FENOMENI DI TRASPORTO (QUANTITÀ DI MOTO, CALORE ... - INFN

FENOMENI DI TRASPORTO(QUANTITÀ DI MOTO, CALORE, MATERIA, CARICA ELETTRICA)Abbiamo visto che i fenomeni di attrito viscoso determinano un trasporto di quantità di moto. Ladv ( z)legge di Newton τxzx= −ηci dice che la densità di flusso di quantità di moto 1 nella direzionedzz ( τ zx) è proporzionale al tasso di variazione della componente x della velocità di flusso valutatonella direzione z. Il segno negativo ci dice che la quantità di moto fluisce in verso opposto a quellodel gradiente di velocità. La legge di Newton è un esempio di una relazione che si trova in fenomenidi trasporto presenti in diversi domini della fisica: nei fenomeni di trasporto si ha spesso unarelazione lineare tra la densità di flusso della grandezza che viene trasportata ed il gradiente di unavariabile intensiva associata al fenomeno.Questa semplice relazione di proporzionalità rappresenta un comportamento macroscopico che,almeno per alcuni sistemi, può essere derivato, predetto, da una modellizzazione microscopica delsistema stesso, come abbiamo fatto per spiegare la viscosità nei gas e nei liquidi. Tuttavia va dettoche, se una semplice relazione di proporzionalità rappresenta il comportamente “normale” di unsistema, possono esistere importanti eccezioni, come ad esempio il comportamento non newtonianodi molte sostanze, che trova in genere una spiegazione microscopica nella loro natura composita(emulsioni, sospensioni, etc) o come il comportamento non ohmico nella conduzione elettrica dicerti materiali.Legge di FourierConsideriamo ora un sistema termodinamico per il quale una variabile intensiva non abbia valoreuniforme, ma vari da punto a punto. Un sistema del genere non è in equilibrio e si assiste altrasporto di una quantità fisica associata alla variabile intensiva, tendente al raggiungimento o alripristino di una condizione di equilibrio. Se, ad esempio, la temperatura non è uniforme si hapassaggio di energia dalla zona calda a quella fredda:⇒ Proprietà fisica trasportata: energia (calore)⇒ “Causa” del trasporto: gradiente di temperaturaLa legge fenomenologica del trasporto di calore per conduzione fu formulata da Fourier (1768-1830) nel 1815. La legge di Fourier afferma che la quantità di calore che fluisce attraverso unelemento di superficie isoterma di area ∆ S in un intervallo di tempo ∆ t vale:dT∆ Q = −k∆S∆t(2)dndTdove è la derivata direzionale della temperatura, valutata lungo la normale alla superficie,dnorientata nel verso delle temperature crescenti e quindi rappresenta la componente del gradientedella temperatura ∇ rT , in valore e segno, lungo la direzione individuata dal gradiente stesso. Laquantità k è detta conducibilità termica (o conduttività termica) ed è una proprietà del materiale edipende dalla temperatura. La legge di Fourier può essere riscritta come∆QdTJ U≡ = −k∆S∆tdnLa quantità a primo membro rappresenta la densità di flusso del calore. Essa è proporzionale algradiente della temperatura: la legge di Fourier ha quindi la forma tipica di una relazione ditrasporto. Essa può essere espressa vettorialmente come:rJ Ur= −k∇T(3)1 Per intensità di flusso di una certa grandezza si intende la quantità della grandezza considerata che fluisce nell’unità ditempo attraverso una superficie di area unitaria disposta ortogonalmente alla direzione del flusso.M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 46

