SOLUZIONE ESERCIZI Parte 1 - Università degli Studi di Milano ...

SOLUZIONE ESERCIZI:CONCORRENZA PERFETTA E OLIGOPOLIOECONOMIA INDUSTRIALE – Università degli Studi di Milano-BicoccaChristian GaravagliaSoluzione 2.4.a) Indicando con θˆ tla stima di θ , il profitto atteso dell’impresa sarà dato da:ˆ 2E Π q θ;t = E p q −θq[ (t; )] [t t t t]b) Essendo l’impresa perfettamente concorrenziale, la regola di scelta ottima della quantità saràdata da p=MC, e quindi occorre calcolare l’espressione del costo marginale, dopo aver stimato ilvalore di θ con θˆ t , ossia:∂TCtMCt= = θˆt2qt.∂qtQuindi dalla condizione p=MC otteniamo pt= θˆt2qt, da cui si ricava:ptq* t= .2θˆtE’ evidente come la quantità prodotta dipenda negativamente dal valore assunto dalla stima delparametro θ . Le imprese si caratterizzano per diversi valori e stime di θ , e quindi produrranno inequilibrio ciascuna una quantità differente in funzione della propria stima θˆ t .c) Calcoliamo il profitto della generica impresa in equilibrio:2p ⎛tp ⎞tptE= pt− ˆ θ ⎜ ⎟t=2 ˆ θt2 ˆ θˆ⎝ t ⎠ 4θtE’ chiaro come l’espressione del profitto sia una funzione decrescente della stima del parametroθ , e quindi le imprese realizzano profitti diversi in equilibrio.**[ ( qtθ t)] E[ ptqˆ * 2Π ; ; =t−θtqt]d) Se l’impresa considerata nel tempo riceve segnali negativi riguardo al proprio livello diefficienza (stima al tempo t di avere θˆ te quindi MC t e poi realizza in t+1 di avere costi maggioriMC t+1 ……e così via) allora diminuirà gradualmente il proprio livello di produzione in base allaptrelazione che indica la quantità ottima q* t= , fino eventualmente ad uscire dal mercato (come2θˆtin figura) perché non in grado di coprire i costi. Graficamente:2

Prezzo < di AC in t+1:quindi profitti negativi!pMC t+1AC t+1p tMC t AC tq * t+1q * tIl modello è in grado di prevedere simultaneità tra entrata e uscita di impresa. Infatti se, comesupposto nel testo, al tempo t+1 altre imprese, incerte del loro livello di efficienza decidono dientrare nel mercato, e al tempo stesso l’impresa sopra rappresentata realizza di avere un livello diefficienza non sufficiente per fare profitti positivi, allora nel periodo t+1 ci sarà entrata di nuoveimprese e l’uscita dell’impresa considerata.Soluzione 5.5.a) La risoluzione è lasciata per esercizio allo studente.b) La risoluzione è lasciata per esercizio allo studente.c) Il costo marginale di entrambe le imprese aumenta del 12% rispetto al carburante cherappresenta il 40% dei costi marginali totali: quindi il costo marginale aumenta del 4.8%. Occorrecalcolare come reagisce il prezzo di mercato in seguito all’aumento dei costi marginali delleimprese. Data la relazione che esprime il valore del prezzo di equilibrio di mercato, calcolata* a + c1+ c2* *sopra, p = , si noti come p = p ( c1;c2) è funzione di due variabili indipendenti c j e c i3appunto. Quindi per calcolare come varia il prezzo occorre in sostanza calcolare il differenziale* *p = p c ;c . Ossia:totale della funzione ( )12*** ∂p∂pdp = dc1+ dc2∂c1∂c2e quindi, molto semplicemente:* 1 1dp = dc1+ dc23 3dove dc1e dc2rappresentano appunto la variazione dei costi delle due imprese. Quindi il prezzoaumenta del 33.3% (dato da 31 ) rispetto all’aumento del 4.8% di cj e del 33.3% (dato ancora da 31 )rispetto all’aumento del 4.8% di c i (sarebbe più interessante il caso di una differente variazione neidue costi). Quindi abbiamo che il prezzo aumenta dell’1.6% a causa dell’aumento di c j e dell’1.6%a causa dell’aumento di c i , ossia in totale aumenta del 3.2%.

