1 Spazi metrici e continuità - Matematica e Applicazioni

Geometria I 2(1.5) Definizione. Un sottoinsieme 1 U di uno spazio metrico X si dice intorno di un puntox ∈ U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ> 0 tale cheB δ (x) ⊂ USe U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U.(1.6) Nota. Se U è un intorno di x e U ⊂ V , allora V è un intorno di V .Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f −1 (B ɛ (f(x)))di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ognisuo punto (esercizio (1.10) a pagina 23).(1.7) Se f : A ⊂ X → Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y(intervallo!) è intorno di ogni suo punto.Dimostrazione. Se x ∈ f −1 B ɛ (y), cioè f(x) ∈ B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cuiB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f −1 (B r (f(x))) è intorno di x. MaB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y) =⇒ f −1 (B r (f(x))) ⊂ f −1 (B ɛ (y))e quindi f −1 (B ɛ (y)) è un intorno di x.qed(1.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice aperto se è intornodi ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenutoin A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A).(1.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto.Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 23)qed(1.10) Una funzione f : X → Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X diogni palla B r (y) di Y è un aperto.Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmaginedi ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni pallaB r (y) è un aperto. Allora, per ogni x ∈ X e per ogni ɛ> 0f −1 (B ɛ (f(x)))è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni xe ɛ esiste δ> 0 tale che B δ (x) ⊂ f −1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua.qed1 U può non essere aperto. . .

Geometria I 3§ 1.1 Proprietà dei sottoinsiemi apertiSe A ⊂ X è aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) ⊂ A, e quindi A èunione di (anche infinite) palle aperteA = ⋃ x∈AB r(x) (x).Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindivale:(1.11) Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle).(1.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.(1.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzanonull’altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono ingenerale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici.(1.14) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.(1.15) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione A ∩ B è un aperto.Dimostrazione. Sia x ∈ A ∩ B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali cheB rA (x) ⊂ A e B rB (x) ⊂ B.Sia r il minimo tra r A e r B : B r ⊂ B rA , B r ⊂ B rB , e quindi B r ⊂ A∧B r ⊂ B( ⇐⇒ B r ⊂ A∩B).Quindi A ∩ B è intorno di x e la tesi segue dall’arbitrarietà di x.qedRiassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle partiA⊂ 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X.(1.16) L’insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (1.8 ) di pagina 2) di uno spaziometrico X verifica le seguenti proprietà:(i) ∅∈A, X ∈A,(ii) B ⊂ A =⇒ ⋃ B∈B B ∈A,(iii) B ⊂ A, B è finito, allora ⋂ B∈B B ∈A.(1.17) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X:(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B ∋ x.(ii) L’intersezione di due intorni circolari B 1 ∩B 2 è un aperto, e quindi per ogni x ∈ B 1 ∩B 2esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x ∈ B ⊂ B 1 ∩ B 2 .

Geometria I 4(1.18) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemiaperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagliintorni circolari (definiti a partire dalla metrica).(X, d) ↦→ (X, d, A)Si possono riassumere tutti i fatti visti sulle funzioni continue nel seguente teorema.(1.19) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmaginedi ogni aperto di Y è un aperto di X.Dimostrazione. Sia V un aperto di Y . Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j )V = ⋃ j∈JB je dunque la sua controimmagine( ) ⋃f −1 V = f −1 B j = ⋃ f −1 B jj∈Jj∈Jè unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Yè un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è unaperto di X, e quindi f è continua.qedLa continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famigliedi aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica.Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere lefamiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che duemetriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia.(1.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti seinducono la stessa topologia su X.(1.21) Due metriche d e d ′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: perogni x ∈ X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r ′ > 0 tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x) (doveBr d′ (x) è la palla nella metrica ′ d′ ) e, viceversa, per ogni r ′ e x esiste r tale che Br d (x) ⊂ Br d′ (x). ′Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d ′ siano equivalenti e siano x e r>0 dati.Per (1.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologiaindotta da d ′ : pertanto esiste r ′ tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolodi d e d ′ . Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x ∈ Aesiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale cheB d r (x) ⊂ A,

