Introduzione alla meccanica quantistica - Studium

Dispositivi ElettroniciIntroduzione alla meccanica quantisticaprof. ing. Gianluca GiustolisiUniversità degli studi di CataniaAcademic Year 2010/2011(ver. November 22, 2010)

Principi di meccanica quantisticaPrima di affrontare la matematica che sta alla base della MQdobbiamo esaminare alcuni principi:il principio dei quanta di energiail principio della dualità onda-corpuscoloil principio di indeterminazione

Quanti di energia: Effetto fotoelettricoEffetto fotoelettrico: Emissione di elettroni tramiteincidenza di luce monocromatica (raggi-X)È richiesta una certa energia per “strappare” l’elettroneFisica classica: energia ∝ intensitàOltre una certa intensità avviene l’emissione di elettroniFisica quantistica: energia ∝ frequenzaOltre una certa frequenza avviene l’emissione di elettroniVariando l’intensità varia il tasso di emissione (rate)lucemonocromaticaincidentematerialefotoelettroneenergiacinetica = Tmassimaenergia cinetica, T maxf 0frequenza, f

Quanti di energiaNel 1900, Planck postulò che la radiazione termica vengaemessa sotto forma di pacchetti discreti di energia (quanta)Nel 1905, Einstein associò alla radiazione luminosa unpacchetto di energia funzione della frequenza (fotone)E = hfh = 6.625 × 10 −34 Js (costante di Planck)T max = hf − hf 0 con hf 0 = Funzione lavorolucemonocromaticaincidentematerialefotoelettroneenergiacinetica = Tmassimaenergia cinetica, T maxf 0frequenza, f

Dualità onda-corpuscolo: Effetto ComptonL’effetto Compton è un fenomeno fisico interpretabile comel’urto tra un fotone e un elettroneFotoni = particelle dotate di quantità di motoI fotoni, urtando elasticamente contro gli elettroni presentinegli atomi del bersaglio, gli cedono parte della loroenergiaLa variazione di energia (E = hf = h c λ) è rilevabile comecambiamento della lunghezza d’onda del fotone diffusofotoneincidentefotonediffuso∑∆ ⃗p = 0∑∆E = 0elettronediffuso

Dualità onda-corpuscolo: Ipotesi di De BroglieNel 1924, De Broglie ipotizza che ai corpi materiali possaessere associata una lunghezza d’ondaλ = h pdove p è la quantità di moto del corpo materialeLa lunghezza d’onda così associata prende il nome dilunghezza d’onda di De BroglieLe onde elettromagnetiche in alcuni casi si comportanocome particelle (fotoni)I corpuscoli in alcuni casi si comportano come onde

EsempioDeterminare l’energia di un fotone con lunghezza d’ondaa) λ = 10 4 Å e b) λ = 10 ÅSoluzionea)E = hf = h c λ = 6.625·10−34 ×3·10 810 4·10 = 1.99 · 10 −19 J = 1.24 eV−10b)E = hf = h c λ = 6.625·10−34 ×3·10 8= 1.99 · 10 −16 J = 1.24 keV10·10 −10Trovare il momento e l’energia di una particella comm = 5 · 10 −31 kg e lunghezza d’onda di De Broglie di 180 ÅSoluzionep = h λ=6.625 · 10−34180 · 10 −10 = 3.68 · 10 −26 kg m/sE = 1 2 mv 2 = p22m = (3.68 · 10−26 ) 22 × 5 · 10 −31 = 1.35 · 10 −21 J = 8.45 meV

EsempioUn elettrone (m = 9.11 · 10 −31 kg) ha una energia dicinetica di 20 meV, trovare la lunghezza d’onda di DeBroglieSoluzionep = √ 2mT == 7.64 · 10 −26 kg m/sλ = h p√2 × 9.11 · 10 −31 × 20 · 10 −3 · 1.6 · 10 −19 =6.625 · 10−34= = 86.7 Å7.64 · 10−26

