Modelli Lineari Equivalenti - ReLUIS

Sistemi di dissipazione basati su gomme ad altosmorzamento: descrizione mediante modelli lineariequivalentiLaura RagniD.A.C.S., Università Politecnica delle Marche, AnconaAndrea Dall’AstaDip. ProCAm, Università di Camerino, Ascoli PicenoKeywords: isolamento, dispositivi di dissipazione, gomma ad alto smorzamento, effetto Mullins.ABSTRACT:Le gomme ad alto smorzamento presentano un comportamento dinamico complesso dipendentedall’ampiezza e dalla velocità di deformazione. Presentano inoltre una dipendenza dalla storia di carico pereffetto del danneggiamento della microstruttura interna (scragging o effetto Mullins). Esistono in letteraturadiversi modelli in grado di descrivere più o meno accuratamente il comportamento di tale materiale tramiteapprocci molto diversi tra loro. Nel presente lavoro viene brevemente illustrato un modello in grado di descriverei principali fenomeni che caratterizzano il comportamento dinamico della gomma ad alto smorzamentoin condizione di taglio puro, sia nella fase transitoria che in quella in stabile della risposta. Sulla base di talemodello è stata proposta una procedura per l’individuazione di modelli lineari equivalenti della gomma da utilizzarenella progettazione, considerando sia il comportamento stabile che quello transitorio. L’obbiettivo dellavoro è quello di valutare l’affidabilità dei modelli lineari proposti, nella previsione della risposta sismica disistemi dotati di dispositivi in gomma ad alto smorzamento, utilizzando modelli semplici ad un grado di libertà.1 INTRODUZIONELe gomme ad alta dissipazione sono da tempoimpiegate nella realizzazione di isolatori sismici e didispositivi di dissipazione. Nel primo caso è possibileottenere appoggi deformabili, con elevata capacitàdissipativa e totalmente ricentranti. Nel secondo casoè possibile migliorare le caratteristiche di rigidezzae di dissipazione di strutture intelaiate (nuove oesistenti) o pendolari (nel caso di strutture in acciaio)mediante la disposizione di controventi dissipativi(Fuller et al. 2000, Choi et al. 2003, Bartera-Giacchetti 2004, Dall’Asta et al. 2006).La gomma ad alto smorzamento si ottiene aggiungendodel filler alla mescola della gomma naturale,con lo scopo di migliorarne alcune proprietàmeccaniche come la capacità di dissipare energia ela stabilità nei confronti delle variazioni di temperatura.Allo stesso tempo la presenza di filler rende piùcomplesso, e quindi di difficile modellazione, ilcomportamento sotto carichi ciclici, introducendodelle forti non linearità. In particolare, l’introduzionedi filler determina l’insorgere di un comportamentotransitorio in cui avviene una progressiva perdita dirigidezza a causa del danneggiamento della microstrutturainterna. In una prova ciclica ad ampiezzacostante il fenomeno interessa i primi cicli di caricoe progredisce fino alla stabilizzazione del danno, (effettonoto come “scragging”). Più in generale, ildanneggiamento comporta una forte dipendenza dellarisposta del materiale dalla storia di carico e, inparticolare, dalla massima deformazione subita lungoil percorso. Tale fenomeno è noto anche come effettoMullins (Govinndjee-Simo 1991, Govinndjee-Simo 1992 a-b).La gomma ad alto smorzamento eredita inoltre lecaratteristiche viscoelastiche della gomma naturaleper cui la risposta è anche significativamente influenzatadalla velocità di deformazione (quindi dallafrequenza di applicazione del carico).In letteratura sono stati proposti numerosi lavoridedicati allo studio delle gomme ad alto smorzamento,da tempo utilizzate in vari campi dell’industria,orientati allo studio dei principali fenomeni che necaratterizzano il comportamento. Tali lavori tuttaviaconsiderano principalmente storie di carico e scaricoquasi-statiche e sollecitazioni di tipo assiale (Lion1997, Haupt 2001, Dorfmann-Ogden 2003).Negli ultimi anni, il loro utilizzo nella realizzazionedi dissipatori sismici e di isolatori ha orientato

