Appunti di Meccanica Statistica - INFN

96 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIs = 2). E’ facile verificare che si ha β ′ < β, dunque il sistema si riscalda sempreper effetto di questa trasformazione, il che dimostra che il sistema si trova inun’unica fase simmetrica e T = 0 è un punto fisso instabile della trasformazione,contrariamente a quel che succede nei sistemi con una fase ordinata (cioè a simmetriaspontaneamente rotta).Nei modelli con d > 1 la trasformazione del gruppo di rinormalizzazioneè complicata dal fatto che essa genera in generale infiniti nuovi accoppiamentitra siti diversi, quindi non soltanto tra siti vicini e anche accoppiamnti a più didue spin. Indichiamo genericamente con K i queste costanti di accoppiamento.Iterando più volte la trsformazione si ottiene una sequenza di diverse Hamiltoniane. . .H[K i ] → H ′ [K i ′ ] → H′′ [K i ′′ ] → . . .da un certo punto in poi la forma dell’ Hamiltoniana si stabilizza nell’Hamiltonianainvariante H ∗ :· · · → H ∗ [K i ] → H ∗ [K ′ i ] → . . .e l’effetto della trasformazione si traduce in un’ opportuna trasformazione dellecostanti KK ′ i = f i [s, {K j }] (4.6.5)che è la generalizzazione della trasformazione (4.6.4) a un sistema qualsiasi.Qualunque sia l’Hamiltoniana di partenza, dopo un certo numero di iterazionidella trasformazione del gruppo di rinormalizzazione che eliminano i dettagli delsistema a corta distanza, essa si trasforma nell’Hamiltoniana invariante H ∗ dovesi è perso il ricordo del particolare modello da cui si è partiti. Questo fatto è allabase del concetto di classe di universalità: non potendo dipendere dai dettagli delmodello iniziale, H ∗ non può che dipendere, in linea di principio, dal gruppo disimmetria e dalle dimensioni dello spazio. Nel paragrafo seguente illustreremoulteriormente questo concetto.E’ importante osservare che le trasformazioni del gruppo di rinormalizzazionenon modificano in alcun modo lo stato fisico di un sistema. Esse costituisconoin sostanza solo una riscrittura dello stesso sistema fisico in termini di gradi diliberta’ e Hamiltoniane differenti, ma la funzione di partizione canonica resta percostruzione esattamente la stessa, dunque tutte le grandezze fisiche sono invariantirispetto a queste trasformazioni. Prendiamo ad esempio in considerazione lalunghezza di correlazione ξ ≡ ξ[K i ]. Essendo dimensionalmente una lunghezzasi misura in passi reticolari a. Il gruppo di rinormalizzazione cambia il passo reticolarea → a ′ = s a (cioè l’unità di misura) ma non il valore effettivo di ξ che