Prova scritta del 16/02/10

CALCOLO DELLE PROBABILITÀPROVA SCRITTA DEL 16/2/2010PRIMA PARTEEsercizio 1Uno studente universitario, dovendo recarsi presso il proprio Ateneo per seguire le lezioni, utilizzal’autobus nel 65% dei casi, la metropolitana il 20% delle volte ed il treno in tutti gli altri casi. Lo studentearriva in orario a lezione con probabilità 0.35 quando si serve dell’autobus, con probabilità 0.75 quando fauso della metropolitana e con probabilità 0.55 quando prende il treno. Definiti gli eventiA = {lo studente prende l’autobus}, M = {lo studente prende la metropolitana},T = {lo studente prende il treno}, O = {lo studente arriva in orario a lezione},(1.1) si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta;(1.2) si stabilisca se T e O sono incompatibili, motivando la risposta;(1.3) si calcolino P(A ∩ O) e P(A – O);(1.4) si determini con quale probabilità lo studente arriva in orario a lezione, motivando la risposta;(1.5) si calcoli la probabilità che lo studente non si sia servito della metropolitana dato che è arrivato inorario a lezione, motivando la risposta;SoluzioneSono date P( A ) = 0.65, P( M ) = 0.20, P( O | A ) = 0.35, P( O | M ) = 0.75 e P( O | T ) = 0.55.(1.1) A e M sono incompatibili ⇒ A e M non sono indipendenti.(1.2) Gli eventi T e O non sono incompatibili, perché se lo fossero si avrebbe P( O | T ) = 0.(1.3) P(A ∩ O) = P( O | A ) P( A ) = (0.35)(0.65) = 0.2275;P(A – O) = P( A ) – P(A ∩ O) = 0.65 – 0.2275 = 0.4225.(1.4) Per la legge delle alternative P( O ) = P( O | A ) P( A ) + P( O | M ) P( M ) + P( O | T ) P( T )= (0.35)(0.65) + (0.75)(0.20) + (0.55)(1-0.65-0.20) = 0.2275 + 0.15 + 0.0825 = 0.46.(1.5) P(⎺M | O ) = 1 – P( M | O ) = 1 – P( O | M ) P( M ) / P( O ) = 1 – 0.15 / 0.46 = 1 – 0.3261= 0.6739, grazie alla formula di Bayes.QuesitoSi dimostri che se A, B e C rappresentano tre eventi qualsiasi, allora vale la formula seguente:P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C).SoluzioneP(A∪B∪C) = P(A∪B)+P(C)−P[(A∪B)∩C] = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P[(A∩C)∪(B∩C)]= P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C).

Esercizio 2Si consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 7 sono verdi e 3 rosse.Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estrattocon reinserimento dall’urna.(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei parametri chela caratterizzano) e si calcoli P(0.5 < X < 2.5).Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la primapallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.(2.2) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 2).(2.3) Si determinino E(Y) e Var(Y).(2.4) Si verifichi che la v.c. Y gode della proprietà di assenza di memoria.Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estrattosenza reinserimento dall’urna considerata.(2.5) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri chela caratterizzano) e si calcoli la probabilità che la metà delle palline estratte siano rosse.SoluzioneSi consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 7 verdi e 3 rosse.Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estrattocon reinserimento.(2.1) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 4 e θ = 0.7;P(0.5 < X < 2.5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0756 + 0.2646 = 0.3402.Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verdeestraendo con reinserimento.(2.2) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 0.7;P(Y > 2) = P(Y ≥ 3) = (1 − θ) 3 = (0.3) 3 = 0.027.(2.3) E(Y) = (1 − θ) / θ = 0.3 / 0.7 = 0.4286; Var(Y) = (1 − θ) / θ 2 = 0.3 / 0.49 = 0.6122.(2.4) P(Y ≥ t + u | Y ≥ t) = P(Y ≥ u) [...].Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estrattosenza reinserimento.(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 4, K = 7 e N = 10;⎛7⎞⎛3⎞⎛10⎞7 ⋅ 6 3 10 ⋅ 9 ⋅8⋅7 3P(Z = 2) = ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ == = 0.3.⎝2⎠⎝2⎠⎝4⎠ 2 1 4 ⋅ 3⋅2 10

SECONDA PARTEEsercizio 3(3.1) Si verifichi che ϕ(x,y) = e −2x (x>0, 0 0 < y < 2)+∞ +∞∫ ∫−∞ −∞+∞ 2x ;−2x−2x1 −2x+∞ 2( x,y) dxdy = ∫∫ e dxdy = ∫ e dx∫dy = [ −2e ] [ y] 0= 100 0+∞ϕ .020(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:ϕ(x) = 2e -2x (x>0) e ψ(y) = 1/2 (0