Acrobat Distiller, Job 10

LA TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONDUZIONEIng. Nicola Forgione1. IntroduzioneLa conduzione è il modo di trasmissione del calore mediante il quale il calore si trasferisce daregioni calde a regioni fredde di un solido o di un fluido in quiete. Essa è l'unica modalità con laquale si trasmette energia per effetto della differenza di temperatura nei corpi solidi ed opachi. Latrasmissione del calore per conduzione avviene per differenti meccanismi diffusivi microscopiciquali la diffusione di molecole, di elettroni e le vibrazioni nella struttura cristallina. Questimeccanismi di trasporto di energia a livello microscopico risultano in un processo diffusivomacroscopico la cui descrizione matematica avviene mediante la legge di Fourier.2. Il flusso termicoLa legge di Fourier, basata su osservazioni sperimentali, fornisce la relazione che lega il flussotermico al gradiente di temperatura. Per un solido isotropo (cioè un materiale nel quale laconducibilità termica è indipendente dalla direzione) la legge di Fourier ha la seguente forma:r r r r rq , t = −λ , T ∇T, t[W/m 2 ] (1)( ) ( ) ( )dove: il gradiente di temperatura è un vettore normale alla superficie isoterma, il vettore flussotermico q r rappresenta la potenza termica che per unità di tempo e di area attraversa la superficieisoterma nella direzione delle temperature decrescenti, e λ è la conducibilità termica del materiale(grandezza scalare positiva).3. L'equazione della conduzioneIl punto di partenza dell'analisi di un problema di conduzione del calore è l'equazione di bilanciodell'energia ricavata per un volume di controllo differenziale. Nel caso di un solido isotropo congenerazione di calore dentro il corpo si ottiene la seguente forma differenziale dell'equazionegenerale della conduzione:r∂T( t)c , r r r rρ p= ∇ o [ λ( , T ) ∇T( , t)] + g( r , t)(equazione della conduzione) (2)∂ tPer problemi di conduzione per i quali non c'è conversione di energia interna e laconducibilità termica può essere assunta costante, il bilancio dell'energia si semplifica nella:r∂ T ( , t)λ 2 r= ∇ T ( , t)(equazione di Fourier) (3)∂ t ρ cpche prende il nome di equazione di Fourier o della diffusione. L'equazione della diffusione èun'equazione differenziale alle differenze parziali di tipo parabolica (nel tempo). Ciò significa che1

Ing. Nicola Forgioneil campo di temperatura in un certo istante non è affetto dal valore del campo di temperatura negliistanti precedenti (la velocità di propagazione del campo di temperatura è infinita).Per problemi di conduzione nello stato stazionario con conversione di energia interna e conconducibilità termica costante il bilancio dell'energia può essere scritto come:r2 r g( )( , t)∇ T, t + = 0 (equazione di Poisson) (4)λe prende il nome di equazione di Poisson.Per problemi di conduzione nello stato stazionario senza conversione di energia interna e conconducibilità termica costante l'equazione di bilancio dell'energia assume la seguente forma:∇2( r,t) = 0T r (equazione di Laplace) (5)e prende il nome di equazione di Laplace. Questa equazione è analoga a quella di un campopotenziale elettrico e questa analogia può, in alcuni casi, essere utilizzata per ottenere la soluzionedi problemi di conduzione.4. Condizioni al contornoL'analisi di un problema della conduzione coinvolge la soluzione dell'appropriata formadell'equazione di bilancio dell'energia soggetta alle prescritte condizioni al contorno ed iniziali.4.1 Condizione al contorno del primo tipo (o condizione di Dirichlet)In questo caso è nota la distribuzione di temperatura sulla superficie S del dominio V sul qualeandare ad integrare l'equazione della conduzione, cioè:rT = f ( , t) r∈ S(6)f r , t è in generale una funzione della posizionedove la prescritta temperatura superficiale ( )all’interno del dominio e del tempo. Nel caso particolare in cuirT = 0 ∈ S(7)si parla di condizione al contorno del primo tipo omogenea.4.2 Condizione al contorno del secondo tipo (o condizione di Neumann)Questo è il caso in cui è specificato il valore del flusso termico sulla superficie, cioè:∂Tr r− λ = f ( , t) ∈ S(8)∂ ndove con∂ T / ∂ n si è indicato il gradiente di temperatura valutato nella direzione normale(uscente) alla superficie. Nel caso particolare di flusso termico nullo sul contorno si ha:2