Soluzione 5.6.a) Calcoliamo le funzioni di risposta ottima per l’i-esima impresa massimizzando la funzione diprofitto, ossia calcolando la condizione del primo ordine∂Πi= 0∂qida cui si ottiene:156 − 4q i− 2qj− 8 = 0 , ossia: q i= 12 − qj.2Abbiamo così la funzione di risposta ottima delle due imprese:11q1= 12 − q2e q2= 12 − q1.22Risolvendo il sistema tra queste due funzioni si determina l’equilibrio à la Cournot. Per1 ⎛ 1 ⎞sostituzione si ottiene: q1= 12 − ⎜12− q1⎟ da cui:2 ⎝ 2*18 ⎠Sostituendo otteniamo anche la quantità ottima prodotta dalla seconda impresa (che ovviamente,* 1 *essendo simmetrica sarà uguale a quella prodotta dall’impresa 1): q2= 12 − q1= 8.2* * *La quantità totale di equilibrio di mercato è quindi: Q = q + q = 8 + 8 = 16 , ed il prezzo di**equilibrio: = 56 − 2Q= 24p .* *I profitti realizzati da ciascuna impresa sono dati da: Π = Π = 24⋅8− 8⋅8128 .11 2=b) Nel caso di competizione à la Stackelberg sulle quantità, l’impresa leader (indicata con 1)nell’atto della scelta della quantità ottimale tiene in considerazione la reazione (ossia la funzionedi risposta ottima) dell’impresa follower (indicata con 2), traendo vantaggio da talecomportamento. Operativamente occorre massimizzare la funzione del profitto dell’impresa leaderdove la quantità dell’impresa follower è quella indicata appunto dalla funzione di risposta ottimadell’impresa follower (che abbiamo trovato nella competizione à la Cournot).⎡ ⎛ 1 ⎞⎤Π1= p[ q1+ q2( q1)] ⋅ q1− TC1(q1)= [ 56 − 2q1− 2q2] q1− 8q1= ⎢56− 2q1− 2⎜12− q1⎟ q1− 8q12⎥⎣ ⎝ ⎠⎦= [ 32 − q1] q1− 8q1∂ΠQuindi la condizione 1= 0 ci dà l’espressione 32 − 2q 1− 8 = 0 da cui si ottiene la quantità∂q1ottima dell’impresa 1: q *= 112 .Sostituendo nella funzione di risposta ottima del follower, si ricava la sua quantità ottima:* 1 *q2= 12 − q1= 62Possiamo quindi ricavare quantità totale e prezzo di equilibrio:* * ***Q = q1+ q2= 12 + 6 = 18 e p = 56 − 2Q= 20.I profitti realizzati da ciascuna impresa sono dati da:**Π1= 20 ⋅12− 8⋅12= 144 e Π2= 20 ⋅6− 8 ⋅6= 72 .Si noti come l’impresa leader si avvantaggia della possibilità di scegliere per prima, producendouna quantità maggiore e realizzando profitti maggiori rispetto all’impresa follower. Inoltre si noticome rispetto al caso di competizione à la Cournot, l’impresa leader produce una quantitàmaggiore e realizza profitti maggiori, mentre l’impresa follower produce una quantità minore erealizza profitti minori.2