la ricerca verso la definizione di legami costitutiviappropriati per la descrizione della risposta nel casodi sollecitazioni cicliche di taglio in presenza o menodi compressione. I modelli sviluppati si basano sulegami costitutivi semplici modificati per tener contodei fenomeni non lineari e dipendenti dalla velocitàche si manifestano sul comportamento stabile. Soloin alcuni casi viene presa in esame la dipendenza delcomportamento della gomma dalla storia di carico.Si cita, a titolo di esempio, il lavoro di Kikuci-Aiken 1997 basato su modelli elastoplastici indipendentidalla velocità, modificati per tener conto delladipendenza dall’ampiezza di deformazione, a cuiviene aggiunto un incremento di rigidezza elasticosolo nella risposta del primo ciclo. Nel lavoro diTsai et al 2003 gli autori utilizzano una versionemodificata del modello Bouc-Wen per tener contodella dipendenza dall’ampiezza di deformazione,aggiungendo un contributo viscoso lineare. I parametridel modello sono stati determinati considerandodiverse entità del carico assiale. In entrambi imodelli viene tuttavia trascurata la dipendenza delcomportamento della gomma dalla storia di carico.Un tentativo di descrivere tale comportamento è statosviluppato in Hwang et al. 2002. Il modello si basasull’identificazione di diversi parametri a frequenzae temperatura fissata. Fornisce inoltrerisultati soddisfacenti solo per assegnate storie di caricosinusoidali (Grant et al. 2005). Infine nel lavorodi Yoshida et al. 2004 viene introdotto un parametrodi danno per simulare il degrado della sola parte elasticamentre il contributo dissipativo risulta indipendentedalla velocità (elastoplastico). Recentemente èstato sviluppato un modello reologico, termodinamicamentecompatibile, in cui il danneggiamento e lecaratteristiche dissipative sono state descritte mediantevariabili interne (Dall’Asta –Ragni 2006). Ilconfronto con un ampia campagna di prove sperimentaliha confermato la capacità del modello di descriverei diversi fenomeni non lineari, legatiall’ampiezza e alla velocità, che si manifestano nellarisposta del materiale.In generale, questi modelli risultano di difficileapplicazione nella pratica progettuale e sarebbe auspicabiledisporre di modelli semplificati in grado difornire informazioni sufficientemente accurate per lavalutazione della risposta sismica di struttura dotatedi dispositivi di dissipazione. Alcune indicazioni intal senso sono suggerite da diverse norme tecniche.In alcuni casi tali indicazioni si basano sull’utilizzodi modelli lineari spring-dashpot, introducendo iconcetti di rigidezza equivalente e smorzamento e-quivalente (OPCM 3431, PrEN 1998-1, FEMA 356).In altri casi si propongono, in alternativa, modelli e-lastoplastici (FEMA 356) che richiedono un'analisinon lineare senza assicurare una descrizione più accuratadel comportamento strutturale. L’influenzadell’ampiezza della deformazione viene spesso presain considerazione mediante l’utilizzo di procedureiterative dove i parametri del modello lineare vengonoaggiornati fino a convergenza degli spostamenti.Le normative suggeriscono inoltre di prendere i valoripiù sfavorevoli di tali parametri tenendo contoanche dell’influenza della dipendenza dalla frequenza(in un intervallo attorno al periodo di progetto),della dipendenza dalla temperatura edell’invecchiamento. In merito al comportamentotransitorio della gomma, sostanzialmente diverso dalcomportamento stabile, non vengono fornite indicazioniprecise. In particolare l’OPCM 3431 suggeriscedi determinare i parametri lineari equivalenticonsiderando il terzo ciclo e quindi trascurando sostanzialmenteil comportamento transitorio. Diversamente,nelle FEMA 356 viene fatto riferimento alfenomeno dello “scragging“ e viene suggerito dicondurre due analisi limite, con parametri dei modelliequivalenti ricavati sul primo ciclo e su quellostabile, in modo da ottenere una stima dell’ intervallodi risposta prevedibile. Non vengono tuttavia forniteindicazioni precise sulle procedure per ottenere idue modelli equivalenti.Non esistono inoltre indicazioni consolidatesull’ordine di grandezza dell’errore che si compie u-tilizzando modelli lineari. Alcuni studi su questo a-spetto del problema sono stati condotti in Hwang-Ku1997 e Hwang-Wang 1998 trascurando totalmente ilcomportamento transitorio. A tal proposito, è utileosservare che tale comportamento che determina variazioniimportanti della rigidezza e delle capacitàdissipative, influenza sempre la risposta sismica datoche il danneggiamento ad esso correlato viene recuperatoin tempi piuttosto brevi (Grant et al 2005,Dall’Asta –Ragni 2006 ).L’obiettivo del presente lavoro è quello di proporre,tra i tanti possibili, un criterio per la definizionedi sistemi lineari equivalenti al sistema dinamiconon lineare con forza di richiamo prodotta dagomme ad alto smorzamento sottoposte a taglio.Viene proposto un criterio di equivalenza applicabilea situazioni (moti) diverse e si procede