Principio di indeterminazione di HeisembergNel 1927, Heisenberg enunciò il legame che esiste tra levariabili coniugate “momento e posizione” ed “energia etempo”È impossibile descrivere contemporaneamente e conaccuratezza assoluta la posizione ed il momento di unaparticella∆p∆x ≥ È impossibile descrivere contemporaneamente e conaccuratezza assoluta l’energia di una particella ed ilmomento in cui essa possiede tale energia = h2π = 1.054 × 10−34 Js∆E∆t ≥

Principio di indeterminazione di HeisembergConseguenza del Principio di indeterminazione èl’impossibilità di conoscere con esattezza posizione evelocità di un elettroneLe grandezze che caratterizzano un elettrone vengonodescritte in termini probabilisticiLa probabilità di possedere o meno una certa proprietàviene espressa tramite una probability density function

EsempioL’incertezza sulla posizione di un elettrone è 12 Å. Trovarela minima incertezza sul momento e la corrispondenteincertezza sull’energia cineticaSoluzione∆p =∆x=1.054 · 10−3412 · 10 −10 = 8.79 · 10 −26 kg m/s(∆E = ∆p2 8.79 · 10−26 ) 22m = = 0.026 eV2 × 9.11 · 10−31

Equazione d’Onda

Equazione di SchrödingerNel 1926 Schrödinger riunì in un’unica equazione i principidei quanta di energia di Planck e la dualitàonda-corpuscolo di De BroglieL’equazione di Schrödinger nel caso non relativistico eunidimensionale è− 22m∂ 2∂x 2 Ψ(x, t) + V (x)Ψ(x, t) = j ∂ Ψ(x, t)∂tdove Ψ(x, t) è la funzione d’onda, V (x) è la funzionepotenziale assunta indipendente dal tempo e j = √ −1L’equazione è un postulato della meccanica quantisticaLa funzione d’onda Ψ(x, t) può essere una quantitàcomplessa

Equazione di SchrödingerDall’equazione− 22m∂ 2∂x 2 Ψ(x, t) + V (x)Ψ(x, t) = j ∂ Ψ(x, t)∂tassumendo Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t), si ha− 2 ∂2φ(t)2m ∂x 2 ψ(x) + V (x)ψ(x)φ(t) = jψ(x) ∂ ∂t φ(t)e, dividendo per ψ(x)φ(t)− 22m11 ∂ψ(x) + V (x) = jψ(x) ∂x 2 φ(t) ∂t φ(t)∂ 2Il lato sinistro è funzione di x mentre il destro è funzione di t,quindi ogni lato dell’equazione deve essere costante

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempoLa porzione dipendente dal tempo diventaj 1∫ ∫ddφ(t)φ(t) dt φ(t) = E ⇒ j φ(t) =j log[φ(t)] = Et + C 1 ⇒ φ(t) = e −j E tE dtdove si è posto e −j C 1 = 1 in quanto costante arbitrariaIl termine E è un’energiaEt/ è un numero adimensionale e poiché si misura in Js,E si misura in JRicordando che E = hf = h2πω = ω, si haω = E E rappresenta l’energia totale del sistema

Equazione di Schrödinger indipendente dal tempoLa porzione indipendente dal tempo è− 22m1ψ(x) + V (x) = Eψ(x) dx 2d 2che, manipolata un po’, diventad 2 2mψ(x) + [E − V (x)] ψ(x) = 0dx 2 2 dove m è la massa della particella, V (x) la sua energiapotenziale ed E la sua energia totaleIl termine [E − V (x)] rappresenta l’energia cinetica dellaparticella

Significato fisico della funzione d’ondaLa funzione Ψ(x, t) consente di descrivere ilcomportamento di un elettrone in un cristalloQual’è la relazione esistente tra la funzione d’onda el’elettrone?Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) = ψ(x)e −j E tNel 1926, Max Born postulò che la funzione |Ψ(x, t)| 2 dxrappresentasse la probabilità di trovare la particella nellospazio compreso tra x ed x + dx|Ψ(x, t)| 2 è allora una densità di probabilità (pdf)