Geometria I 5ed un corrispondente r ′ > 0 tale cheCioè, per ogni x esiste r ′ = r ′ (x) > 0 tale cheB d′r ′ (x) ⊂ Bd r (x).Br d′′ (x) ⊂ A,e quindi A è aperto nella topologia indotta da d ′ . Analogamente, ogni aperto nella topologiaindotta da d ′ è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono.qed(1.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 :(i) d(x, y) = √ (x 1 − y 1 ) 2 +(x 2 − y 2 ) 2 = |x − y| (metrica euclidea).{0 se x = y(ii) d(x, y) =(metrica discreta).1 altrimenti(iii) d(x, y) =|x 1 − y 1 | + |x 2 − y 2 |.(iv) d(x, y) = maxi=1,2 |x i − y i |.(v) d(x, y) = mini=1,2 |x i − y i | (?).(vi) d(x, y) = (x 1 − y 1 ) 2 +(x 2 − y 2 ) 2 (?).(1.23) Esempio. Sia p ∈ N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una decomposizionein fattori primi, per cui esiste unico l’esponente α per cui n = p α k, dove l’intero knon contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione |·| p definita da|p α k| p = p −αogni volta che k è primo con p, e|n| p =0quando n =0. Sia quindi d: Z × Z → Q ⊂ R lafunzione definita da d(x, y) =|x − y| p . Si può vedere che è una metrica su Z (perché?).(1.24) Esempio. Su Z sia A la famiglia di tutte le unioni di progressioni aritmetiche (U a,b ={a + kb : k ∈ Z} ⊂ Z). Allora la famiglia A è una topologia di Z, e in questa topologia, leprogressioni U a,n sono sia aperti che chiusi. Perché?

Geometria I 6§ 2 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico(2.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x ∈ Xsi dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r>0 l’intersezioneB r (x) ∩ A contiene almeno un punto oltre al centro x.Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A.Se A = {x n } n∈N ⊂ X è una successione convergente, allora il limite della successione è puntolimite di A. È davvero cosí?(2.2) Se x ∈ X è di accumulazione per A ⊂ X in X, e A ⊂ B ⊂ X, allora x è diaccumulazione per B in X.Dimostrazione. Per ogni r>0 l’intersezione B r (x) ∩ A contiene almeno un punto oltre alcentro x, e dato che A ⊂ B si haB r (x) ∩ A ⊂ B r (x) ∩ B,quindi B r (x) ∩ B contiene almeno un punto oltre a x, cioè x è di accumulazione per B.qed(2.3) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice chiuso secontiene tutti i suoi punti di accumulazione.(2.4) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X di un aperto èchiuso. Quindi C ⊂ X è chiuso se e solo se X C è aperto.Dimostrazione. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X C. Dato che C è chiuso, x non può essere unpunto di accumulazione, e quindi esiste r>0 per cui B r (x)∩C = ∅. Ma allora B r (x) ⊂ (XC)e quindi X C è intorno di x. Per l’arbitrarietà di x in X C si ha che X C è aperto.Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X A. Se x è un punto diaccumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui cisarebbe r>0 tale che B r (x) ⊂ A, ma allora B r (x) ∩ C ⊂ A ∩ C = ∅, cioè x non sarebbe diaccumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C edunque C è chiuso.qed(2.5) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà:(i) ∅∈C, X ∈C,(ii) B ⊂ C =⇒ ⋂ C∈B C ∈C,(iii) B ⊂ C, B è finito, allora ⋃ C∈B C ∈C.Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (1.16) e il fatto che i chiusi sono i complementaridegli aperti (dualità), oppure applicare direttamente la definizione (esercizio). qed