alla definizionedei parametri del modello lineare in due situazionidi riferimento. La prima relativa al comportamentoperiodico in risonanza che si osserva nel casodi forzante sinusoidale, una volta esaurito il transitorio,con l’obiettivo di fornire una descrizione linearedel comportamento stabile del materiale. La secondariferita alla risposta iniziale del sistema sottoposto adun impulso con l’obiettivo di descrivere la parte dirisposta fortemente influenzata dall’effetto Mullins.Il criterio è stato applicato a tre sistemi con caratteristichedinamiche diverse, in cui la rispostamassima si osserva per periodi che variano nel campo0.5s-2.0s, analizzando deformazioni massime ataglio fino al 200%. Il campi di frequenze e ampiezzestudiati sono stati scelti in base ai valori solitamenteosservati nelle applicazioni strutturali. I risultatinumerici riportati si riferiscono alla mescolatestata in (Dall’Asta –Ragni 2006) che presenta ca-

atteristiche dissipative e di rigidezza intermedie.Per i tre oscillatori si è poi proceduto a valutareil livello di approssimazione che può essere ottenutocon i modelli lineari nel caso di sistemi sottoposti adazioni sismiche, valutando la capacità dei due modellidi individuare valori limite per le grandezze dimaggior interesse nel progetto: spostamenti e forze.2 SISTEMA DINAMICO NON LINEAREξ iLo stato ( )Si consideri un sistema ad un grado di libertà costituitodalla massa m vincolata a terra da un dispositivoin gomma soggetto a deformazioni di taglio puro,che fornisce la forza di richiamo f d . Si descrive ilcomportamento costitutivo della gomma ad alta dissipazionesottoposta a taglio mediante il legame costitutivoproposto in (Dall’Asta –Ragni 2006).γ , del materiale è descritto dalla deformazionea taglio γ e da un insieme di variabili interneξ i , che descrivono il comportamento anaelasticodipendente dalla velocità di deformazione ed ildanneggiamento che si manifesta nella risposta transitoria.La determinazione del legame costitutivodella gomma richiede la definizione della relazioneche intercorre tra la tensione tangenziale τd, lo statodel materiale ( γ , ξ i) ed il processo η, costituito dallavelocità di deformazione, oltre alla definizione delleleggi evolutive delle variabili interneτ τ ( γ ξ ; η)= d d,i(1)( γ ξ η)& ξi= g i,i:(2)Si assume che la forza di richiamo sia prodotta dauna porzione di gomme di area A e spessore h, percui fdpuò essere correlata alla tensione tangenzialemediante l’espressioneAfd= β τd(3)mdove β è un parametro di natura geometrica legatoalle modalità costruttive e di montaggio del dispositivo.La deformazione a taglio γ = u/h e la velocità dideformazione η = v/h, sono grandezze che possonoessere espresse mediante relazioni lineari in funzionedello spostamento u e la velocità v della massa m.E’ possibile quindi esplicitare la relazione che intercorretra la forza di richiamo del sistema ad un gradodi libertà e le grandezze che descrivono il motofdA u v,i=d ⎜i(4)m ⎝ h h⎛ ⎞( u v;ξ ) β τ , ; ξ ⎟⎠Di conseguenza lo stato del sistema sarà descrittodal vettore x = [ u,v;ξi] e la legge di evoluzione dellostato è data da⎡ u&⎤ ⎡ v ⎤&x =⎢ ⎥=⎢⎢v&⎥ ⎢− fd(5)⎢ &⎣ξ ⎥⎦⎢i ⎣ gˆ;( u,v;ξi) + fe( ) ⎥ ⎥⎥ iu,v ξi ⎦dove f e è la forza esterna per unità di massa e ĝsono le funzioni che descrivono l’evoluzione dellevariabili interne in funzione di x. Per maggiori dettaglisi rimanda al lavoro (Dall’Asta-Ragni 2006).3 SISTEMA DINAMICO LINEAREEQUIVALENTE3.1 Sistema lineareLo scopo di questo paragrafo è quello valutare lapossibilità di descrivere sistemi dinamici basati sugomme ad alto smorzamento mediante una modellazionelineare.Il sistema lineare equivalente che si intende individuareè costituito dalla stessa massa m del sistemanon lineare e dalla forza di richiamo prodotta da unamolla elastica e da uno smorzatore viscoso dispostiin parallelo. Il sistema risulta quindi completamentedescritto una volta assegnati due parametri k e c cheindicano rispettivamente la rigidezza della molla perunità di massa e la costante viscosa dello stantuffo,sempre per unità di massa. La capacità dissipativadel sistema lineare può essere anche espressa permezzo del coefficiente di smorzamento viscoso ξ ,definito comeξ = c2ω(6)dove ω è la pulsazione naturale del sistema linearenon smorzato, data daω = k(7)La forza di richiamo per unità di massa del sistemalineare è di conseguenza pari af Ld= k u + 2ξωv(8)Lo stato del sistema dinamico lineare ad un gradodi libertà è pertanto descritto unicamente dallo spostamentou e dalla velocità v, ossia dal vettoreLx = [ u,v]e la legge di evoluzione dello stato è datadaL ⎡u&⎤ ⎡ v ⎤&x = ⎢ ⎥ = ⎢ L( )⎥ (9)⎣v&⎦ ⎣−fdu,v + fe⎦