Significato fisico della funzione d’ondaLa densità di probabilità relativa alla particella è|Ψ(x, t)| 2 = Ψ(x, t) · Ψ ∗ (x, t)dove Ψ ∗ (x, t) è la funzione complessa e coniugata di Ψ(x, t),ossiaΨ ∗ (x, t) = ψ ∗ (x)e +j E tda cuiΨ(x, t) · Ψ ∗ (x, t) =e quindi[ψ(x)e −j E t] [ · ψ ∗ (x)e +j E t] = ψ(x) · ψ ∗ (x)|Ψ(x, t)| 2 = ψ(x) · ψ ∗ (x) = |ψ(x)| 2che dimostra l’indipendenza temporale della pdf

Condizioni al contornoPoiché |Ψ(x, t)| 2 è una pdf deve essere∫ +∞−∞|ψ(x)| 2 dx = 1Se E e V (x) sono finite ovunque deve essereψ(x) deve essere finita e continuadψ(x)/dx deve essere finita e continuaSe E è finita ma V (x) è in qualche punto infinitaψ(x) deve essere finita e continuadψ(x)/dx può non essere continua

Applicazioni dell’equazione di Schrödinger

Elettrone nello spazio libero1 λ 2 + 2mE 2= 0 ⇒ λ = ±j √ 2mEL’elettrone è in moto ⇒ E > V (x)Non agisce alcuna forza sull’elettrone ⇒ V (x) = costantePoniamo V (x) = 0d 2 2mEψ(x) +dx 2 2 ψ(x) = 0La soluzione è del tipo 1[ √ ] [ √ ]2mE2mEψ(x) = A exp j x + B exp −j x]e ricordando che φ(t) = exp[−j E t , si ha[ j(√ ) ] [Ψ(x, t) = A exp 2mEx − Et +B exp − j (√ ) ]2mEx + Et

Elettrone nello spazio liberoLa soluzione può essere riscritta nella formaΨ(x, t) = A exp [j (kx − ωt)] + B exp [−j (kx + ωt)]e rappresenta un’onda viaggianteIl termine evidenziato ha un fronte d’onda che viaggia versol’asse positivo delle x tramite l’equazione kx − ωt = 0La velocità èv = x = ω t k = 2π/T2π/λ = λ Tt=0 t=t k = 2π 1λè il numerod’ondacos(kx-ωt)

Elettrone nello spazio liberoConsideriamo la soluzione Ψ(x, t) = A exp [j (kx − ωt)]k = 2π λ = √2mE⇒ λ =h√2mEe dalla relazione di De Broglie λ = h/pp = √ 2mEUna particella libera con una determinata energia ha anche undeterminato momento e lunghezza d’ondaLa sua pdf è|Ψ(x, t)Ψ ∗ (x, t)| = AA ∗che è costante e indipendente dalla posizione, ovvero, laparticella può trovarsi ovunque!!!In realtà una particella localizzata è caratterizzata da unpacchetto d’onda

Elettrone in una buca di potenziale infinitaLa buca a potenziale infinito è definita daV (x) ={ +∞ per x < 0 o x > a0 per 0 ≤ x ≤ a∞ V(x)∞L’equazione di Schrödinger èx = 0x = ad 2 2mψ(x) + [E − V (x)] ψ(x) = 0dx 2 2 e, banalmente, per x < 0 o x > a risulta ψ(x) = 0

Elettrone in una buca di potenziale infinitaPer 0 ≤ x ≤ a, l’equazione diventad 2 2mEψ(x) +dx 2 2 ψ(x) = 0Ponendo K =√2mE, la soluzione generale èψ(x) = A 1 cos Kx + A 2 sin Kxche va risolta tenendo conto delle condizioni al contorno{ { ψ(0) = 0ψ(a) = 0 ⇒ A1 = 0A 2 sin Ka = 0che ammette soluzioni solo per sin Ka = 0, cioè per Ka = n πcon n ∈ N 2 . Il parametro n è noto come numero quantico2 n ∈ Z fornisce soluzioni non fisicamente distinguibili