Geometria I 7(2.6) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi punti di accumulazionesi dice chiusura di A in X e si indica con A.(2.7) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A ⊂ B, si ha che A ⊂ B (esercizio(1.23)).(2.8) Proposizione. Un sottoinsieme A ⊂ X è chiuso se e soltanto se A = A.Dimostrazione. Se A è chiuso, allora contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi A = A.Viceversa, se A = A, allora A contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi è chiuso. qed(2.9) La chiusura A di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (in altre parole:l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A).Dimostrazione. Consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C, si hache A ⊂ C, ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A ⊂ C, cioè A è contenuto in tuttii chiusi che contengono A. Essendo A chiuso, in particolare A è un chiuso contenente A, equindi la tesi.qed(2.10) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sonoequivalenti:(i) f è continua(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso.Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2. Sia x ∈ A. Se x ∈ A,allora f(x) ∈ f(A) ⊂ f(A), e quindi f(x) ∈ f(A). Se x ∈ A A, allora x deve essere diaccumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f(x) appartiene a f(A) oppure ne è punto diaccumulazione. Se f(x) ∈ f(A), allora non c’è altro da dimostrare. Supponiamo altrimentiche f(x) ∉ f(A). Ora, dato che f è continua, per ogni r>0 la controimmagine dell’intornocircolare f −1 (B r (f(x))) è un intorno di x, e quindi esiste ɛ> 0 (che dipende da r e x) percui B ɛ (x) ⊂ f −1 (B r (f(x))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi B ɛ (x) ∩ A ≠ {x}, cioèesiste un punto z ∈ B ɛ (x) ∩ A, z ≠ x, ed in particolaref(z) ⊂ B r (f(x))Dato che stiamo supponendo f(x) ∉ f(A) e che z ∈ A, si ha che f(z) ∈ f(A) e quindif(z) ≠ f(x). Cioè, per ogni r>0 l’intorno B r (f(x)) contiene punti di f(A) diversi da f(x),e quindi f(x) è di accumulazione per f(A).Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f −1 C la sua controimmaginein X. Dal momento che f(A) ⊂ f(A), e che f(A) ⊂ C, f(A) ⊂ C = C, e quindiA ⊂ f −1 C. Ne segue che A ⊂ A, da cui A = A, visto che anche A ⊂ A.

Geometria I 8Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y è aperto, allora C = Y A è chiuso in Y ,e quindi f −1 C è chiuso in X, il che implica che X f −1 C è aperto. MaX f −1 C = {x ∈ X : f(x) ∉ C} = f −1 (X C) =f −1 (A),quindi f −1 (A) è aperto.qed(2.11) Nota. Continuità: f(lim) = lim(f) ...Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y ≠ x ∈ X e r = d(x, y),allora r>0 e y ∈ B r/2 (y) ∌ x, cioè X {x} è aperto.(2.12) Esempio. Si consideri la funzione f : X = R → Y = R definita da f(x) =e x . SeA = X, allora A è chiuso e A = A = R, mentref(A) ={e x : x ∈ R} = (0, +∞)f(A) = [0, +∞).Quindi si haf(A) ⊂ f(A),ma f(A) ≠ f(A).(2.13) Esempio. Se A = Z ⊂ R, allora A non ha punti di accumulazione, dato che se ɛ< 1e n ∈ Z, allora B ɛ (n) ∩ Z = {n}. I punti di accumulazione dell’insieme{ 1n : n ∈ Z, n > 0 }sono dati dall’insieme {0}. Perché (esercizio).(2.14) Esempio. Quali sono i punti di accumulazione dell’insieme X ⊂ Q costituito da tuttii numeri che si possono scrivere come sommel∑j=11k jper certi interi k j ≥ 2 tutti distinti k j ∈ N, j =1, . . . , l (cioè tali che i ≠ j =⇒ k i ≠ k j )?Esercizio (1.20), google: egptian fractions.(passo 1) Se x è di accumulazione per X, allora x ≥ 0.Dimostrazione. Basta mostrare che se x