Ing. Nicola Forgione∂Tr− λ = 0∈ S(9)∂ ne si parla di condizione al contorno del secondo tipo omogenea.4.3 Condizione al contorno del terzo tipo (o condizione di Robbins)E' una condizione al contorno di tipo convettiva (si trascura l'eventuale termine dovutoall'irraggiamento o lo si linearizza), cioè:∂ Tr r− λ + α T = α T∞( , t) ∈ S(10)∂ nNel caso particolare in cui∂ Tr− λ + α T = 0∈ S(11)∂ nsi parla di condizione al contorno del terzo tipo omogenea. Ovviamente, le condizioni alcontorno del primo e del secondo tipo possono essere ottenute come casi particolari dellacondizione al contorno del terzo tipo. Per esempio, ponendo in prossimità del contorno λ = 0 er rT∞( , t) = f ( , t)si ottiene una condizione del primo tipo. Similmente, ponendor rα T , t = f, t al secondo membro e ponendo α = 0 al primo membro si ottiene una∞( ) ( )condizione del secondo tipo.4.4 Condizione attraverso un'interfaccia solido-solido (o del quarto tipo)Quando due materiali solidi , aventi differenti conducibilità termiche, sono in perfetto contattotermico tra loro attraverso una superficie di interfaccia, le condizioni da imporre incorrispondenza dell'interfaccia sono:Tr( r, t) = T2( r t) r ∈ Sint1,∂T− λ∂ n3r∂T∂ n121= −λ2r ∈ SintOvviamente non sempre il contatto termico può essere considerato perfetto; in questo casooccorre introdurre una resistenza termica di contatto (o di interfaccia). Le condizioni da imporreall'interfaccia sono ancora quelle di uguaglianza dei flussi ma non di uguaglianza dellatemperatura; il salto di temperatura nel passaggio, attraverso l'interfaccia, da un corpo ad un altrodipenderà proprio dal valore di questa resistenza termica di contatto.La presenza di termini non omogenei nelle condizioni al contorno può dare problemi diconvergenza nella risoluzione dell'equazione della conduzione. Perciò, dove possibile, è preferibiletrasformare le condizioni al contorno non omogenee in omogenee.rr

Ing. Nicola Forgione5. Conduzione bidimensionale in regime stazionarioIn ogni sistema bidimensionale, nel quale del calore viene trasmesso da una superficie atemperatura costante T 1 ad un'altra superficie a temperatura costante T 2 di un corpo solido, lapotenza termica scambiata dipende solo dalla differenza di temperatura (T 1 -T 2 ), dalla conducibilitàtermica λ del mezzo attraverso il quale avviene lo scambio termico e dalla forma geometrica delsistema. In particolare, la potenza termica scambiata tra queste due superfici può essere espressacome:W t= λ S( − )T 1T 2dove S, detto fattore di forma conduttivo, dipende solo dalla geometria del corpo. Esso ha ledimensioni di una lunghezza e la sua espressione analitica è generalmente riportata nei testi ditrasmissione del calore per differenti configurazioni geometriche che possono incontrarsi nellapratica.6. Formulazione a parametri concentratiIn generale in un problema di conduzione del calore la temperatura all'interno del mezzo solidovarierà sia con la posizione che con il tempo. Esistono però molte applicazioni ingegneristiche nellequali la temperatura può essere pensata uniforme dentro il corpo e quindi la temperatura del corpopuò essere considerata funzione solo del tempo. Tale formulazione detta a parametri concentratifornisce una grande semplificazione dell'analisi di problemi di conduzione del calore non stazionari.Consideriamo un corpo di forma arbitraria di massa m, volume V, area della superficie esternaA, densità ρ e calore specifico c p , inizialmente ad una temperatura uniforme T 0 . All'istante t = 0 ilcorpo è posto in un ambiente a temperatura T ∞ed avviene trasmissione del calore tra il corpo el'ambiente, con un coefficiente di scambio termico α. Il bilancio dell'energia del solido per unintervallo di tempo infinitesimo dt fornisce:La soluzione del problema è:m c pdT() t − T −t/ τTT − T0∞∞=e( T − T ) dtα A(12)=∞Dalla formula precedente si nota che tanto più è piccola lacapacità termica, o la resistenza termica esterna, tanto piùvelocemente la temperatura del corpo tende a raggiungerela temperatura esterna. Il circuito elettrico equivalente delsistema termico è quello mostrato in figura.mcp, dove τ = = RC(13)α AT 0T ∞C = m c p1R = α A4