Elettrone in una buca di potenziale infinitaIl valore di A 2 può essere trovato da ∫ +∞−∞ ψ(x)ψ∗ (x) dx = 11 =∫ a0= A2 22= A2 22∫ aA 2 2 sin2 (Kx) dx = A2 21 − cos(2Kx) dx =2[0a − 1 ∫ ]2Kacos(2Kx) d(2Kx) =2K 0[a − 1 ∫ ] [2Kacos ξ dξ = A2 2a − 1 ∫ ]2nπcos ξ dξ2K2 2K00= A2 2 a2da cuiA 2 =√2aψ(x) =√2a sin ( nπa x )n ∈ NLa soluzione rappresenta un’onda stazionaria

Elettrone in una buca di potenziale infinitaIl parametro Kdipende dall’energiae può assumere solovalori discreti15n=4K =√2mE= n πaE10n=3ψ n|ψ n| 2E = E n = (nπ)22ma 2 5n=2n=1x = 0 x = a x = 0 x = aL’energia della particella è quantizzata e può esistere solo invalori discreti

EsempioCalcolare i primi tre livelli di energia di un elettrone in unabuca di potenziale infinita di larghezza a = 5 ÅSoluzioneE n = (π)22ma 2 n2 =(1.054 · 10 −34 × π ) 22 × 9.11 · 10 −31 × (5 · 10 −10 ) 2 n2= 2.41 · 10 −19 × n 2 [J] = 1.51 × n 2 [eV]E 1 = 1.51 eV E 2 = 6.04 eV E 3 = 13.59 eVL’esempio mostra l’ordine di grandezza dei livelli energeticidi un elettrone confinato in una tipica buca di potenziale

Gradino di potenzialeIl gradino di potenziale è definito da{ 0 per x < 0V (x) =V 0 per x ≥ 0In x < 0 l’equazione di Schrödinger èparticelleincidentiV(x)V 0d 2dx 2 ψ 1(x) + 2mE 2 ψ 1(x) = 0 x = 0che ha come soluzioneψ 1 (x) = A 1 e jK 1x + B 1 e −jK 1xcon K 1 =√2mEIl primo termine rappresenta le particelle incidenti (ondaviaggiante verso x positive).Il secondo termine rappresenta le particelle riflesse.

Gradino di potenzialeψ 1 (x) = A 1 e jK 1x + B 1 e −jK 1xA 1 · A ∗ 1= densità di probabilità delle particelle incidentiv i · A 1 · A ∗ 1 = flusso di particelle incidenti in #/cm2 s(v i è la velocità delle particelle incidenti)ψ 1 (x) = A 1 e jK 1x + B 1 e −jK 1xB 1 · B1 ∗ = densità di probabilità delle particelle riflessev r · B 1 · B1 ∗ = flusso di particelle riflesse in #/cm2 s(v r è la velocità delle particelle riflesse)

Gradino di potenzialeAssumendo E < V 0 per x ≥ 0 si hache ha come soluzioned 2dx 2 ψ 2(x) − 2m 2 [V 0 − E]ψ 2 (x) = 0ψ 2 (x) = A 2 e −K 2x + B 2 e K 2xcon K 2 =Le condizioni al contorno saranno⎧⎨ ψ 2 (x) < +∞ ∀x ≥ 0ψ 1 (0) = ψ 2 (0)⎩ dψ 1dx | x=0 = dψ 2dx | x=0√2m(V0 − E)Dalla prima condizione si trova banalmente che B 2 = 0

Gradino di potenziale{A 1 + B 1 = A 2jK 1 A 1 − jK 1 B 1 = −K 2 A 2Abbiamo 2 equazioni in 3 incognite: possiamo determinare A 2e B 1 in funzione di A 1 (ovvero, determinare l’onda trasmessa eriflessa in funzione di quella incidente)[1 −1j K 2K 11] [ ] [A2 1=B 1 1A 2 = A 1∆]A 1 ∆ =∣1 −1j K 2K 11∣ 1 −11 1 ∣ = 2A 11 + j K = 2 1 − j K 2K 1( )22A 1K 1 1 +K2K 1∣ = 1 + jK 2K 1B 1 = A 1∆∣1 1j K 2K 11∣ = 1 − j K 2K 11 + j K A 1 =2K 11 −(K2K 1) 2− 2jK 2K 11 +(K2K 1) 2A 1