In Tabella 1 sono riportati i valori della conducibilità termica per alcuni materiali. Si nota unagrande variabilità per questo parametro che ha valori distribuiti su cinque ordini di grandezza.Tabella 1 Valori di conducibilità termicaSono cattivi conduttori di calore i gas e gli amorfi, mentre i metalli sono ottimi conduttori. Laconducibilità termica non varia molto con la temperatura per i liquidi, per i materiali amorfi e per igas, per i quali è del tipo k ∝ T . Nei metalli k presenta un massimo a bassa temperatura che è didue o tre ordini di grandezza maggiore del valore riscontrato a temperatura ambiente. Per il rame adWWesempio, k = 20000 a T = 20 K , che scende a k = 387 a 273 K.mKmKLa legge di Fourier può essere utilizzata per dedurre una relazione che leghi la variazione spazialedella temperatura con quella temporale. Prima di dedurre questa relazione nella sua forma generale,consideriamo un esempio particolarmente semplice ed importante: quello legato alla trasmissionedel calore attraverso una parete indefinita, come quella schematizzata in Figura 1. Supponiamo chela parete sia formata da un materiale omogeneo di densità ρ e calore specifico c. Consideriamo unaporzione infinitesima della parete, costituita da un parallelepipedo di base dS, altezza dx e massadm = ρdSdx (anch’esso schematizzato in figura). Questo volumetto scambia calore con il restodella parete attraverso le basi situate rispettivamente a x e a x+dx. Per la simmetria del problemanon scambia calore attraverso la sua superficie laterale: il flusso di calore è parallelo all’asse x. In⎛ ∂T⎞particolare esso assorbe il calore dQ1 = −k⎜⎟ dSdt dalla porzione di parete che gli sta a sinistra⎝ ∂x⎠x⎛ ∂T⎞e cede il calore dQ2 = −k⎜⎟ dSdt a destra. Complessivamente, quindi, il parallelepipedo⎝ ∂x⎠x+dxassorbe una quantità di calore pari a:M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 47

TT⎡2T T T ⎤2⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ T ⎞dQ1− dQ2= −k⎜⎟ dSdt + k⎜⎟ dSdt ≅ k⎢−⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + dx ⎥dSdt= k dxdSdtxxxx dxxxx⎜xx⎟⎜x⎟22⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ + ⎢⎣⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠x⎥⎦⎝ ∂ ⎠xDi consequenza la sua temperatura varia secondo la relazione22⎛ ∂ T ⎞∂ T ρc∂Tk⎜ dxdSdt = c dm dT = c dxdSdT ⇒ =x⎟ρ22⎝ ∂ ⎠∂xk ∂txQuesta equazione differenziale alle derivate parziali regola la variazione di temperatura in funzionedella posizione e del tempo. Essa è nota come equazione di Fourier e, come vedremo, può esseregeneralizzata al caso in cui la temperatura sia funzione di tutte e tre le coordinate spaziali.Figura 1 Trasmissione del calore attraverso una parete indefinitaIn condizioni di regime, la parete raggiungerà una situazione in cui la temperatura sarà ancorafunzione di x ma non varierà più al trascorrere del tempo. La situazione a regime è quindicaratterizzata dalle seguenti condizioni:⎧⎪T( x = 0)= T0⎪⎨T( x = s)= T1⎪∂T⎪ = 0⎩ ∂t2∂ TLa terza condizione implica quindi = 0 ⇒ T ( x) = α + βx. Applicando le prime due2∂xcondizioni, si determina completamente il profilo di temperatura all’interno della parete, che vale:T0− T1T ( x) = T0− xsLa temperatura scende linearmente (quindi a gradiente costante) da x=0 a x=s.M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 48

Per arrivare ad un’espressione generale dell’equazione di Fourier, consideriamo un materialeomogeneo, di calore specifico c, all’interno del quale non vi siano sorgenti di calore. Se isoliamouna superficie chiusa Σ, che racchiuda un volume V di materiale (cfr. Figura 2), il principio diconservazione dell’energia implica che il flusso di energia che esce da essa sia pari ed opposto altasso di variazione di energia racchiuso al suo interno. Questo fatto è sintetizzato nella relazione:dq∫ J rˆU⋅ n dS = −∫dV(4)dtΣVdove q è l’energia termica per unità di volume. Questa equazione prende il nome di equazione dicontinuità in forma integrale. Essa può essere ulteriormente elaborata, applicando il teorema diGauss, che dice che l’integrale di flusso di un campo vettoriale esteso ad una superficie chiusa èuguale all’integrale della divergenza del campo stesso, esteso al volume racchiuso dalla superficie.Nel caso nostro, questo significa che:r r rJ ⋅ ndS ˆ = ∇ ⋅ J dV(5)∫ΣU∫VUFigura 2 Flusso di calore attraverso una superficie chiusaCombinando la (4) e la (5) si ottiene:r r dq ⎛ r r dq ⎞∫ ∇ ⋅ JUdV= −∫dV ⇒ ∫⎜∇ ⋅ JU+ ⎟dV= 0dtVVV ⎝ dt ⎠Data l’arbitrarietà di V, la nullità dell’integrale di volume implica la nullità della funzioneintegranda:dq∇r ⋅ J rU= −(6)dtLa (6) ha lo stesso contenuto fisico della (4), ma è un espressione puntuale, locale dellaconservazione dell’energia. Il primo membro della (6) dipende dalla temperatura attraverso la leggedi Fourier (3):r r r r2 2 22 ⎛ ∂ T ∂ T ∂ T ⎞∇ ⋅ J U= ∇ ⋅ ( − k∇T) = −k∇T = −k⎜ + +(7)2 2 2⎟⎝ ∂x∂y∂z⎠2dove si è introdotto l’operatore laplaciano ∇ . Per il secondo membro della (6), invece, vale larelazioneM. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 49

