Regressore.. - Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione

3.1. Termini derivanti dall’espressione dell’energia cineticaSostituendo le relazioni (3.2) e (3.3) nell’espressione (3.1) dell’energia cinetica, siottiene:T (i) = 1 2 m i( ˙q T J T v i+ (J ωi ˙q × 0 R i P iGi ) T )(J vi ˙q + J ωi ˙q × 0 R i P iGi )+ 1 2 ˙qT (J T ω i 0 R i i I Gi 0 R T i J ωi ) ˙q.(3.4)Considerando l’operatore skew definito come⎛⎞S(f) = S([f 1 f 2 f 3 ] T ) = ⎜⎝0 −f 3 f 2f 3 0 −f 1−f 2 f 1 0⎟⎠(3.5)La matrice skew risultante è antisimmetrica (S(f) = −S(f) T ) e, considerando unamatrice di rotazione R e un vettore a, si ha che S(R a) = R S(a) R T . Utilizzandoqueste ultime relazioni, si ottiene la seguente espressione dell’energia cinetica:T (i) = 1 2 m i ˙q T (J T v iJ vi ) ˙q − 1 2 m i ˙q T { J T v iS( 0 R i P iGi ) J ωi}˙q+ 1 2 m i ˙q { } T Jω T iS( 0 R i P iGi ) J vi ˙q(3.6)+ 1 { [2 ˙qT Jω T 0 iR ii I Gi + m i S T (P iGi ) S(P iGi ) ] } 0 Ri T J ωi ˙qA questo punto si calcolano i termini che compongono le equazioni di Lagrange diogni link (2.4). Successivamente si mettono in evidenza i parametri dinamici (1.3)presenti in ciascun termine.3.1.1 Termini derivanti da d dt() T∂T (i)∂ ˙qDerivando l’espressione dell’energia cinetica (3.6) rispetto a ˙q risulta∂T (i)∂ ˙q= m i ˙q T (J T v iJ vi ) − m i ˙q T { J T v iS( 0 R i P iGi ) J ωi}+ m i ˙q T { J T ω iS( 0 R i P iGi ) J vi}+ ˙q T { J T ω i 0 R i i I i 0 R T i J ωi}(3.7)dove i I i = i I Gi + m i S T (P iGi ) S(P iGi ) è il tensore d’inerzia del link i-esimo riferitoal frame di origine O i .Considerando la proprietà di simmetria della matrice i I i e le caratteristiche delle10