Gradino di potenziale: Onda riflessaCoefficiente di riflessioneR = v r |B 1 | 2v i |A 1 | 2Rappresenta il rapporto tra il flusso riflesso e quello incidente|B 1 | 2 =[1 −(K2(K2K 1) 2) ] 2 2K 1+ 4[ ( ) ] 2 2|A 1 | 2 =1 +K2K 1( ) 4 ( ) 2 (1 +K2K 1− 2K2K 1+ 4K2= [ ( ) ] 2 2|A 1 | 2 = |A 1 | 21 +K2K 1K 1) 2La pdf dell’onda riflessa coincide con quella dell’onda incidente

Gradino di potenziale: Onda riflessaLa velocità v i è legata all’energia cinetica T = E − VPer x < 0 si ha√T = E = 1 2 mv 2m ( 1i 22⇒ K 1 =mv )i2= mv i da cuiv i = m K 1Anche le particelle riflesse possiedono la stessa E = T e quindiv r = m K 1Ne segue cheR = 1Tutte le particelle incidenti sono riflesse

Gradino di potenziale: Onda trasmessaCoefficiente di trasmissioneT = v t|A 2 | 2v i |A 1 | 2È il rapporto tra il flusso trasmesso e quello incidenteNel nostro caso T = 0 perché v t = 0 (energia cinetica nulla inquanto E < V 0 )( ) ( )1 − j K 2|A 2 | 2 K 11 + j K 2K 1= 4 [ ( ) ] 2 2|A 1 | 2 = 4|A 1| 2( ) 2 ≠ 01 +K21 +K2KK 1 1La pdf è non nulla! Esiste una probabilità finita che le particellesi trovino anche in x ≥ 0. Tuttavia, essendo R = 1, questetornano indietro verso la regione x < 0.

Barriera di potenzialeLa barriera di potenziale è definita da{ 0 per x < 0 o x > aV (x) =per 0 ≤ x ≤ aV 0Nel caso E < V 0 , ponendo√ √2m2mK 1 = 2 E ; K 2 = 2 (V 0 − E)A 1V(x)V 0B 1A 2x = 0le soluzioni dell’equazione di Schrödinger nelle 3 regioniassumono la formaB 2A 3x = aψ 1 (x) = A 1 e jK 1x + B 1 e −jK 1xψ 2 (x) = A 2 e K 2x + B 2 e −K 2xψ 3 (x) = A 3 e jK 1xper x < 0per 0 ≤ x ≤ aper x > a

Barriera di potenzialeEquazione generali⎧⎨⎩ψ 1 (x) = A 1 e jK1x + B 1 e −jK 1xψ 2 (x) = A 2 e K2x + B 2 e −K 2xψ 3 (x) = A 3 e jK 1xLe condizioni al contorno⎧ψ 1 (0) = ψ 2 (0)⎪⎨∣ = dψ 2∣x=0⎪⎩dψ 1dxdx∣x=0ψ 2 (a) = ψ 3 (a)∣ = dψ 3∣x=adψ 2dxdx∣x=aSistema lineare risultante⎧A 1 + B 1 = A 2 + B 2⎪⎨jK 1 A 1 − jK 1 B 1 = K 2 A 2 − K 2 B 2A ⎪⎩ 2 e K2a + B 2 e −K 2a= A 3 e jK 1aK 2 A 2 e K2a − K 2 B 2 e −K 2a= jK 1 A 3 e jK 1a

Barriera di potenzialeRisoluzione (tediosa) del sistema lineare⎡⎢⎣−1 1 1 01 −jη jη 00 e K 2ae −K 2a−e jK 1a0 ηe K 2a−ηe −K 2a−je jK 1a⎤ ⎡ ⎤ ⎡B 1⎥ ⎢ A 2⎥⎦ ⎣ B 2⎦ = ⎢⎣A 31100⎤⎥⎦ A 1(η = K )2K 1B 1 =A 2 =B 2 =A 3 =−j ( η 2 + 1 ) sinh (K 2 a)2η cosh(K 2 a) + j (η 2 − 1) sinh(K 2 a) A 1(η + j)e −K 2a2η cosh(K 2 a) + j (η 2 − 1) sinh(K 2 a) A 1(η − j)e K 2a2η cosh(K 2 a) + j (η 2 − 1) sinh(K 2 a) A 12ηe −jK 1a2η cosh(K 2 a) + j (η 2 − 1) sinh(K 2 a) A 1