∂q∂TdQ = mcdT ⇒ dq = ρ cdT ⇒ = ρc(8)∂t∂tSostituendo la (7) e la (8) nella (6) si ottiene l’equazione di Fourier o equazione differenziale dellaconduzione termica:2 2 22 ⎛ ∂ T ∂ T ∂ T ⎞ ρc∂T∇ T =⎜ + + =(9)2 2 2x y z⎟⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ k ∂tSi noti che questa equazione non è invariante rispetto alla sostituzione di t con –t, rispecchiando conciò l’irreversibilità del fenomeno.Resistenza termicaSi consideri la parete composita rappresentata in Figura 3 e si assuma cheT0> Tn. Il calore fluisceda sinistra verso destra, mentre la temperatura varia linearmente all’interno di ciascuno degli nelementi che costituiscono la parete. Il gradiente termico varia da un elemento all’altro dato chesono formati da materiali con conducibilità termiche diverse.Figura 3 Flusso di calore attraverso una parete composta da n strati diversiIn condizioni stazionarie la temperatura è funzione soltanto di x e non varia con il tempo. Laquantità di calore che fluisce nell’unità di tempo attraverso una sezione qualsiasi della parete (ossiaper qualunque valore di x) vale:dQ rdT= ∫ JU⋅ iˆdS = JUS = −kS(si è usata la (3)).dtdxSVisto che l’energia si conserva, il primo membro di questa relazione ha lo stesso valoreindipendentemente da dove lo si valuti, quindi il prodotto tra il gradiente termico valutato nell’i-mostrato della parete moltiplicato per la conducibilità termica del materiale di quello strato deve avereil medesimo valore per tutti gli strati che costituiscono la parete:dQ Ti− T⎛1x ⎞i−∆idQ dQ= −kiS⇒ Ti1− Ti= ≡ Ri(10)dt xix⎜i 1kiS⎟−−−⎝ ⎠ dt dtQuindi la caduta di temperatura agli estremi di una parete è pari al prodotto tra la quantità di caloreche fluisce attraverso di essa nell’unità di tempo per una quantità che è data dal rapporto tra lospessore della parete e la sua sezione retta moltiplicata per la conducibilità termica. Questa quantitàM. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 50