La definizione di un sistema lineare “equivalente”ad un sistema dinamico non lineare richiede la definizionechiara della “situazione” dinamica o, piùprecisamente, del moto, rispetto al quale si richiedeche siano soddisfatte delle condizioni di uguaglianzatra i sistemi. Sia la scelta del moto che le condizionidi equivalenza sono arbitrarie mentre il loro numeroè evidentemente legato ai parametri che descrivonoil sistema lineare, in questo caso due. Nel presentelavoro si vuol tener conto del danneggiamento e delleconseguenti variazioni di comportamento del materialedurante la storia di deformazione, proponendodue diverse caratterizzazioni lineari: una riferibile alcomportamento stabilizzato e l’altra riferibile alcomportamento iniziale. Nel primo caso, si è sceltocome moto di riferimento la risposta ciclica che siosserva per il sistema sottoposto ad una forzante sinusoidale,una volta esaurito il transitorio. Nel secondocaso, si è scelto come moto di riferimento larisposta libera del sistema sottoposto ad un impulsoiniziale, e si è preso in considerazione il primo trattodel moto in cui lo spostamento parte da zero e raggiungeil valore massimo.Va sottolineato che la definizione di un’ equivalenzalineare può essere fatta secondo diversi criterie che quindi in entrambe le situazioni è necessariostabilire delle precise condizioni di equivalenza tra ilsistema non lineare e quello lineare. In tale scelta siè cercato di adottare un criterio applicabile ad entrambele situazioni ed in grado di fornire risultatisoddisfacenti nella descrizione complessiva del sistemadinamico originale. Nel seguito verranno illustratele procedure seguite in entrambe le situazionie verranno riportati i risultati ottenuti.3.2 Analisi con forzante armonicaIn questa sezione è stata studiata la risposta nonlineare del sistema soggetto ad una forzante esternadi tipo sinusoidale con diverse ampiezze e diversefrequenze, data da() t f sin( 2 t T )f e= /(10)0πdove f 0 è l’ampiezza della forzante per unità dimassa e T è il suo periodo. Con lo scopo di studiaresistemi con caratteristiche diverse, sono stati consideratitre casi, indicati con a, b e c, assumendo unamassa m pari a 100t e dispositivi in gomma con differenticaratteristiche geometriche. In particolare, inquesta fase di caratterizzazione del comportamentodella gomma, è stata considerata in tutti i casiun’altezza di riferimento dei dispositivi pari ah=10mm, e si è adottata un’area totale della gommadifferente in modo da ottenere sistemi con caratteristichedinamiche diverse. Nel caso intermedio (casob) è stata considerata un’area di riferimento pari aA=78200mm 2 , per la quale è stata osservata una ripostamassima per periodi di circa un secondo. Nelcaso a è stata considerata un’area quattro volte piùgrande e nel caso c un’area pari ad un quarto, in modotale da avere una risposta massima intorno a periodidi circa T=0.5s e T=2s rispettivamente.In tutti e tre i casi la massima forza esterna applicataè stata calibrata in modo da ottenere una rispostamassima in termini di deformazione della gommapari a γ=2.0. Sono stati inoltri applicati livelli di forzainferiori in modo tale da ottenere deformazionimassime della gomma pari a γ=1.5 e γ=1.0, in quantovalori tipici di progetto per la deformazione massimadella gomma. Nei casi esaminati si è assuntoβ=1.Si intende individuare un sistema equivalente inbase al moto periodico che si instaura una volta e-saurito il transitorio. E’ opportuno osservare che larisposta della gomma dipende dal processo e quindiil moto in esame risente delle condizioni inizialiscelte. In questo caso, avendo come obiettivo quellodi caratterizzare il comportamento della gomma partendoda una situazione di riposo e di danno nullo,tutte le variabili di stato sono state posta uguale a zero(x(0)=0).Il criterio seguito per la determinazione di tali sistemiè stato il seguente.i. La rigidezza del sistema lineare equivalente è stataottenuta dal rapporto tra la forza osservata incorrispondenza dello spostamento massimo e lospostamento massimo del sistema non linearef( T )L d mks= (11)u ( Tm)dove Tmè il periodo della forzante in corrispondenzadel quale si verifica lo spostamento massimo.Dalla rigidezza del sistema lineare equivalenteè possibile ottenere la rigidezza equivalentedella gomma ( G ) tramite l’espressioneLsL h LGs= ks(12)Aii. Il coefficiente di smorzamento del sistema lineareè stato ricavato in modo da ottenerel’uguaglianza delle energie dissipate dai due sistemi( W e WdLd), in corrispondenza delle rispettivefrequenze a cui si verifica lo spostamentomassimoL LW T ) = W ( T )(13)d(m d m

