x, y 3 5 yEquazione finale ∶5 3x 2 2y 2 ⩵ 04020-10-5 5 10-20-403X 2 2Y 2 ⩵ 5xy⩵2 15 5X1 2 5 Y5 11.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 237[29]Conic3xˆ2 2xy 3 yˆ2 10 x 2y 9A ⩵ 3 1 , det A ⩵ 81 33 1 5B ⩵ 1 3 1 , det B ⩵ 165 1 9Autovalori di A ⩵4, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 3 2 x, y 1 2 yEquazione finale ∶2 1 x 2 2y 2 ⩵01.510.5-3 -2 -1 1 2 3-0.5X 2 Y 22 ⩵ 1 xy⩵1 12 2X1 1 2 Y2 12.Dipartimento di Matematica

238 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[30]Conicxˆ2 xy 4yˆ2 111A ⩵ 2 1 , det A ⩵4154 2 11 02B ⩵ 1 4 020 0 1, det B ⩵154Autovalori di A ⩵ 1 2 5 10, 1 2 5 10 1Prima sostituzione ∶ x 2 3 12 10 x 2 32 10 y, 1y 2 3 12 10 x 2 32 10 ySeconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶ 1 2 2 5 10 x 2 5 10 y 2 ⩵ 00.40.2-1 -0.5 0.5 1-0.2-0.45 102X 2 5 10Y 2 ⩵ 1.2Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 239[31]Conic2xˆ2 3xy 2yˆ2 5x 10y 52 A ⩵3 2 3 2 2, det A ⩵2542 3 5 2 2B ⩵ 3 2 52 5 5 52, det B ⩵1254Autovalori di A ⩵ 5 2 , 5 2 Prima sostituzione ∶ x 3x y , y x 3y 10 105Seconda sostituzione ∶ x 2 x, y 52 yEquazione finale ∶ 5 2 2 x2 y 2 ⩵02010-10 -5 5 10-10X 2 Y 2 ⩵ 5xy⩵1 310 103 1 10 10XY 21.Dipartimento di Matematica

240 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[32]Conic2xˆ2 5xy 3 yˆ2 7y 22 A ⩵5 2 5 , det A ⩵3494 2 2 5 2B ⩵ 5 32 7020722, det B ⩵ 0Autovalori di A ⩵ 1 2 1 5 2, 1 2 1 5 2Prima sostituzione ∶x 1 22 2x2 2y, y 1 2 2 2x 2 2ySeconda sostituzione ∶x 1 82 31 2 x, y 1 82 31 2 y1414Equazione finale ∶ 1 2 1 5 2 x 2 1 5 2 y 2 ⩵ 02010-10 -5 5 10-10Si tratta della conica degenere: 2x y 2x 3y 1 ⩵0.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 241[33]Conic3xˆ2 2xy 3yˆ2 4x 4y 2A ⩵ 3 1 , det A ⩵ 81 33 1 2B ⩵ 1 3 2 , det B ⩵ 162 2 2Autovalori di A ⩵4, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 2 x, y yEquazione finale ∶2 1 x 2 2y 2 ⩵00.5-2 -1 1-0.5-1-1.5X 212 Y 2 ⩵ 1xy⩵1 12 2X1 1 2 Y2 11.Dipartimento di Matematica

242 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[34]Conic2xˆ2 4xy 5 yˆ2 4x 2y 2A ⩵ 2 2 , det A ⩵ 62 52 2 2B ⩵ 2 5 1 , det B ⩵ 22 1 2Autovalori di A ⩵6, 1Prima sostituzione ∶ x 2x y5, y x 2y 5Seconda sostituzione ∶ x 3 5 x, y 23 5 yEquazione finale ∶ 1 3 x2 6y 2 ⩵ 00.2-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5-0.2-0.4-0.6X 213 Y 2118⩵ 1xy⩵1 25 5X2 1 5 Y5 43 1 3.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 243[35]Conic5xˆ2 4xy 2 yˆ2 2x 4y 2A ⩵ 5 2 , det A ⩵ 62 25 2 1B ⩵ 2 2 2 , det B ⩵ 21 2 2Autovalori di A ⩵6, 1Prima sostituzione ∶ x x 2y , y 2x y 55Seconda sostituzione ∶ x 3 x, y 25 3 5 yEquazione finale ∶ 1 3 x2 6y 2 ⩵ 01.510.5-0.5 0.5 1 1.5-0.5X 213 Y 2118⩵ 1xy⩵1 2 55X 2 15 Y5 1 343.Dipartimento di Matematica