Barriera di potenziale: coefficiente di riflessioneR = v r |B 1 | 2v i |A 1 | 2 = (η 2 + 1 ) 2sinh 2 (K 2 a)4η 2 + (η 2 + 1) 2 sinh 2 (K 2 a)( ) 2Sostituendo η 2 =K2K 1=V 0E− 1, si ha(v r = v i )R =( ) 2 V0E sinh 2 (K 2 a)4(V0E − 1 )+( ) 2 V0E sinh 2 (K 2 a)Approssimando sinh 2 (K 2 a) ≈ 1 4 exp (2K 2a), nel caso in cuiE ≪ V 0 , possiamo scrivereR ≈ 1 − 16 E (1 − E )e −2K 2aV 0 V 0

Barriera di potenziale: coefficiente di trasmissioneT = v t|A 3 | 2v i |A 1 | 2 = 4η 24η 2 + (η 2 + 1) 2 sinh 2 (K 2 a)( ) 2Sostituendo η 2 =K2K 1=V 0E− 1, si ha( )4V0E − 1T =4(V0E − 1 )+(V0E) 2sinh 2 (K 2 a)(v t = v i )Approssimando sinh 2 (K 2 a) ≈ 1 4 exp (2K 2a), nel caso in cuiE ≪ V 0 , possiamo scrivereT ≈ 16 E (1 − E )e −2K 2aV 0 V 0Il fenomeno prende il nome di Tunneling

La struttura atomica

Atomo di idrogenoUn atomo può essere visto come un nucleo caricopositivamente attorno al quale orbitano delle particelle dimassa più leggera cariche negativamenteIl potenziale generato dal nucleo èV (r) = −e24πɛ 0 rL’equazione di Schrödinger da risolvere è∇ 2 ψ(r, θ, φ) + 2m 0(E − V (r)) ψ(r, θ, φ) = 02 che va riscritta in coordinate sferiche⎧⎨ x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φ⎩z = r cos θzθrφPyx

Atomo di idrogenoL’equazione di Schrödinger in coordinate sferiche assume laseguente forma (niente paura! si trova anche su Wikipedia 3 )(1 ∂r 2 r 2 ∂ψ )1 ∂ 2 (ψ+∂r ∂r r 2 sin 2 θ ∂φ 2 + 1 ∂r 2 sin θ ∂ψ )+sin θ ∂θ ∂θ+ 2m 0(E − V (r)) ψ = 02 per la quale esistono soluzioni a variabili separate del tipoψ(r, θ, φ) = R(r) · Θ(θ) · Φ(φ)3 http://it.wikipedia.org/wiki/Nabla in coordinate cilindriche e sferiche

Atomo di idrogenoSostituendo ψ = RΘΦ, svolgendo le derivate e moltiplicandoper r 2 sin 2 θ/(RΘΦ), si hasin 2 (θ ∂r 2 ∂R )+ sin θ (∂sin θ ∂Θ )+R ∂r ∂r Θ ∂θ ∂θ+ r 2 sin 2 θ 2m 0 2 (E − V ) = − 1 ∂ 2 ΦΦ ∂φ 2Il termine a sinistra è funzione di r e θ mentre il termineevidenziato è funzione solo di φ, da cui− 1 ∂ 2 ΦΦ ∂φ 2 = m2 ⇒ Φ m (φ) = e jmφLe soluzioni devono essere periodiche rispetto a φ con periodomultiplo di 2π, pertantom = 0, ±1, ±2, ±3 . . .