Geometria I 9Sia ora x ≥ 0. Se x = 0, allora la successione {1/n} converge a x, e quindi 0 è diaccumulazione per X.Sia invece x>0. Per ogni n ∈ N, n ≥ 2 e per ogni x ∈ R, x>0, siaf(n, x) = min{k ∈ N : k ≥ n ∧ 1 k ≤ x},cioè⌈ 1f(n, x) = max(n, ),x⌉dove la funzione ceiling ⌈x⌉ è definita da⌈x⌉ = min{k ∈ N : k ≥ x}.Quindi si ha che⎧⎨n⌈f(n, x) = 1⎩x⌉se 1/(n − 1) ≤ xaltrimenti .Definiamo una successione n 1 ,n 2 , . . . , n l , . . . di interi e una corrispondente successione x 0 =x, x 1 , . . . , x l di reali nel modo seguente. Ricordiamo che f non è definita per x ≤ 0.n 1 = f(2,x), x 1 = x − 1 n 1n 2 = f(n 1 +1,x 1 ), x 2 = x 1 − 1 n 2n 3 = f(n 2 +1,x 2 ), x 3 = x 2 − 1 n 3.n l = f(n l−1 +1,x l−1 ).x l = x l−1 − 1 n lPer definizione si ha1n k >n k−1 , ≤ x k−1 . (2.15)n kSe per un certo k si ha x k = x, la successione termina. Si tratta certamente di x ∈ Q, quindise x ∉ Q, la successione non può terminare.(passo 2) La successione n k è strettamente crescente. La successione x k è strettamentedecrescente e positiva.Dimostrazione. Dato che f(n, x) ≥ n, si ha n k = f(n k−1 +1,x k−1 ) ≥ n k−1 +1, per ogni k.Inoltre n k > 0, e quindi x k = x k−1 − 1 n k

Geometria I 10I primi n termini della successione saranno k 1 =2, k 2 =3, . . . , k n = n +1, ed esistecertamente un n tale che12 + 1 3 + · · · + 1n +1 ≤ x0, x ∉ Q, en k , x k le successioni corrispondenti. Allorae quindi x è di accumulazione per X.Dimostrazione. Le somme parzialiverificano per ogni n∞∑k=1S n =1n k= x,n∑1n kk=1x = S n + x n .Basta quindi mostrare che x n → 0. Osserviamo che non può essere definitivamente n k = k +1,perché la serie (armonica) diverge. Quindi devono esserci infiniti k per cui risultan k+1 = f(n k +1,x k ) ≠ n k +1,cioè infiniti k per cuix k < 1 n k.Ma sia x k che 1 n ksono successioni monotone decrescenti e positive, quindi x k → 0.qed(passo 4) Ogni reale x ≥ 0 è di accumulazione per X.Dimostrazione. Se x ∈ R, x ≥ 0, in ogni intorno B ɛ (x) cadono certamente infiniti puntiirrazionali positivi, e quindi almeno uno diverso da x, che chiamiamo z. Dato che B ɛ(x) èintorno aperto di z, che è di accumulazione per X, in B ɛ(x) ci sono altri punti di X, e quindix è di accumulazione per X.qedRisultato: i punti di accumulazione di X sono{x ∈ R : x ≥ 0}.(2.16) Nota. Quanti termini servono per scrivere12 + 1 3 + . . . + 1 n ≤ 100 < 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1n +1 ?

Geometria I 11Osserviamo chequindi dovrà essereln(n + 1) − ln 2 =∫ n+1cioè più o meno dieci septillioni di termini2dxx < 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n < ∫ nln(n + 1) − ln 2 < 100 < ln(n + 1),1dxx= ln n,n ∈ (e 100 − 1, 2e 100 − 1).Ma quando questa successione termina? Su ogni x razionale positivo o solo su alcuni?

Geometria I 12§ 3 Spazi topologiciCfr: Cap I § 2-3, Sernesi Vol II [1].Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzionicontinue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famigliadegli intorni circolari e alcune proprietà caratterizzanti.Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A⊂ 2 X che verifica le proprietà di (1.16)consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuità.(3.1) Definizione. Una famiglia A⊂ 2 X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia severifica le seguenti proprietà:(i) ∅ ∈ A, X ∈A,(ii) B ⊂ A =⇒ ⋃ B∈B B ∈A,(iii) B ⊂ A, B è finito, allora ⋂ B∈B B ∈A.Uno spazio X munito di una topologia A⊂ 2 X (spesso indicata con la lettera τ) viene dettospazio topologico 2 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X.È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associaread ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (1.18), che è detta anche topologiametrica. Sappiamo già che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (sele metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l’esistenza di unametrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili).(3.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibilee quella con meno aperti possibile.(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {∅,X}⊂ 2 Xpoter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (3.1)).(che devono esistere per(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A =2 X .Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco per gli spazi metrici.(3.3) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A ⊂ X è un sottoinsieme e x ∈ A, si diceche A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che x ∈ B ⊂ A. 3 Allora x si dice puntointerno di A.2 Così come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologicodovrebbe essere indicato come coppia (X, τ) con τ ⊂ 2 X , ma per brevità la topologia non viene espressamenteindicata, se non quando necessario.3 Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.