Ing. Nicola ForgioneLa refrigerazione del corpo segue lo stesso andamento della scarica del condensatore del circuitoelettrico equivalente che avviene a partire dall'istante di apertura dell'interruttore.Al fine di stabilire un criterio per un intervallo di validità di un tale metodo, consideriamo ladefinizione del numero di Biot come:α L cVBi = , dove L c≡ (14)λAche rappresenta il rapporto tra la resistenza termica conduttiva dentro il corpo e la resistenzaconvettiva sulla superficie del corpo. Si può dimostrare che l'analisi a parametri concentrati è validase la distribuzione di temperatura dentro il solido rimane sufficientemente uniforme durante iltransitorio e cioè se la resistenza termica conduttiva dentro il solido risulta bassa rispetto a quellaconvettiva sulla superficie. Da ciò deriva che l'analisi a parametri concentrati è valida solo perpiccoli valori del numero di Biot. Per esempio, la soluzione analitica esatta di problemi diconduzione transitoria per solidi nella forma di parete piana, cilindri o sfere, soggetti arefrigerazione (o riscaldamento) convettiva mostrano che per Bi

Ing. Nicola ForgioneDal bilancio di energia per un disco di spessore dx in corrispondenza alla posizione assiale x siottiene la seguente espressione:dove il flusso termico q è dato da:( x,t) ∂ ( Aq)∂ Tρ c p∆xA( x)= − ∆x+ α P∞,∂ t ∂ x( x,t)∂ Tq = −λ∂ xSe si introduce la nuova variabile θ ( x,t), definita comeθ( x , t) ≡ T ( x,t) − T∞( x) ∆x[ T − T ( x t)]e si sostituisce l'espressione del flusso termico nell'equazione di bilancio dell'energia si ottiene:( x,t)( x)( x)ρ c p ∂θ1 ∂ ⎡ ∂θ⎤ α P= A( x)− θ ,λ ∂ t A( x)∂ x⎢x⎥⎣ ∂ ⎦ λ APer il caso stazionario l'equazione precedente si semplifica nellad ⎡⎢Ad x ⎣( x)d θ ⎤ α P⎥ −d x ⎦ λ( x)θ( x) = 0( x t)che rappresenta la tipica equazione differenziale per alette di sezione trasversale variabile.6

