Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale su R con prodotto scalare ...

Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale su R con prodotto scalare 〈·, ·〉. Dimostrareche se v 1 , . . . , v n sono vettori di V non nulli e a due a due ortogonali allora v 1 , . . . , v nsono linearmente indipendenti.Soluzione. Supponiamo per assurdo che v 1 , . . . , v n siano lineamente dipendenti.Quindi esistono a 1 , . . . , a n ∈ R, non tutti nulli, conIn particolarea 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + a n v n = 0.0 = 〈a 1 v 1 + · · · + a n v n , v 1 〉 = a 1 〈v 1 , v 1 〉 + · · · + a n 〈v 1 , v n 〉 = a 1 〈v 1 , v 1 〉.Visto che v 1 ≠ 0, abbiamo 〈v 1 , v 1 〉 > 0 e quindi a 1 . Prendendo (come appenafatto per v 1 ) il prodotto scalare 〈a 1 v 1 + · · · + a n v n , v i 〉, otteniamo a i = 0. Quindia 1 = · · · = a n = 0, una contraddizione.Esercizio. Verificare che C è uno spazio vettoriale di dimensione 2 su R. Trovareuna base di C su R.Soluzione. Vi lascio dimostrare che C è uno spazio vettoriale su R. Verifichiamoche 1, i è una base di C su R. Visto che i non è un numero reale, abbiamo che1 e i sono linearmente indipendenti. Inoltre, ogni numero complesso z si scrivecomex = a + bi, per qualche a, b ∈ R. Quindi z = a · 1 + b · i è una combinazionelineare di 1 e i a coefficienti reali. Quindi 1, i generano C. Per cui C ha dimensione2 su R.Esercizio. Sia k un campo e sia V l’insieme dei polinomi in k[T ] di grado al piún. Dimostrare che V è un sottospazio vettoriale di k[T ] di dimensione n + 1.Soluzione. L’insieme V è{ n}∑{p(T ) ∈ k[T ] | grado di p(T ) ≤ n} = a i T i | a i ∈ k .Usando questa caratterizzazione è facile vedere che V è un sottospazio vettoriale dik[T ].Infine è facile verificare che 1, T, T 2 , · · · , T n è una base di V .Esercizio. Considera i vettori⎛ ⎞1v 1 = ⎜ 0⎝ 10⎟⎠ , v 2 =⎛⎜⎝1101⎞i=0⎟⎠ , v 3 =⎛⎜⎝12−11di R 4 . Determina una base per il sottospazio V di R 4 generato da v 1 , v 2 , v 3 .Esercizio. Dati i vettori⎛v 1 = ⎝123⎞⎛⎠ , v 2 = ⎝22−3⎞⎠ , v 3 = ⎝di R 3 , determinare l’insieme dei vettori V di R 3 ortogonali a v 1 , v 2 e v 3 . Verificareche V è un sottospazio di R 3 e determinare una base di V .1⎛340⎞⎟⎠⎞⎠

2Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale e v 1 , v 2 , v 3 vettori di V . Dire se 2v 1 −v 2 , v 1 +v 2 − 2v 3 , 2v 1 − 4v 2 + 4v 3 , v 1 + v 2 + v 3 sono un sistema di generatori di 〈v 1 , v 2 , v 3 〉.Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale su R e v 1 , v 2 , v 3 vettori linearmente indipendentidi V . Dire se v 1 − v 2 , v 1 − v 3 , v 2 − v 3 sono linearmente indipendenti.Esercizio. Sia r la retta di R n e sia V l’insieme dei punti di R n contenuti nellaretta r. Dimostrare che V è un sottospazio vettoriale di R n se e solo se r contieneil punto 0 di R n .Esercizio. Siano dati i vettori⎛v 1 =⎜⎝1−11−1⎞⎟⎠ , v 2 =di R 4 . Verificare che v 1 e v 2 sono linearmente indipendenti. Poi, estendere v 1 , v 2ad una base di R 4 .⎛⎜⎝11−1−1⎞⎟⎠Esercizio. Siano dati i vettori( 1v 1 =−1) ( 1, v 2 =1)di R 2 . Verificare che v 1 , v 2 è una base di R 2 . Trovare le coordinate del vettore (1, 2)nella base v 1 , v 2 .