Geometria I 13Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (1.19).(3.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y si dice continuase per ogni aperto A ⊂ Y la controimmagine f −1 A è aperto di X.Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essereesteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni deipropri punti.(3.5) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un puntox ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di xl’intersezione B ∩ A contiene almeno un altro punto oltre a x. La chiusura A di A è definitacome l’unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione.(3.6) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizionisono equivalenti.(i) X C è aperto.(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (2.4) sostituendo ovunque intorni apertiinvece che intorni circolari.qed(3.7) Definizione. Un sottoinsieme C ⊂ X di uno spazio topologico si dice chiuso se unadelle due proposizioni equivalenti di (3.6) è verificata.Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (2.9) si può dimostrare che (vedi esercizio(1.26)):(3.8) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X checontiene A (in altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare,è un chiuso.§ 3.1 Base di una topologiaLa topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gliaperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famigliadi insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intornicircolari di spazi metrici di (1.17).(3.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B⊂ 2 X di un insieme X si dice base se leseguenti proprietà sono soddisfatte:(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈B che contiene x (equivalentemente,X = ⋃ B∈B B).

Geometria I 14(ii) Se B 1 , B 2 ∈ B e x ∈ B 1 ∩ B 2 , allora esiste B x ∈ B tale che x ∈ B x ⊂ B 1 ∩ B 2(equivalentemente, B 1 ∩ B 2 è unione di elementi della base).Possiamo riscrivere (1.17) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo digenerare una topologia a partire da una base procede dall’osservazione che gli aperti sono leunioni di intorni circolari.(3.10) Sia X un insieme. Data una base B⊂ 2 X , sia A⊂ 2 X la famiglia di tutte le unionidi elementi di B unita a ∅. Allora A è una topologia per X ed è la più piccola topologia in cuigli elementi della base B sono aperti.Dimostrazione. Esercizio.qed(3.11) Definizione. La topologia generata come in (3.10) si dice topologia generata dalla baseB.(3.12) Esempio. In X = N = {1, 2, 3, . . .} siano B i = {ki : k ∈ N} = {n ∈ N : n ≡ 0mod i}. Sono una base? La topologia in N è quella metrica? È quella discreta? È metrizzabile(cioè può essere generata da una metrica)?§ 3.2 Topologia indotta (topologia dei sottospazi/sottospazi topologici)Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II §5 [1].Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologiaindotta per restrizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioè, per definizione A ⊂ Y è aperto se e solose esiste U ⊂ X aperto la cui intersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole leintersezioniA = Y ∩ Udi aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assumeche abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo.(3.13) Nota. Tutti gli intervalli del tipo [a, b), con a