244 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[36]Conic2x 3y x 4x 6y32A ⩵ 2 3 , det A ⩵09 4 2 32 22B ⩵ 3 0 3, det B ⩵ 022 3 0Autovalori di A ⩵ 1 2 2 13, 1 2 2 13Prima sostituzione∶1x 2 11x 13 2 11y, y 13 2 11x 13 2 1 y13Seconda sostituzione ∶ x 1 3Equazione finale ∶11014338 52 13 x 9 2 4 x 8 26 4 13 x 4 139 2 4 y 771326 4 13 x, y 1 26 4 13 y3338 52 13 y 1772 1 x1326 4 13 3x 2y12 1 y 12 26 4 13 y 13 ⩵ 0 ËÓÐÚ ∶∶ ′′ svars ′′ ∶ Equations may not give solutions for all solve variables.2010-10 -5 5 10-10Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 245Si tratta della conica degenere: 2x 3yx 2 ⩵0.[37]Conicxˆ2 4yˆ2 4x 8y 1A ⩵ 1 0 , det A ⩵40 41 0 2B ⩵ 0 4 4 , det B ⩵ 42 4 1Autovalori di A ⩵4, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 2 x, y 1 yEquazione finale ∶1 x 2 4y 2 ⩵ 0642-10 -5 5 10-2-44X 2 Y 2 ⩵ 1; x y ⩵ X Y 1 2 .Dipartimento di Matematica

246 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[38]Conic2xˆ2 2x y 7x y 3A ⩵ 2 1 , det A ⩵11 02 1 7 21B ⩵ 1 02 7 132 2, det B ⩵ 0Autovalori di A ⩵ 1 2, 1 2Prima sostituzione ∶x 1 22 2x2 2y, y 1 2 2 2xSeconda sostituzione ∶ x 2 2y134 74 2 x, y 134 74 2 yEquazione finale ∶ x 2 y 2 2 x yx y ⩵0ËÓÐÚ ∶∶ ′′ svars ′′ ∶ Equations may not give solutions for all solve variables.105-10 -5 5 10-5Si tratta della conica degenere: 1 2Y 2 2 1 2 x 2 ⩵ 0.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 247[39]Conicxˆ2 4x y yˆ2 2xA ⩵ 1 2 , det A ⩵32 11 2 1B ⩵ 2 1 0 , det B ⩵11 0 0Autovalori di A ⩵1, 3Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 13 2 x, y 1 y2Equazione finale ∶ 1 3 3x2 y 2 ⩵ 0302010-10-5 5 10-10-20-3013 X 2 3Y 2 ⩵ 0xy⩵12 1 21 1 22XY1323.Dipartimento di Matematica

248 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[40]Conic2xˆ2 8yˆ2 8xy 8Sqrt5 x Sqrt5 y 5A ⩵ 2 4 , det A ⩵ 04 82 4 4 55B ⩵ 4 824 5552Autovalori di A ⩵0, 10Prima sostituzione ∶ x x 2y5, det B ⩵11252, y 2x y 5Seconda sostituzione ∶ x 1 2 x, y 1 3 yEquazione finale ∶ 5 2 1 4x2 6y⩵0-10 -5 5 10-20-40-602Y 2 3X ⩵ 0xy⩵2 15 51 2 55XY 12 5 32 5.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 249[41]B ⩵aˆ2 1, a 1, 1, a 1, 0, 0, 1, 0, 1SolveDet% ⩵⩵0, aa 1, a 1Conic2xy 2x 2xy 1A ⩵ 0 2 , det A ⩵42 00 2 1B ⩵ 2 0 0 , det B ⩵ 41 0 1Autovalori di A ⩵2, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 12 1 x, y 2 2 2 yEquazione finale ∶1 2x 2 2y 2 ⩵ 0105-10 -5 5 10-5-10i) a ⩵1. ii) 2X 2 2Y 2 ⩵ 1.xy⩵1 12 2X1 1 2 Y2 0 1 2.Dipartimento di Matematica

