Modelli di portafoglio

Università Bicocca - MilanoAnno Accademico 2007 / 2008Modelli di portafoglioCorso di Risk ManagementMilano, 26 Marzo 2008

Perchè stimare EL e UL:un esempioActual Portfolio Loss2.00%1.80%1.60%1.40%1.20%1.00%0.80%0.60%0.40%0.20%0.00%Portfolio 1Perditaattesa(perdita media)Tail Risk(perdite estreme)Portfolio 2Perdita inattesa(volatilità rispettoalla perdita media)Year2

Perchè stimare EL e UL:distribuzione delle perditeσVarEL3

Possibili soluzioni di stima:modelli principali CreditMetrics TMtassi di migrazione (rating),tassi di insolvenzaspread rispetto ai rendimenti dei titoli di Stato di soggetti appartenenti a diverse categoriedi rating CreditPortfolioView TMstima econometrica della relazione dei tassi di insolvenza e di migrazione con il ciclomacroeconomico CreditRisk+ TMapproccio attuariale, in cui si stimano la frequenza degli eventi di insolvenza e la perditain caso di insolvenza, senza identificare le cause sottostanti il default di un’impresa (adifferenza dei modelli strutturali). Vengono aggregate le esposizioni con perdite in caso diinsolvenza simili PortfolioManagerTMPrende spunto dalla logica di CreditMetrics, ma utilizza i concetti di DD e EDF4

Scelta dell’orizzonte temporale e del livello diconfidenza Orizzonte temporaleFattore principale è la liquidità del mercato di riferimento della posizione di rischio assuntaAltro fattore è il periodo di detenzione della posizione da parte della banca – HoldingPeriodSi tratta di due fattori poco rappresentativi nel settore del creditoConvenzione: orizzonte a 1yperiodo pari al tasso di rotazione media del portafogliotempo necessario per intervenire su una posizione in presenza di un deterioramento del meritocreditizio di una controparteCoerente con l’orizzonte adottato per la stima delle PDCoerente con l’orizzonte di allocazione del capitale a fini di budget Livello di confidenzaCredito diverso dai rischi di mercato, dove il livello di confidenza è un puro fattore scalare,in presenza di ipotesi di distribuzione normale a media nulla dei rendimenti di mercatoNel credito la media della distribuzione delle perdite è positivaLa distribuzione delle perdite è fortemente asimmetricaObiettivo di rating target della banca condiziona la scelta del livello di confidenza5

Stima del VaR:approccio CreditMetrics Le fasi principali del metodo sono: Stima del valore di ogni singola esposizione Adozione di un sistema / scala di rating alle cui classiassegnare le esposizioni in portafoglio Stima del tasso di recupero Stima dei valori di mercato delle esposizioni per lediverse classi di rating teoricamente possibili alla fine diogni anno (curva dei tassi forward zero-coupon per lediverse classi di rating) Stima della distribuzione delle variazioni del valore dimercato degli asset Stima di rischio per l’intero portafoglio6

CreditMetrics:valore di mercato di un’esposizione - esempioTitolo obbligazionario di classe BBB con scadenza a 5y, cedolaannua al 6%, quotazione iniziale alla pari Se rimane BBB a 1y: VM = 6 + (6/(1+4.1%)) + (6/(1+4.67%)) + ... +(106/(1+5.63%)) = 107.53 Se passa a BB a 1y: VM = 6 + (6/(1+5.55%)) + (6/(1+6.02%)) + ... +(106/(1+7.27%)) = 102.01 ... la posizione viene rivalutata per tutti gli scenari possibiliUtilizzando la matrice di transizione a 1y, a ogni classe di rating siassocia la relativa probabilità di migrazione e la variazione delvalore di mercato a 1y, calcolata rispetto al valore medioponderato per la probabilità (differenza tra fwd price e expectedprice è la perdita attesa del titolo) VaR calcolabile al percentile prescelto sulla base delladistribuzione delle variazioni del valore di mercato del titolo7