Geometria I 15Opzionale: Contare le topologie finiteSia X un insieme: ricordiamo che R una relazione (binaria) su X è una forma proposizionalesu X × X, cioè una funzione R: X × X →{0, 1} (o Vero/Falso), indicata nei due modiR(x, y) =xRy. La relazione è riflessiva se per ogni x ∈ X si ha che xRx =1(è vero), etransitiva se per ogni x, y, z ∈ X si ha che xRy = yRz = 1 =⇒ xRz =1. Una relazionebinaria riflessiva e transitiva è detta relazione di preordine parziale.(3.15) Nota. Sia X un insieme finito, con una topologia A. Allora A definisce una relazionedi preordine parziale R su X (che possiamo indicare con R A ) nel modo seguente: se x, y ∈ X,si definiscexRy ⇐⇒ (“ogni aperto U di X che contiene x contiene anche y”)che è una relazione riflessiva e transitiva (perché?).(3.16) Nota. Se R è una relazione di preordine parziale su X, allora definiamo una topologiaA su X nel modo seguente: sia, per ogni x ∈ X, U x l’insieme definito daU x = {y ∈ X : xRy}.Se x 1 e x 2 sono due elementi di X e z ∈ U x1 ∩ U x2 , allora x 1 Rz e x 2 Rz, e quindiU z = {y ∈ X : zRy} ⊂ U x1 ∩ U x2 = {y ∈ X : x 1 Ry ∧ x 2 Ry},dato che zRy ∧ x 1 Rz =⇒ x 1 Ry, zRy ∧ x 2 Rz =⇒ x 2 Ry. Inolre x ∈ U x (perché riflessiva),e dunque gli U x costituiscono una base per una topologia di X, la topologia associata allarelazione R.Utilizzando (3.15) e (3.16), si può mostrare che le topologie su X sono in corrispondenzabiunivoca con le relazioni riflessive e transitive su X. Problema: come elencare tutte le relazioniriflessive e transitive su un insieme finito X? È possibile scrivere un algoritmo che le elenca?Vediamo per X = {1, 2} si hanno le seguenti topologie.1) Matrice (relazione binaria):[ ] 1 00 1A = {{} , {1} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2 X2) Matrice (relazione binaria):[ ] 1 01 1A = {{} , {1} , {1, 2}} ⊂ 2 X

Geometria I 163) Matrice (relazione binaria):[ ] 1 10 14) Matrice (relazione binaria):A = {{} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2 X[ ] 1 11 1A = {{} , {1, 2}} ⊂ 2 X

Geometria I 17Richiami di logica matematicaCfr: M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisimatematica, Vol I, dal calcolo all’analisi, Apogeo, 2006. Cap. ℵ.Definire cos’è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni).La definizione è data in termini di una proprietà dell’enunciato: l’essere vero o falso(logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità sceltotra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato,per esempio).Variabili: Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apicio pedici): A, x, B 1 , j, . . . Assegnamento di valore alle variabili.Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuoveproposizioni a partire da proposizioni date.• negazione: ¬p.• congiunzione (AND): p ∧ q.• disgiunzione (OR, p vel q): p ∨ q.• disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) :p ⊕ q.• implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p =⇒ q.• doppia implicazione (se e solo se): p ⇐⇒ q.Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q, . . . assumo valori diverità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità.p ¬p1 00 1p q p =⇒ q1 1 10 1 11 0 00 0 1p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0p q p ⇐⇒ q1 1 10 1 01 0 00 0 1p q p XOR q1 1 00 1 11 0 10 0 0Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r, . . . si costruisconoespressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni),utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sonosempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili),

Geometria I 18e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando dueespressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalentise e solo se A ⇐⇒ B è una tautologia.Le seguenti sono tautologie:(i) A ∨¬A (terzo escluso);(ii) ¬(A ∧¬A) (non contraddizione);(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);(iv) A ∧ A ⇐⇒ A, A ∨ A ⇐⇒ A;(v) A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A, A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A (commutatività);(vi) associatività:(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C);(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C);(vii) Leggi distributive:A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);(viii) Leggi di de Morgan:¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨¬B;¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬B ∧¬A;Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi disillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.(i) (A ∧ B) =⇒ A;(ii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo);(iii) (A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);(iv) (A =⇒ B) ∧¬B =⇒ ¬A (modus tollens);(v) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) (modus barbara, sillogismo ipotetico);(vi) ((A ∨ B) ∧¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).

Geometria I 19Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate(variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciatoaperto.Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false).Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valoreassegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.• Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).Uso: ∀x, p(x).Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode dellaproprietà p). Anche: ∀x ∈ U,p(x).• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).Uso: ∃x : p(x).Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la proprietà p(x) è vera(cioè x gode della proprietà p). Anche: ∃x ∈ U : p(x).• ¬(∀x, p(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x) (principio di negazione).• ¬(∃x : p(x)) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x) (principio di negazione).• ∀x, ∀y, p(x, y) ⇐⇒ ∀y, ∀, xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∃y : p(x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∀y, p(x, y) =⇒ ∀y, ∃x : p(x, y) (principio di scambio).