250 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[42]B ⩵h 1, Sqrt3, 1,Sqrt3, h 1, Sqrt3h 2/12, 1, Sqrt3h 2/12, 0SolveDetB ⩵⩵0, hh 2, h 1 2 7 3 15, h 1 2 7 3 15A ⩵ B1, 2, 1, 2 1 h, 3, 3, 1 hSolveDetA ⩵⩵0, hh 2, h 2Conicxˆ2 3yˆ2 2 Sqrt3 xy 2x A ⩵ 1 3 3 3, det A ⩵ 0 1 B ⩵ 3 1 3 3 0 , det B ⩵3 1 0 0 Autovalori di A ⩵0, 4Prima sostituzione ∶ x 1 2 x 3y, y 1 2 3x ySeconda sostituzione ∶ x 1 x, y y8Equazione finale ∶ 116 4x2 3y ⩵ 0Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 25120015010050-10-5 510h ⩵ 2. 4Y 2 3X ⩵ 0.Dipartimento di Matematica

252 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare Ixy⩵3212 1 232 XY1167 396.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 253[43]Eigensystem2, 2, 2, 12, 3, 1, 2, 2, 1

254 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare Ii) P ⩵2 15 5.1 2 5 5 ii) X 213 Y 212⩵ 1 x y ⩵ P X Y .[44]Conic5xˆ2 24 x y 5yˆ2 6x 4y 2A ⩵ 5 12 , det A ⩵16912 55 12 3B ⩵ 12 5 2 , det B ⩵ 1693 2 2Autovalori di A ⩵13, 13Prima sostituzione ∶ x 2x 3y , y 13Seconda sostituzione ∶ x x, y 1 13 yEquazione finale ∶ 1 13 x 2 13 y 2 ⩵ 03x 2y 13302010-10-5 5 10-10-20-3013X 2 13Y 2 ⩵ 1.xy⩵3 213 132 3 13 13XY313213.Centro: 313 , 213 , asintoti: y ⩵ 5x 1, y⩵x 1 5 ; assi: 2x 3y ⩵ 0, 3x 2y 1 ⩵ 0. Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 255[45]Conic4xˆ2 4xy yˆ2 yA ⩵ 4 2 , det A ⩵ 02 14 2 0B ⩵ 2 1 1 2 0 1 , det B ⩵10 2Autovalori di A ⩵0, 5Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 551Seconda sostituzione ∶ x 10 x, y y5Equazione finale ∶ 1100 5x2 2y ⩵ 0 5Vertice: V ⩵ 9100 , 1100 ,asse:x ⩵ 1 5t 9100y ⩵ 2 5t 1100 , t ∈ —5Y 2 ⩵ 2 x55 X y⩵1 25 5251 5XY 91001100.Dipartimento di Matematica

256 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[46]Conic5xˆ2 4xy 2yˆ2 6x 1A ⩵ 5 2 , det A ⩵ 62 25 2 3B ⩵ 2 2 0 , det B ⩵ 123 0 1Autovalori di A ⩵6, 1Prima sostituzione ∶ x x 2y , y 2x y 55Seconda sostituzione ∶ x 3 x, y 1 y5 5Equazione finale ∶ 2 x 2 6y 2 ⩵ 00.5-2 -1 1-0.5-1-1.5-2X 2 6Y 2 ⩵ 2;xy⩵2 15 5X1 2 5 Y5 11.Assi: x 2y 3 ⩵ 0, 2x y 1 ⩵ 0;Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 257[47]Conic7xˆ2 8xy yˆ2 6x 6y 1A ⩵ 7 4 , det A ⩵94 17 4 3B ⩵ 4 1 3 , det B ⩵ 93 3 1Autovalori di A ⩵9, 1Prima sostituzione ∶ x x 2y , y 2x y 55Seconda sostituzione ∶ x 3 5 x, y 1 5 yEquazione finale ∶ 1 x 2 9y 2 ⩵ 0105-10 -5 5 10-5-10X 2 9Y 2 ⩵ 1; assi: 2x y 1 ⩵ 0, x 2y 3 ⩵ 0.Dipartimento di Matematica