CreditMetrics:portafoglio con due esposizioni - esempioIn ipotesi di indipendenza tra le migrazioni, la probabilità che due titolirestino a 1y nella classe di rating di partenza è data dal prodotto delleprobabilità ricavabili dalla matrice di transizione Es. Per due titoli BB e A: 80.53%x91.05% = 73.32%Considerazione analoga in caso di migrazione verso il default(sottostima del rischio)Problema della stima delle correlazioni: come nel modello di Merton siutilizzano le correlazioni misurate fra i rendimenti degli indici azionaricome proxy per la correlazione fra i rendimenti delle attività delleimprese debitriciData l’ipotesi che la distribuzione congiunta dei rendimenti delle attivitàdelle imprese debitrici sia una normale bivariata, è possibile ricavare laprobabilità congiunta delle diverse possibili migrazioni / insolvenza, datoil coefficiente di correlazione dei rendimenti dell’attivo. Si arriva alladeterminazione della matrice di transizione congiunta, e quindi alladistribuzione congiunta dei valori delle due esposizioni in portafoglio8

CreditMetrics:generalizzazione a N posizioniL’approccio analitico visto per un portafoglio con due esposizioninon è più praticabile (anche la determinazione dei coefficienti dicorrelazione per coppie di esposizioni diviene difficile)Per superare il problema nel modello si ipotizza in primo luogoche i rendimenti delle attività delle imprese siano determinati dafattori di rischio comuni, e da fattori idiosincratici (questi ultiminon contribuiscono a determinare la correlazione tra irendimenti). I rendimenti sono quindi correlati in base a fattoricomuni (logica che vediamo poi nel modello MKMV) La seconda soluzione prevede l’utilizzo di tecniche disimulazione MC, per generare gli scenari relativi ai rendimentidelle attività delle contropartiIl processo adottato consente di ricavare l’intera distribuzione deipossibili valori di mercato del portafoglio9

Dalla UL al VaRNei passaggi precedenti è stata individuata con modalità diversela distribuzione dei valori di mercato del portafoglioE’ necessario associare alla misura di rischio un livello diconfidenza (non basta la variabilità del tasso di perdita)La tecnica di simulazione è una delle ipotesi possibili: essendo ladistribuzione delle perdite asimmetrica, una forma funzionalenota potrebbe essere utilizzata per rappresentare il fenomeno,purché coerente con le aspettative – es. distribuzione beta.Nel caso della beta il grado di asimmetria è tanto maggiorequanto minore è il suo valore medio: il fattore moltiplicativo dellaperdita inattesa è più pronunciato per esposizioni nei confronti diimprese con merito creditizio migliore (soggetti con bassaprobabilità di subire perdite elevate e alta probabilità di tassi diperdita vicini a zero)10

Dal VaR ial VaR p Dal VaR dell’esposizione individuale si passa al VaRdiversificato della stessa, ovvero al contributo dell’esposizione intermini di rischio al portafoglio complessivoIl VaR diversificato è in genere inferiore a VaR i, perchè la parteidiosincratica descritta in precedenza viene eliminata grazie allagestione della diversificazione del portafoglioIl primo passaggio è il calcolo del VaR di portafoglio: Identificazione fattori sistematici di rischio – composizione geo-settoriale delportafoglio, con ipotesi semplificatrici Stima rischio delle singole esposizioni Stima struttura delle correlazioni fra tassi di perdita dei segmenti geo-settoriali Per ogni segmento geo-settoriale: stima dell’esposizione complessiva arischio (aggregazione delle EAD, ognuna ponderata per la UL) Stima del VaR, funzione di UL, ρ i,j, EAR N11

Dal VaR pal Component VaRStima del VaR diversificato dell’esposizione j-esima, tramite trevariabili rilevanti: Identificazione dimensione dell’esposizione j-esima –diminuisce al diminuire della dimensioneVaR diversificato Identificazione composizione geo-settoriale del portafoglio – VaR diversificatodiminuisce al diminuire della concentrazione nel settore di riferimento Identificazione struttura delle correlazioni fra tassi di perdita fra segmenti geosettoriali– VaR diversificato diminuisce quanto minore è la correlazione deltasso di insolvenza del segmento di riferimento rispetto a quello degli altrisettori in portafoglioVaR diversificato funzione di EAD j, UL j, q i(quota del portafoglioa rischio nel segmento i-esimo), ρ i,j, m i(vettore di pesi, ognunodei quali è dato dalla proporzione del rischio di j attribuibile alsegmento i-esimo)12