Ing. Nicola ForgioneESERCIZIO N. 1Si consideri un fabbricato avente una parete perimetrale di spessore 40 cm e di area pari a120 m 2 , la cui conducibilità termica vale 1 W/(m K). La temperatura dell'ambiente interno alfabbricato è mantenuta a 23 °C da un impianto di condizionamento ed il coefficiente di scambiotermico convettivo, comprensivo del contributo radiativo, vale 8 W/(m 2 K). La parte esterna dellaparete è lambita da aria alla temperatura di 35 °C ed il coefficiente di scambio termico convettivo,comprensivo del contributo radiativo verso il cielo, vale 25 W/(m 2 K). La parete esterna è irraggiatadal sole e l'irradiazione solare risulta pari a 500 W/m 2 , mentre il coefficiente di assorbimento allaradiazione solare è 0.7. Si calcoli la temperatura esterna ed interna della parete nell'ipotesi che ilsistema sia in condizioni stazionarie.T e * , α eT i , α iT 1T 2*α sT e , α eG sdWtT iT 1T 2R i R w R e*T eSoluzioneSolo la frazioneα * sdell'energia solare incidente G s viene assorbita dalla parete chesupporremo opaca. In condizioni stazionarie, la potenza termica che per convezione edirraggiamento viene scambiata con la superficie esterna della parete deve essere uguale alla potenzatermica che per conduzione attraversa la parete:* λw* e−2 2−1GsαsA + αeA( Te− T2) = A( T2− T1) ⇒ GsαsA + =dReRwdove con R e ed R w abbiamo indicato le resistenze termiche convettiva esterna e conduttivaattraverso la parete:Re1 −d≡ = 3.333·104 −° C/W ; R 3.333·103 w≡ = ° C/Wα Aλ AewTTTT7

Ing. Nicola ForgioneA sua volta, la potenza termica che per conduzione attraversa la parete deve essere uguale allapotenza termica scambiata per convezione attraverso la superficie interna:λwdA( T T ) = A( T − T )⇒− T2 1 12−1αi1 i=RwTT − TiRdove con R i si è indicato la resistenza termica convettiva interna definita in modo del tutto analogo aquella esterna:Ri1 −≡ = 1.042·103 ° C/Wα AiIn questo modo si dispone di un sistema di due equazioni dal quale ricavare le due incognite T 1 e T 2 :⎧ * Te− T⎪GsαsA +Re⎨T2− T1T1− Ti⎪ =⎪⎩RwRi2T2− T=Rw1In realtà la determinazione delle due suddette temperature si semplifica se si introduce la cosiddettatemperatura fittizia sole-aria:T∗e≡ Te*αsG+αes= 49 ° Ce cioè quella temperatura che sostituita alla reale temperatura dell'aria esterna fa sì che l'effettodell'irraggiamento sia conglobato nello scambio termico convettivo. Infatti, facendo uso dellatemperatura fittizia l'equazione di bilancio di energia attraverso la superficie esterna diventa:*Te− T2T2− T1Re=che è equivalente all'espressione che si sarebbe ottenuta nel caso avessimo tenuto conto solo dellaconvezione esterna (senza irraggiamento solare), ma con una temperatura esterna uguale a quellafittizia.Si noti che la temperatura fittizia cresce al crescere del coefficiente di assorbimento alla*radiazione solare αs. D'estate sarebbe bene che questo coefficiente di assorbimento fosse il piùpiccolo possibile; è questo il motivo per il quale nei palazzi di vetro generalmente questi sonoaltamente riflettenti. Si noti poi che la temperatura fittizia tende a diminuire all'aumentare delcoefficiente di scambio termico convettivo esterno. A parità degli altri parametri, se c'è vento (altoαe) la temperatura fittizia, e quindi la temperatura della parete esterna, risulta più bassa.La potenza termica scambiata può essere determinata nel seguente modo:RwiWt=*Te− TiR + R + Rewi= 5522W8

La temperatura sulla superficie interna della parete vale:WtT − T1 i⇒ T1= T + = 28.75 °iWtR CR=iLa temperatura sulla superficie esterna della parete vale:iIng. Nicola ForgioneWT− T*t=e 2*⇒ T2= Te−WtReRe= 47.16 ° CCome si nota, per effetto dell'irraggiamento solare, la temperatura della superficie, T 2 , risultarelativamente più alta della temperatura dell'aria esterna per cui la parete cede calore per convezioneverso l'esterno. Lo scambio termico globale corrisponde però all'assorbimento di calore da partedella parete.9