prende il nome di resistenza termica e si misura in WK . In effetti la (10) ha la stessa forma dellalegge di Ohm: in questo caso abbiamo il flusso di energia termica al posto del flusso di caricaelettrica e la caduta di temperatura al posto della caduta di tensione. Anche la resistenza termicadipende dai parametri geometrici del materiale in modo identico a quanto accade per la resistenzaelettrica: è proporzionale allo spessore del materiale ed inversamente proporzionale all’area dellasezione trasversa. In entrambi i casi la costante di proporzionalità e il reciproco della conduttività(termica o eletrica a seconda del caso). La resistenza termica di una serie di conduttori termici èdata dalla somma delle resistenze dei singoli elementi. Infatti per la parete composita abbiamo:nndQT0− Tn= ∑Ti− Ti− 1= ∑ Rii=1 dt i=1A parità di caduta di temperatura, il flusso termico è tanto minore quanto è maggiore la resistenzatermica. Quindi, se la parete deve assolvere a funzioni di isolamento termico, occorre utilizzaremateriali coibentanti ad elevata resistenza termica, cioè di elevato spessore e bassa conduttivitàtermica.Figura 4 Meccanismi di trasmissione del calore (T 0 >T A )Abbiamo studiato come varia la temperatura all’interno di una parete per effetto della conduzionetermica. Se la parete è a contatto con un fluido (l’aria ad esempio), la temperatura T 0 sullasuperficie della parete non coincide con la temperatura del fluido ad una certa distanza da essa T A .Questo perché i processi di trasporto di energia da solido a fluido sono complessi: infatti oltre alfenomeno della conduzione abbiamo processi di convezione (naturali o forzati) e di irraggiamento.Una descrizione puntuale di tutti questi processi è piuttosto complessa e va al di là degli scopi diquesto corso. In prima approssimazione il fenomeno è descitto da una relazione empirica formulatada Newton:Q = h T − T S∆t⇒ J = h T − T( ) ( )∆0 AU 0AWdove h è una costante che prende il nome di conducibilità termica esterna (u.m. ). A titolo di2m KWesempio, nel caso di un filo caldo in aria h = 10 .2m KSe, nell’esempio precedente sulla parete composita, questa separa due ambienti a temperatureT A> T 0e TB< Tnrispettivamente (cfr. Figura 5), abbiamo che:M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 51

TA− TBdQ ⎛ 1=⎜dt ⎝ ShA1+ShB+n∑i=1⎞R⎟i⎠Figura 5 Caduta di temperatura tra due ambienti separati da una pareteConduzione di calore in un filo percorso da corrente elettricaAbbiamo considerato finora casi di trasporto di calore in assenza di sorgenti di calore. Valutiamoadesso un esempio in cui il calore viene prodotto e trasportato. Facendo riferimento alla Figura 6,consideriamo un filo percorso da corrente elettrica. In realtà limiteremo la nostra attenzione ad unaporzione di filo di lunghezza L, trascurando effetti di bordo (filo indefinito). Per effetto Joule, alpassaggio di corrente elettrica è associata una produzione di calore pari a:22 2 2 L J VW = I R = J S =σSσQui abbiamo supposto che la densità di corrente elettrica J sia uniforme sulla sezione del filo eLabbiamo usato la relazione R = dove σ è la conducibilità elettrica del materiale di cui èσ Scostituito il filo. Questo calore è prodotto uniformemente su tutto il volume del filo. Il termine disorgente di calore che useremo nel seguito sarà quindi la quantità di calore prodotta per unità diWvolume e unità di tempo (u.m.2 ):m2W JS e≡ =V σIndichiamo con r la distanza dall’asse del cilindro. Valutiamo il bilancio energetico relativo ad unacorona cilindrica avente per base una corona circolare di raggi r e r+∆r. In condizioni stazionarie latemperatura ha una dipendenza da r ma non dal tempo, quindi deve valere la relazione:⎛POTENZA PRODOTTA ⎞ ⎛POTENZA ENTRANTE ⎞ ⎛POTENZA USCENTE ⎞⎜⎟ + ⎜⎟ − ⎜⎟ = 0⎝ NELLA CORONA ⎠ ⎝ NELLA CORONA ⎠ ⎝DALLA CORONA ⎠La potenza prodotta nella corona cilindrica è2 πr∆rLS ePer la simmetria del problema il calore fluisce dall’asse del cilindro verso l’esterno, con simmetriaradiale in tutte le sezioni rette del cilindro. Quindi il flusso di calore attraverso la superficie lateraleinterna della corona è quello entrante, mentre il flusso attraverso la superficie laterale esterna èquello uscente. Queste due quantità valgono rispettivamenteM. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 52

2πrL( JU) = 2πL( rJU)r( rJU)r+∆r2πLIl bilancio energetico è pertanto:2πr∆rLS+ 2πLer[( rJ ) − ( rJ ) ]Ur=U0r + ∆r⇒rSe=( rJ ) − ( rJ )U r + ∆r∆rUrFigura 6 Porzione di filio percorso da corrente elettricaNel limite di ∆r → 0il secondo membro è la derivata di rJU:d( rJ )rS = UedrQuesta equazione differenziale è a variabili separabili e fornisce un’espressione per la densità diflusso di energia:1 C1JU = Ser+(11)2 rLa costante di integrazione C1deve essere nulla perché in caso contrario avremmo una singolaritàper r=0, corrispondente ad una densità di flusso energetico infinita.1Quindi JU= Ser: la densità di flusso termico aumenta linearmente con r. Come verifica del2risultato, possiamo valutare il flusso termico complessivo sulla superficie laterale del filo: esso deveessere pari alla potenza prodotta per effetto Joule W. In effetti:M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 53