Geometria I 20Richiami di teoria degli insiemiCfr: Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).Concetti primitivi (non definiti):• Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).• Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ∉ X.In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 4 si definisce un insiemecome collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire sex = y oppure x ≠ y). Si assumono anche i seguenti principi:(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzioneche gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P (x) è vera:(iii) Assioma della . . .Estensioni di questa notazione:A = {x : p(x)}.{x ∈ A : p(x)} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}Insieme vuoto 5 : ∅.Relazioni tra insiemi:{f(x) :p(x)} Esempio: {x 2 : x ∈ Z}{1, 2, 3}, {1, 2}• (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un sottoinsieme diB.• A ⊃ B: se B ⊂ A.• A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).4 G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere ilcriterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi(contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengonoa se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x ∉ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora perdefinizione X ∉ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa. . .5 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto– e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, . . .

Geometria I 21Operazioni con gli insiemi:• Unione A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.• Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (due insiemi sono disgiunti quandoA ∩ B = ∅).• Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A×B = {(a, b) :a ∈ A, b ∈ B} ={(a, b) :a ∈ A ∧ b ∈ B}.• Complemento di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A ′ (= A c = B A) ={x ∈ B :x ∉ A}.• Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l’insieme dellefunzioni f : X →{0, 1}).Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria ∑ puòessere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezionepossono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J → 2 Uuna funzione. Per ogni i ∈ J, il sottoinsieme f(i) ∈ 2 U può anche essere denotato con X i , peresempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)).• ⋃ i∈JX i := {x ∈ U :(∃i ∈ I : x ∈ X i )}, o equivalentemente 6⋃i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per qualche i ∈ I}.• ⋂ i∈JX i := {x ∈ U :(∀i ∈ J, x ∈ X i )}, o equivalentemente⋂i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per tutti gli i ∈ J}.In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y,(x ≠y =⇒ f(x) ≠ f(q)), suriettiva se ∀y ∈ Y,∃x ∈ X : f(x) =y, bijettiva (biunivoca) se è siainiettiva sia suriettiva.(3.17) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y è un sottoinsieme di Y , lacontroimmagine di B èf −1 (B) ={x ∈ X : f(x) ∈ B}.6 Si noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.

Geometria I 22Esercizi: foglio 1(1.1) Dimostrare che:(i) L’insieme vuoto ∅ è unico.(ii) per ogni insieme A, ∅⊂A.(iii) per ogni insieme A, A ⊂ A.(iv) per ogni insieme A, A = A ∪∅.(1.2) Dimostrare che se A, B, C e X sono insiemi arbitrari:(i) A ∪ B = B ∪ A.(ii) A ∩ B = B ∩ A.(iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).(iv) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).(v) A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B) ∩ (A ∪ C).(vi) A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C).(vii) Se A ⊂ X, allora X (X A) =A.(viii) Se A, B ⊂ X, allora X (A ∪ B) = (X A) ∩ (X B).(ix) Se A, B ⊂ X, allora X (A ∩ B) =(X A) ∪ (X B).(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:(i) A ⊂ B;(ii) A ∩ B = A;(iii) A ∪ B = B.(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle parti P(X) di un insieme X e l’insieme dellefunzioni f : X →{0, 1}.*(1.5) Siano A e B due insiemi e X l’insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a ∈ A, b ∈ B}.Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una bijezione X →A × B.*(1.6) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A ⊂ X e B ⊂ Y sonosottoinsiemi di X e Y :