Ing. Nicola ForgioneESERCIZIO N. 2Si consideri una lastra di vetro di spessore d e conducibilità termica λ immersa in aria allatemperatura T e . La lastra, irraggiata dal sole con un'intensità di irradiazione pari a G s , ha uncoefficiente di estinzione per assorbimento pari a µ ed un coefficiente di riflessione alla radiazionesolare pari a ρ s . Supponendo che lo scambio termico con l'aria avvenga solo per convezione con uncoefficiente termico convettivo α e , si determini l'andamento di temperatura all'interno della lastra divetro.G s ρ sG s Ι 0 = G s (1-ρ s )α eα eT eT exdSoluzioneQuando una radiazione di intensità I 0passa attraverso uno strato di vetro di spessore d,l'assorbimento di energia raggiante in uno spessore infinitesimo dx è fornito dalla relazione:dIx= −µIxdxdove:Ixè l'intensità di radiazione alla distanza x;µ è il coefficiente di estinzione per assorbimento o sezione d'urto.Integrando questa equazione differenziale all'interno dello spessore x si ottiene:I−µ xx= I 0e , dove I0= G s( 1− ρs)In questo caso, se si trascura il contributo dovuto alle riflessioni multiple, l'energia generata perunità di volume è data dag( x)d Ix= −d x10

Ne discende che:gx( x) −Iµ e−µ=0Ing. Nicola ForgioneL'equazione della conduzione all'interno della parete è quella monodimensionale stazionaria consorgente interna:2d T2dxI+eλ−0µ µ x= 0La soluzione generale di questa equazione differenziale risulta:T−µxI eµ λ( x) = −0 + C C 1x +2La soluzione particolare può essere determinata imponendo le condizioni al contorno del terzo tipo:d T− λd xx=0= αe[ T −T( x = 0)]ed T− λd xx=d= αe[ T ( x = d ) −T]eRisolvendo il precedente sistema di 2 equazioni nelle due incognite C 1 e C 2 si ottiene:CC1eI0µ λ= −−µd− d( − e ) + I ( 1+e )α 1 µ0I2λ+ α d0 02= Te+ + + C1µ λ αeαeIeλL'andamento qualitativo della temperatura all'interno dello spessore di vetro è quello riportato infigura.11

Ing. Nicola ForgioneESERCIZIO N. 3Un recipiente contiene del fluido mantenuto alla temperatura di -30 °C, mentre la temperaturadell'aria esterna è pari a 25 °C ed il coefficiente di scambio termico convettivo tra parete ed aria èuguale a 5 W/(m 2 K). In condizioni stazionarie si è misurata una temperatura sulla parete esterna delserbatoio di 5 °C. Al fine di evitare che si abbia condensa sulla superficie esterna del serbatoio sivuole rivestire il serbatoio con uno strato di materiale isolante (λ = 0.05 W/(m K)) in modo che,nelle suddette condizioni interne ed esterne al serbatoio, la temperatura superficiale sia uguale a18 °C. Calcolare lo spessore di isolante necessario nell'ipotesi che il coefficiente di scambio termicoesterno rimanga invariato in presenza di isolante.T i = -30 °C T e = 25 °CSoluzioneNel caso di parete in assenza di isolante il circuito elettrico equivalente è quello mostrato infigura, dove le resistenze termiche valgono:1Ri=α ARRweisw=λ Aw1=α AeLa potenza termica scambiata in assenza diisolante,*Wt, è data da:W**Tw,e− TiTe−t= =Ri+ RwRePur essendo le resistenze termiche convettiva interna e conduttiva attraverso lo spessore della paretedel recipiente incognite, la loro somma può però essere determinata dall'equazione precedente:T iT*w,eT i , α iT * w,eT e , α eR i R w R e*W tT eT− T*w iRi+ Rw=*Te− TwRe12

