1 Spazi metrici e continuità - Matematica e Applicazioni

Geometria I 20Richiami di teoria degli insiemiCfr: Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).Concetti primitivi (non definiti):• Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).• Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ∉ X.In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 4 si definisce un insiemecome collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire sex = y oppure x ≠ y). Si assumono anche i seguenti principi:(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzioneche gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P (x) è vera:(iii) Assioma della . . .Estensioni di questa notazione:A = {x : p(x)}.{x ∈ A : p(x)} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}Insieme vuoto 5 : ∅.Relazioni tra insiemi:{f(x) :p(x)} Esempio: {x 2 : x ∈ Z}{1, 2, 3}, {1, 2}• (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un sottoinsieme diB.• A ⊃ B: se B ⊂ A.• A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).4 G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere ilcriterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi(contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengonoa se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x ∉ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora perdefinizione X ∉ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa. . .5 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto– e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, . . .