SeRJU ( R) 2 πRL= 2πRL= SeV= W2Per ottenere l’andamento della temperatura con r, occorre combinare la legge di FourierdTJ U= −k con la (11):dr1 dTSeSe2Se r = −k⇒ dT rdr T( r) r C22 dr∫ = − ⇒ = − +2k∫4kLa costante di integrazione si determina imponendo la condizione al contorno T ( R) = T0. Il risultatoè:22S ⎡ ⎤eR ⎛ r ⎞T ( r)− T0 = ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥4k⎢⎣⎝ R ⎠ ⎥⎦2SL’andamento della temperatura è parabolico e il termine erappresenta il massimo incremento4Rktermico rispetto alla temperatura misurata sulla superficie del conduttore. Si noti l’analogia formalecon il profilo di velocità in un tubo di flusso in regime di Hagen-Poiseuille: avevamo trovato infatti22∆p⎡ ⎤LR⎛ r ⎞v( r)= ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ .4η⎢⎣⎝ R ⎠ ⎥⎦DiffusioneLa diffusione è un fenomeno di trasporto proprio di tutti gli stati di aggregazione della materia. Duesostanze, mutuamente solubili, se messe a contatto diffondono l’una nell’altra fino a quando laconcentrazione di ciascuna delle due sostanze diventa uniforme sull’intero sistema.Figura 7 Mutua diffusione di due sostanzeLa legge fenomenologica che regola questo fenomeno è la legge di Fick che può essere espressacome:rJrc i= −D∇ccon i = 1,2(12)idnidove l’indice i indica la sostanza che si considera, ci ( x, y,z,t)= indica la sua concentrazionedVespressa in moli al metro cubo (oppure in numero di molecole al metro cubo), J r cla densità diiflusso di materia, riferita alla sostanza i espressa in moli al metro quadro al secondo (oppurenumero di molecole al metro quadro al secondo) e D è il coefficiente di diffusione o diffusività, cheM. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 54

si esprime in m 2 s -1 . La diffusione è la conseguenza del moto di agitazione termica delle molecole,ed avviene con meccanismi diversi a seconda dello stato di aggregazione del materiale. Ladiffusività è maggiore per la fase gassosa, dato l’elevato cammino libero medio delle molecole ed èminima nei solidi, dove avviene per meccanismi particolari ed è apprezzabile a temperature nondistanti dal punto di fusione.Tabella 2 Coefficienti di diffusioneIl fenomeno della diffusione ha luogo anche quando si mettono a contatto due campioni della stessasostanza. Si parla in questo caso di autodiffusione. Essa è misurabile utilizzando isotopi diversidello stesso elemento, riconoscibili per differenza di massa ed eventualmente per fenomeni didecadimento radioattivo, se si usano isotopi instabili. Valori del coefficiente di autodiffusione emutua diffusione sono riportati in Tabella 2. Nel caso dei fluidi, la determinazione della diffusivitàdeve essere effettuata al netto dei fenomeni convettivi che contribuiscono al processo di trasporto.Nei gas la diffusività dipende dalla radice quadrata della temperatura ed è inversamenteproporzionale alla pressione. Anche per i liquidi D cresce con la temperatura, in modo più marcatoche per i gas.Figura 8 Coefficiente del carbonio nel ferro in funzione della temperatura (C. Wert, 1950)M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 55

