Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.6. IL METODO DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE 95configurazione di celle {S α ′ } per la somma su tutte le configurazioni di celle:∑ ∑ ∏ ∑=P(S α; ′ S i ){S j ∀ j∈Λ}{S ′ α ∀ α∈Λ′ }α{S i i∈α}e la funzione di partizione canonica si puo’ riscrivere nella forma⎛⎞Z ≡∑∑ ∑e −H[{Si}] =P(S α; ′ S i )e −H ⎠ (4.6.2){S j ∀ j∈Λ}{S ′ α ∀ α∈Λ ′ }⎝ ∏ α{S i i∈α}dove tutti i termini nella parentesi tonda sono positivi, quind si può definire unanuova Hamiltoniana definita sul nuovo reticolo Λ ′ :e −H′ [{S α}] ′ = ∏ ∑P(S α; ′ S i )e −H (4.6.3)α{S i i∈α}Di solito H ′ ha una forma diversa e molto più complicata che la H di partenza. Uncaso particolarmente semplice è invece la catena unidimensionale di Ising. Utilizzandoper esempio il formalismo della transfer matrix (4.3.2) possiamo riscriverela Z nella formaZ ≡ Tr T N = Tr (T s ) N/sche definisce una nuova transfer matrix T ′ = T s per una catena lineare di passoreticolare a ′ = s a e da questa possimo risalire alla nuova hamiltoniana H ′ . Adesempio, scegliendo per semplicità s = 2 e h = 0 si hacioèT ′ =(eβe −βe −β e β ) 2=T ′ = 2 √ cosh 2β(2 cosh 2β 22 2 cosh 2β)( √ √ )cosh 2β 1/ cosh 2β1/ √ √cosh 2β cosh 2βdove l’ultimo raccoglimento a fattore serve per mettere la transfer matrix nellastessa forma di quella di partenza. L’unico effetto della trasformazione sull’hamiltonianaè stato, a parte un termine additivo inessenziale (precisamente − log(2 √ cosh 2β)),un cambiamento β → β ′ conβ ′ = log √ cosh 2β . (4.6.4)Questo è il primo esempio esplicito di trasformazione del gruppo di rinormalizzazione.Questa trasformazione dipende dal parametro di scaling s (in questo caso