258 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[48]a ⩵1 t, 0, 0, 1 tb ∶⩵ 1 t, 0, 1 t, 0, 1 t, 1 t, 1 t, 1 t, 1SolveDetb ⩵⩵0t 1, t 1 , t 12Eigensystema1 t, 1 t, 0, 1, 1, 0Conic3 xˆ2 yˆ2 6x 2y 1A ⩵ 3 0 , det A ⩵ 30 13 0 3B ⩵ 0 1 1 , det B ⩵ 93 1 1Autovalori di A ⩵3, 1Prima sostituzione ∶x y, y xSeconda sostituzione ∶x 1 x, y 1 yEquazione finale ∶ 3 x 2 3y 2 ⩵ 021-1 1 2-1-2i) t ⩵ 1, t⩵1, t⩵ 1 2 . ii) C ⩵1, 1. iii) X 2 Y 23 ⩵ 1. Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 259[49]B ⩵3, a, 1, a, 3, 1, 1, 1, 3SolveDetB ⩵⩵0, aa 3, a 113 A ⩵ B1, 2, 1, 23, a, a, 3SolveDetA ⩵⩵0, aa 3, a 3Conic3xˆ2 2xy 3yˆ2 2x 2y 3A ⩵ 3 1 , det A ⩵ 81 33 1 1B ⩵ 1 3 1 , det B ⩵ 321 1 3Autovalori di A ⩵4, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 1 2 x, y yEquazione finale ∶2 2 x 2 2y 2 ⩵01.510.5-1 1 2-0.5-1i) a3: iperboli; 3

260 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[50]B ⩵t, t/2, 0, t/2, 1, 1, 0, 1, tSolveDetB ⩵⩵0, tt 0, t 2 1 2, t 2 1 2A ⩵ B1, 2, 1, 2t, t 2 , t 2 , 1SolveDetA ⩵⩵0, tt 4, t 0Conic4xˆ2 4xy yˆ2 y 4A ⩵ 4 2 , det A ⩵ 02 14 2 01B ⩵ 2 12 , det B ⩵1104 2Autovalori di A ⩵0, 5Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 551Seconda sostituzione ∶ x 10 5 x, y 2 5 yEquazione finale ∶ 1100 5x2 2y ⩵ 05i) Se t0: iperboli; se 4

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 261Λ⩵4: parabola, Λ⩵0: parabola degenere,Λ⩵ 4 ± 3 22: iperboli degeneri.ii) Y 2 ⩵ 25 X . iii) coincide con ii).5[52]A ⩵1, h, h, 1 B ⩵1, h, 1, h, 1, 0, 1, 0, hSolveDetB ⩵⩵01/32h 3 9 691 2 9 69 1/33 2/3 ,1 3 1 2h 9 69 1/31 323 2/3 2 2/3 3 9 ,1/3691 3 1 2h 9 69 1/31 323 2/3 2 2/3 3 9 1/369EigensystemA1 h, 1 h, 1, 1, 1, 1i) 1

262 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[53]Conicxˆ2 xy 1/4yˆ2 2x 6y 61 A ⩵1 2 1 1 , det A ⩵ 0 2 4 1 B ⩵1 12 1 132 41 3 6Autovalori di A ⩵ 0, 5 4 , det B ⩵254Prima sostituzione ∶ x 2x y 5, y x 2y 5Seconda sostituzione ∶ x 4 5 x, y 3 5 yEquazione finale ∶4 5x24 2 5y ⩵ 04020-10 -5 5 10-20-40Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 26354 Y 2 ⩵2 5X ;xy⩵1 25 5251 5XY95 6 5;asse: 10x 5y 24 ⩵ 0, tangente nel vertice: 5x 10y 3 ⩵ 0.[54]Conicxˆ2 2yˆ2 4x 4y 2A ⩵ 1 0 , det A ⩵20 21 0 2B ⩵ 0 2 2 , det B ⩵ 82 2 2Autovalori di A ⩵2, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶x 2 x, y 1 yEquazione finale ∶ x 2 2 2 y 2 ⩵07.552.5-10 -5 5 10-2.5-5-7.5X 24 Y 22 ⩵ 1 x y ⩵ X Y 21 ;2C ⩵2, 1; assi: x ⩵2,y⩵1; asintoti: y 1 ⩵± x 2.2Dipartimento di Matematica

264 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[55]Conic3xˆ2 2xy 3 yˆ2 2x 2yA ⩵ 3 1 , det A ⩵ 81 33 1 1B ⩵ 1 3 1 , det B ⩵ 81 1 0Autovalori di A ⩵4, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 1 2 x, y yEquazione finale ∶ 1 2x 2 4y 2 ⩵ 00.50.25-1 -0.5 0.5-0.25-0.5-0.75-1i) Sì. ii) No. iii) Sì. iv) È un’ellisse. v) 2x 2 4y 2 ⩵ 1.Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 265[56]Conic2xy x y 1A ⩵ 0 1 , det A ⩵11 010 121B ⩵ 1 0 , det B ⩵21 2 1 112 2Autovalori di A ⩵1, 1Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x x, y 1 2 yEquazione finale ∶ 1 2 x2 y 2 ⩵ 0105-10 -5 5 10-5-10ii) 2X 2 2Y 2 ⩵ 1,xy⩵ 1 2121 2X12 Y1212;iii) centro: 1 2 , 1 2 ; iv) asintoti: x ⩵ 1 2 ,y⩵ 1 ; v) tangente: x y 1 ⩵ 0.2Dipartimento di Matematica