Ldove Tmè il periodo della forzante in corrispondenzadel quale si ha lo spostamento massimonel sistema lineare equivalente. Essendol’energia dissipata da un sistema lineare in risonanzapari a Wd( Tm) = 2πξkum, il coefficienteL L2di smorzamento equivalente del sistema lineare èdato dalla relazioneLs( T )Wξ = (14)d m22πkumLe curve di risposta in termini di spostamentomassimo e forza di richiamo massima osservati neitre casi sono riportati nelle Figure 1, 2 e 3. I diagrammisono in forma adimensionale e sono stati ottenutidividendo, in ogni caso analizzato, gli spostamentie le forze per valori di riferimento pari alvalore massimo ottenuto per lo spostamento u m e allamassima forza sul dispositivo f dm . Anche il periodo èstato diviso per un valore di riferimento (T ref ) assuntopari a T ref =0.5s, T ref =1.0s e T ref =2.0s, per il casoa, b e c rispettivamente. In tutti i casi sono stati consideratiperiodi della forzante variabili tra 0.3 T ref e 4T ref . Nelle stesse figure è riportato il confronto conla risposta dei sistemi lineari equivalenti ottenuti peri tre casi e per i diversi livelli della forzante.Dai diagrammi si può osservare che in tutti i casiil modello lineare coglie bene i valori massimi dispostamento e forza, soprattutto a bassi livelli di deformazione.Per tali livelli di deformazione (γ =1.0)coincidono anche i periodi ai quali si verificano talimassimi e la risposta è simile anche per tutti gli altriperiodi.1.2u/umfd/fdmu/um1.21.00.80.60.40.20.01.21.00.80.60.40.20.01.21.00.80.60.40.20.01.20 1 T/T ref 2 3 40 1 T/T ref 2 3 4Figura 2. Analisi armonica – caso b.0 1 T/T ref 2 3 41.00.8HDRLineare1.00.8u/um0.6fd/fdm0.60.40.40.20.20.01.20 1 T/T ref 2 3 40.00 1 T/T ref 2 3 4Figura 3. Analisi armonica – caso c.fd/fdm1.00.80.60.40.20.00 1 2 3 4T/T refFigura 1. Analisi armonica – caso a.All’aumentare della deformazione (γ =1.5 e γ =2.0) i periodi ai quali si verificano i massimi tendonoa diversificarsi e tali differenze crescono al diminuiredel periodo di riferimento. Per gli altri valori diperiodo gli spostamenti tendono ad essere sovrastimati,in maniera tanto più marcata quanto maggioreè il periodo di riferimento, e le forze sottostimate, inmaniera tanto più marcata quanto minore è il periododi riferimento.

Non è inoltre possibile con i sistemi lineari cogliereil picco secondario, caratteristico della rispostadelle gomme, che si ha per un periodo pari a circa1.8 T ref in tutti i casi analizzati, con maggioreimportanza per periodi di riferimento bassi (T ref =0.5s). I risultati numerici della caratterizzazione deisistemi lineari equivalenti sono riportati in Tabella 1.Dai risultati numerici si osserva che la rigidezzadella risposta, a parità di deformazione massima,diminuisce passando da sistemi che vibrano più velocemente(caso a) a sistemi che vibrano più lentamente(caso c) mentre il coefficiente di smorzamentorimane pressoché costante. La rigidezzaequivalente cambia anche al variare della deformazionemassima. I sistemi risultano più rigidi al diminuiredella massima deformazione raggiunta ed anchepiù dissipativi .Tabella 1. Parametri sistema lineareγ=2 γ=1.5 γ=1LLL L L LGsξsGsξsGsξs(N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 )Caso a 0.866 0.147 0.857 0.175 1.010 0.172Caso b 0.753 0.152 0.746 0.183 0.939 0.178Caso c 0.672 0.147 0.660 0.183 0.883 0.1783.3 Risposta con forzante impulsivaAl fine di studiare la risposta transitoria, fortementeinfluenzata dall’effetto Mullins, il sistema èstato sottoposto ad un impulso, assegnando una velocitàiniziale v o , a cui è associata una energia cineticaW 0 = mv 0 . Anche in questo caso, si è studiata1 22la risposta dei tre diversi sistemi introdotti nel paragrafoprecedente, sottoposti a 3 velocità diverse, calibratein modo da ottenere deformazioni massimedella gomma pari a γ=2.0 γ=1.5 e γ=1.0. Per la determinazionedei parametri del sistema lineare equivalentesi è proceduto in maniera analoga a quantofatto per la risposta stabile, prendendo in considerazionesolo il primo tratto della risposta fino al raggiungimentodello spostamento massimo. In particolare,il criterio seguito è il seguente.i. La rigidezza del sistema lineare equivalente è stataottenuta dal rapporto tra la forza osservata incorrispondenza dello spostamento massimo e lospostamento massimo del sistema non lineare:f( t1) fdm( t1) umL dkt= =u(15)dove t 1è l’istante in corrispondenza del qualesi verifica lo spostamento massimo. Dalla rigidezzadel sistema lineare equivalente è possibileottenere la rigidezza equivalente della gomma( G ) tramite l’espressioneLtL h LGt= kt(16)Aii. Il coefficiente di smorzamento del sistema lineareè stato ricavato in modo da ottenerel’uguaglianza delle energie dissipate dai due sistemiin corrispondenza dei rispettivi istanti incui si verifica lo spostamento massimoL LWd ( t1 ) = Wd( t1)(17)Ldove t 1è l’istante in corrispondenza del qualesi verifica lo spostamento massimo nel sistemalineare equivalente. L’energia dissipata da un sistemalineare soggetto ad una velocità iniziale v 0,a tale istante è pari aWL LL Ld ( t10 e 1dove) = W −W( t )(18)L( t )1( ) = ω(19)2L L2 2Wet1u1Di conseguenza, dall’uguaglianza (17) è possibilericavare il coefficiente ξ , una volta sostituitain tale relazione l’espressione nota dello spostamentodi un sistema lineare soggetto ad una velocitàiniziale v 0uv=ωss(20)ω = ω21−ξ0 t() t e−ξω sinωtdove ( )s.Nelle Figure 4, 5 e 6 sono riportate le storie deglispostamenti e delle forze di richiamo dei dispositividi appoggio nei 3 casi analizzati, confrontate conquelle ottenute con i modelli lineari equivalenti. Anchein questo caso i grafici sono in forma adimensionaleseguendo lo stesso criterio descritto nel paragrafoprecedente.E’ possibile osservare che in tutti i casi il modellolineare coglie bene i valori massimi di spostamento eforza per bassi livelli di deformazione (γ=1). Per livellidi deformazione crescenti sia gli spostamentiche le forze massime tendono ad essere sempre piùsottostimati. In generale i sistemi lineari ottenuti risultanopiù rigidi (periodo di oscillazione minore) rispettoal modello non lineare e, come prevedibile,Lt

sono totalmente inadeguati per descrivere la rispostadella gomma dopo il primo quarto di ciclo.I risultati numerici della caratterizzazione dei sistemilineari equivalenti relativa al comportamentotransitorio sono riportati in Tabella 2.u/um1.20.80.40-0.4-0.81.20 0.5 1 1.5t/T refu/um1.20.80.40.0-0.40 0.5 1 1.5-0.8fd/fdm1.20.80.4t/T ref0-0.40 0.5 1 1.5fd/fdm0.80.40-0.4-0.81.280 0.5 1 1.5t/T refFigura 4. Risposta transitoria – caso a.-0.8t/T refFigura 6. Risposta transitoria – caso c.Tabella 2. Parametri sistema lineareLGtγ=2 γ=1.5 γ=1ξLtGLt(N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 )Caso a 1.202 0.167 1.119 0.144 1.170 0.128Caso b 1.087 0.199 1.005 0.174 1.074 0.156Caso c 0.972 0.197 0.895 0.171 0.972 0.155ξLtGLtLξ tu/umfd/fdm0.80.40.0-0.40 0.5 1 1.5-0.8t/T ref1.20.80.40.0-0.40 0.5 1 1.5-0.8t/T refFigura 5. Risposta transitoria – caso b.Dall’analisi di tali parametri si nota che il comportamentodella gomma nel transitorio è significativamentediverso da quello stabile. In particolare, lerigidezze mostrano valori molto più elevati, che aumentanosensibilmente all’aumentare della deformazionee al diminuire del periodo, a causadell’importanza crescente dell’effetto Mullins, dipendentesia dall’ampiezza che dalla velocità di deformazione.Diversamente, il coefficiente di smorzamentodiminuisce sensibilmente al diminuire delladeformazione ed al diminuire del periodo di riferimento.4 RISPOSTA SISMICASi vuole analizzare in questo paragrafo la rispostasismica dei 3 sistemi dinamici studiati in precedenza,confrontando le previsioni fornite dal modellonon lineare con le previsioni fornite dai due sistemilineari equivalenti. A tale scopo sono state condottedelle analisi dinamiche nel dominio del tempo,prendendo come input sette acceleragrammi, spettrocompatibiliin media con lo spettro elastico fornitodalla normativa OPCM 3431 per la zona 1 e le categoriedi suolo B-C-E. In particolare è stato

considerato uno spettro con periodo T D =2.5 s in mododa rendere lo spettro utilizzabile anche per struttureisolate. Lo spettro da normativa e la media deglispettri dei sette accelerogrammi in termini di pseudo-velocitàsono riportati in Figura 7.Sv(m/s)10.80.60.40.20EC8medio0 1 2 3 4T (s)Figura 7. Spettro medio in pseudo-velocitàGli spostamenti e le forze osservate nel sistemanon lineare sono state confrontate con quelle ottenuteutilizzando i modelli lineari equivalenti.Per rendere confrontabili i risultati si sono esaminatesituazioni in cui il valore medio delle deformazionimassime è lo stesso nei diversi casi e vale γ d =1.5. E’ opportuno osservare che le caratteristiche dinamichedei tre sistemi non cambiano se si conservacostante il rapporto A/hm tra le grandezze geometrichedella gomma sottoposta a taglio e la massa. Neitre casi analizzati l’area A* e lo spessore h* sonoquindi stati assegnati, conservandone costante il rapporto,in modo da ottenere la deformazione γ d = 1.5in corrispondenza del valore di intensità sismica presoin esame. Nelle tabelle 3 e 4 sono riportati i valoridi A* e h* dei dispositivi ed i corrispondenti valoridi rigidezza e di smorzamento viscoso dei 2 sistemilineari equivalenti, corrispondenti alla risposta stabile(k s ,ξ s ) e alla risposta transitoria (k t , ξ t ). Si è anchepresa in esame la risposta relativa ad un sistema linearecon caratteristiche di rigidezza e dissipazioneintermedie (k m , ξ m ). Tali valori sono stati determinaticome segueksA*L= Gs( Td, γd)(21a)h *Lξs= ξ s(21b)analogamentektA*L= Gt( Td, γd)(22a)h *Lξt= ξ t(22b)mentrekmks+ kt= (23a)2ξs+ ξtξm= (23b)2Tabella 3. Caratteristiche geometriche dei dispositivi in gommah* A*(mm) (mm 2 )Caso a 14 437920Caso b 40 312800Caso c 85 166180Tabella 4. Parametri dei sistemi lineari equivalentiLin_s Lin_t Lin_mk s ξ s k t ξ t k m ξ m(N/mm) (N/mm) (N/mm)Caso a 26800 0.175 35000 0.144 30900 0.1595Caso b 5830 0.183 7860 0.174 6850 0.1785Caso c 1290 0.183 1750 0.171 1520 0.177Una rappresentazione significativa dei risultatidelle diverse analisi è riportata nelle Figure 8, 9 e10. Per ogni singolo accelerogramma si riportano inascissa i valori di spostamento e di forza massimiprodotti dall’analisi non lineare ed in ordinata i corrispondentivalori di spostamento e forza prodottidalle 3 analisi lineari. La linea tratteggiata indica labisettrice degli assi in corrispondenza della quale glispostamenti corrispondono con quelli dell’analisinon lineare di riferimento.LIN (cm)LIN (kN)3.02.01.00.01.9 2.1 2.3800600400200HDR (cm)(a)Lin_sLin_mLin_t0550 600 650 700 750 800HDR (kN)Lin_sLin_mLin_t(b)Figura 8. Valori massimi spostamenti (a) e forze (b) per isette accelerogrammi (caso a)

LIN (cm)LIN (kN)8.06.04.02.00.0600500400300200100Lin_sLin_mLin_t5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5HDR (cm)0350 400 450 500HDR (kN)(b)Figura 9. Valori massimi spostamenti (a) e forze (b) per isette accelerogrammi (caso b)LIN (cm)LIN (kN)15105(a)Lin_sLin_mLin_tLin_sLin_mLin_t011 12 13 14 15HDR (cm)(a)25020015010050il modello relativo al comportamento transitorio fornisceprevisioni opposte, così come confermato dairisultati mediati sui sette accelerogrammi, riportatinelle Tabelle 5 e 6. Le applicazioni ottenuti mostranoche i due modelli lineari, definiti in base ai criteriproposti, sono effettivamente in grado di fornire valorilimite per le forze e per gli spostamenti. I valoriottenuti generalmente non si discostano di più del10% dai valori deducibili dall’analisi non lineare.Tabella 5. Risultati medi del modello non lineareNon Linearesp. medio f. media(cm) (kN)Caso a 2.14 652Caso b 6.05 418Caso c 12.75 207Tabella 6. Risultati medi dei modelli lineari equivalentiLin s Lin t Lin msp.medio f.mediasp.medio f.media sp.medio f.media(cm) (kN) (cm) (kN) (cm) (kN)Caso a 2.27 641 1.96 695 2.08 668Caso b 6.12 383 5.34 446 5.67 413Caso c 12.49 182 11.31 215 11.95 199E’ importante inoltre osservare che i modelli lineariutilizzati forniscono una buona stima dei valori e-stremi di forza e spostamento ma sono del tutto inadeguatiper la descrizione della risposta per valoripiù piccoli di deformazione, differenti da quelli consideratiper la loro definizione. A titolo di esempio,in Figura 11 sono riportate le storie di spostamento edi forza relative ad un accelerogramma applicato alcaso b.u(cm)64200 5 10-2-4-6HDRLin sLin tt(s)0180 200 220 240HDR (kN)(b)Figura 10. Valori massimi spostamenti (a) e forze (b) per isette accelerogrammi (caso c)fd(kN)4503001500-1500 5 10Si osserva che il modello riferito al comportamentostabile fornisce tendenzialmente una sovrastima deglispostamenti ed una sottostima delle forze mentre-300-450Figura 11. Storia degli spostamenti e delle forze relative ad unaccelerogramma (caso b)t(s)

5 CONCLUSIONILe attuali normative suggeriscono l’utilizzo dimodelli lineari equivalenti per la modellazione dellegomme ad alto smorzamento. Tali modelli sono taratisul comportamento stabile delle gomme, trascurandogeneralmente il comportamento transitorio,che invece influenza notevolmente il comportamentosismico delle strutture dotate di dispositivi in gomma,visto che durante l'evento sismico i valori estremidi velocità e ampiezza vengono raggiunti solopoche volte.In questo lavoro si propone un metodo perl’individuazione di due modelli lineari equivalentidella gomma, sulla base del comportamento stabile edi quello transitorio, fortemente diversi tra loro.L’affidabilità dei modelli lineari proposti nella previsionedella risposta sismica è stata testata conducendoanalisi su modelli ad un grado di libertà nelcampo di deformazioni e frequenze di interesse nellaprogettazione.I risultati ottenuti mostrano che i due modelli lineari,definiti in base ai criteri proposti, sono in gradodi fornire valori limite per le forze e per gli spostamenticon livelli di approssimazione accettabili.RIFERIMENTIBartera F. and Giacchetti R., 2004. Steel dissipating braces forupgrading existing building frames. J. Constructional SteelResearch, 60(3), 751-769.Choi, H., Kim W.B., Lee S.J., 2003. A method of calculatingthe non-linear seismic response of a building braced withviscoelastic dampers. Earthquake Engineering and StructuralDynamics, 32 (11),1715-1728.Dall’Asta A., Dezi L., Giacchetti R., Leoni G. and Ragni L.,2006. Application of HDR devices for the seismic protectionof steel concrete composite frames: experimental results- Proceedings of STESSA 2006 – 5th InternationalConference on the Behaviour of Steel Structures in SeismicAreas, Yokohama, Japan, 587-592.Dall’Asta A. and Ragni L., 2006. Experimental tests and analyticalmodel of High Damping Rubber dissipating devices.Engineering Structures, 28, 1874-1884.Dorfmann A. and Ogden R.W., 2004. A constitutive model forthe Mullins effect with permanent set in particle-reinforcedrubber. Int. J. Solids Struct., 41, 1855-1878.Fuller K., Ahmadi H., Goodchild I., Magonette G., Taucer F.and Dumoulin C., 2000. Rubber-based energy dissipatorsfor earthquake protection of structures. Proceedings of the12th WCEE, New Zealand.Govindjee S. and Simo J.C., 1991. A micro-mechanicallybased continuum damage model for carbon black filledrubberincorporating the Mullins effect. J.Mech. Phys. Solids,39, 87-112.Govindjee S. and Simo J.C. , 1992-a. Transition from micromechanicsto computationally efficient phenomenology:carbon black filled rubbers incorporating Mullins effect.J.Mech. Phys. Solids, 40, 213-233.Govindjee S. and Simo J.C, 1992-b. Mullins effect and thestrain amplitude dependence of the storage modulus. Int. J.Solids Struct., 29, 1737-1751.Grant D.N., Fenves G.L. and Auricchio F., 2005. Modellingand Analysis of High-damping Rubber Bearings for theSeismic Protection of Bridges, Iuss Press, Pavia.Haupt P. e Sedlan H. , 2001. Viscoplasticity of elastomeric materials:experimental facts and constitutive modelling. Arch.Appl. Mech., 71: 89-109.Hwang, J.S. and Ku S.W., 1997. Analytical modeling of highdamping rubber bearings. Journal of Structural Engineering,123 (8), pp. 1029-1036Hwang, J.S. and Wang, J.C., 1998. Seismic response predictionof hdr bearings using fractional derivative maxwell modelEngineering Structures, 20 (9), pp. 849-856.Hwang J.S., Wu J.D., Pan T.C. and Yang, G., 2002. A mathematicalhysteretic model for elastomeric isolation bearings.Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 31 (4),pp. 771-789.Kikuchi M. and Aiken I.D., 1997. An analytical hysteresismodel for elastomeric seismic isolation bearings. EarthquakeEngineering and Structural Dynamics, 26 (2), pp.215-231.Lion A., 1997. A physically based method to represent thethermomechanical behaviour of elastomers. Acta Mech.,123: 1-25.PrEN 1998-1, 2002. Eurocode 8: design of structures forearthquake resistance. Part 1:general rules, seismic actionsand rules for buildings. CECN, European Committee forstandardization, Brussels, Belgium.FEMA 356, 2000. Prestandard and commentary for the seismicrehabilitation of buildings. Federal EmergencyManagement Agency – Washington D.C.OPCM 3431, 2005. Norme tecniche per il progetto la valutazionee l’adeguamento sismico degli edifici. PCM, Roma,Italy.Tsai, C.S., Chiang T.C., Chen B.J. and Lin S.B., 2003. An advancedanalytical model for high damping rubber bearings.Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 32 (9),1373-1387Yoshida, J., Abe M., Fujino Y. and Watanabe H., 2004. Threedimensionalfinite-element analysis of high damping rubberbearings. Journal of Engineering Mechanics, 130 (5), 607-620.