Nel caso di presenza di isolantebisogna tener conto di una resistenzatermica aggiuntiva.TWt=R + Riw, e− TiTe−w+ Riso=RTew,eDalla precedente relazione può esserericavata la resistenza termica dell'isolanteche vale:Ing. Nicola ForgioneT i , α i T e , α eWtT i R i R T w,ew RT eeR isoRT− T⎡T− T*w,e iiso= Re− ⎢*Te− Tw,eTe− Tw,eTe− Tww,e i w i( Ri+ Rw) = − Re⎣T− T ⎤⎥⎦Una volta determinata questa grandezza è facile trovare lo spessore di isolante necessario permantenere la temperatura della superficie esterna, T w,e , a 18 °C. Infatti, essendosi ottiene:sisoλiso=αeRiso⎡Tw,e− Ti⎢⎣Te− Tw,es=λisoisoT−T*weA− T− Ti*w⎤⎥ = 0.086 m⎦Ovviamente sarà difficile disporre di un isolante di spessore esattamente uguale a 8.6 cm; moltoprobabilmente occorrerà utilizzare un'isolante con spessore di 10 cm.13

Ing. Nicola ForgioneESERCIZIO N. 4Una prova effettuata su di un piccolo circuito elettrico in aria alla temperatura di 25 °C hamostrato che esso si porta ad una temperatura di regime di 50 °C quando dissipa una potenza di8 W; inoltre, esaminando la riduzione di temperatura dopo lo spegnimento, si è trovato che la suacostante di tempo è uguale a 500 s. Si supponga, a questo punto, che attraverso il circuito vengadissipata una potenza elettrica di 50 W. Se, a partire dalla condizione di regime, il circuito vieneisolato termicamente dopo quanto tempo la sua temperatura aumenta di 10 °C?T e , α eT wSoluzioneIn condizioni stazionarie la potenza elettrica dissipata per effetto Joule, Wel, deve essereuguale alla potenza termica che per convezione ed irraggiamento viene scambiata con l'esterno. Seindichiamo conα eil coefficiente termico convettivo con l'esterno, che contiene al suo internoanche l'effetto dell'irraggiamento, si ottiene:W( − T )el= αeA Tw,regedalla quale può essere ricavato il fattore di scambio termico complessivo Ue≡ α A:eWt, elUe=T −Tw,rege= 0.32W/KDurante lo spegnimento, nell'ipotesi di numero di Biot relativamente piccolo (cioè ditemperatura funzione solo del tempo), il bilancio dell'energia fornisce:CdT= −U( T −T)dtwenella quale C rappresenta la capacità termica del circuito elettrico. Integrando la precedenteequazione differenziale con la condizione iniziale che la temperatura sia uguale a quella di regime,si ottiene la seguente soluzione:Tw−t/ τ() t = T + [ T − T ] = eew,regdove τ rappresenta la costante di tempo definita come:wτ ≡ C /U eDato che la costante di tempo è nota, dalla precedente relazione è possibile ricavare la capacitàtermica del circuito:ee14

Ing. Nicola ForgioneC = τ Ue=160J/KSe il circuito viene isolato termicamente la potenza elettrica dissipata per effetto Joule va tuttain aumento della sua energia interna e quindi in aumento della sua temperatura. L'equazione dibilancio dell'energia fornisce:CdTWdt∆TWCel() t = T () t −Ttw=el⇒w w w,in=Il tempo necessario per un aumento di 10 °C della temperatura del circuito vale:* C ∆Tt =W el= 32 s15

Integrando una volta otteniamo:d Tλ bd rq ′′′ r C+ +2 r1=0Ing. Nicola ForgioneA causa della simmetria cilindrica, il flusso termico in corrispondenza dell'asse della barretta (r=0)deve essere nullo; ne discende che la costante C 1 deve essere uguale a zero.Integrando una seconda volta l'equazione della conduzione si ha:T2q ′′′ r4λ() r = − + C2La costante C 2 può essere determinata imponendo che la temperatura in corrispondenza dellasuperficie esterna della barretta sia uguale a T 1 ; si ottiene:T( r = R)= T1⇒Cb22q ′′′ R= T1+4λL'andamento della temperatura all'interno della barretta è di tipo parabolico:Tq ′′′ 2 2() r = T + ( R − r )La temperatura massima viene raggiunta in corrispondenza dell'asse della barretta e vale:TT14λb2q′′′R4λ( r = 0) = T + = 500.5 Cmax=1°bb17