Nel caso dei solidi, la dipendenza dalla temperatura può essere parametrizzata come:⎛ EDD D0 exp con D0e EDcostanti(13)kBT⎟ ⎞=⎜ −⎝ ⎠In Figura 8 è riportato il risultato di una serie di misure effettuate da C. Wert nel 1950 sulladiffusione del carbonio nel ferro. I dati sono in ottimo accordo con l’andamento esponenziale (13)ed il parametro EDpuò essere ricavato dalla pendenza della curva. Questo particolare fenomeno didiffusione in fase solida ha importanza nella lavorazione degli acciai. In generale, come del resto sievince dalla Tabella 2, i coefficienti di diffusione nei solidi sono estremamente bassi.Anche per il fenomeno del trasporto di materia, come per quello del trasporto di calore, si puòarrivare ad una equazione che fornisce una relazione tra la variazione spaziale e quella temporaledella concentrazione. Se Σ è una superficie chiusa, il flusso di materia che esce dal volume Vracchiuso da Σ è, in assenza di sorgentidn ddc∫ J rˆc⋅ ndS = − = − ∫ cdV = −∫dV(14)dt dt dtΣVVdove n è il numero di moli contenute nel volume V.L’integrale di superficie che figura a primo membro della (14) può essere trasformato in integrale divolume grazie al teorema di Gauss:∫ΣrJc⋅ ndS ˆ =∫Vr r∇⋅ JcdV = −∫VdcdVdt⇒r r∇⋅ Jcdc= −dtLa (15) esprime in forma locale la conservazione della materia. Utilizzando la (12) per la densità diflusso di materia abbiamo:r r2 dc2 dc∇ ⋅ ( − D ∇c)= −D∇c = − ⇒ D∇c =dtdtQuesta equazione differenziale è identica all’equazione di Fourier (9).Conduzione elettricaAccenniamo brevemente ad un altro fenomeno di trasporto, quello della carica elettrica. Abbiamogià avuto modo di notare l’analogia tra la resistenza termica e quella elettrica. In effetti la legge diOhm non è altro che un ulteriore esempio di relazione lineare tra la densità di flusso di unagrandezza, la carica elettrica in questo caso, ed il gradiente di una proprietà intensiva del sistemastudiato, il potenziale elettrico. Facendo riferimento alla porzione di conduttore cilindrico mostratain Figura 9, la legge di Ohm viene usualmente presentata comeV 1−V2= RIdove V1 −V2è la caduta di potenziale elettrico, R la resistenza elettrica della porzione di conduttorerdqconsiderata e I = ∫ Jq⋅ ndS ˆ = JqS= è la corrente elettrica (espressa in ampere), ossia la quantitàdtSdi portatori di carica che attraversano una qualunque sezione del conduttore nell’unità di tempo.Nella relazione precedente abbiamo assunto che la densità di flusso di carica elettrica J abbia lostesso valore per tutti i punti di una sezione retta del conduttore. Questa assunzione è ragionevoleper correnti continue o a bassa frequenza.Il verso della corrente è quello dei portatori di carica positivi. Ogni materiale è caratterizato da unaspecifica conducibilità elettrica σ che ne determina la resistenza:l x2− x1∆xR = = =σSσSσSq(15)M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 56

Figura 9 Porzione di conduttore elettrico percorso da una corrente elettrica ILa legge di Ohm può quindi essere riscritta in termini della densità di flusso di carica elettricacome:∆xxdVV −V= −∆V= JqS⎯⎯ ∆ →⎯01 2→ Jq= −σσSdxche può essere estesa allo spazio tridimensionale comer rJ q= −σ∇VQuesta espressione è formalmente identica alla legge di Fourier e alla legge di Fick.La legge di Ohm ha origine fenomenologica, ma può essere derivata nell’ambito dei modelli chedescrivono la conduzione elettrica nei metalli o nelle soluzioni elettrolitiche. Tuttavia non tutti iconduttori elettrici seguono la legge di Ohm: esistono importanti eccezioni quali la conduzioneelettrica nei gas ionizzati ed il comportamento delle giunzioni tra semiconduttori a diversodrogaggio utilizzate nei dispositivi elettronici.Conduzione termica nei gasTutte le leggi che esprimono fenomeni di trasporto (legge di Newton, di Fourier, di Fick, di Ohm)riguardano proprietà macroscopiche di sistemi complessi e furono formulate a partire daosservazioni sperimentali. Tutti i modelli che ambiscono a descrivere a livello microspocico questifenomeni devono essere in grado di comportare come conseguenza e quindi di giustificare questeleggi macroscopiche. Inoltre devono anche essere in grado di predire un valore per le costanti cheentrano in queste leggi, quali la viscosità, le conducibilità termica, etc.Abbiamo dedotto la legge di Newton per i fenomeni viscosi nei gas e nei liquidi. Adesso, conargomenti identici a quelli usati per la viscosità, ci proponiamo di esprimere la legge di Fourier sultrasporto di calore nel caso dei gas, utilizzando il modello cinetico per i gas ideali.Consideriamo un recipiente contenente un gas descrivibile come gas ideale. Supponiamo che vi siaun flusso di calore in una direzione, che individuiamo come direzione (e verso) dell’asse delle x diuna terna cartesiana. Abbiamo visto a proposito della viscosità nei gas che, se indichiamo con NVilnumero di molecole per unità di volume e con v la loro velocità media, il numero di molecole perunità di volume che in ogni momento si muovono nella direzione e verso dell’asse x è, per l’ipotesi1 ⎛ 1 ⎞ 1di caoticità del moto molecolare, pari a ⎜ N V ⎟ = NV. Il numero di molecole che in un secondo2 ⎝ 3 ⎠ 6attraversano una superficie unitaria parallela al piano coordinato yz, situata ad una coordinata x 0arbitraria muovendosi nel verso delle x crescenti (e viceversa) è pari a quello contenuto in un1cilindro di base unitaria ed altezza v : N Vv (=numero di molecole per unità di superficie per unità6di tempo). L’energia associata a questo flusso di molecole è1Φ A= N Vv K ( x0 − λ) (16)6M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 57