266 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[57]Conic4xy 3 yˆ2 8A ⩵ 0 2 , det A ⩵42 30 2 0B ⩵ 2 3 0 , det B ⩵ 320 0 8Autovalori di A ⩵4, 1Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 55Seconda sostituzione ∶x x, y yEquazione finale ∶ x 2 4 2 y 2 ⩵0105-10 -5 5 10-5-10X 28 Y 22 ⩵ 1; assi: 2x y ⩵ 0, x 2y ⩵ 0; asintoti: 4x 3y ⩵ 0, y ⩵ 0. Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 267[58]Conicxˆ2 2xy yˆ2 10 x 2y 7A ⩵ 1 1 , det A ⩵ 01 11 1 5B ⩵ 1 1 1 , det B ⩵365 1 7Autovalori di A ⩵0, 2Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 2 x, y 76 2 yEquazione finale ∶ 2 2 x 2 3 2y ⩵ 0302010-10 -5 5 10-10-20Y 2 ⩵3 2X , vertice: V ⩵ 5 6 212, 5 6 212 , asse: x y 2 ⩵ 0.Dipartimento di Matematica

268 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[59]Conic7xˆ2 2xy 7yˆ2 34 x 2y 31A ⩵ 7 1 , det A ⩵ 481 77 1 17B ⩵ 1 7 1 , det B ⩵ 57617 1 31Autovalori di A ⩵8, 6Prima sostituzione ∶ x x y , y x y 2 2Seconda sostituzione ∶ x 3 2 x, y 2 yEquazione finale ∶2 6 3x 2 4y 2 ⩵021-3 -2 -1 1-1X 22 Y 232⩵ 1;vertici: A 1 ⩵ 1 22B 1 ⩵ 3 3 22, 1 22, 3 3 22,A 2 ⩵ 5 22, 5 22,B 2 ⩵ 3 3 22 ,, 3 3 22 .Università di Torino

Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 269[60]A ⩵1, h, h, 4 B ⩵1, h, 4, h, 4, 3, 4, 3, 0SolveDetB ⩵⩵0h 7324 e ⩵ EigenvaluesA 1 2 5 9 4h 2 , 1 2 5 9 4h 2 Solvee1 ⩵⩵ 0h 2, h 2Solvee2 ⩵⩵ 0Conicxˆ2 4 yˆ2 8x 6yA ⩵ 1 0 , det A ⩵ 40 41 0 4B ⩵ 0 4 3 , det B ⩵ 734 3 0Autovalori di A ⩵4, 1Prima sostituzione ∶x x, y ySeconda sostituzione ∶ x 4 x, y 3 4 yEquazione finale ∶ 734 x2 4y 2 ⩵ 0321-8 -6 -4 -2 2 4-1-2Se h ⩵ 7324la conica è degenere; altrimenti è non degenere.Se 2

270 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I[61]A ⩵8, h, h, 2SolveDetA ⩵⩵0h 4, h 4Conic8xˆ2 8x y 2yˆ2 2x 4y 1A ⩵ 8 4 , det A ⩵ 04 28 4 1B ⩵ 4 2 2 , det B ⩵181 2 1Autovalori di A ⩵0, 10Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 55Seconda sostituzione ∶ x 255 5 x, y 6 yEquazione finale ∶ 825 10 x2 6y ⩵ 0 5Conic8xˆ2 8x y 2yˆ2 2x 4y 1A ⩵ 8 4 , det A ⩵ 04 28 4 1B ⩵ 4 2 2 , det B ⩵501 2 1Autovalori di A ⩵0, 10Prima sostituzione ∶ x 2x y , y x 2y 55Seconda sostituzione ∶ x x, y 12 5 yEquazione finale ∶ 2 5x 2 5y ⩵ 0i) h ⩵±4.ii) Se h ⩵ 4, allora C ∶ 10Y 2 6 5X ⩵ 0;se h ⩵4, allora C ∶ 10Y 2 2 5X ⩵ 0.Università di Torino