Portfolio Manager - valutazione all’orizzonte di rischio:approccio Default – Non Default su singola esposizioneCreditQualityCreditQualityValore dell’esposizioneall’orizzonte temporale dirischioBaaRating atteso all’orizzonte temporaleNoDefaultDefaultOggi1 AnnoTempoValori possibili dell’esposizione all’orizzonte temporale di rischio:$1 = valore facciale dell’esposizione nel caso di non default;$0.5 = valore di recupero (1-LGD) nel caso di default$0.5$113

Portfolio Manager - valutazione all’orizzonte di rischio:approccio Credit Migration – singola esposizioneCreditQualityBaaDAaABaaBaBCreditQualityOggiDefaulted1 YrTempo$0.5$1ValoreEsp.Distribuzione approccio Credit MigrationDistribuzione approccio Default – Non DefaultProbabilità14

Portfolio Manager - valutazione all’orizzonte di rischio:approccio Credit Migration – singola esposizioneProbabilitàStandalone Risk:Unexpected Losssulla singolaEsposizioneDistribuzione approccio Credit MigrationDistribuzione approccio Default – Non Default$0.5I valori possibili dell’esposizioneall’orizzonte temporale di rischio sonorappresentati da una funzione continuache dipende dal valore della PD e daglialtri parametri di rischio$1ValoreEsposizioneProbabilitàValoreEsposizione15

Portfolio Manager - valutazione all’orizzonte di rischio:approccio Credit Migration in un portafoglioEsposizione A Esposizione B Portafoglio = A + BProbabilitàProbabilitàProbabilità$0.5 $1 ValoreEsp.$0.5 $1 ValoreEsp.$0.8 $1 ValorePortafoglioI valori delle esposizioni all’interno di un portafoglio sono meno variabiliper effetto della diversificazione.La diversificazione dipende dalla correlazione fra A e B e determina unbeneficio in termini di variabilità se ρ A,B< 116

Diversificazione del rischio in un portafoglio:rischio di creditoRischio Totale diun’EsposizioneEffetto Diversificazionenel Portafoglio(Unexpected Loss)Rischio DiversificabileRischio Sistematico(non diversificabile)17

Diversificazione del rischio in un portafoglio:rischio di creditoRischio Totale diun’Esposizione(Unexpected Loss)Beneficio delladiversificazionenel portafoglioRisk ContributionLa Risk Contribution (RC) rappresenta il contributo di una singola esposizione alla standard deviation delportafoglio. La somma delle singole RC iè pari alla standard deviation del portafoglio:∑ w i* RC i= stdev dove w p iè il peso dell’i-esima esposizione del portafoglioE’ possibile ridurre la RC fino alla sola quota di rischio sistematico (caso di perfetta diversificazione - arearossa della RC) ottimizzando il portafoglio attraverso una gestione attiva degli assets del portafoglio.18

Modello Multi-Fattoriale di MKMV:Modello di Asset CorrelationFirmRiskSystematicRiskFirmSpecificRiskCountryRiskIndustryRiskCountrySpecificRiskGlobalEconomicRiskRegionalRiskIndustrialSectorRiskIndustrySpecificRisk45 2 576119

Modello Multi-Fattoriale di MKMV:Modello di Asset Correlation – Distribuzione congiunta degli AssetsValore di Mercatodegli AssetsIl livello di correlazione èrappresentato dalla formaellittica della distribuzionecongiunta degli assetsdell’impresa A e BImpresa AValore di Mercatodegli AssetsImpresa B20

Modello Multi-Fattoriale di MKMV:Modello di Asset CorrelationFormula per il calcolo del rendimento degli assets dell’impresa krkβk144561= βkφk+ εk= ∑ βkfrf+ ∑ βkcεc+ ∑f = 1c=1i=1=R2σkσ φkFormula della correlazione fra l’impresa k e jβkiε + εikρjk=14 45 612 2 2βjfβkfσf+ βjcβ kcσ ε+ βcjiβ kiσεif = 1 C = 1 I = 1∑ ∑ ∑σ σjkIl rendimento degli assets dipende da 14 fattori comuni, 45 fattori paese e 61 fattorisettori industriali.21

ESEMPIO DI SIMULAZIONEStima del VaR di un portafoglio crediti conapproccio MKMV PM22