dove K ( x)è l’energia cinetica traslazionale media di una molecola valutata alla coordinata x e λ èil libero cammino medio. L’energia cinetica media è valutata alla coordinata x0− λ in quanto lemolecole che attraversano la sezione considerata hanno subito l’ultimo urto proprio a quellacoordinata. Per il flusso nel verso delle x decrescenti si trova un’espressione analoga alla (16):1Φ B= N Vv K ( x0 + λ) (17)6Se non c’è flusso di calore la (16) e la (17) sono uguali: infatti la temperatura è l’espressionemacroscopica dell’energia cinetica media delle molecole e se non c’è gradiente termico non c’èflusso di calore e non c’è neppure variazione dell’energia cinetica. In presenza di flusso di caloreinvece, c’è un gradiente termico e quindi l’energia cinetica varia con x. Dato che la temperatura nonvaria apprezzabilmente sulla distanza di qualche libero cammino medio, possiamo usare larelazione seguente (approssimazione lineare):∂KK ( x0± λ) = K ( x0) ± λ∂xLa densità di flusso di energia netto nella direzione delle x crescenti è pertanto:N vλ∂K⎛ N vλ∂K⎞ ∂TJU= ΦA− ΦB= − = − ⎜ ⎟(18)3V∂x⎝ 3V∂T⎠ ∂xL’energia interna del gas è è data semplicemente dal prodotto tra l’energia cinetica traslazionalemolecolare media per il numero di molecole presenti nel sistema 2 :U = NKPer un gas ideale, l’energia interna è legata al calore specifico a volume costante dalla relazione1 ∂UN ∂K∂KMcV= = ⇒ = c V(19)M ∂TM ∂T∂TNCombinando la (18) e la (19) si ottiene:⎛ N vλM ⎞ ∂T1 ∂T∂TJU= − ⎜ cV⎟ = − ρvλcV= −k(20)⎝ 3VN ⎠ ∂x3 ∂x∂xQuesta espressione è proprio la legge di Fourier. Se vogliamo esplicitare la dipendenza dellaconducibilità termica k dalla temperatura dobbiamo esprimere in funzione di questa variabile sia lavelocità media delle molecole che il loro libero cammino medio.Per questi parametri il modello cinetico prevede le seguenti espressioni (che abbiamo dedottoquando abbiamo introdotto il modello cinetico):⎧ 8kBT⎪v=π m⎨⎪ 1λ =⎪2⎩ 2NVπdSe si sostituiscono nella (20) si trova:2 mkBTcVk =3 23 π dQuindi la conducibilità termica cresce con la radice quadrata della temperatura e non dipende dallapressione. Per quanto il calcolo che abbiamo svolto non sia completamente rigoroso, esso è in gradodi fornire la dipendenza corretta di k dalle variabili di stato del gas.2 Questo è corretto per i gas monoatomici. Per i gas poliatomici concorrono a definire l’energia interna gradi di libertàmolecolari non traslazionali (rotazionali e vibrazionali)M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7 58