Atomo di idrogenoEguagliando il termine in r e θ alla costante m 2 , dividendo persin 2 θ e separando le variabili r e θ si ha1R(∂r 2 ∂R )+r 2 2m 0∂r ∂r 2 (E − V ) = − 1Θ sin θ(∂sin θ ∂Θ )+ m2∂θ ∂θ sin 2 θIl termine a sinistra dipende solo da r, il termine evidenziatodipende solo da θ. Eguagliandolo a l(l + 1) con l = 0, 1, 2, 3, . . .si ottiene l’equazione di Legendre(1 ∂sin θ ∂Θ )− m2 Θsin θ ∂θ ∂θ sin 2 + l(l + 1)Θ = 0θ

Atomo di idrogeno(1 ∂sin θ ∂Θ )− m2 Θsin θ ∂θ ∂θ sin 2 + l(l + 1)Θ = 0θPer m = 0, le soluzioni sono i polinomi di LegendreP l (cos θ) = 1 d ( cos 2 θ − 1 ) l2 l l! d (cos θ) lPer m ≠ 0, le soluzioni sono le funzioni associate di LegendreP m l (θ) = sin |m|θ d |m|d (cos θ) |m| P l (cos θ)Perché esistano soluzioni periodiche rispetto a θ con periodomultiplo di 2π, la costante di separazione deve essere l(l + 1)l = 0, 1, 2, 3, . . .

Atomo di idrogenoEguagliando il termine R(r) alla costante l(l + 1) emoltiplicando per R/r 2 si ha l’equazione di Laguerre(1 ∂r 2 r 2 ∂R )+ 2m (0R∂r ∂r 2 E +e )l(l + 1)R−4πɛ 0 r r 2 = 0che ha come soluzione le funzioni(R nl (r) = √ 2m0 e2) 3(n − l − 1)!n 2 (2n(n + l)!) 3 e−ρ/2 ρ l L 2l+1n+l(ρ)doveL ν u(ρ) = dνdρ ν L u(ρ)sono le funzioni di Laguerre esono i polinomi di LaguerreL u (ρ) = e ρ dudρ u (ρ u e −ρ)

Atomo di idrogeno(R nl (r) = √ 2m0 e2) 3(n − l − 1)!n 2 (2n(n + l)!) 3 e−ρ/2 ρ l L 2l+1n+l(ρ)la costante n può assumere valori interi positivin = 1, 2, 3, 4, . . .mentre la variabile ρ è legata ad r dalla relazioneρ = 2m 0e 2n 2 rL’equazione di Laguerre porta ad avere livelli energeticiquantizzati−m 0 e 4E n =(4πɛ 0 ) 2 2 n 2

Atomo di idrogenoLe soluzioni dell’equazione d’onda ψ nlm dipendono da trenumeri detti numeri quantici, n, l, e m dovePer n = 1, l = 0, m = 0 si han = 1, 2, 3, . . .0 ≤ l ≤ n − 10 ≤ |m| ≤ lψ 100 = √ 1 ( ) 31 2 −e ra 0π a 0dovecoincide con il raggio di Bohra 0 = 4πɛ 0 2m 0 e 2 = 0.529Å

Tabella periodicaLa tabella periodica può essere costruita dal modellodell’atomo di idrogeno con due ulteriori concettiLo spin dell’elettrone (numero quantico s = ± 1 2 )Il principio di esclusione di Pauli: al più un elettrone puòavere lo stesso stato quantico (n, m, l, s)Elemento Z Notazione n l m sIdrogeno 1 1s 1 1 0 0 + 1 2 o − 1 2Elio 2 1s 2 1 0 0 + 1 2 e − 1 2Litio 3 1s 2 2s 1 2 0 0 + 1 2 o − 1 2Berillio 4 1s 2 2s 2 2 0 0 + 1 2 e − 1 2Boro 5 1s 2 2s 2 2p 1 2 1Carbonio 6 1s 2 2s 2 2p 2 2 1Azoto 7 1s 2 2s 2 2p 3 2 1 m = 0, +1, −1Ossigeno 8 1s 2 2s 2 2p 4 2 1Fluoro 9 1s 2 2s 2 2p 5 2 1s = + 1 2 , − 1 2Neon 10 1s 2 2s 2 2p 6 2 1