06 Modelli di regressione dinamica

Modelli di regressione dinamicaMatteo Pelagatti25 giugno 20071 Modello di regressione dinamicaIl modello di regressione classico coglie solamente relazioni istantanee tra la variabileesplicative e la variabile dipendente, ma non reazioni dinamiche. Per renderepossibile la reazione dinamica a shock sulle variabile esplicativa avvenuti nelpassato si può utilizzare un modello di regressione su variabili ritardate:y t = ν + β 0 x t + β 1 x t−1 + β 2 x t−2 + . . . + β k x t−k + ε t .Il problema è che per modellare reazioni di lungo periodo k deve crescere indefinitivamenteed i parametri del modello diventano presto più numerosi dei dati: ilmodello non è quindi utilizzabile. Tuttavia, come si è fatto nel precedente paragrafocon i modelli ARIMA, è possibile approssimare la combinazione lineare infinitacon(β 0 + β 1 L + β 2 L 2 + . . .)x t ≈ ω v(L)δ u (L) x t,doveω v (L) = ω 0 + ω 1 L + . . . + ω v L v ,δ u (L) = 1 − δ 1 L − . . . − δ u L u .Similmente a quanto detto per i modelli ARIMA:◦ il polinomio ω v (L) è responsabile di reazioni ritardate sino ad un massimodi v periodi, rispetto al polinomio analogo dei modelli ARIMA, θ q (L) hail coefficiente di ordine 0 non unitario, che corrisponde al coefficiente diregressione istantanea β 0 ;◦ il polinomio δ u (L) è responsabile delle reazioni di lungo periodo enormalmente è sufficiente u ≤ 3;◦ se l’equazione δ u (x) = 0 ha una radice di valore 1 e tutte le altre in modulomaggiori di 1, allora l’effetto di ogni valore di x t si fa sentire persempre, o detto altrimenti, cambia definitivamente il valor medio di y t , econseguentemente la serie y t non può essere stazionaria;1

◦ se l’equazione δ u (x) = 0 ha radici complesse in modulo maggiori di1, y t reagisce ad ogni nuovo valore di x t oscillando fino a dimenticaregradualmente le x t più remote;◦ se l’equazione δ u (x) = 0 ha radici complesse in modulo pari a 1, allora y toscilla perpetuamente dopo ogni nuovo valore di x t .Si invita il lettore ad usare un foglio elettronico per farsi un’idea dei tipi dirisposta ottenibile variando gli ordini e i valori dei coefficienti dei polinomi ω v (L)e δ u (L).È chiaro come questi modelli possano essere utilizzati per modellare l’effettodi una serie storica, per esempio, di investimenti in pubblicità di un prodotto sulfatturato dovuto alle vendite di quel prodotto. Si può generalizzare il modello vistopermettendo k regressori dinamici in luogo di uno:y t = ω(1) v 1(L)δ u (1)1(L) x(1) t+ . . . + ω(k) v k(L)δ u (k)k(L) x(k) t + ε t (1)Questo ultimo modello potrebbe essere utilizzato per confrontare il rendimento didiversi tipi di pubblicità misurato come incremento del fatturato dovuto ad un Euroinvestito in ogni tipo di pubblicità, dopo un numero fissato di periodi: il coefficientej-esimo dell’espansioneω v (L)δ u (L) = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L 2 + . . .misura l’incremento del fatturato all’j-esimo periodo dopo l’investimento, ela somma cumulativa dei coefficienti ∑ ji=0 ψ i da l’aumento del fatturato chel’investimento ha fruttato fino a tale periodo. In figura 1 sono rappresentate lefunzioni di risposta ad impulso e le funzioni di risposta ad impulso cumulative perdue investimenti diversi. L’investimento 2 nel breve periodo (fino al 7 o periododopo l’investimento) rende di più dell’investimento 1, che, tuttavia, nel lungoperiodo surclassa ampiamente l’investimento 2.Il modello di regressione dinamica (1) può ulteriormente essere generalizzatoe reso più flessibile supponendo che i sistemi dinamici non siano sporcati da unrumore bianco ε t , ma da un processo ARMA stazionario:y t = ν + ω(1) v 1(L)δ u (1)1(L) x(1) t+ . . . + ω(k) v k(L)δ u (k)k(L) x(k) t + θ q(L)φ p (L) ε t. (2)La 2 viene chiamata, oltre che modello di regressione dinamica, modello difunzione di trasferimento e modello ARMAX.2

7.55.02.5Rend1Rend2500 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5040302010Rend.Cum1Rend.Cum20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Figura 1: Funzioni di risposta ad impulso semplici (sopra) e cumulative (sotto) perdue tipi di investimenti.2 Identificazione del modello di regressione dinamicaCome nel caso dell’identificazione dei modelli ARIMA, abbiamo bisogno diuna procedura dei modelli di regressione dinamica. Premesso che un approcciodal generale al particolare (stimo un modello con molti ritardi e poi eliminoi coefficienti non significativi) non è da scartare a priori, l’identificazione delmodello di risposta dinamica è basato sulla funzione di cross-correlazione.La funzione di cross-correlazione è definita daγ yx (h) = Corr(y t , x t+h ), h = . . . , −1, 0, 1, . . .cioè dalla correlazione della variabile y t con anticipi e ritardi della variabile x t .Per la funzione di cross-correlazione vale la proprietà γ yx (h) = γ xy (−h).Prima di poter utilizzare con profitto la funzione di cross-correlazione è necessariofare una operazione di sbiancamento o pre-whitening delle serie x t e y t . Sideve identificare un modello ARMA per la serie x t e calcolarne i residui:ˆβ t = ˆφ p (L)ˆθ q (L) x t.3

L’impulso si utilizza prevalentemente per eventi accaduti in un solo periodo t = τ,come uno sciopero o una tragedia come quella dell’11 settembre 2001, mentre loscalino viene usato per fenomeni che permangono, come una nuova legge, l’entratadi un nuovo concorrente, ecc.Il modello di analisi d’interventoy t = ν + ω v(L)δ u (L) D(τ) t−b + θ q(L)φ p (L) ε t,dove D (τ)t−bè la generica variabile dummy, non presenta differenze sostanzialirispetto a ciò che si è detto per i più generali modelli di regressione dinamica,tuttavia la fase di identificazione non può più essere condotta per mezzo delcross-correlogramma.Per identificare un modello di analisi d’intervento, per prima cosa si cerca ditrovare un modello ARMA per quella parte di serie precedente l’intervento, per laquale, essendo la dummy nulla, valey t = ν + θ q(L)φ p (L) ε t,e una volta identificato un modello ARMA, si utilizza tutta la serie introducendoun modello abbastanza generale per la funzione di trasferimento delle dummy, perpoi ridurlo, eliminando i parametri non significativi.Una tecnica alternativa per identificare la parte di funzione di trasferimento rispettoalla dummy consiste nel creare diversi ritardi della variabile dummy per poifare una regressione con disturbi ARMA della y t sulle dummy ritardate. L’andamentodei coefficienti di regressione sulle dummy ritardate è una stima dell’andamentodella funzione di risposta ad impulso per i primi ritardi e può essere usataper farsi un’idea su quest’ultima.5