Ing. Nicola ForgioneESERCIZIO N. 6Una barretta di alluminio di sezione cilindrica, con area trasversale A = 1 cm 2 , lunghezzaL = 1 m e conducibilità termica λ = 200 W/(m K), è termicamente isolata sulla superficie laterale.Le sue due estremità sono in contatto termico con due fluidi mantenuti alla temperatura T 1 = 0 °C eT 2 = 50 °C, rispettivamente. Tra i fluidi e le due basi della barretta vi è scambio termico convettivocon un coefficiente α = 20 W/(m 2 K). Nell'ipotesi che nella barretta venga dissipata una potenzaelettrica di 1 W, si determini:1. la posizione in corrispondenza della quale la temperatura all'interno della barretta è massima;2. il valore della temperatura massima;3. le temperature sulle sue due basi;4. le potenze termiche scambiate con i due fluidi.T 1 , αT 2 , αT(x)x=LxSoluzioneData la particolare geometria del problema e le condizioni al contorno, la temperaturaall'interno della barretta è funzione della sola posizione assiale x. L'equazione della conduzione puòperciò essere scritta nella seguente forma2d T2d x= −gλche adimensionalizzata diventa:2d θ= −Fo2dξdove:x≡Lξ ; θ ( ξ )( ξ )T −T1≡T −T21Il numero di Fourier, Fo, è noto e vale:18

Ing. Nicola ForgioneFo ≡g Lλ( T − T ) Aλ( T − T )La soluzione generale della precedente equazione differenziale è:θ22121=Wel2L2( ξ ) = − Fo ξ + C1ξ + C2Per determinare l'effettivo andamento della temperatura all'interno della barretta è necessarioimporre che la soluzione generale soddisfi alle seguenti condizioni al contorno del terzo tipo:1= 1⎧ d T⎪−λ⎪ d x⎨⎪ d T− λ⎪⎩ d xx=0x=L= −α= −α[ T()0 −T][ T −T( L)]dove il numero di Biot, Bi, vale:21⇒Bi⎧dθ⎪⎪dξ⎨⎪dθ⎪⎩dξα L≡ λξ = 0ξ = 1= 0.1= Bi θ= Bi() 0[ 1−θ() 1 ]Si ricava:C1 = 0.54762;C2= 5.4762Conoscendo il profilo di temperatura, è possibile ottenere la posizione in corrispondenza della qualela temperatura è massima uguagliando a zero la sua derivata:dθ~~ C1= 0 ⇒ − Foξ+ C = 0 ⇒ ξ = = 0.54762 ⇒ ~ xdξFo1=0.54762 mLa temperatura massima è data da:1 ~ 2 ~θmax = − Foξ+ C1ξ + C2⇒ θmax≅ 5.626 ⇒ Tmax≅ 281.3 ° C2Noto il profilo di temperatura, è facile determinare i valori di temperatura alle estremità dellabarretta:T( x = 0 ) ≅ 273.8 ° C; T( x = L) ≅ 276.2 ° CInfine, la potenza termica scambiata con i due fluidi risulta:W t= α A[ T( x = ) −T] 0.5476 W ; W t= α A[ T( x = L)−T] 0.4536W, 101=, 22=Si noti che se avessimo sfruttato l'ipotesi di temperatura uniforme all'interno della barretta,valida per piccoli numeri di Biot, avremmo ottenuto:TT + T21 2 el,max( x = 0) = T( x = L) = T = + = 275 CWmax°2αAL'errore commesso sul calcolo della temperatura massima sarebbe stato dell'ordine del 2.4 % (errorerelativamente basso).19