Soluzione 5.8.a) La funzione di risposta ottima della singola impresa i rappresenta la scelta ottimale in termini diprezzo p per ogni livello del prezzo dell’impresa j. Tale funzione è data da:*i⎧ ppMj> pM* ⎪pi= ⎨ pj− ε per pj= pM> c⎪⎩cpj= cdove p M rappresenta il prezzo di monopolio, c il costo marginale comune alle due imprese ed εuna variazione infinitesima.b) Nella competizione à la Bertrand, con imprese simmetriche, capacità produttiva illimitata,prodotto omogeneo, l’equilibrio si ha in una situazione in cui le imprese fissano il prezzo incorrispondenza del livello del costo marginale (comune alle imprese per l’ipotesi di simmetria).* *Quindi: p1= p2= 4 .Sostituendo nella funzione di domanda otteniamo la quantità di equilibrio di mercato:*4 = 220 − 2Q, ossia Q * = 108.Essendo simmetriche le imprese si divideranno a metà il mercato, producendo ciascuna la** * Qquantità: q1= q2= = 54.2* *c) I profitti di equilibrio delle singole imprese sono pari a zero. Infatti: Π = Π = 4⋅54− 4⋅540.1 2=d) In presenza di vincoli di capacità produttiva, le imprese fisseranno il loro prezzo in modo taleche la domanda di mercato eguagli esattamente la capacità produttiva totale delle due imprese.La capacità produttiva totale è pari a: K 1 +K 2 =72. Quindi il prezzo di equilibrio di mercato sarà* *pari a p1= p2= p( K1+ K2) ossia:p ( K1 + K2) = 220 − 2( K1+ K2) = 220 − 2 ⋅ 72 = 76Quindi ora l’equilibrio di mercato è caratterizzato da un prezzo superiore al caso precedente e dauna quantità totale prodotta sicuramente inferiore (72), ed in particolare uguale alla somma dellecapacità produttive delle due imprese.* *Le imprese in tal caso realizzano profitti positivi: Π = Π = 76⋅36− 4⋅362592.1 2=e) Per dimostrare che il prezzo sopra determinato è l’unico equilibrio, occorre dimostrare che nonesiste incentivo per la singola impresa a fissare un prezzo diverso da p ( K 1+ K 2) dato ilcomportamento dell’altra impresa.* *Consideriamo l’impresa 1. Se tale impresa fissasse un prezzo inferiore p1< p2= p( K1+ K2), inteoria, data l’ipotesi sul comportamento dei consumatori, potrebbe ottenere tutta la domanda dimercato. Ma essendo vincolata da una capacità produttiva limitata, tale impresa non potrebbeprodurre comunque più di 36, che venderebbe ora ad un prezzo inferiore. Il che è palesementesvantaggioso.* *Se tale impresa, invece, fissasse un prezzo superiore p1> p2= p( K1+ K2), allora i consumatori sirivolgerebbero prima dall’impresa 2 per i loro acquisti, fino ad esaurimento della capacitàproduttiva di tale impresa (ossia 36 unità vendute).La domanda totale di mercato è pari a (invertendo la funzione di domanda inversa data1RESdall’esercizio): Q = 110 − p . La domanda residua q 1per l’impresa 1 sarebbe quindi data da:2

11q RES 1= Q − K2= 110 − p − 36 = 74 − p .22RESInvertendo tale funzione otteniamo: p = 148 − 2q1.Possiamo quindi ora ottenere il ricavo marginale dell’impresa 1:RESRESMR1 = 148 − 4q1Tale ricavo marginale è superiore al costo marginale dell’impresa per ogni valore dell’outputinferiore alla capacità produttiva, infatti: MR RES RES1> MC1, da cui si ha 148 − 4q 1> 4 che dà:RESq1< 36 .Se il ricavo marginale è superiore al ricavo marginale significa che l’impresa non sta adottando lapropria scelta ottima, e che le converrebbe aumentare la quantità prodotta, il che implica ridurre ilprezzo. Ma ciò è in contrasto con l’ipotesi iniziale in cui si investigava se fosse conveniente per* *l’impresa fissare un prezzo maggiore p1> p2= p( K1+ K2). Abbiamo così dimostrato che fissareun prezzo maggiore non è ottimale per l’impresa. Operativamente si potrebbe anche mostrare chein corrispondenza di un prezzo superiore, ad esempio p 77 , tale impresa realizzerebbe profitti1=* *1= p2= p K1+ K2=minori rispetto al mantenimento del prezzo p ( ) 76. Con p1= 77 infattiavremmo che la quantità domandata all’impresa 1 (da leggersi sulla sua curva di domanda1residua) sarebbe: q RES1= 74 − p = 74 − 38.5 = 35. 52I suoi profitti ora sarebbero: Π = 77⋅35.5− 4⋅35.5 2591. 5 che è inferiore rispetto a 2592.1=f) Risolvendo la competizione al primo stadio sulle quantità, significa trovare la quantità ottimalein una competizione à la Cournot. La funzione di risposta ottima della generica impresa i-esima è:1q i= 54 − q j2Risolvendo il sistema tra le due funzioni si ottiene l’equilibrio di Cournot, dato da:* *q1= q2= 36 .Tale risultato (Kreps e Scheinkman, 1983) è interessante. Possiamo interpretare la competizionetra le imprese oligopolistiche come una sequenza di scelte, in cui dapprima le imprese scelgono lapropria capacità produttiva limitata (secondo una concorrenza à la Cournot) in modo tale daevitare le “guerre” di prezzo à la Bertrand nel secondo stadio di scelta in cui la variabile rilevanteè appunto il prezzo. Quindi la competizione à la Cournot cattura la concorrenza di lungo periodoattraverso la scelta della quantità ottima (della capacità produttiva) e la competizione à laBertrand avviene in seguito nel breve periodo con la scelta del prezzo ottimale data la capacitàproduttiva.