Geometria I 23(i) f (f −1 (B)) ⊂ B.(ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B ⊂ Y , ff −1 (B) =B.(iii) A ⊂ f −1 f(A).(1.7) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi, A ⊂ X e B ⊂ Y sottoinsiemi di X e Y .Dimostrare che:f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1 B.(1.8) Sia X un insieme e f : X × X → R una funzione tale che:(i) f(x, y) =0se e solo se x = y.(ii) ∀x, y, z ∈ X, f(x, z) ≤ f(x, y)+f(z, y).Dimostrare che f è una metrica su X.(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo punto.*(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è unaperto).(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metricoè un aperto.*(1.12) Sia {B j } j∈J una famiglia di insiemi in Y e f : X → Y una funzione. Dimostrare che( ) ⋃f −1 B j = ⋃ f −1 B jj∈Jj∈J(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R 2 (con la metrica euclidea) sono aperti?(i) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1}∪{ (1, 0)}.(ii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.(iii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 > 1}.(iv) {(x, y) ∈ R 2 : x 4 + y 4 ≤−1}.(v) {(x, y) ∈ R 2 : x 4 + y 4 ≥ 1}.*(1.14) È vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R è un aperto?Se la famiglia è finita?*(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x 0 ∈ X, la funzione f(x) =d(x, x 0 ) è continua.

Geometria I 24(1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metrichedell’esempio (1.22) sono equivalenti?(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni).(1.18) Dimostrare che, se A, B ⊂ X sono sottoinsiemi di uno spazio metrico:(i) A ∪ B = A ∪ B.(ii) A ∩ B ⊂ A ∩ B.(1.19) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:(i) { 1 n(ii) { k n: n ∈ N, n > 0}.: k, n ∈ N, n > 0}.(iii) { k2 n : k, n ∈ N}.(iv) { 1 k + 1 n: k, n ∈ N, k, n > 0}.**(1.20) Quali sono i punti di accumulazione in R dell’insieme X ⊂ Q ⊂ R costituito da tuttii numeri che si possono scrivere come sommel∑j=11k jper certi interi positivi tutti distinti k j ∈ N, j =1, . . . , l (cioè tali che i ≠ j =⇒ k i ≠ k j )?google: egyptian fractions*(1.21) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora(i) A ∪ B = A ∪ B;(ii) A ⊆ A;(iii) (A) =A;(iv) ∅ = ∅.Viceversa, si consideri un operatore C :2 X → 2 X con le seguenti proprietà:(i) CA ∪ CB = C(A ∪ B);(ii) A ⊆ CA;(iii) CCA = CA;(iv) C∅ = ∅.

Geometria I 25Dimostrare che, definendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore C (CA = A) siottiene una topologia su X (cioè valgono gli assiomi della definizione (3.1)). Questi assiomialternativi si chiamano assiomi di Kuratowski ).(1.22) Quali sono i punti di accumulazione per la successione { 1 } (per n>0) nella retta{n0 se x = yreale R munita della metrica discreta d(x, y) =1 altrimenti ?(1.23) Dimostrare che se A ⊂ B, allora A ⊂ B.*(1.24) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale nonè metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile.*(1.25) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguentiproposizioni sono equivalenti.(i) X C è aperto.(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.*(1.26) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico X èil più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A.(1.27) Sia X un insieme e Y ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ ⊂ 2 X è unatopologia per X, allora τ Y = {U ∩ Y : U ∈ τ} è una topologia per Y , e che l’inclusionei: Y → X è una funzione continua.(1.28) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie per X:(i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.(ii) {{}, {a}, {a, b, c}}.(iii) {{}, {a, b, c}}.Le seguenti non sono topologie(i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.(ii) {{a}, {a, b, c}}.Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2 X ?*(1.29) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ ⊂ 2 X la famiglia di tuttii sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioè tali che X A ha un numero finito dielementi, unita all’insieme X (si vuole che ∅ sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia.

Geometria I 26(1.30) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R.(i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) ={x ∈ R : a < x < b}.(ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) ={x ∈ R : a ≤ x < b}.(iii) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞,a)={x ∈ R : x 0} è aperto in R.*(1.32) Sia A ⊂ R un insieme e χ A la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da{1 se x ∈ A;χ A (x) =0 se x ∉ A;In quali punti di R la funzione χ A è continua?*(1.33) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R → R siano continue?*(1.34) Dimostrare che una funzione f : R → R è continua se e solo se per ogni successioneconvergente {x n } (cioè per cui esiste ¯x tale che lim n→∞ |x n − ¯x| =0) vale l’uguaglianzalim |f(x n) − f(¯x)| =0.n→∞(1.35) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite.