Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.6. IL METODO DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE 97nella nuova unità di misura varràξ ′ [K ′ i ] = ξ[K i]/s . (4.6.6)Ne consegue che i punti fissi delle trasformazioni (4.6.5) vanno ricercati tra queipunti nello spazio (infinito) delle costanti di accoppiamento che soddisfano la relazioneξ ′ = ξ, cioè ξ = 0 (punti fissi banali come T = 0 o T = ∞) o ξ = ∞, cheindividua i punti critici. Questi formano una varietà immersa nello spazio dellecostanti K detta superficie critica . Le traiettorie del gruppo di rinormalizzazioneche si ottengono iterando più volte la (4.6.5) si dividono in due tipi. Quelle chepartono da un punto esterno alla superficie critca tendono ad allontanarsi da essa,per effetto della (4.6.6) che riduce il valore di ξ. Quelle che partono all’internodella superficie critica non possono uscirne; nei sistemi più comuni sono attratteda un unico punto fisso, un punto K ⋆ dello spazio dei parametri che soddisfa lacondizione′ = Ki ⋆ ∀ i .K ⋆ iÈ interessante studiare il gruppo di rinormalizzazione nell’intorno di questo puntofisso, sviluppando la (4.6.5) in serie di Taylor troncata al prim’ordine perturbativoK ′ i = K⋆ i + T(s)j i (K j − K ⋆ j ) + O[(K j − K ⋆ j )2 ]. Si ottiene cosí il sistema lineareδ K ′ i = T(s) j i δ K j (δ K = K − K ⋆ ) (4.6.7)valido solo in prossimità del punto critico. Le matrici T(s) soddisfano la proprietàd moltiplicazione gruppale 4 T(s) T(s ′ ) = T(s s ′ ) . (4.6.8)Supponendo che queste matrici siano diagonalizzabili e indicando con λ i e g i =c j i δ K j l’i-esimo autovalore e il corrispondente autovettore, si ha g ′ i = λ i (s) g i .Poichè inoltre λ i (s) soddisfa l’equazione funzionale λ(s) λ(s ′ ) = λ(s s ′ ) la cuisoluzione è λ(s) = s y , si hag ′ i = s y ig i (4.6.9)dove il numero reale y i è detto, per estensione, autovalore relativo a g i . Se y > 0g si dice rilevante, se y < 0 g si dice irrilevante, Se y = 0 g si dice marginale.Le costanti di accoppiamento rilevanti crescono per effetto della trasformazione,4 È importante osservare però che queste trasformazioni non formano un gruppo (nonostanteil nome di gruppo di rinormalizzazione), in quanto per costruzione s > 1, quindi non esiste latrasformazione inversa.